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2026北京门头沟高三一模
数 学
2026.3
本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
M = x x 1 1 N = 1,1
1. 已知集合 ， ，则M N =（ ）
A. 1,1 B. 1 C. 1 D.
2. 在复平面内，复数 z满足 iz =1+ i ，则 z z =（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
3. 下列函数中，既是奇函数又在 (0,+ )上单调递减的是（ ）
1
A. y = 2 x B. y = x C. y = tanx D. y = x3 x
x
y2
4. 已知双曲线 x2 =1的一条渐近线方程为 y = 3x，则m =（ ）
m
3 1
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
5. 已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a4 + a5 = 3，a5 + a6 = 6 ，则 S5 =（ ）
31 15
A. 31 B. 15 C. D.
8 8
6. 设a 0 ，b 0，则“ log2a + log2b 0 ”是“ a + b 2 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台 ABCD A1B1C1D1，若 AB = 30cm ，
A1B1 =10cm ，且侧面与上底面 ABCD的夹角为60 ，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗
的侧面所需材料的面积为（ ）
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A. 1600cm2 B. 200 3cm2 C. 400cm2 D. 800 3cm2
kt
8. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用C =C C0e （ 0 ，
k为正常数）描述，其中 C为喷施农药 t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药
ln2
的降解速率常数 k = ，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为 8mg/kg，国家食品安全标准规定该农
3
药的残留限值为 1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ）
A. 3 天 B. 6 天 C. 9 天 D. 12 天
π
9. 设函数 f (x) = sin x 3cos x( 0) ，若点 ,0 为函数 f ( x)图象的一个对称中心，且 f ( x)在
3
π
0, 6
上的最大值为 2，则 的最小值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 7 D. 10
π *
10. 无穷数列 an 满足如下条件① sinan+1 = cosan；② an+1 an ；③ i j (i,j N ) ,ai a j ．则下
2
列说法正确的是（ ）
A. 若 a1 = 0，则满足条件的单调数列 an 有且只有 2 个
B. 对于任意给定的 a1，满足条件的单调数列 an 有且只有 1 个
C. 存在 a1使得满足条件的数列 an 有且只有 1 个
D. 存在无数个 a1使得满足条件的数列 an 有且只有 1 个，且此时数列 an 一定是单调数列
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
5
a
11. x + 的展开式中 x
3的系数为 10，那么实数a =________．
x
2
12. 已知抛物线C : y = 2px( p 0) 的焦点 F 到其准线的距离为 2 ，点M 在C上，若 MF = 7，则点
M 的横坐标为________．
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2
13. 在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称，若cos( ) = ，
2
则 的一个取值为________．

