资源简介

2026 北京密云高三一模
数 学
2026.3
一 选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 A ={x∣ 1 x 2},B ={x∣0 x 3}，则 A B =（ ）
A. {x∣ 1 x 3} B. {x∣0 x 2}
C. {x∣ 1 x 0} D. {x∣ 1 x 3}
2. 若复数 z =1+ 2i，则 iz + z 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
y2 x2
3. 双曲线 =1的渐近线方程为
16 9
16 9 3 4
A. y = x B. y = x C. y x D. y = x
9 16 4 3
4. 已知a,b,c R ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 若 a b,c 0，则 a + c b + c B. 若a3 b3 ，则 a b
C. 若ac2 bc2 ，则 a b D. 若 a b，则 a b
5. 已知数列 a 的前 nn 项和为 Sn ,a1 = 3,an+1 = an 2(n *N )，则 S5 =（ ）
A. 35 B. 11 C. 5 D. 35

6. 已知向量a = (2,2) ,b = (cos ,sin )( ) R ，则a b 的最小值为（ ）
A. 2 2 B. 2 C. -2 D. 2 2
4x 2x
7. 为了得到 y = 的图象，只需把函数 y = 的图象上所有点的（ ）
4x +1 2x +1
A. 横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
1
B. 横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
2
C. 纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变）
1
D. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）
2
π 1 π
8. 已知函数 f (x) = sin x + ( 0)，则“ = ”是“ f ( x)在 0, 上单调递增”的（ ）
4 2 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘 3 再加 1；若它是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→ 4 → 2 →1 .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数 6
时，根据上述运算法则得出6 → 3→10 → 5→16 → 8→ 4 → 2 →1，共需经过 8 个步骤变成 1（简称 8
步“雹 程”）.现 给 出“冰 雹 猜 想”的 递 推 关 系 如 下 ： 已 知 数 列 a 满 足 ： a1 = m(m *Nn ) ，
an
,当an为偶数时, 2
a a =1n+1 = 若 8 ，则m的所有可能取值的总个数为（ ）
3an +1,当an为奇数时.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知直线 l1 :mx + y 3m 2 = 0 与 l2 : x my + 6m 3 = 0 相交于点 P，直线 l与圆C : x
2 + y2 = 2 交

