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2026 北京顺义高三一模
数 学
2026.3
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = { x | 2 x 1}，集合 B = { x | 1 x 2}，则 A B =
（A）{ x | 2 x 2} （B）{ x | 2 x 1}
（C）{ x |1 x 2} （D）{ x | 1 x 1}
（2）复数 z的共轭复数为 z ，满足 z i =1 i ，则 z =
（A）1 i （B） 1 i
（C）1+ i （D） 1+ i

（3）在△ABC中， BC = 4BD，若 AD = xAB + yAC，则 x y =
1 1
（A） （B）
2 2
（C）1 （D） 1
x2 y2
（4）若双曲线C : x2 y2 =15与椭圆 + =1的焦点相同，则双曲线C的离心率为
25 9
4 5
（A） （B）
15 4
4 15
（C） （D） 4
15
（5）已知函数 y = f (x ) 的定义域为 D，则“对于任意 x D，使得 f (x)≥ 0 ”是 “ f (x) 值域为 0,+ ) ”
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）已知等差数列 an 的前 n项和为 S ，若 a4 a2 = 4 ， a1,a ,an 2 4 成等比数列，则 S7 =
（A） 28 （B） 42
（C） 56 （D）112
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7
（7）已知抛物线W : y2 = 2px( p 0) 的焦点为 F ，C( p,0) .若W 上存在点 A，使得 |CF |= 2 | AF | ，且
2
△ACF 的面积为 6 2 ，则 p =
（A）1 （B） 2
（C） 3 （D） 4
x3 , x≥ 0，
（8）已知函数 f ( x ) = 若方程 f (x ) = x
2 kx有 4 个不同的实数解，则 k的取值范围是
x, x 0.
（A） ( ,0 ) 1
（B） (0, )
4
1 1
（C） ( ,0) (0, ) （D） ( ，+ )
4 4
p
（9）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级 Lp = 20 lg （单位： dB ），其中常数
p0
p0 ( p0 0)是听觉下限阈值， p是实际声压．若测得交通主干道某时段的实际声压为 p1，声压级大约为
Lp = 70dB .某所图书馆某时段的实际声压为 p ，声压级大约为 Lp = 20dB2 .给出下列三个结论： 1 2
① p2 =10p0；
p 2 5
② 1 =10 ；
p 22
9
③ 若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的 ，则声压级减少约为 0.92dB ；（参考数据：
10
lg3 0.477 ， lg 2 0.301）其中正确结论的个数为
（A） 0 个 （B）1个
（C） 2 个 （D） 3个
（10）已知向量 a,b满足 | a |=1， a b =| a b | .当 a与 b的夹角最大时， | b |=
（A） 2 （B） 3
（C） 2 （D） 2 2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）函数 f (x ) = 1 log2 x 的定义域为_____________.
1
（12）若 ( x 1)4 = a 44x + a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0 ，则 a0 = ________;a3 + a1 = _______.
2
（13）已知直线 y = x + m与圆C : (x 2)2 + (y 3)2 =1交于 A,B两点．若圆弧 AB的长恰为圆C周长的
1
，则m= ________.
4
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（14）设函数 f (x) = sin x + cos x，则 y = f (x) 图象的一条对称轴方程为___________;若 f (x) 在 ( a,a) 上单
调递增，则 a的最大值为___________.
（15）如图，在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是棱CD上的一个动点（不含端点)，给出下列四
个结论：
①三棱锥D1 ABE的体积为定值；
②存在点 E，使得平面 AD1E ⊥平面 B1BE ；
③ D1EB1为锐角三角形；
④若点 B1在平面 AD1E上的投影为点 F ，则点 F 的轨迹为一条线段（不含
端点）.
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，△ ABC 是正三角形，
AB = 2 ， CC1 ⊥ 平面 ABC ， CC ， 是 CB 延长线上一1 = 3 D
点，且 BD = BC．
（Ⅰ）设 AC 中点为 E，求证：C1E // 平面 AB1D；
（Ⅱ）求直线 B1C1 与平面 AB1D夹角的正弦值.
（17）（本小题 13 分）
顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区 A,B两镇分别抽取 3块试验田
开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如
下表（单位： kg）：
种 植 区 域
种植方式
有机种植田 机械种植田 共生种植田
平均亩产
A镇 300 350 425
B镇 300 375 400
用频率估计概率.
