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2026北京石景山高三一模
数 学
本试卷共 7 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = {x | 2 x 2}， B = {x | 1≤ x 3}，则 A B =
（A）{x | 2 x 3} （B）{x | x 2}
（C）{ x | 1≤ x 3} （D）{x | x 3}
（2）已知 z = 2 i，则 z(z + i) =
（A） 6 2i （B） 4 2i （C） 6 + 2i （D） 4+ 2i
（3）下列函数中，是偶函数又在 [0,1]上单调递减的是
（ ） y = x （ ） 2 xA B y = | x | （C） y = x （D） y = 2
（4）设 a ,b为单位向量，且 | a + b |=1，则 | a b |=
3
（A） （B）1 （C） 3 （D） 2
2
（5）如图，在正方体中， O 为底面的中心， P 为所在棱的中点， M ,N 为正方体的顶点．则满足
MN ⊥OP的是
N
N N
N
M
P
P
P
P
M
O
O O O
M M
（A） （B） （C） （D）
（6）直线 2 2l : x + y = 0与圆C : x + y + 4x 1= 0相交于 A,B两点，则 | AB |=
（A） 3 （B） 2 3 （C） 2 （D） 4
（7）数列{an}为各项均为正数的等比数列， k , l , s , t为正整数，则“ k + l s + t”是“ ak al as at”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x2
（8）已知 A(0,1) ,B(2,2) ，点C在曲线 y2 =1(x≥ 2, y≥0)上，则△ABC的面积
4
（A）有最大值，无最小值 （B）无最大值，有最小值
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（C）有最大值，有最小值 （D）无最大值，无最小值
（9）设 a = log0.3 0.2,b = log2 0.2，则
（A） a + b 0 ab （B） ab 0 a + b
（C） a + b ab 0 （D） ab a + b 0
y x
（10）在平面直角坐标系中，当 P(x , y)不是原点时，定义 P的“对应点”为 P ( , ) ，当 P是
x2 + y2 x2 + y2
原点时，定义 P的“对应点”为它自身；将曲线C上所有点的“对应点”构成的曲线C 定义为曲线
C的“对应曲线”．现有下列命题：
①若点 A的“对应点”是点 A ，则点 A 的“对应点”是点 A；
②单位圆的“对应曲线”是它自身；
③直线的“对应曲线”一定是直线.
其中正确命题的个数是
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2
（11）若 ( x )n的展开式的二项式系数和为 32 ，则 2n =_______， x 的系数为_______．
x
（12）已知抛物线 y2 = 2px (p 0)上一点M (1,m) 到其焦点的距离为 5 ，则该抛物线的准线方程为_______．
1
（13）已知 sin = ,cos( + ) = 1，则 sin(2 + ) = _______．
3
x +1, x [ 1,a), 1
（14）设函数 f (x) = 当 a = 0 时， f (x) 的值域为_______；若方程 f (x) = 0 有两个不
ax +1, x [a ,3]. 2
同的解，则实数 a的一个取值可以是_______．
2 1
（15）已知 S n为数列{an}的前 n项和，记Tn = S1S2S3 S n (n =1,2, ) ，且满足 + = 2 ．给出下列四
S n Tn
个结论：
①{an}的第 2 项小于 0 ；
②{an}为等比数列；
③{an}为递减数列；
1
④当m≥ 2时，存在 am 0 ．
100
其中所有正确结论的序号是_______．
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = 2 3 sin xcos x + sin2 x cos2 x .
（Ⅰ）求 f (x)的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中， f (A) = 2,b = 3,c = 2 ，若 A的平分线交 BC于 D，求 AD的长.
