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2026 北京东城高三一模
数 学
一、单选题
1．已知集合 A ={x | 2 x 2}，集合 B = {x | x 1}，则 A B =（ ）
A． ( 2,1) B． 1,2 C． ( ,1) D． ( , 2)
2．已知复数 z = (2i 1)(a i)为纯虚数，则实数a =（ ）
A．2 B．1 C．0 D． 1
y2
3．双曲线 x2 =1的焦距为（ ）
3
A．1 B． 2 C． 2 2 D．4
π
4．在 ABC中，已知 B = ， a = 5 ， c = 2 3 ，则b =（ ）
6
A． 5 B． 6 C． 7 D． 2 2
5．实数a，b满足 a + b 0， ab 0 ，则（ ）
A．a + b 2 ab B． a b 2 ab
C．a2
2 2
+ b2 2ab D． a b 2ab
4 2
6．已知 x4 + 4x3 + 7x2 + 7x +3 = (x +m) + A(x +m) + B (x +m)+C，则实数m =（ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
2 2
7．已知 AB为圆O : x + y = 4的一条弦，弦 AB绕点O旋转一周扫过的区域为Ω．若点 (1,1) Ω，则 AB
的取值范围为（ ）
A． 1,2 B． 2, 2 C． 2,4 D．
2 2, 4

8．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB = 2BC，BB1 BC，则（ ）
A．棱 B1C1 上存在点 P，使得 PB = PD B．棱 B1C1 上存在点 P，使得 PB ⊥ PD
C．棱C1D1上存在点 P，使得 PB = PD D．棱C1D1上存在点 P，使得PB ⊥ PD
9．已知函数 f ( x)的定义域为R ，对实数 x0 ，设集合 A = x | f (x) f (x0 ) ，集合
B = x | f (x) f ( x0 ) ，那么“ x R，B = {x | x A}0 ”是“ f ( x)为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知等差数列 an 和 bn 的前 10 项均为正整数，且公差均不为 0．若a10 + b5 = 10，则a5 + b10 的最小值
为（ ）
A．15 B．10 C．9 D．5
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二、填空题
11．已知抛物线C : y2 = 2px( p 0) 的准线方程为 x = 1，那么C的焦点到准线的距离为______．
π
12．已知 sin + = sin (π + )，则 的一个可能值为________．
2
π
13．设单位向量 a， b 满足 a ⊥ b．若 c = a + 2b，则 c = ________；若a + tb与 ta + b的夹角为 ，且
3
t 1，则实数 t = ________．
3
14．在乐律学中，将一个纯五度音程分成 7 份得到 8 个音级，这 8 个音级的频率构成公比为 7 的等比数
2
a
列 an
8
，则 = ________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列 an 中寻找两项 as，a1
a
a ，使得 s
4
t 最小，则 s t = ________．（参考数据： log23 1.585）
at 3
x, 0 x 1,
15．已知函数 f ( x)的定义域为 0,+ )，且 f (x + 2) = f (x)．当 x 0, 2)时， f (x) = 设 k
2 x, 1 x 2.
为大于 1 的正整数，给出下列四个结论：
①存在 x0 (0,1)，使得 f (2x0 ) = x0 且 f (3x0 ) = x0 ；
②方程 f (kx) = x的解的个数为 k；
4
③若 为方程 f (kx) = x的解，则 k的最小值为 4；
5
④对任意有理数 x (0,1)，存在 k，使得 f (kx0 0 ) = x0 ．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
2
16．已知函数 f (x) = sin xcos x + 3sin x +m( 0)．
π
(1)若 = 2， f = 0，求实数m的值；
4
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 f ( x)存在且唯一，求 f ( x)在区间
2π
,π 上的取值范围． 3
π
条件①： f = 0；
6
条件②， f ( x)的最小正周期为 π；
条件③： f ( x)的最大值与最小值之和为 0．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
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17．如图，在四棱锥 P ABCD中， AD / /BC， AD = 2BC = 2 3 ， AD ⊥ BD， BAD = 30 ， E为 AD的
中点， PE = 3 ．
(1)设平面 PAD 平面 PBC = l，求证： BC / /l；
(2)若 PE ⊥平面 ABCD，求平面 PAB与平面 PBC夹角的余弦值．
18．某种机床运行三个月后，需对 A,B,C这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取 10 台机床，对指标
检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．
机床
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
指标
A ○ ○ ○ ○ ○ ○
B ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
C ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
设各机床之间相互独立．用频率估计概率．
(1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的 A指标合格的概率；
(2)规定 A指标合格记 1 分， B指标合格记 2 分，C指标合格记 2 分；若某项指标不合格．该项指标记 0
分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评
分总和大于 8 的概率；
(3)设随机变量 X 表示一台机床合格指标的个数．随机抽取 10 台机床进行检测，记事件T = “这 10 台机床
中合格指标个数为 0，1，2，3 的机床台数分别为 1，2，3，4”．
判断 X 服从下面哪个分布，事件T 发生的概率更大．（结论不要求证明）
分布 1
X 0 1 2 3
P 0.2 0.2 0.2 0.4
分布 2
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.2 0.4
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x2 y2 6
19．已知椭圆C : + =1(a b 0) 经过点 (0,1)，离心率为 .