（Ⅰ）从上述试验田中随机抽取 2 块，求其平均亩产量均不低于375 的概率；
（Ⅱ）从 A,B两镇中各随机抽取1块试验田，设 X 为平均亩产量不低于 375 的试验田的块数，求 X 的分布
列和数学期望；
（III）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
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有机种植：每亩成本约为 800 元，市场售价约为 8 元/kg；
机械种植：每亩成本约为 500 元，市场售价约为 5 元/kg；
共生种植：每亩成本约为 1200 元，市场售价约为 6 元/kg.
假设该年度 A,B两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为 2 :1: 2 ，记 A镇
水稻种植试验田每亩平均利润为 y1 ， B镇水稻种植试验田每亩平均利润为 y2 ，试比较 y1 与 y2 的大小.（结
论不要求证明）
（18）（本小题 14 分）
在三角形 ABC中， A, B, C所对的边长为 a,b,c , a = 8 ， 4 tanC = csin A .
（Ⅰ）求 C ;
（Ⅱ）若点 D在 AC 边上，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存
在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件 ①： AD = c 5 ；
条件 ②： BD = c；
4 3
条件 ③： sin ADB = ．
7
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
（19）（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆 E : + =1 (a b 0) 的左右顶点为 A,B， AB = 4，焦距为 2 2 .
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）设O为原点， D是 E上不同于 A , B的一点， AD的中点为M ，直线OM 与直线 x = 4 交于点Q，
直线 BQ与 E交于点 P .是否存在点 D使得直线 AD平行于直线OP成立 说明理由.
（20）（本小题 15 分）
1
已知函数 f (x) = ax2 + x ln x， a R .
2
（Ⅰ）若曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y = 2x +1平行，求 a的值；
（Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性；
3
（III）若 f (x) 存在两个极值点 x1, x2 ( x1 x2 )，且 f (x2 ) f (x1) ln 2 ，求 a的取值范围.
4
（21）（本小题 15 分）
已知 n(n≥ 2) 项数列 A : a1,a2 , ,an 满足 a1 + a2 + + an = 0 .数列 B :b1,b2 , ,bn (n≥ 2) ，满足
b = a a i i i+1 ( N ), i 1,2,...,n ，其中 an+1 = a1 .
记T = max a1,a2 , ,an , B( ) = max b1,b2 , ,bn .
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其中，maxM 表示数集M 中最大的数．
（Ⅰ）已知 A : 4, 2, 2, 4 ，求 B(1) , B(2)的值；
（Ⅱ）若 n为奇数，且b1 = b2 = = bn，求证: a1 = a2 = = an = 0；
4T
（III）求证. B(1)≥ .
n
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数学答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）D （3）A （4）C （5）B
（6）C （7）B （8）B （9）D （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
5
（11） (0,2 （12）1, （13） 0 或 2
2

（14） x = （ x = k + 答案不唯一）； （15）①③（有错不得分，仅对一个 3 分）
4 4 4
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）证明：取 AD中点为M ，连接 B1M ， EM
因为 E,M 分别为 AC , AD中点，所以ME / /CD且ME = BC
因为 B1C1 / /BC且 B1C1 = BC ，所以ME = B1C1且ME / /B1C1
所以四边形 B1MEC1是平行四边形，所以 B1M / /C1E
因为 B1M 平面 AB1D，C1E 平面 AB1D
所以C1E / / 平面 AB1D ----------------（4 分）
法 2：连接BE ,C1E
因为 B,E分别为CD, AC中点，所以 BE / /AD
因为 B1C1 / /BD,B1C1 = BD，所以四边形 B1C1BD为平行四边形
所以 BC1 / /B1D .
因为 BE EC1 = E， AD B1D = D
所以 BE , EC1 平面 BEC1 ， AB1, AD 平面 AB1D ,所以平面 BEC1 / / 平面 AB1D
因为C1E 平面 BEC1 ，所以C1E / / 平面 AB1D -----------------（4 分）
（Ⅱ）因为DB = BC, AB = BC ，所以 AB = BD， BDA= DBA
因为 BDA + DBA = 60 ，所以 DAB = 30
所以 DAC = 90 即知 AD ⊥ AC
如图建立空间直角坐标系o xyz ，
所以 A(0,0,0) , B1 ( 3,1, 3) ,C1 (0,2, 3) ,D (2 3,0,0)

所以 B1C1 = ( 3,1,0) , AB1 = ( 3,1, 3) , AD = (2 3,0,0)

设 n =（x, y, z)是平面 AB 的一个法向量 1D
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AB1 ⊥ n
AB 3x + y + 3z = 01 n = 0
所以 即 可得 ，令 z = 3得 y = 3
AD ⊥ n AD n = 0 2 3x = 0

所以 x = 0, y = 3, z = 3 ,即 n = (0, 3, 3)

n BC 3 3
设直线 1 1B1C1与平面 AB D的夹角为 ，则 sin = cos n,B1 1C1 = = = .
