资源简介

2026 北京平谷高三一模
数 学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A ={x | x2 2x≤ 0}， B ={x | x 1}，则 A B =
（A）{x | x≥0} （B）{x | 0≤ x 1} （C）{x | x 1} （D）{x |1 x≤ 2}
（2）若复数 z满足 (1+ 2i) z = 3+ i ，则 z在复平面内的对应点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
y2
（3）已知双曲线 x2 =1的离心率是 2 ，则m=
m
（A） 3 （B）3 （C） 2 （D） 3
b a
（4）若 a,b R ，则“ a b 0 ”是“ ”的
a b
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）如图，正方形 ABCD的边长为1，延长 BA至 E，使 AE =1，连
接 EC、ED则 sin CED =
3 10 10
（A） （B）
10 10
5 5
（C） （D）
10 15
2x
（6）已知函数 f (x) = a ，将函数 f (x) 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 3 倍，得
到函数 g(x) 的图象，再将 g(x) 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象恰好与函数 f (x) 的图象重合，则 a
的值是
1 3
（A）3 （B） （C） 3 （D）
3 3
x + 2, x a,
（7）设 a 0 ，函数 f (x) = 若 P(x1, f (x1)) (x1 a)， 2 2
a x , a x a.
Q(x2 , f (x2 )) (x2 a) ．当 | PQ |存在最小值时， a的取值范围是
1 1 2 1
（A） (0, ] （B） (0,1) （C） ( , ] （D） ( ,1]
2 2 2 2
3
（8）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，若 [ , ].把角 的终边绕端点O 逆时针方向
4 4
第1页/共11页
旋转 弧度，这时终边对应的角是 ，则 cos
2 2
（A）有最小值 1 （B）有最小值 （C）有最大值 （D）有最大值1
2 2
（9）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用. 科学研究表明，
t

臭氧含量Q与时间 t（单位：年）的关系为Q =Q0e
a，其中Q0 是臭氧的初始含量， a为常数. 经过测算，
如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 280 年将有一半的臭氧消失.按照这样变化规
律，若经过 n年，臭氧含量只剩下初始含量的 20%，n约为
（参考数据： ln 2 0.7 ， ln10 2.3）
（A） 448 （B）392 （C）360 （D）640

（10）在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A,B 满足 OA = OB =OA OB = 2, 则点集