（17）（本小题 14 分）
如图，在三棱锥 A BCD中，△ABD为等边三角形，G ,E ,F分别
A
是 BD , AC , AD的中点． AB = 2,CD =1,BC = 5 ， BC与平面GEF 交于
点 H ．
F
（Ⅰ）求证： H 是 BC的中点；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 E
AC 与平面GEF 所成角的正弦值．
B DG
条件 ①：平面 ABD⊥平面 BCD；
H
条件 ②： AC = 5 ． C
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值(单位： L )划分为如下 6 个等级：
肺活量(单位： L ) 小于 2.0 [2.0 , 2.5) [2.5,3.0) [3.0,3.5) [3.5, 4.0) 4.0 及以上
等级 1 2 3 4 5 6
某校为研究高三年级男生1000 米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与
肺活量等级 频数
肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100 名高三年级男生作为研究对象，记录
1 14
他们的长跑成绩与肺活量等级,整理得到如下统计图与统计表.
2 12
频率
0.35 3 8
0.3
4 4
0.2
5 2
0.1 6 0
0.05
合计 40
1 2 3 4 5 6 肺活量等级
长跑成绩达标组 长跑成绩未达标组
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（Ⅰ）从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为 3的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立．从该校全
体高三年级男生中肺活量等级为 4 的学生中随机选取 2 人，肺活量等级为 2 的学生中随机选取1人，
设这 3人中长跑成绩达标的人数为 X ，估计 X 的数学期望 EX ；
（Ⅲ）研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：
选取常数 N = n + 0.5 (n *N )，若一名高三年级男生的肺活量等级大于 N ，则判断其长跑成绩达标；
若肺活量等级小于 N，则判断其长跑成绩未达标．
从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标．写出使得判断错误的概
率最小的 N的值（只需写出结论）．
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex ax2 x .
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f (x)是R 上的单调递增函数，求 a的值；
（Ⅲ）若存在 x0 0，使得 f (x0 ) 1成立，求 a的取值范围．
（20）（本小题 15 分）
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0)的左顶点为 A( 2 ,0) ，离心率为 .
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
10
（Ⅱ） B为椭圆 C 的右顶点， P为椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点，直线 AP ,BP分别与直线 x = 交于
3
M ,N 两点，直线 BM 与椭圆C的另一个交点为Q .
求证：① BM ⊥ BN ；②直线 PQ恒过定点.
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（21）（本小题 15 分）
1
已知集合 *A ={a1 ,a2 , ,ak}(k≥ 2) ，其中 ai N (i =1,2, ,k) ，若对于任意的 a A，总有 A，则
a
称集合 A具有性质 P．由 A中的元素构成两个相应的集合：
a
S ={(a ,b) | a A,b A,ab A} , T ={(a ,b) | a A ,b A , A}，
b
其中 (a ,b)是有序数对，集合 S和T 中的元素个数分别为m和 n．
（Ⅰ）检验集合{2,3,6}与{1, 2 , 4}是否具有性质 P，并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合 S和T ；
k(k 1)
（Ⅱ）对任何具有性质 P的集合 A，证明： n≤ ；
2
（Ⅲ）判断m和 n的大小关系，并证明你的结论．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）C （3）B （4）C （5）C
（6）B （7）D （8）A （9）D （10）B
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1
（11） 5 , 80 （12） x = 4 （13）
3
1
（14）[0,1] （答案不唯一） （15）①④
2
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
π
解：（Ⅰ） f (x) = 3sin 2x cos2x = 2sin(2x )，
6
2π
所以 f (x)的最小正周期为T = = π .
2
π π
函数 y = sin x的单调递增区间为[2kπ , 2kπ + ](k Z) ．
2 2
π π π π π
由 2kπ ≤ 2x ≤ 2kπ + (k Z)，得 kπ ≤ x≤ kπ + (k Z) .
2 6 2 6 3
π π
所以 f (x)的单调递增区间为 [kπ ,kπ + ] (k Z) . 【6 分】
6 3
π π
（Ⅱ）因为 f (A) = 2，所以 2sin(2A ) = 2， sin(2A ) =1，
6 6
π π π
因为 A (0,π) ，所以 2A = ， A = .
6 2 3
π
因为 AD为 A的平分线，所以 CAD = BAD = ，
6
根据 S△ACD + S△ABD = S△ACB，
1 1 1
有 AC AD sin CAD + AB AD sin BAD = AC AB sin CAB，
2 2 2
1 1 1 1 1 3 6 3
即 3 AD + 2 AD = 3 2 ，解得 AD = . 【13 分】
2 2 2 2 2 2 5
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）在三棱锥 A BCD中，
因为 E ,F 分别是 AC , AD中点，所以 EF // CD .