于两点 A,B，且 | AB |= 2，则 PA+ PB 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
二 填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
2
11. 若抛物线： y = 2px(p 0)的焦点在直线 x + 2y 2 = 0上，则 p等于______.
1 4
12. ( + 2x) 的二项展开式中，第 1 项是__________；常数项是__________.
x
13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，
圆筒内径长 2cm ，外径长3cm ，筒高 4cm ，中部是棱长为3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于
正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________ cm3 .
π
14. 设a,b R,c 0,2π)，若对任意实数 x，都有asin (bx + c) = 2sin 3x ，则满足条件的一组实数
4
a,b,c的值依次为__________.
15. 已知函数 f (x) =| ln | x || kx +1 .给出下列四个结论：
①当 k = 0 时， f (x) 为偶函数；
②当 k 1时，对任意 x 1，都有 f (x) 0；
③当 k 1时， f (x) 在 (0,+ )上单调递减；
④存在实数 k，使得 f (x) 有 2 个零点.
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其中正确结论的序号为__________.
三 解答题：本大题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1 ⊥平面 ABC, AB ⊥ BC, AB = BC = BB1 = 2，M ,N 分别为
A1B1, AC的中点.
（1）求证：MN ∥平面 BCC1B1；
（2）求二面角M AC B的余弦值.
17. 随着机器人的智能化 精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲 乙两台车床分别加工
某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲 乙两台车床加工的零件各
100 个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表：
等级 优等品 非优等品
甲车床加工的零件数 75 25
乙车床加工的零件数 80 20
假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计甲 乙两台车床加工的零件是优等品的概率 p,q；
（2）从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个，乙车床加工的零件中随机抽取 2 个.设 X 为这 3 个零件中优等
品的个数，估计 X 的数学期望；
（3）在某一时段内，甲 乙两台车床加工的零件数之比为 2:3，现从这些零件中随机抽取 1 个，设该零件
p + q
是优等品的概率估计值为 p ，判断 p 与 的大小.（结论不要求证明）
2
ABC a218. 在 中， = b2 + c2 + bc,b = 4 .
（1）求 A；
（2）再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在，求 ABC的面积.
1
条件①： cosB = ；
3
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3
条件②： tanC = ；
5
条件③：bcosC + ccosB = 2 7 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
x2 y2 3
19. 已知椭圆G : + =1 (a b 0)，过点 1, ，焦距为 2 3 .
a2 b2 2
（1）求椭圆G 的方程和离心率；
4 3
（2）设 F 为椭圆G 的右焦点，过点M ,0 的直线 l与椭圆G 交于不同两点 A,B（ A， B异于椭圆
3
的顶点）.判断光线 AF 经过 x轴反射后是否经过点 B？说明理由.
20. 已知函数 f (x) = x + lnx a x .
（1）当a =1时，求曲线 y = f (x)在 (1, f (1))处的切线方程；
（2）若 4 是 f ( x)的极小值点，证明此时 f ( x)的极大值小于零；
（3）若 f ( x)在定义域内单调递增，求实数 a的取值范围.
21. 已 知 集 合 Sn = X∣X = (x1, x2 , , xn ) , xi 0,1 , i =1,2, ,n (n 2) .对 于
A = (a1,a2 , ,an ) ,B = (b1,b2 , ,bn ) Sn，定义 A与 B的差为 A B = ( a1 b1 ， a2 b2 , , an bn )；
n
定义 A与 B之间的距离为d (A,B) = ai bi .
i=1
（1）若 A = (1,1,1,1) S4 ，写出所有的 B S4 ，使得d (A,B) =1；
（2）已知M = (1,1, ,1) Sn，若 A,B Sn，并且d (M , A) = d (M ,B) = 5 n，求 d (A,B)的最大
值；
（3）证明： A,B,C Sn ,d (A,B) ,d (A,C ) ,d (B,C )三个数中至少有一个是偶数.
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参考答案
一 选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C D B A B D
二 填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
11. 【答案】4
【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数 p的值.
【详解】根据题意，拋物线C 的方程为 y2 = 2px(p 0) ，其拋物线的焦点在 x轴的正半轴上，其焦点坐
p
标为 ,0 ，
2
p
又由抛物线的焦点在直线 x + 2y 2 = 0上，则有 2 = 0 ，解可得 p = 4 ．
2
故答案为： 4 .
1
12. 【答案】 ①. ②. 24
x4
1 4 0 1 4 1
【详解】 ( + 2x) 的二项展开式的第 1 项是C4 ( ) = ，
x x x4
2 1 2 2
常数项为C4 ( ) (2x) = 24 .
x
7
13. 【答案】27-
4
【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体
积.
【详解】因为圆筒内径长为 2cm，所以内圆半径 r =1cm .
3
外径长为3cm，所以外圆半径R = cm
2
上下两段圆筒总高为 4 3 =1cm，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:
V =
实心外 上下外圆柱体积+中部正方体体积
2
2 3 9 = R 1+33 = +27=27+
2 4
空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为 4cm，
V空心= r
2 4 = 12 4 = 4
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9 7
所以玉琮的体积为V =V -V =27+ -4 =27- . 实心外 空心
4 4
7π
14. 【答案】2，3， （答案不唯一）
4
【分析】利用诱导公式，结合 a,b,c的取值范围和等式恒成立可得 a,b,c的一组值.
π π 7π
【详解】因为 2sin 3x = 2sin 3x + 2π = 2sin 3x + ，
4 4 4
π
且当 a,b R,c 0,2π)时，等式 asin (bx + c) = 2sin 3x 对任意实数 x都成立，
4
7π
所以 a = 2，b = 3， c = 满足条件需求.
4
7π
故满足条件的一组实数 a,b,c的值依次为：2，3， （答案不唯一）.
4
15. 【答案】①②③
【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④.
【详解】函数 f (x) =| ln | x || kx +1的定义域为 ( ,0) (0,+ ) ，
对于①，当 k = 0 时， f (x) =| ln | x || +1， f ( x) =| ln | x || +1= f (x)， f (x) 为偶函数，①正确；
1
对于②，当 k 1, x 1时， f (x) = ln x kx +1，求导得 f (x) = k 0，
x
函数 f (x) 在 (1,+ ) 上单调递减，恒有 f (x) f (1) =1 k 0 ，②正确；
1 ln x kx,0 x 1
对于③，当 k 1, x 0时， f (x) = ln x kx +1= ，
1+ ln x kx, x 1
1 1
当0 x 1时， f (x) = k 0；当 x 1时， f (x) = k 0，
x x
函数 f (x) 在 (0,1]上单调递减，在[1,+ )上单调递减，因此 f (x) 在 (0,+ )上单调递减，③正确；
对于④，函数 f (x) =| ln | x || kx +1的零点即为方程 | ln | x ||= kx 1的根，
亦即函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1交点的横坐标，
在同一坐标系内画出函数 y =| ln | x ||的图象及直线 y = kx 1，如图：
直线 y = kx 1过定点 (0, 1) ，令 y = kx 1与函数 y = ln x相切的切点为 (x0 , ln x0 )，
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1 1
由 y = ln x