{P |OP = OA+ OB, 1 1,0 1, , R}所表示的区域的面积是（ ）
（A）8 （B） 2 3 （C） 4 （D）4 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
5
(11)在 ( x 2) 的展开式中， x的系数为_______________
2 2 2
(12)已知直线 x = 2与圆C：(x a) + (y b) = r (r 0) 相切，并且圆C 过（2,0）点，则 r的最小值是
______________
(13)无人机表演团队，把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知 10 架飞机飞行的高度
（单位：米）从低到高构成项数为 10 的数列{an}，该数列的前 4 项成等比数列，后 7 项成等差数列，且
a1 = 5 ， a4 =135， a9 =150，则 a7 = __________;数列{an}所有项的和为___________.
（ 14 ） 如图，在一个五面体 ABCDEF 中，其中面 ABCD 为矩
形． AB = 6 ， BC = 3 ， EF // 平面 ABCD ， EF = 4 ，且 EF 与平面
ABCD的距离为 5 ，则该五面体 ABCDEF 的体积为_________________
（15）在平面内，点 P(x, y) 位于定直线 x = 2 的右侧，点 P 到点
F (2,0)的距离与到直线 x = 2的距离之积为 4．
给出下列四个结论：
① 点 P过坐标原点O；
② 2 x 2 2 ；
第2页/共11页
③ 若点 P在第一象限内， y的最大值为1；
④ 点 P经过 3 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
1
在△ ABC中， acosB b = c， a = 7 ．
2
（Ⅰ）求 A的大小；
（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ ABC存在，并求出 AC边上的高线的长度．
条件①：b = 3；
条件②： asin B = 4 3 ；
3 3
条件③： sinB = ．
14
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分．
（17）（本小题 14 分）
如图，在三棱台 ABC A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 为直角梯形， A1A ⊥ AC ，平面 A1ABB1 ⊥ 平面
A1ACC1 ，N为 AB的中点， AB = AC = AA1 = 2, A1C1 =1
（Ⅰ）求证： A1N //平面B1BCC1；
（Ⅱ）求直线 BC与平面 A1NC1所成的角的正弦值；
（18）（本小题 13 分）
根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生 50 米跑单项等级如下（单位：秒）：
50 米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 7.3及以下 8.0及以下
良好 7.4 ~ 7.5 8.1 ~ 8.6
及格 7.6 ~ 9.5 8.7 ~10.6
不及格 9.6及以上 10.7 及以上
第3页/共11页
从某校高一男生和女生中各随机抽取15 名同学，将其 50 米跑测试成绩整理如下：
男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8
女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）估计该校高一男生 50 米跑单项及格及以上的概率；
（Ⅱ）从该校高一男生和女生中各随机抽取 2人，估计 4人中恰有 2人50 米跑单项等级是优秀的概率；
（Ⅲ）通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有 15%的男生达到良好及
以上的成绩，又有 25%的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的优秀率分别为
P1， P2 ，判断 P1， P2 的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
x2 y2 2
已知椭圆 E : + =1(a b 0) 的离心率为 ，右顶点为 A，左焦点为 F ，
a2 b2 2
且 AF = 2+ 2 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的标准方程；
（Ⅱ）点 B(x0 , y0 )在椭圆 E上，且点 B在第一象限内，直线 l : x0x + 2y0 y 4 = 0，过点 A且平行于 l的
直线交 y轴于点Q，直线 AB交 y轴于点 P，点M 为线段 PF 的中点，求证：PF ⊥MQ．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex( ln x a).
（Ⅰ）当 a = 0 ，求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若 a = 2，求函数 f (x) 极值点的个数；
（Ⅲ）若对任意的实数 x [1,+ )， f (x) ≥ 1恒成立，求实数 a的取值范围.
（21）（本小题 15 分）
a11 a12
设 数 阵 A0 = ， 其 中 a11,a12 ,a21,a22 {1,2, ,6} ． 设 S = {e1,e2 , ,el} {1,2, ,6} ， 其 中
a21 a22
e1 e2 e
* l 6
l， l N 且 ≤ ．定义变换 k 为“对于数阵的每一行，若其中有 k 或 k ，则将这一行中
每个数都乘以 1；若其中没有 k 且没有 k ，则这一行中所有数均保持不变”（ k = e1,e2 , ,el ）． S (A0 ) 表
示“将 A0 经过 e 变换得到 A1，再将 A 经过 1 e 变换得到 A2 ，… ，以此类推，最后将 A l 1 经过 e 变换得到1 2 l
Al”，记数阵 Al中四个数的和为TS (A0 )．
第4页/共11页
1 2
（Ⅰ）若 A0 = ，写出 A 经过 3变换后得到的数阵 A； 0 1
3 5
1 3
（Ⅱ）若 A0 = ， S = {1,2,4}，求TS (A0 )的值；
4 4
（Ⅲ）对任意确定的一个数阵 A0 ，证明：TS (A0 )的所有可能取值的和不超过 4．
第5页/共11页
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）A （ 2 ）D （ 3 ）B （ 4 ）A （ 5 ）B
（ 6 ）C （ 7 ）B （ 8 ）B （ 9 ）D （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 80 （12）2
（13）144 1073 （14） 40
（15）① ② ④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，
1
因为 acosB b = c ,
2
1
所以由正弦定理可得 sin AcosB sinB = sinC. ……………2 分
2
因为 A + B +C = ，
所以 sinC = sin(A + B) = sin AcosB + cos Asin B . ……………4 分
1
所以 sin B = cos AsinB .
2
在△ABC中， sin B 0，
1
所以 cos A = ， A (0, )
2