14. 在平面直角坐标系 xOy中， OP =1，直线 y = x + 2 与 x轴和 y轴分别交于点 A， B，则 PA+ PB

的最大值为________；PA PB的取值范围是________．
15. 对于定义域为R 的函数 f ( x)，令 g (x) = f ( x ) f (x) ，给出下列四个结论：
①若对于 x R ， g ( x) 0恒成立，则 f (x) 0 恒成立；
②若对于 x R ， g ( x) 0恒成立，则 f (x) 0 恒成立；
③若 f ( x)是周期函数，则 g (x)是周期函数；
④若偶函数 f ( x)的图象关于直线 x = a (a 0)对称，则 g (x)的图象关于直线 x = a对称．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形 ABCD为正方形，平面 PADE ⊥ 平面 ABCD， PA / /ED， ED ⊥ AD ， ED =1，
PA = AD = 2 ， F 为 AB的中点．
（1）求证：DF / / 平面 PBE；
（2）求直线PC与平面 PBE所成角的正弦值．
4 6
17. 在 ABC中，b = 2 6 ， csin2B = sin (A+ B)．
3
（1）求cos B，
（2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在，求 ABC的
周长．
条件①： c =10 ；
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6
条件②： cosA = ；
3
条件③： ABC的面积为5 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 某公司对其销售的 A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人
的消费者中各随机抽取 12 人进行评分调查（满分 100 分，该公司规定评分不低于 80 分为满意），评分结果
如下：
数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90；
数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92．
假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率．
（1）从参与 A型号扫地机器人评分调查的 12 名消费者中随机抽取 2 人，求至少 1 人满意的概率 P；
（2）从购买 A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取 1 人，购买 B型号扫地机器人的所有消费者中随
机抽取 1 人，设 X为被抽到的 2 人中满意的人数，求 X的分布列和数学期望EX ；
（3）假设购买 A型号和 B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买 A、B两种型号扫地机器人
的消费者中随机抽取 1 人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设
其购买的是 A型号的概率估计值为 p1，其购买的是 B型号的概率估计值为 p2 ，试比较 p1与 p2 的大
小．（结论不要求证明）
x2 y2 2
19. 已知椭圆E : + =1(a b 0) 的离心率为 ，以椭圆 E 的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周
a2 b2 2
长为 8．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设 O为坐标原点，过点 P (t,0)（ t 2）且不与 y轴平行的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A、B，
点 B关于 x轴的对称点为 C，直线 AC与 x轴交于点 D，设 ADB和 AOB的面积分别为 S1 ， S2 ，当
S1 = 3S2 时，求 t的值．
ax
20. 已知函数 f (x) = e x 1，其中 a R ．
（1）当a =1时，求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）求函数 f ( x)的单调区间；
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（3）若函数 f ( x)有 2 个不同的零点 x1, x2 ，且 x2 x1 1，求 a的取值范围．
21. 设A是 n行 n列的数表，n 2 且 n *N ，aij表示数表第 i行第 j列的数，且aij 1,2, ,m ，i =1,2, ,n，
j =1,2, ,n．例如 是 3 行 3 列的数表，其中 a21 = 3 ．若数表 A 满足条件① a1 = j ，
j =1,2, ,n；②每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表 A具有性质 P．
（1）当n = 3时，写出一个具有性质 P的数表 A；
（2）设数表 A，B具有性质 P，若 A，B满足：若aij = akl，则bij bkl，则称 A和 B正交．
（ⅰ）当 n = 3时，写出一组正交的数表 A，B；
（ⅱ）当 n = 5时，设 A1, A2 , , Am均具有性质 P，且两两正交，求 m的最大值．
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参考答案
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B C A A C C D
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
5 r
a r 5 r a 11. 【答案】由 x + (x 0)，所以通项公式Tr+1 = C x = C
rarx5 2r ， r = 0,1, 2 ,5， 5 5
x x
1
令5 2r = 3 ，解得 r =1，所以 x3的系数为C5a = 10 ， a = 2 .
12. 【答案】由题知抛物线C : y2 = 2px( p 0) 的焦点 F到其准线的距离为 2，故 p = 2 ，
p
而点M 在C上， MF = 7，根据抛物线定义可知M 到准线的距离d = xM + = 7 ，解得 xM = 6 .
2
13. 【答案】因为角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称，故 + = + 2k ,k Z ，
2 2
所以 cos ( ) = cos (π + 2k 2α) = cos 2 = ，即 cos 2 = ，
2 2
3π 5 3π 5
故 2 = + 2kπ或 2 = + 2k (k Z)，故 = + kπ或 = + k (k Z) .
4 4 8 8
3
则 的一个取值为 （其他满足条件的均可）.
8
14. 【答案】 ①. 4 ②. 1,3
【详解】设 P (cos ,sin )，
由题意知，直线 y = x + 2 分别与 x轴 y轴交于点 A B，则 A( 2,0) ,B (0, 2 )，

所以 PA = ( 2 cos , sin )，PB = ( cos , 2 sin )；

因为 PA+ PB = ( 2 2cos , 2 2sin )，

则 | PA+ PB |= ( 2 2cos )2 + ( 2 2sin )2
= 8 4 2 (sin + cos )
π
= 8 8sin + ，
4
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π
当 sin + = 1时， PA+ PB 取得最大值，且最大值为 8 + 8 = 4.
4