因为CD 平面GEF ，且 EF 平面GEF ，所以CD // 平面GEF ．
因为平面GEF 平面 BCD = HG，所以CD // HG．
因为G 是 BD中点.
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所以 H 是 BC中点． 【6 分】
（Ⅱ）选条件①：平面 ABD⊥平面 BCD．
连结 AG，
因为△ABD为等边三角形，G 是 BD中点，
所以 AG ⊥ BD .
因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD 平面 BCD = BD，
又 AG 平面 ABD，
所以 AG ⊥平面 BCD .
因为HG 平面 BCD，所以 AG ⊥ HG .
因为 BD2 +CD2 = BC 2 ，所以CD ⊥ BD．
所以HG ⊥ BD .
如图建立空间直角坐标系G xyz，
1 3 1
则G(0,0,0), A(0,0, 3),C(1,1,0),D(0,1,0),F(0, , ) ,H ( ,0,0) .
2 2 2
→ → 1 3 → 1
所以 AC = (1,1, 3) ，GF = (0, , ) ，GH = ( ,0,0)．
2 2 2
设平面GEF 的法向量为m = (x, y, z) ，

→ 1 3
m GF = 0, y + z = 0,
则 即 2 2
→
1
m GH = 0,
x = 0.
2
令 y = 3 ，则 z = 1．于是m = (0, 3 , 1) ．
设直线 AC 与平面GEF 所成角为 ，则
→
→ |m AC | 15
sin =| cos m, AC |= = ． 【14 分】
→ 5
|m || AC |
选条件②： AC = 5 ．
z
因为 AC 2 = CD2 + AD2 ，
A
所以CD ⊥ AD .
因为 BD2 +CD2 = BC 2 ， F
所以CD ⊥ BD． E
又因为 AD BD = D，
B D y
所以CD ⊥平面 ABD . G
H
因为 AG 平面 ABD ,所以CD ⊥ AG . C
因为CD // HG，所以 AG ⊥ HG，HGx⊥ BD .
因为△ABD为等边三角形，G 是 BD中点，
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所以 AG ⊥ BD ,
以下同条件①如图建立空间直角坐标系G xyz .
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，在100名研究对象中，肺活量等级为 3且长跑成绩达标的人数为 6 ，肺活量
等级为 3且长跑成绩不达标的人数为8，因此肺活量等级为 3的总人数为 6 + 8 =14 .因此，从
14 7
100名研究对象中随机选取1人，此人肺活量等级为 3的概率为 = ． 【3
100 50
分】
（Ⅱ）设事件 A为“从该校高三年级男生中肺活量等级为 4 的学生中随机选取一人长跑成绩达标”，
事件 B为“从该校高三年级男生中肺活量等级为 2 的学生中随机选取一人长跑成绩达标”．
12 3 3 1
根据题中数据， P(A)估计为 = ， P(B) 估计为 = ．
16 4 15 5
根据题意，随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3 ，且
P(X = 0) = P(AAB) = (P(A))2P(B)；
P(X =1) = P(AAB + AAB + AAB) = C12P(A)P(A)P(B) + (P(A))
2P(B) ；
P(X = 2) = P(AAB + AAB + AAB) = C12P(A)P(A)P(B) + (P(A))
2P(B)；
P(X = 3) = P(AAB) = (P(A))2P(B) ．
1 5
所以， P(X = 0) 估计为 ； P(X =1)估计为 ；
20 16
21 9
P(X = 2)估计为 ； P(X = 3)估计为 ．
40 80
1 5 21 9 17
所以， EX 估计为 0 +1 + 2 + 3 = ． 【11 分】
20 16 40 80 10
（Ⅲ） N = 3.5 . 【13 分】
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）根据题意， f (x) = ex 2ax 1， f (0) = e0 2a 0 1= 0 ，
f (0) = e0 2a 0 0 =1，
所以，所求切线方程为 y =1. 【4 分】
（Ⅱ） f (x) = ex 2ax 1，令 g(x) = ex 2ax 1， g (x) = ex 2a，
① 当 a≤ 0时， g (x) 0， g(x) 在 ( ,+ ) 上单调递增，又 g(0) = 0，
所以当 x ( ,0) 时, g(x) 0 ，当 x (0,+ ) 时， g(x) 0 .