，求导得 y = ，则 k = , ln x0 = kx0 1，解得 k =1, x0 =1，
x x0
则当 k =1时，函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1有 1 个交点；
1 1
当0 k 1时，直线 y = kx 1还过点 ( ,0), 1，函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1有 1 个交
k k
点；
1 1
当 k 1时，直线 y = kx 1还过点 ( ,0),0 1，函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1有 1 个交
k k
点，
因此当 k 0 时，函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1有 1 个交点；
当 k = 0 时，函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1没有交点；
当 k 0 时，由对称性得函数 y =| ln | x ||的图象与直线 y = kx 1有 1 个交点，
所以不存在实数 k，使得 f (x) 有 2 个零点，④错误.
三 解答题：本大题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
16.【答案】（1）证明见解析 （2）
3
【分析】（1）取 BC的中点 E，连接 EB1,EN ，先证四边形 B1MNE 为平行四边形，则根据线面平行的判
定定理证明；
（2）因为BC, AB,BB1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 B xyz，利用空间向量法求二面角.
【小问 1 详解】
取 BC的中点 E，连接EB1,EN，
1
因为 E,N分别为 BC, AC 的中点，所以EN //AB,EN= AB，
2
1
又因为 BM //AB,BM = AB，所以B1M = EN ,B1M //EN1 1 ，
2
所以四边形 B1MNE为平行四边形.
所以 B1E //MN，因为MN 平面BCC1B1,B1E 平面BCC1B1，
所以MN ∥平面 BCC1B1 .
【小问 2 详解】
由题知 BB1 ⊥平面 ABC，所以BB1 ⊥ AB,BB1 ⊥ BC，
又因为 AB ⊥ BC，
所以 BC, AB,BB1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 B xyz .
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所以 B (0,0,0) ,C (2,0,0) , A(0,2,0),M (0,1,2)，

则MC = (2, 1, 2) , AC = (2, 2,0) .