PA PB = cos ( 2 cos )+ ( 2 sin )( sin )
π
=1 2 (sin + cos ) =1 2sin + ，
4
π
因为 sin + 1,1 ， PA PB的取值范围是 1,3 .
4
15. 【答案】对于①，故对于 x R ，因为 g (x) = f ( x ) f (x) ，
要使 g ( x) 0恒成立，即 f ( x ) 0 且 f (x) 0 恒成立，
那么 f (x) 0 恒成立，所以①正确；
对于②，对于 x R ， g ( x) 0恒成立，即 f ( x ) f (x) 0恒成立，
等价于 f ( x ) 0 且 f (x) 0 恒成立，
当 x 0 时， f ( x ) = f (x) 0 ，但当 x 0 时， f ( x)不一定大于0 ，
1，x 0
例如 f (x) = ，此时满足 g (x) = f ( x ) f (x) =1 1=1 0，
1，x 0
但 f ( x)不恒大于0 ，所以②错误；
sin x sin x , x 0
对于③，例如 f (x) = sin x是周期函数， g (x) = f ( x ) f (x) = sin x sin x =
sin x sin x , x 0
2 1 cos 2x 1 1
sin x = = cos 2x + , x 2kπ,π + 2kπ (k Z) 2 2 2
对于函数 y = sin x sin x = ，
1 cos 2x 1 1 sin2 x = = cos 2x , x (π + 2kπ, 2π + 2kπ)(k Z)
2 2 2
由 g ( x) = g (x)可知 g (x)是偶函数，
故画出它的图象取 y轴右边部分，再将其右边部分关于 y轴对称，即可得到 g (x)图象，
可知 g (x)不是周期函数（因为 y = sin x 不是周期函数），
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所以③错误；
对于④，由 f ( x)为偶函数，得 f ( x) = f (x) = f ( x )，
由函数 f ( x)的图象关于直线 x = a (a 0)对称得 f (x) = f (2a x)，
从而 f (x) = f (2a x) = f ( x ) = f ( 2a x )，
所以 g (2a x) = f ( 2a x ) f (2a x) = f ( x ) f (x) = g (x)，
即 g (x)的图象关于直线 x = a对称，所以④正确.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
3
16. 【答案】（1）证明见解析 （2）
9
【小问 1 详解】
设 PB的中点为G ，连接 FG,EG，
在 ABP中， F 为 AB的中点，
1
所以 FG / /AP且FG = AP，
2
1
因为 PA / /ED且DE = AP =1，
2
所以DE / /FG且DE = FG，
第8页/共8页
所以四边形DEGF是平行四边形，
所以DF / / GE ，
因为GE 平面 PBE，DF 平面 PBE，
所以DF / / 平面 PBE；
【小问 2 详解】
因为平面 PADE ⊥平面 ABCD，平面 PADE 平面 ABCD = AD，
PA / /ED， ED ⊥ AD，
所以 PA ⊥ AD， PA ⊥平面 ABCD，
因为四边形 ABCD为正方形，所以 AB, AD, AP两两互相垂直，
以 A为坐标原点， AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 P(0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，E (0,2,1)，

PC = (2,2, 2)， BP = ( 2,0,2)，BE = ( 2,2,1)，

设平面 PBE的一个法向量为 n = (x, y, z )，

n BP = 2x + 2z = 0 1
则 ，令 x =1，则 y = , z =1，
n BE = 2x + 2y + z = 0 2
1
所以平面 PBE的一个法向量为 n = 1, ,1 ，
2
设直线 PC与平面 PBE所成角为 ，