n BC 4 12 41 1
3
所以直线 B1C与平面 AB1D的夹角的正弦值为 . -----------------（13 分）
4
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）解：设从上述试验田中随机抽取 2块，平均亩产均不低于 375为事件 A，
则 n( ) = C 26 =15， A中包含的基本事件总数 n(A) = C
2 = 3 , 3
n(A) 3 1
所以 P(A) = = = . -----------------（4 分）
n( ) 15 5
（Ⅱ）从 A,B两镇中各随机抽取1块试验田， X 的所有可能取值为 0,1,2
2 1 2 1 1+ 2 2 5
P(X = 0) = = ， P(X =1) = =
3 3 9 3 3 9
1 2 2
P(X = 2) = = ，所以 X 的分布列为
3 3 9
X 0 1 2
2 5 2
P
9 9 9
2 5 2
所以 X 的数学期望 EX = 0 +1 + 2 =1 . -----------------（10 分）
9 9 9
（III） y . 1 y2
可设 A,B两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田的面积分别为 2a,a,2a，则
300 8 2a 800 2a + 350 5 a 500 a + 425 6 2a 1200 2a
y =
1
5a
300 8 2a 800 2a + 375 5 a 500 a + 400 6 2a 1200 2a
y =
2
5a
其中， 350 5 + 425 6 2 = 6850，375 5 + 400 6 2 = 6675
所以 y1 y . -----------------（13 分） 2
（18）（本小题 14 分）
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sinC
解：（Ⅰ）因为 4 tanC = csin A，所以 4 = csin A，
cosC
a c c
由正弦定理 = 可得 4 = c a，
sin A sinC cosC
1
解得 cosC = ，又因为C (0, ) ,所以C = . -----------------（4 分）
2 3 B
（Ⅱ）选条件①②
法一：因为 BD = c, AB = c ,所以△ BAD是等腰三角形，
作 E为 AD中点，连结 BE，那么 BE ⊥ AC，
C
D A E
c 5
所以 BE = 4 3, AE = ED = ，
2
2 (c 5)
2
由勾股定理得 c = 48 + ，即 c23 +10c 217 = 0，解得 c = 7
4
1 1
所以 AC = 4 +1= 5 ,所以 S = absinC = 5 4 3 =10 3 .-----------------（14 分）
2 2
(c 5)2 + c2 c2 c 5
方法二：在△ BAD中， cos ADB = = ，
2c(c 5) 2c B
BD CB 4 3
在△ BCD中, = ，所以 sin CDB = ，
sin CDB
sin c
3
4 3
所以 sin ADB = C D A
c
4 3 2 c 5因为 ( ) + ( )2 =1，所以可得3c2 +10c 217 = 0，解得 c = 7
c 2c
4 3 1
所以 sin ADB = ， cos ADB = ，
7 7
1 72 +CD2 82
在△ CDB中， = 即CD2cos CDB = + 2CD 15 = 0解得CD = 3
7 2 7 CD
1 1
所以 b = 3+ 2 = 5，所以 S = absinC = 5 4 3 =10 3 .-----------------（14 分）
2 2
选条件②③
因为 BD = c, AB = c ,所以△ BAD是等腰三角形，
4 3 1
所以 sin ADB = sin BAD = ,且 cos BAD =
7 7
4 3 4 3
又因为 sin ADB = ，所以 sin CDB = ，
7 7
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BD CB
在△ BCD中, = ，所以 BD = 7 ,所以 c = 7，
sin CDB
sin
3
4 3 1 1 3 5 3
sin CBA = sin( BAC + ) = + = ，
3 7 2 7 2 14
1 1 5 3
所以 S = acsinB = 8 7 =10 3 . -----------------（14 分）
2 2 14
若选条件①③
4 3 BD CB
sin ADB = sin CDB = ，在△ BCD中, = ，所以 BD = 7 ,
7 sin CDBsin
3
4 3 1
在△ BAD中，因为 sin ABD = ，所以 cos ADB =
7 7
1 1 49 + (c 5)
2 c 2
当 cos ADB = 时， cos ADB = = ，解得 c = 7；
7 7 2 7 (c 5)
1 1 49 + (c 5)
2 c 2
当 cos ADB = 时， cos ADB = = ，解得 c = 8 .