所以 f (x)的单调增区间为 (0,+ )，单调减区间为 ( ,0)，不符合题意；
② 当 a 0 时，令 g (x) = ex 2a = 0 ，解得 x = ln 2a，
所以，当 x ( , ln 2a) 时， g (x) 0；当 x (ln 2a ,+ ) 时， g (x) 0 ；
所以， g(x)在 ( , ln 2a) 上单调递减，在 (ln 2a ,+ ) 上单调递增.
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所以，当 x = ln 2a时， g(x)有最小值 g(ln 2a) = 2a 2a ln 2a 1，
所以，当 f (x)在R 上单调递增时，有 g(ln 2a) = 2a 2a ln 2a 1≥ 0 ，
1
令 h(a) = 2a 2a ln 2a 1， h (a) = 2ln 2a = 0 ，得 a = .
2
1 1
所以 a (0 , )时, h (a) 0 ; a ( ,+ ) 时, h (a) 0 .
2 2
1 1
所以 h(a) 在 (0 , ) 上单调递增，在 ( ,+ ) 上单调递减.
2 2
1 1
所以 h(a)≤ h( ) = 0 ，所以 h(a) = 0 ，即 a = .
2 2
1
综上所述 a的值为 . 【9 分】
2
（Ⅲ）法 1：由已知可得当 x (0 ,+ ) 时，
1
① 当 a≤ 时，由（Ⅱ）知 g (x) = e
x 2a x≥ e 1 0 ；
2
所以 g(x)在 (0 ,+ ) 单调递增，所以 f (x) = g(x) g(0) = 0，
所以 f (x)在 (0 ,+ ) 单调递增，
所以 x 0， f (x) f (0) =1，不合题意；
1
② 当 a 时， ln 2a 0 ，
2
因为 g(x)在 ( , ln 2a) 上单调递减， g(0) = 0
所以当 x (0, ln 2a)时， g(x) 0
所以 f (x)在 (0, ln 2a) 上单调递减，又 f (0) =1
所以存在 x0 (0,+ ) ， f (x0 ) 1成立.
1
综上所述 a的取值范围是 ( ,+ ) . 【15 分】
2
（Ⅲ）法 2：由已知可得当 x (0 ,+ ) 时，
1
① 当 a≤ 时， f (x) = e
x 2ax 1≥ e
x x 1，
2
设u(x) = ex x 1(x 0) ，则u (x) = ex 1 0，
所以 u(x)在 (0,+ )单调递增.
u(x) u(0) = 0 , f (x) 0 ;
所以, f (x)在 (0 ,+ ) 上单调递增，
所以 x 0， f (x) f (0) =1，不合题意；
1
② 当 a 时， ln 2a 0 ，
2
因为 g(x)在 ( , ln 2a) 上单调递减， g(0) = 0
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所以当 x (0, ln 2a)时， g(x) 0
所以 f (x)在 (0, ln 2a) 上单调递减，又 f (0) =1
所以存在 x0 (0,+ ) ， f (x0 ) 1成立.
1
综上所述 a的取值范围是 ( ,+ ) . 【15 分】
2
（20）（共 15 分）
a = 2

c 3
解：（Ⅰ）由已知可得 e = = ，解得 b =1， c = 3 .
a 2

c
2 = a2 b2
x2
故椭圆C的方程为 + y2 =1. 【5 分】
4
（Ⅱ）① 由已知得 B(2,0) .