PC n 1 3
则 sin = cos PC,n = = = ，
PC n 3 92 3
2
3
所以直线 PC与平面 PBE所成角的正弦值 .
9
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1
17. 【答案】（1）cosB = （2）选条件②或③， ABC存在，周长为8+ 2 6 .
3
【小问 1 详解】
4 6 2
因为b = 2 6 ， csin2B = sin (A+ B)，所以c sin2B = b sin (A+ B)，
3 3
2
由正弦定理得 sinCsin2B = sin Bsin (A+ B)，而三角形中有 sinC = sin (A+ B)，
3
2 2
所以 sin2B = sin B，再由二倍角公式得 2sinBcosB = sinB，且 sin B 0，
3 3
1
所以 cosB = .
3
【小问 2 详解】
若选条件①： c =10 .
1
因为b = 2 6 ，由（1）可知cosB = ，所以由余弦定理可得：b2 = a2 + c2 2ac cosB，
3
2 1 2
即 24 = a +100 20a ，得3a2 20a + 228 = 0 ， = ( 20) 4 3 228 = 2336 0，
3
方程无解，所以 a边不存在，故 ABC不存在.
6
若选条件②： cosA = .
3
1 2 2
因为b = 2 6 ，由（1）可知cosB = ，所以 sin B = 1 cos2 B = .
3 3
6 3
同理 cosA = ，得 sin A = 1 cos2 A = ，
3 3
2 6 3
a b a = = 3
所以在 ABC中由正弦定理 = ，得 2 2 3 ，
sin A sin B
3
2 1
再由余弦定理b2 = a2 + c2 2ac cosB，得 24 = 9+ c 2 3c ，
3
即 c2 2c 15 = 0，解得 c = 5或 c = 3（舍去）.
所以三角形的周长 a + b + c = 3+ 2 6 + 5 = 8+ 2 6 .
若选条件③： ABC的面积为5 2 .
1 2 2
因为b = 2 6 ，由（1）可知cosB = ，所以 sin B = 1 cos2 B = ,
3 3
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1 2
由三角形面积公式 S = ac sinB = ac = 5 2 ，得 ac =15 .
2 3
再由余弦定理b2 = a2 + c2 2ac cosB，得 24 = a2 + c2 10，即 a2 + c2 = 34 .
2
所以 (a + c) = a2 + c2 + 2ac = 34+30 = 64，所以 a + c = 8 .
所以三角形的周长 a +b + c = (a + c)+b = 8+ 2 6 .
10
18. 【答案】（1）
11
（2）
X 0 1 2
1 1 1
P
6 2 3
7
，
6
（3） p1 p2
【分析】（1）根据组合数先计算抽取两人都不满意的概率，再利用对立事件求概率；
（2）由题可知 X 的可能取值为 0，1，2，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可；
（3）利用样本估计总体即可比较 p1与 p2 的大小．
【小问 1 详解】
在数据 I（ A型号）中，评分不低于 80 分的有 81，85，83，86，85，92，86，90，共 8 人；
评分低于 80 分的有 75，74，77，70，共 4 人，
C2 6 1
从 12 名消费者中随机抽取 2 人，两人都不满意的概率为 4 = = ，
C212 66 11
因为“至少 1 人满意”与“两人都不满意”是对立事件，
1 10
所以至少 1 人满意的概率 p =1 = ；
11 11
【小问 2 详解】
8 2
由（1）可知，购买 A型号扫地机器人的消费者满意的概率PA = = ，
12 3
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2 1
则不满意的概率为1 = ，
3 3
在数据 II（ B型号）中，评分不低于 80 分的有 81，87，86，85，84，92，共 6 人，
6 1 1 1
所以购买 B型号扫地机器人的消费者满意的概率PB = = ，则不满意的概率为1 = ，
12 2 2 2
X 的可能取值为 0，1，2，
1 1 1
P (X = 0) = = ，
3 2 6
2 1 1 1 2+1 1
P (X =1) = + = = ，
3 2 3 2 6 2
2 1 1
P (X = 2) = = ，
3 2 3
X 的分布列为：
X 0 1 2
1 1 1
P
6 2 3
1 1 1 1 2 7
E (X ) = 0 +1 + 2 = + = ；
6 2 3 2 3 6
【小问 3 详解】
由题可知抽取样本中，A型号不满意的有 4 人，
B型号不满意的有 6 人，
4 2 6 3
则 p1的估计值为 = ， p2 的估计值为 = ，
4+ 6 5 4+ 6 5
故 p1 p2 ．
x2 y2
19. 【答案】（1） + =1 （2） t = 1
4 2
【小问 1 详解】
x2 y2 c 2
已知椭圆 E : + =1(a b 0) ，离心率 e = = ， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，
a2 b2 a 2
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边长均为 a，