7 7 2 7 (c 5)
所以△ ABC不唯一，不符合要求.
（19）（本小题 15 分）
2c = 2 2

解：（Ⅰ）由题意得 2a = 4 解得 a = 2,b = 2 .
b2 = a2 c2

x2 y2
所以椭圆 E的方程为 + =1 . -----------------（4 分）
4 2
（Ⅱ）不存在点 D .
法一: 假设存在点 D使得直线OP平行于直线 AD成立,
设 P(x0 , y0 ) ，依题意可知 x0 0， x0 2且 x
2
0 + 2y
2
0 = 4 ,
y y
k = k = 0 0则 OP AD ，所以直线 AD的方程： y = (x + 2) ,
x0 x0
y
y =
0 (x + 2)
x
设D(x 0D , yD ) ，联立 2 2 ，消去
y 得 x2 + 2y2x + 2y2 x20 0 0 = 0 ,
x y+ =1
4 2
所以 xA xD = 2y
2 2
0 x0 ，又 xA = 2，所以 xD = 2 2y
2
0 ，代入可得 yD = x0 y0 ，
x y
因为M 为中点，所以M ( y2 , 0 00 ) ，
2
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x x
所以 kOM =
0
，则直线OM 的方程为 y =
0 x，
2y0 2y0
2x0 2x0 x y
令 x = 4得 yQ = ，Q(4, )
0 0
,所以 kBQ = ，又 kBP =
y0 y0 y0 x0 2
x0 y
2
0 x
令 = ,即 2 0 = x2 + 2x ，即（x0 2）
2 = 0 ，与题设 x0 2矛盾.
y0 x
0 0
0 2 2
所以假设不成立.
所以不存在点 D满足直线OP平行直线 AD . -----------------（15 分）
法二：假设存在点 D使得直线OP平行于直线 AD成立,
设直线 AD的斜率为 k，依题意可知 k 0 .直线 AD的方程为 y =（k x + 2），
y =（k x + 2）
设D（xD , yD），联立 y
2
2 2 消去 得（1+ 2k ）x
2 + 8k 2x + 8k 2 4 = 0 .
x + 2y = 4
8k 2 4 2 4k 2 4k
所以 x x = 2A xD = ，又 A ，所以 xD = ，代入可得 yD = .
1+ 2k 2 1+ 2k 2 1+ 2k
2
x 2 4k 2 2k
所以 x = DM = ， yM = . 2
2 1+ 2k 2 1+ 2k
yM 1 1 2
所以 kOQ = = ，直线OQ的方程为 y = x，令 x = 4 得 yQ = .
xM 2k 2k k
yQ 0 1 1
又 B（2,0），则 kBQ = = ，则直线 BQ的方程为 y = （x 2）.
xQ 2 k k
1
y = （x 2）
设 P（xP , yP），联立 k 消去 y 得 (2 + k
2 )x2 8x + 8 4k 2 = 0
x2 + 2y
2 = 4
8 4k 2 4 2k 2 4k
所以 x x = ，又 xB = 2B P ，所以 xP = ，代入可得 yP = . 2
2 + k 2 2 + k 2 2 + k
y
k = P
0 2k 2k
所以 OP = ，令 kOP = kAD，则 = k则得 k
2 = 0 ，与题设 k 02 矛盾. xP 0 2 k 2 k
2
因此假设不成立.
所以不存在点 D满足直线OP平行直线 AD . -----------------（15 分）
法三：假设存在点 D使得直线OP平行于直线 AD成立,
x 2 y
不妨设 D(x1, y1) ，其中 y1 0 ， x1 2，则由点M 为中点可得M (
1 , 1 )
2 2
y1 y
则 kOP = k
1
AD = ，所以直线OP的方程为 y = x
x1 + 2 x1 + 2
y
y =
1 x
x1 + 2 2 2 2 2
联立 ，消去 y得（ x1 + 2）+ 2y1 x = 4(x1 + 2) ， 2 2
x y
+ =1 4 2
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由D(x1, y1) 在椭圆上，得 2y
2
1 = 4 x
2
1 代入整理 x = x1 + 2 ，
y1 x1 + 2 y1 x1 + 2则 P( x1 + 2, ) 或 P( x1 + 2, )，
x1 + 2 x1 + 2
y x
当 y 0 时， 1 1
+ 2
1 P( x1 + 2, )显然不成立，
x1 + 2
y x + 2
则只需验证 1 1P( x1 + 2, ) 是否满足题意，
x1 + 2
y1 4y
因为直线OM 的方程为 y = x，代入 x = 4得Q(4,
1 )
x1 2 x1 2
y x + 2 y x + 2
2y 1 1 1 1
则 k =
1
BQ ， x + 2 ，令 x + 2 2y ，可得 x
x 2 k = 1 k = 1 = k = 1 1
+ 2 = 0 .