设 2 2P(x , y ) ,则 x1 + 4y = 41 1 1 ，
y y
所以 k 1AP = ,k =
1 ，
BP
x1 + 2 x1 2
y
所以直线 AP的方程为 y = 1 (x + 2) ，
x1 + 2
y
所以直线 BP的方程为 y = 1 (x 2) .
x1 2
10 16y1 4y令 x = ，得 y ， 1 . M = yN =
3 3(x1 + 2) 3(x1 2)
→ 4 16y →1 4 4y因为 BM = ( , )， BN = ( , 1 ) ，
3 3(x1 + 2) 3 3(x1 2)
→ → 2 216 64y1 16 64y所以 BM BN = + = + 1 = 0，
9 9(x21 4) 9 36y
2
1
所以 BM ⊥ BN . 【10 分】
② 当直线 PQ的斜率存在时，设其方程为 y = kx +m .
x2 2
+ y =1,
由 4

y = kx + m
化简得 (4k 2 +1)x2 + 8kmx + 4m2 4 = 0 ，其判别式 0 .
8km 4m2 4
设Q(x2 , y2 ) ，可得 x1 + x2 = ， x x = .
4k 2
1 2
+1 4k 2 +1
→ →
由 BM ⊥ BN ，得 BP ⊥ BQ，即 BP BQ = 0
→ →
因为 BP = (x1 2, y1) ,BQ = (x2 2, y2 ) ，
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所以 (x1 2)(x2 2) + y1y2 = 0 ，
化简得 x1x2 2(x1 + x2 ) + 4 + y1y2 = 0 .
2 2
因为 y y = (kx +m)(kx +m) = k 2
m 4k
1 2 1 2 x1x2 + km(x1 + x2 ) +m
2 = ，
4k 2 +1
4m2 4 8km m2 4k 2
所以 2 + 4 + = 0，
4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
化简得12k 2 +16km + 5m2 = 0，
(6k + 5m)(2k + m) = 0 ，
6
m = k或m = 2k .
5
6
所以直线 PQ的方程为 y = k(x )或 y = k(x 2) （舍）.
5
6
所以直线 PQ过定点 ( ,0) .
5
6
当直线 PQ的斜率不存在时，其方程为 x = ，满足题意.
5
6
综上所述直线 PQ恒过定点 ( ,0) . 【15 分】
5
（21）（共 15 分）
1
解：（Ⅰ）因为 {1, 2, 4}，所以{1, 2 , 4}不具有性质 P；
1
1 1 1
因为 {2,3,6}, {2,3,6}, {2,3,6}，所以{2,3,6}具有性质 P .
2 3 6
S = {(2,3) , (3, 2)}，T = {(6, 2) , (6,3)} 【4 分】
1
（Ⅱ）解法 1：因为对于任意的 a A，总有 A，
a
所以1 A，从而{(ai ,ai )} T (i =1,2, ,k) .
a
因为 a A,b A, A，
b
所以当 i j时， (ai ,a j ) T 和 (a j ,ai ) T (i, j =1, 2 , , k) 至多有一个成立.
k(k 1)
所以集合T 中的元素个数最多为C2k = ，
2
k(k 1)
即 n≤ . 【9 分】
2
法 22：首先，由 A中元素构成的有序数对 (ai ,a )共有 kj 个.
1
因为对于任意的 a A，总有 A，所以1 A .
a
所以{(ai ,ai )} T (i =1, 2 , , k) .
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a
又因为 a A,b A, A，所以当 (ai ,a j ) T 时， (a j ,ai ) T (i, j =1, 2 , , k) .
b
1 k(k 1)
所以集合T 中的元素个数最多为 (k 2 k) = ，
2 2
k(k 1)
即 n≤ . 【9 分】
2
（Ⅲ）m = n，证明如下：
a
① 设 (a ,b) T，则 a A,b A, A .
b
a
设 c = ，则 a = bc，故b A,c A,bc A，
b
从而 (b ,c) S ，即对 (a ,b) T ，总 c使 (b ,c) S ，
从而 n≤m .
② 设 ( p ,q) S，则 p A ,q A , pq A .
r r
设 r = pq，则 q = ，故 r A, p A, A，
p p
从而 (r , p) T，即对 (p ,q) S，总 r使 (r , p) T，
从而m≤n .
由①②可知m = n . 【15 分】
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
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