周长为 4a = 8 ，得 a = 2，因此 c = ae = 2 ， 由椭圆关系b2 = a2 c2 = 4 2 = 2，故椭圆 E的方程
x2 y2
为 + =1 .
4 2
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 y = k(x t)(k 0) ， A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) ，则C(x2 , y2 ) ，
y = k(x t)
联立直线与椭圆方程： {x2 y2 ，整理得 (1+ 2k
2 )x2 4k 2tx + 2k 2t 2 4 = 0，
+ =1
4 2
4k 2t 2k 2t2 4
由韦达定理得： x1 + x2 = , x x = ，
1+ 2k 2
1 2
1+ 2k 2
y y1 x x1 x1y2 + x2 y1
根据两点式得直线 AC的方程为 = ，令 y = 0 ，得 xD = ，
y2 y1 x x y1 + y2 1 2
将 y1 = k(x1 t), y2 = k(x2 t) 代入D点横坐标 xD，
2k 2t2 4 4k 2t
x ( 2kx t2 2 1 2 kt )+ x2 (kx1 kt ) 1+ 2k 1+ 2k
化简得 x =
2x1x2 t(x1 + x2 ) = =
4
D = 即
kx1 + kx2 2kt x + x 2t 4k
2t
1 2 t 2t
1+ 2k 2
4
D ,0 ，
t
1 1 4
S1 = S ADB = ∣DP∣ y1 y∣2 = ∣ ∣t y1 y∣2 ，
2 2 t
1 1
S2 = S AOB = ∣OP∣ y1 y∣2 = ∣∣t y1 y∣2 ，
2 2
1 4 3
由题知 S1 = 3S2 ，故 ∣ ∣t y1 y∣2 = t y1 y2 ，
2 t 2
2
化简得∣4 t∣2 = 3 t ，又 t 2，所以 4 t 2 = 3t 2 ，解得 t = 1 .
20. 【答案】（1） y = 0
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（2） a 0 时，单调递减区间为 ( ,+ )，无增区间；
ln a lna
a 0 时，单调递减区间为 ( , )，单调递增区间为 ( ,+ ) .
a a
（3） (ln 2,1) (1,+ )
【小问 1 详解】
x 0
当 a =1时， f (x) = e x 1， f (0) = e 0 1= 0，切点为 (0,0) ，
f (x) = ex 1，切线斜率 k = f (0) =1 1= 0，因此切线方程为 y = 0 .
【小问 2 详解】
f (x) = aeax 1，
当 a 0 时， aeax 0，故 f (x) = ae
ax 1 0恒成立，因此 f (x) 在 R 上单调递减，无单调递增区间；
ln a
当 a 0 时，令 f (x) = 0，得 aeax =1，解得 x = ，
a
ln a
当 x 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
a
ln a
当 x 时， f (x) 0， f (x) 单调递增；
a
综上所述， a 0 时，单调递减区间为 ( ,+ )，无增区间；
ln a lna
a 0 时，单调递减区间为 ( , )，单调递增区间为 ( ,+ ) .
a a
【小问 3 详解】
由（2）可知当 a 0 时 f (x) 单调递减，仅 1 个零点，不符合题意，故 a 0 ；
ln a 1+ ln a a
当 a 0 时，由（2）知 f (x) 最小值为 f ( ) = ，
a a
1
令 g(a) =1+ ln a a， g (a) = 1，令 g (a) = 0，解得 a =1，
a
所以当 a (0,1)， g (a) 0 ， g (a)单调递增；
当 a (1,+ )， g (a) 0， g (a)单调递减，
所以 g(a)max = g (1) = 0 ，故 g (a) 0，
故 f (x) 0，要保证 f (x) 存在两个根，则 f (x) 0且 f (x)
min min min
0，即 a 1 .
注意到对任意 a， f (0) = e0 0 1= 0，即 x = 0 恒为 f (x) 的一个零点，
第14页/共14页
因此 f (x) 有两个不同零点且 x2 x1 1等价于存在另一个零点 x2 0，且∣x∣2 1，
ln a
当0 x
a
2 1时，根据 f ( x)单调性可知，极小值点 0，且 f (1) = e 2 0，解得1 a ln 2 ；
a
ln a a
当 1 x2 0时，根据 f ( x)单调性可知，极小值点 0 ，且 f ( 1) = e 0，解得 a 1，
a
综上 a的取值范围是 (ln 2,1) (1,+ ) .
21. （1）答案见解析； （2）（i）答案见解析；（ii）4.
【小问 1 详解】
根据性质 P的定义写出如下满足题意的数表：
【小问 2 详解】
（i）根据性质 P的定义写出如下满足题意的数表：
（ii）考虑第二行第一个数，
因为 a11 =1，所以a21只能是 2,3,4,5，
若m 4 ，则对于 A1, A2 , , Am的第二行第一列至少存在两个数表使得它们的第二行第一列数字相同，
不妨设 a21 = b21 = k,k = 2,3,4,5，则必有a21 = a1k = b21 = b1k ，
与若aij = akl则bij bkl矛盾．
所以m 4．
构造：
所以 m 的最大值是 4 ．
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