根据题意平面 ABC的一个法向量是 n = (0,0,1)，设平面MAC的法向量为m = (x, y, z )，

m MC = 0, 2x y 2z = 0
则 即 ，
m AC = 0, 2x 2y = 0

令 x = 2 ，则 y = 2, z =1 .于是m = (2,2,1)，
设二面角M AC B的平面角为 ，

m n 1 1
则 cos = = ，由图可知 为锐角，所以cos = .
m n 3 3
p + q
17. 【答案】（1） p = 0.75， q = 0.8； （2）2.35 ； （3） p .
2
【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）求出 X 的可能取值，分别求出 X 的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期
望；
2 3 p + q p + q
（3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为 2:3，求出 p = p + q和 得到 p 与 的大小.
5 5 2 2
【小问 1 详解】
75
甲车床：抽取 100 个零件，优等品有 75 个，则 p = = 0.75，
100
80
乙车床：抽取 100 个零件，优等品有 80 个，则q = = 0.8 .
100
【小问 2 详解】
X 为这 3 个零件中优等品的个数， 则 X 的可能取值为0,1, 2,3，
X = 0，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个非优等品，
2
P (X = 0) = (1 0.75) C22 (1 0.8) = 0.01，
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X =1，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品 1个非优等品，
或从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个非优等品，
2
P (X =1) = (1 0.75) C12 0.8 (1 0.8)+ 0.75 (1 0.8) = 0.11，
X = 2，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个优等品，
或甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品乙车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品 1 个非优等品，
2
P (X = 2) = (1 0.75) (0.8) + 0.75 C12 0.8 (1 0.8) = 0.4 ，
X = 3，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个优等品，
2
P (X = 3) = 0.75 (0.8) = 0.48，
E (X ) = 0 0.01+1 0.11+ 2 0.4+3 0.48 = 2.35 .
【小问 3 详解】
p = 0.75,q = 0.8，
甲、乙两台车床加工的零件数之比为 2:3，
现从这些零件中随机抽取 1 个，设该零件是优等品的概率估计值为 p ，
2 3 2 3
则 p = p + q = 0.75+ 0.8 = 0.3+ 0.48 = 0.78，
5 5 5 5
p + q 0.75+ 0.8 p + q
= = 0.775， 0.78 0.775， p .
2 2 2
2π
18. 【答案】（1）
3
（2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形， ABC的面积 2 3 ；条件③：存在这
样的三角形， ABC的面积 2 3 .
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）条件①，由 cosB的值得到 B的范围，结合 A的值得到这样的三角形不存在；条件②，由 tanC的值
得到C的范围，利用同角关系式求出 sinC, cosC，利用 sin B = sin (A+C )结合两角和的正弦公式求出
sin B，利用正弦定理求出 a，利用三角形的面积公式求出 S ABC ；条件③，由bcosC + ccosB = 2 7 利
用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出 a，利用正弦定理求出 sin B，利用同角关系式求出
cos B，由 sinC = sin (A+ B)结合两角和的正弦公式求出 sinC，利用三角形的面积公式求出 S ABC .
【小问 1 详解】
a2 = b2 + c2 ， b2 + c2 a2+ bc = bc，
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1 2π
2bc cos A = bc， cos A = ， A = .
2 3
【小问 2 详解】
1 π
条件①， cosB = 0 ， B π，
3 2
2π
A = ， A+ B π，不符合题意，不存在这样的三角形；
3
3 π
条件②， tanC = 0， 0 C ，
5 2
21
sinC 3 sinC =
= 14
cosC 5 ， ，
sin2 C + cos2 C =1
5 7
cosC =
14
sin B = sin (A +C ) = sin AcosC + cos AsinC
3 5 7 1 21 21
= = ，
2 14 2 14 7
a 4
a b =
= ，b = 4 ， 2π 21 ，sin a = 2 7 ， sin A sinB
3 7
1 1 21
S ABC = absinC = 2 7 4 = 2 3 ；
2 2 14
条件③， bcosC + ccosB = 2 7
2RsinBcosC + 2RsinCcosB = 2 7 ，其中 R为 ABC的外接圆的半径，
2R (sinBcosC + sinCcosB) = 2 7 ，
2Rsin (B+C ) = 2 7 ， 2R sin A = 2 7 ， a = 2 7 ，
2 7 4
a b = 21 2 7
= ，b = 4 ， 2π sin B ， sin B = ， cosB = ，
sin A sinB sin 7 7
3
sinC = sin (A+ B) = sin AcosB + cos Asin B，
3 2 7 1 21 21
sinC = = ，
2 7 2 7 14
1 1 21
S ABC = absinC = 2 7 4 = 2 3 .
2 2 14
x2 y2 3
19. 已知椭圆G : + =1 (a b 0)，过点 1, ，焦距为 2 3 .
a2 b2 2


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（1）求椭圆G 的方程和离心率；
4 3
（2）设 F 为椭圆G 的右焦点，过点M ,0 的直线 l与椭圆G 交于不同两点 A,B（ A， B异于椭圆
3
的顶点）.判断光线 AF 经过 x轴反射后是否经过点 B？说明理由.
x2
【答案】（1） + y2
c 3 3
=1， e= = =
4 a 4 2
（2）光线 AF 经过 x轴反射后经过点 B
【分析】（1）由已知条件列出关于 a,b,c方程组求出 a,b,c即可求解.
（2）先表示过点M 的直线 l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得 y1 + y2 、 y1y2 ，计算求解
kAF + kBF = 0即可.
【小问 1 详解】
2c = 2 3

2
3
a = 2
12 2
由题可得 + =1 b =1 ，
a
2 b2
a2 = b
2 + c2 c = 3



x2
椭圆G 的方程为 + y2 =1，
4
c 3
所以椭圆的离心率 e= = .
a 2
【小问 2 详解】
如图
F为椭圆G 的右焦点， F ( 3,0)，
设 A( x1, y1 )，B (x2 , y2 )，
4 3 4 3
设过点M ,0 的直线 l的方程为 x = ty + ，
3 3
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4 3
x = ty + 2
3 4 3
将直线方程与椭圆方程联立 得 ty +
2

+ 4y = 4 ，
2
x 3+ y2 =1
4
8 3 4
展开并整理得 (t2 + 4) y2 + ty + = 0，
3 3
2
8 3 4 16 2 4
则 = t 4(t 2 + 4) = (3t 2 4) 0即 t ， 3 3 3 3
8 3 4
t
且 3 8 3t ， y y = 3
4
y + y = = = ， 1 2 2 1 2t + 4 3(t 2 + 4) t
2 + 4 3(t2 + 4)
y y y1 (x2 3 )+ y2 (x1 3 )
kAF + k =
1 + 2BF =
x1 3 x2 3 (x1 3 )(x2 3 )
4 3 4 3
y1 ty2 + 3 + y2 ty1 + 3
3
3 3 2ty y + ( y + y )
=
1 2 1 2
= 3
4 3 4 3 2 3t 1
ty1 + 3 ty2 + 3 t y1y2 + ( y1 + y2 )+
3 3 3 3
4 3 8 3t 8t 8t
2t +
3(t 2 + 4) 3 3(t 2 + 4) 3(t 2 + 4) 3(t 2 + 4
=
)
= = 0，
4t 2 8t 2 1
2 4 3t
8 3t 1
+t + + 2 2
3(t 2 + 4) 3 2 3(t + 4 ) 3
3(t + 4) 3(t + 4) 3