a2 b2 3
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D (1,0)作斜率为 k的直线 l与椭圆C交于 A， B两点，点E (3,n)不在直线 l上，直线 AE， BE分别
交直线 x = 2于点M ， N ．求证：四边形DMEN 为平行四边形.
1 1
20．已知函数 f ( x)的定义域为 ,+ ， f (1) =1，函数 g (x) = xln (2x 1)．对任意 t ,+ ，曲线
2 2
y = f (x)在点 A(t, f (t ))处的切线方程为 y f (t ) = g (t )(x t )．
(1)求 f ( x)的最小值；
(2)讨论 g (x)的单调性；
(3)已知 f (3) 3ln5+1，求过点 (2,1)且与曲线 y = f (x)相切的直线的条数．
21．已知正整数数列 A : a1,a2 , ,an (n 4)，令 S = a1 + a2 + + an．给定非负整数 k，若对任意的
ar (1 r n)，都存在正整数 i1,i2 , ,im (1 i1 i2 im n,m 1)，且 r i1,i2 , ,im ，使得
(S ar ) 2 (ai + ai + + a ) = k，则称数列 A具有性质 P (k )． 1 2 im
(1)直接写出数列 A1：1，1，2，2 和 A2：1，1，1，3 是否具有性质 P (1)；
(2)若数列 A具有性质P (k )，判断 1，2 能否同时为 A中的项，并说明理由；
(3)已知 n为奇数， A : a1,a2 , ,an (n 7)是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求证：数列 A具有性质P (0)．
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）D （ 2） A （ 3 ）D （ 4）C （ 5） B
（ 6）A （ 7） D （ 8） C （ 9） B （10）B
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
3π
（11） 2 （12） （答案不唯一）
4
3
（13） 5 2 + 3 （14） 5 （15）②③④
2
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：
π
（Ⅰ）因为 = 2 ， f ( ) = 0，
4
π π π
所以 sin cos + 3 sin2 +m = 3 +m = 0 .
2 2 2
解得m = 3 . …………………………………………………………………………………………5 分
（Ⅱ）选择条件①②.
1 3
f (x) = sin 2 x + (1 cos2 x) +m
2 2
π 3
= sin(2 x ) + +m.
3 2
因为 f (x)的最小正周期为 π，
2π
所以 = π .
2
解得 =1.
π π π 3 3 3
f ( ) = sin( ) + +m = m + = 0 ，即m = .
6 3 3 2 2 2
π
所以 f (x) = sin(2x ) .
3
2π π 5π
因为 x π，所以 π 2x ，
3 3 3
所以 1 f (x) 0 .
2π
所以函数 f (x)在区间[ ,π]上的取值范围是 [ 1,0]． ……………………………………………13 分
3
选择条件②③.
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1 3
f (x) = sin 2 x + (1 cos2 x) +m
2 2
π 3
= sin(2 x ) + +m，
3 2
因为 f (x) 的最小正周期为 π，
2π
所以 = π .
2
解得 =1.
3 3
f (x)的最大值为m +1+ ，最小值为m 1+ ，
2 2
3
所以最大值与最小值之和为 2m + 3 = 0，即m = .
2
π
所以 f (x) = sin(2x ) .
3
2π π 5π
因为 x π，所以 π 2x ，
3 3 3
所以 1 f (x) 0 .
2π
所以函数 f (x)在区间[ ,π]上的取值范围是 [ 1,0]． ……………………………………………13 分
3
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ） 因为 AD ∥ BC， AD 平面 PAD， BC 平面 PAD，
所以 BC ∥平面 PAD .
又因为 BC 平面 PBC ，平面 PAD 平面 PBC = l，
所以 BC ∥ l . ……………………………………………………………………………5 分
（Ⅱ）取 AB的中点 F ，连接 EF，
z
因为 E为 AD中点，
P
所以 EF ∥ BD .