所以 A = ． ……………7 分
3
（Ⅱ）选条件①：
2 2 2 2
由余弦定理 a2 = b2 + c2 2bccos A，得7 = 3 + c 2 3 c cos ……………9 分
3 ，
即 c2 + 3c 40 = 0 ，解得： c = 5 ，……………11 分
3 5 3
则 AC边上的高线 h = csin( A) = 5 = ．……………13 分
2 2
选择③：
3 3
因为 sin B = ，且 B为锐角，
14
第6页/共11页
2

2 3 3 13
则 cosB = 1 sin B = 1 = ，……………9 分
14 14
2π 2π 2π
sinC = sin (A+ B) = sin + B = sin cosB + cos sin B
3 3 3
3 13 1 3 3 5 3
= + = ,……………11 分
2 14 2 14 14
5 3 5 3
则 AC边上的高线 h = a sinC = 7 = ．……………13 分
14 2
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）
法一：取 BC的中点M ，连接C1M .
AC
由M ,N 分别是 BC,BA的中点，根据中位线性质，MN // AC ，且MN = =1，
2
由棱台性质， A1C1 // AC，于是MN // A1C1 ，由MN = A1C1 =1可知，四边形MNA1C1是平行四边形，
则 A MC1N // 1，……………3 分
又 A1N 平面C1MA，MC1 平面 B1BCC1，于是 A1N //平面 B1BCC1 .……………5 分
法二：在三棱台 ABC A1B1C1中，N为 AB的中点， A1B1 //NB，所以 A1B1=NB，所以四边形 A1B1BA
为平行四边形，……………3 分
A1N //BB１， BB１ 平面 B1BCC1，又 A1N 平面 B1BCC1，于是 A1N //平面B1BCC1 ……………5 分
（Ⅱ）平面 A1ABB1 ⊥平面 A1ACC1 ，平面 A1ABB1 平面 A1ACC1=AA1 ， A1A ⊥ AC，
AC 平面 A ACC AB 1 1 ，所以 AC ⊥平面 A1ABB1 ， 平面 A1ABB1 ， AC ⊥ AB， A1A ⊥ AB，如图建
立空间直角坐标系 A xyz，……………7 分

则 B(2, 0, 0) ， C(0, 2, 0) ， C1 (0,1, 2) ， N (1, 0, 0) ， A1(0, 0, 2) ， BC = ( 2, 2, 0) ， A1N = (1, 0, 2) ，

A1C1 = (0,1, 0) ． ……………9 分
设平面 A1NC1的法向量为m = (x, y, z) ，

m A1N = 0, x 2z = 0,
则 即
m AC = 0, y = 0. 1 1
令 x = 2 ，则 y = 0 ， z =1．于是m = (2, 0,1) ．
……………11 分

m BC 10
设直线 BC与平面 A1NC1所成的角为 ，所以 sin =| cos m, BC |= = ．
|m || BC | 5
第7页/共11页
10
故直线 BC与平面 A1NC1所成的角正弦值为 ． ……………14 分
5
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）
样本中 50 米跑单项等级获得优秀的男生人数为 5 ，获得良好的男生人数为 5 ，获得及格的男生人数为1，
11
所以估计该校高一男生 50 米跑单项的及格及以上的概率 ； ……………3 分
15
（Ⅱ）记 4人中恰有 2人50 米跑单项等级是优秀的事件为 B
记“高一男生 50 米跑单项等级是优秀”为事件C1 ；
“高一女生 50 米跑单项等级是优秀”为事件C2 ；
其中C1,C2 是独立事件
1 2
由（Ⅰ）得 P(C1) = ； P(C2 ) = ．……………5 分
3 5
记 2名50 米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 D1
2 2
2 2 1 2 1P(D1) = [P(C1)] [1 P(C2 )] = 1 = ……………6 分
3 5 25
记 2名50 米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 D2
2 2
2 2 1 2 16P(D2 ) = [1 P(C1)] P(C2 ) = 1 = ……………7 分
3 5 225
记 2名50 米跑单项等级是优秀的人 1名是男同学 1 名是女同学的事件为 D3
1 1 2 2 48
P(D3 ) = [C
1
2P(C1) (1 P(C1)] [C
1
2P(C2 ) (1 P(C2 )] = 2 1 2 1 =
3 3 5 5 225
……………8 分
9 16 48 73
则 P(B) = P(D1) + P(D2 ) + P(D3) = + + = ． ……………10 分
25 225 225 225
（Ⅲ） P1 P2 ． ………13 分
（19）（本小题 15 分）
a + c = 2+ 2