光线 AF 经过 x轴反射后经过点 B .
20. 【答案】（1）3x 2y 3 = 0
（2）证明过程见解析 （3） ( , 4
【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可.
（2）根据 4 是极小值点求出a，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可.
（3） f ( x)在定义域内单调递增即 f (x) 0在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
1 1
当 a =1时， f (x) = x + lnx x，则 f (1) =1+ 0 1= 0 ， f (x) =1+ ，
x 2 x
1 1 3
所以 f (1) =1+ = ，
1 2 1 2
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3
所以曲线 y = f (x)在 (1, f (1))处的切线方程为： y 0 = (x 1)，即3x 2y 3 = 0 .
2
【小问 2 详解】
1 a 2x + 2 a x
函数 f ( x)的定义域为 (0,+ )， f (x) =1+ = .
x 2 x 2x
因为 4 是 f ( x) 2 4+ 2 a 4的极小值点，所以 f (4) = 0，即 = 0，解得 a = 5 .
2 4
x 2 2 x 1
当 a = 5 时， f (x) = x + lnx 5 x 2x + 2 5 x ( )( )， f (x) = = ，
2x 2x
1
令 f (x) = 0，则 ( x 2)(2 x 1) = 0，解得 x = 4 或 x = .
4
1
当0 x 时， f (x) 0， f ( x)单调递增，
4
1
当 x 4时， f (x) 0， f ( x)单调递减，
4
当 x 4 时， f (x) 0， f ( x)单调递增，
1 1 1 1 1 9
所以 f ( x)在 x = 处取得极大值， f = + ln 5 = ln 4 0 ，
4 4 4 4 4 4
故此时 f ( x)的极大值小于零.
【小问 3 详解】
因为 f ( x)在定义域 (0,+ )内单调递增，所以 f (x) 0在 (0,+ )上恒成立，
2x + 2 a x
即 0 在 (0,+ )上恒成立.
2x
2
2x + 2 a x 0 在 (0,+ )上恒成立，也即 a 2 x + 在 (0,+ )上恒成立.
x
2 2 2
又 2 x + 2 2 x = 4 ，当且仅当 2 x = ，即 x =1时等号成立.
x x x
2
所以 a 2 x + = 4，即实数 a的取值范围为 ( , 4 .
x min
21. 【答案】（1） (0,1,1,1) ,(1,0,1,1) ,(1,1,0,1) , (1,1,1,0)
2n 10,5 n 10,
（2）
10,n 10.
（3）证明过程见解析
【分析】（1）根据距离的定义，找出满足 d (A,B) =1的 B即可；
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（2）先根据d (M , A) = d (M ,B) = 5，分析 A,B元素所满足的条件，再求 d (A,B)的最大值；
（3）首先讨论三个差 | ai bi |,| ai ci |,| bi ci | 的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证.
【小问 1 详解】
d (A,B) =1，说明 B与 A只有1个位置元素不同， A全为1，因此 B恰有 1 个位置为 0，其余为1，
则所有满足条件的 B为： (0,1,1,1) ,(1,0,1,1) ,(1,1,0,1) , (1,1,1,0)；
【小问 2 详解】
已知M = (1,1, ,1) Sn ， A = (a1,a2 , ,an ) ,B = (b1,b2 , ,bn ) Sn，
n n
d (M , A) = 1 ai = 5， d (M ,B) = 1 bi = 5，
i=1 i=1
即 A和 B中恰好各有5个分量为0 （其余为1）
设 A的0 的位置集合为 P， B的 0 的位置集合为Q ,则 P = Q = 5 ，
则 d (A,B) =10 2 P Q ，而 P Q 的最小值为max 0,10 n ，
2n 10,5 n 10,
因此 d (A,B)的最大值为10 2max 0,10 n =
10,n 10.
【小问 3 详解】
证明：
对任意位置 i，讨论三个差 | ai bi |,| ai ci |,| bi ci | 的和的奇偶性：
若 ai ,bi ,ci全相同：三个差都为0 ，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设 a = b c ，则三个差为0,1,1i i i ，和为 2 ，仍是偶数；
所有位置求和得： d (A,B) + d (A,C) + d (B,C)是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.
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