因为 AD ⊥ BD，
A E
所以 EF ⊥ AD， D y
F
又因为 PE ⊥平面 ABCD， ED， EF 平面 ABCD， B C
x
所以 PE ⊥ ED， PE ⊥ EF .
如图建立空间直角坐标系 E xyz，
则 A(0, 3,0) , B (2, 3,0) ,C (2,2 3,0) ,D (0, 3,0) , P (0,0, 3) .

因此 AP = (0, 3, 3)， AB = (2,2 3,0)， BP = ( 2, 3, 3)， BC = (0, 3,0) .
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m AP = 0, 3y + 3z = 0,
设平面 PAB的法向量为m = (x1, y1, z1 )，则
1 1
即
m AB = 0, 2x1 + 2 3y1 = 0.
令 x1 = 3 ，则 y1 = 1， z1 =1 .于是m = ( 3, 1,1) .

n BP = 0, 3y = 0,
设平面 PBC 的法向量为 2n = (x2 , y2 , z2 )，则 即
n BC = 0, 2x2 3y2 + 3z2 = 0.
令 x2 = 3 ，则 y2 = 0 ， z2 = 2 .于是 n = ( 3,0,2) .
m n 35
设平面 PAB与平面 PBC 夹角为 ，则 cos = cos m,n = = .
m n 7
35
平面 PAB与平面 PBC 夹角的余弦值为 .……………………………………………14 分
7
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）设事件M =“这台机床的 A指标合格”，
样本中 A指标合格的机床有 6 台，
6 3
所以 P(M ) = = ，
10 5
3
所以“这台机床的各项指标都合格”的概率估计为 . ……………………………………………3 分
5
（Ⅱ）设事件M1 =“一台机床评分为 5”；
设事件M 2 =“一台机床评分为 4”；
2 1
则 P(M1) = ， P(M2 ) = .
5 5
这两台机床评分总和大于 8 的概率估计为
2 1 1 2 2 2 8
P(M1)P(M2 ) + P(M2 )P(M1) + P(M1)P(M1) = + + = . .…………………...…10 分
5 5 5 5 5 5 25
（Ⅲ）分布 2. …………………………………………………………………………………………………13 分
（19）（共 15 分）
c 6
=
a 3
解：（Ⅰ）由题意得 b =1 ，解得 a = 3，b =1．

a
2 = b2 + c2

x2
+ y2所以椭圆C的方程为 =1． ………………………………………………5 分
3
（Ⅱ）设直线 l的方程为 y = k(x 1) ．
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n
线段DE的中点为 2, .
2
y = k (x 1)
由 ，得 (1 + 3k 2 ) x2 6k 2x + 3k 2 3 = 0 ， 2 2
x + 3y = 3
设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，
6k 2 3k 2 3
则 x1 + x2 = ， x1x2 = .
1 + 3k 2 1+ 3k 2
y n y n
直线 AE的方程为 y n = 1 (x 3) ，直线 BE的方程为 y n = 2 (x 3)．
x1 3 x2 3
y1 n y2 n令 x = 2 ，得点M ， N的纵坐标分别为所以 yM = n ， yN = n ．
x1 3 x2 3
y n y n
因为 yM + yN = 2n
1 2
x1 3 x2 3
( y1 n)(x2 3) + ( y2 n)(x1 3)
= 2n
(x1 3)(x2 3)
(kx1 k n)(x2 3) + (kx2 k n)(x1 3)
= 2n
(x1 3)(x2 3)
2kx1x2 (4k + n)(x1 + x2 ) + 6k + 6n
= 2n
x1x2 3(x1 + x2 ) + 9
k 2 1 2k 2
2k (4k + n) + 2k + 2n
2
= 3k +1 3k
2 +1
k 2 1 6k 2
+ 3
3k 2 +1 3k 2 +1
2nk 2 + n
= 2n
2k 2 +1
= 2n n
= n .
所以线段DE与MN 的中点重合.
所以四边形DMEN 为平行四边形． ………………………………………………15 分
（20）（共 15 分）
1
解：（Ⅰ）由题意知 f (x) = x ln(2x 1) ， x ( ,+ ) ，
2
1
所以当 x ( ,1)时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
2
当 x (1,+ ) 时， f (x) 0， f (x) 单调递增.
所以当 x = 1时，函数 f (x) 取最小值，故函数 f (x) 的最小值为 f (1) .
因为 f (1) =1，所以函数 f (x) 的最小值为 1. ………………………………………………5 分
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2x 1
（Ⅱ）由 g(x) = x ln(2x 1)，得 g (x) = ln(2x 1) + , x .
2x 1 2
4(x 1)
设 h(x) = g (x) ，则 h (x) = .