c 2
解：（Ⅰ）由题意由题意 = ，（一个式子 1 分，共 3 分）
a 2
a
2 = b2 + c2 y

a2解得 = 4， b2 = 2 . P
B
Q l
F A x
第8页/共11页
x2
2
y
所以椭圆 E的方程为 + =1. ……………5 分
4 2
（Ⅱ）依题意， A(2,0)，
x 2 y 2
因为点 B是椭圆上一点，可得 0 + 0 =1，且 x0 0, y0 0
4 2 ，
x x
直线 l : x 0 AQ 00x + 2y0 y 4 = 0 k = 直线 的方程为 y = (x 2)， 的斜率 2y 2y0 ， 0
……………6 分
x
令 x = 0 ，得Q(0, 0 ) . ……………7 分
y0
y y
直线 AB k = 0 直线 AB y = 0 (x 2)
的斜率为 AB x 2 ， 的方程为 x0 20 ，
2y
令 x = 0 ，得 P(0, 0 ) . ……………8 分
x0 2
法一：
2 x0 2 2y
2 + x2 4 2
F ( 2,0) |QF | = 2 + ( ) = 0 0 = = ， ……………11 分
2 2
因为 ， y0 y0 y0 y0
2y x 2y2 x2 + 2x20 0 0 0 0 | 4+ 2x0 2| PQ |=| |=| =| |= ， ……………14 分
x0 2 y0 (x0 2)y0 (x0 2)y0 y0
所以 |QF |=| PQ |，所以三角形 PFQ为等腰三角形，因为点M 为底边PF 的中点，所以
PF ⊥MQ ……………15 分
法二：
2y0
y +y x 2 y
点M 为线段 PF 的中点， yM =
P F = 0 = 0 ，
2 2 x0 2
2 y
所以M ( , 0 ) ， ……………10 分
2 x0 2
x0 y
2
0 x0 2x0 + y
2
+ 0
y
所以 k = 0
x0 2 y0 (x0 2) x0 2
MQ = = ， ……………12 分
2 2 2y
0 ( ) 0
2 2
2y
k = 0 ，所以 kMQ kPF = 1，所以PF ⊥MQ。 ……………14 分 PF
2(x0 2)
所以 |QF |=| PQ | M PF，所以三角形 PFQ为等腰三角形，因为点 为底边 的中点，所以
PF ⊥MQ ……………15 分
第9页/共11页
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当 a = 0 时， f (x) = ex ln x，
x x 1所以 f (x) = e ln x + e . ………………1 分
x
所以 f (1) = 0 ， f (1) = e . ………………2 分
曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y 0 = e(x 1) ，化简得 y = ex e.
……………4 分
1
（Ⅱ）由 f (x) = ex x(ln x 2) ，得 f (x) = e (ln x + 2)， ……………5 分
x
1 1 1 x 1
令 h(x) = ln x + 2 ，则 h (x) = = .
x x x2 x2
当 0 x 1时， h (x) 0 ，当 x 1时， h (x) 0，
所以 h(x) 在区间 (0,1) 上是减函数，在区间 (1,+ )上是增函数.……………6 分
所以 h(x) 的最小值为 h(1) =1 2 = 1 0 . ………………7 分
h(e 2 ) = 2 + e2 2 = e2 4 0， h(e2 ) = e 2 0，
又 h(x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+ )单调递增，
故存在 x1 (0,1)，使得 h(x1) = 0，
所以，在区间 (0, x ) 上 f (x) 01 ，在区间 (x ,1) 上 f (x) 01 .
所以，在区间 (0, x f (x) f (x)1) 上 单调递增，在区间 (x1,1) 上 单调递减，
故 x = x1是函数 f (x) 的极大值点. ………………8 分
同理：存在 x (1,e2 ) ，使得 h(x2 ) = 02 ，
所以，在区间 (1, x f (x) 0 f (x) 02 )上 ，在区间 (x2 ,+ ) 上 .
所以，在区间 (1, x f (x)2 )上 单调递减，在区间 (x2 ,+ ) 上 f (x) 单调递增，
故 x = x2 是函数 f (x) 的极小值点. ………………9 分
综上：函数 f (x) 极值点有 2个.
（Ⅲ）对任意的实数 x [1,+ )， f (x) ≥ 1恒成立，等价于 f (x) 的最小值大于或
等于 1.………………10 分
1
由 xf (x) = ex (ln x a) ，得 f (x) = e (ln x + a) ，
x
1 1 1 x 1
令 h(x) = ln x + a，则 h (x) = = .
x x x2 x2
当 0 x 1时， h (x) 0 ，当 x 1时， h (x) 0，
所以 h(x) 在区间 (0,1) 上是减函数，在区间 (1,+ )上是增函数.
所以 h(x) 的最小值为 h(1) =1 a .………………11 分
第10页/共11页
① 当 a≤1时， h(1) =1 a≥ 0，由（Ⅱ）得 h(x) ≥ 0，所以 f (x) ≥ 0.
所以 f (x) 在[1,+ ) 上单调递增，
所以 f (x) 的最小值为 f (1) = ae .
1
由 ae ≥ 1，得 a≤ ，满足题意. ………………13 分
e
② 当 a 1时， f (x) 在 (1,+ ) 上单调递减，
所以在 (1,+ )上 f (x) ≤ f (1) = ae < e，不满足题意.………………14 分
1
综上所述，实数 a的取值范围是 ( , ] . ………………15 分
e
（21）（本小题 15 分）
1 2
解：（Ⅰ） A1 = ． ……………… 4 分
3 5
1 3 1 3
（Ⅱ） A0 = 经 S 变换后得 ，
4 4 4 4
故TS (A0 ) = 1 3 4 4 = 12 ． ……………… 9 分
4
（Ⅲ）若 a11 a12 ，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有 a 且不含 a 211 12 的子集共 个，经过变
24换后第一行均变为 a11, a12 ；含有 a12 且不含 a11 的子集共 个，经过变换后第一行均变为
4
a11, a12 ；同时含有 a11 和 a12 的子集共 2 个，经过变换后第一行仍为 a11,a12 ；不含 a11 也不
4
含 a12 的子集共 2 1个，经过变换后第一行仍为 a11,a12 ．
所以经过变换后所有 Al的第一行的所有数的和为
24 ( a a ) + 24 ( a a ) + 24 (a + a ) + (24 1) (a + a ) = a a11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 ．
5
若 a11 = a12 ，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有 a11 的子集共 2 个，经过变换后第一行
5
均变为 a11, a12 ；不含有 a11的子集共 2 1个，经过变换后第一行仍为 a11,a12 ．
所以经过变换后所有 Al的第一行的所有数的和为
25 ( a11 a12 ) + (2
5 1) (a + a ) = a11 a11 12 12 ． ……………… 12 分
同理，经过变换后所有 Al的第二行的所有数的和为 a21 a22 ．
所以TS (A0 )的所有可能取值的和为 a11 a12 a21 a22 ，
又因为 a11,a12 ,a21,a22 {1,2, ,6}，
所以TS (A0 )的所有可能取值的和不超过 4． ……………… 15 分
第11页/共11页

展开更多......

收起↑