(2x 1)
2
1
所以当 x ( ,1)时， h '(x) 0 ， h(x) 单调递减；
2
当 x (1,+ ) 时， h '(x) 0， h(x) 单调递增.
所以 h(x) 的最小值为 h(1) = 2 .
因为 h(x) 2 0，
1
所以当 x 时， g '(x) 0 .
2
1
所以函数 g(x) 在 ( ,+ )上单调递增. ………………………………………………10 分
2
（Ⅲ）因为直线 y f (t) = g(t)(x t) 过点 (2,1)，
1
所以 f (t) + g(t)(2 t) 1= 0 t .
2
令 (t) = f (t) + (2 t)g(t) 1，则 (t) = (2 t)g (t) .
由（Ⅱ）可知 g (t) 0 .
令 (t) = 0 ，得 t = 2 .
g (t)与 g(t) 的变化情况如下：
1
t ( ,2) 2 (2,+ )
2
'(t) ＋ 0 －
(t) ↗ 极大值 ↘
因为 (1) = f (1) + g(1) 1= 0，
(2) (1) = 0 .
(3) = f (3) g(3) 1 0，
所以 (t) 在 (2,+ )内有且仅有一个零点 t0 .
1
所以 (t) 在 ( ,+ )内共且两个零点 1 与 t0 .
2
因为 g(1) g(t0 ) ，
所以过点 (2,1) 且与曲线 y = f (x)相切的直线的条数为 2. ……………………………………15 分
（21）（共 15 分）
（Ⅰ） 数列 A不具有性质 P(1)，数列 B具有性质 P(1) .……………………………………………4 分
（Ⅱ）假设数列 A具有性质 P(k) ，
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由已知 (S ar ) 2(ai + ai + + ai ) = k， 1 2 m
因为 2(ai + ai + + ai ) 为偶数， 1 2 m
所以 S a 与 kr 同为奇数或同为偶数.
若 1 和 2 均为数列 A中的项，
则 S 1与 S 2同为奇数或同为偶数，矛盾.
所以 1，2 不能同时为数列 A中的项. ………………………………………………………9 分
（Ⅲ）首先证明去掉 a1后，存在正整数 i1,i2 , ,im ，
使得 (S ar ) 2(ai + ai + + ai ) = 0 . 1 2 m
1）若 n = 4m +1 .
去掉 a1后剩余 4m项，子列 a2 ,a5 ,a6 ,a9 ,a10 ,a13 , ,a4m 2 ,a4m+1满足
(S a1) 2(a2 + a5 + a6 + a9 + a10 + a13 + + a4m 2 + a4m+1) = 0 .
2）若 n = 4m + 3 .
子列 a6 ,a7 ,a8 ,a11,a12 ,a15 , ,a4m ,a4m+3 满足
(S a1) 2(a6 + a7 + a8 + a11 + a12 + a15 + + a4m + a4m+3 ) = 0 .
下证去掉 ar (2 r n) 后，存在正整数 i1,i2 , ,im ，
使得 (S ar ) 2(ai + a + + a ) = 0 . 1 i 2 im
令 n = 2k +1，此时剩余 2k 项，记为b1,b2 ,b3 ,b4 , ,b2k 1,b2k ，
且b1 b2 b3 b4 b2k 1 b2k .
分为 k组为 (b1,b2 ), (b3 ,b4 ) , (b2k 1,b2k ) ，其中b1 =1 .
则每组的差的绝对值为 2 或 4，且至多有一个值为 4.
所以 (b1 b2 ) + (b3 b4 ) + + (b2r 1 b2r ) + + (b2k 1 b2k ) = 2k或 2k 2(k 3) ，
存在 t1 =1， ti { 1,1}(i = 2,3, ,k)，
使得 t1(b1 b2 ) + t2 (b3 b4 ) + + tk (b2k 1 b2k ) = 0或2，
当 t1(b1 b2 ) + t2 (b3 b4 ) + + tk (b2k 1 b2k ) = 0 时，
此时存在正整数 i ,i , ,i ，使得 (S ar ) 2(ai + ai + + ai ) = 01 2 m . 1 2 m
当 t1(b1 b2 ) + t2 (b3 b4 ) + + tk (b2k 1 b2k ) = 2 时，
有 ( b1 b2 ) + t2 (b3 b4 ) + + tk (b2k 1 b2k ) = 0
因此存在正整数 i ,i , ,i ，使得 (S ar ) 2(ai + a1 2 m 1 i + + a ) = 0 . 2 im
综上，结论成立. …………………………………………………………………………………15 分
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