1 BP BP BP
x1 + 2 2 x1 + 2 2 x1 2
由 x1 2 知此方程无解,假设不成立.
所以不存在点 D满足直线OP平行直线 AD . -----------------（15 分）
法四：假设存在点 D使得直线OP平行于直线 AD成立,
y
（ 2
y2
设M x k = y = x2 , y2）,依题意可知 x2 0，则 OQ ，所以直线OQ的方程为 .
x2 x2
4y2 4y2
令 x = 4 ，得 yQ = ，即Q（4, ），又 B（2,0）
x2 x2
2y 2y
所以 k =
2 2
BQ ，则直线 BQ的方程为 y = （x 2）.
x2 x2
y2
因为直线OP平行于直线 AD，所以 kOP = kAD = .
x2 + 2
y2
所以直线OP的方程为 y = x .
x2 + 2
2y
y = 2 （x 2）
x2 4x2 + 8 4y2
联立 解得 xP = ， yP = .
y x + 4 x + 4y = 2 x 2 2
x2 + 2
4x2 + 8 2 4y（ ） （ 2 ）2
因为点 P在椭圆 E上，所以 x2 + 4 x2 + 4 即3x
2
2 + 8x + 8y
2
2 2 = 0
+ =1
4 2
2 + x y
又M（x2 , y2）为 A（ 2,0），D（xD , yD）的中点，所以 x =
D D
2 ， y2 =
2 2
所以 xD = 2x2 + 2， yD = 2y2
（2x +2）2 （2y）2
因为点 2 2D在椭圆 E上，所以 2 + 2 =1即 x2 + 2x2 + 2y2 = 0
4 2
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3x
2 + 8x + 8y 22 2 2 = 0
由 可解得 x
2
2 = 0 ，与题设 x2 0矛盾.因此假设不成立. 2
x2 + 2x
2
2 + 2y2 = 0
所以不存在点 D满足直线OP平行直线 AD . -----------------（15 分）
（20）（本小题 15 分）
ax2 + x 1
解：（Ⅰ） f (x) = ， f (1) = a = 2，所以 a = 2
x
当 a = 2时， f (1) = 2，恰好在直线上，所以此时的切线与 y = 2x重合，
所以 a值不存在. -----------------（4 分）
ax2 + x 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) = ,定义域为 x (0，+ )
x
1 1 4a
讨论：①当 a 0时，1 4a 0，令 f (x) 0可解得 x .
2a
1 1 4a 1 1 4a
所以， f (x)在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+ )上单调递增；
2a 2a
x 1
②当 a = 0时， f (x) = ，令 f (x) 0可解得 x 1 .
x
所以， f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增；
1 1 1 4a 1+ 1 4a
③当1 4a 0，即 0 a 时，令 f (x) 0可解得 x .
4 2a 2a
1 1 4a 1 1 4a 1+ 1 4a 1+ 1 4a
所以， f (x) 在 (0, ) 上单调递减，在 ( , )上单调递增，在 ( ，+ ) 上
2a 2a 2a 2a
单调递减
1
④当1 4a≤ 0 ，即 a≥ 时， f (x)≤ 0，所以 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递减；
4
1 1 4a 1 1 4a
综上可得：（1）当 a 0时， f (x)在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+ )上单调递增；
2a 2a
（2）当 a = 0时， f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增；
1 1 1 4a
（3）当 0 a 时， f (x)在 (0, ) 上单调递减，
4 2a
1 1 4a 1+ 1 4a 1+ 1 4a
在 ( , )上单调递增， f (x)在 ( ，+ )上单调递减.
2a 2a 2a
1
（4）当 a≥ 时， f (x)在 (0,+ )上单调递减. -----------------（10 分）
4
1
（III）法一：由（Ⅱ）可知，若 f (x)有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 )，则 0 a
4
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1 1
令 f (x) = 0，可得 ax2 x +1= 0 则 x1 + x = ，2 x 1x2 =
a a
1
则 f (x ) f (x ) = ax2
1
+ x ln x + ax2 x 2 1 2 2 2 1 1 + ln x1
2 2
1 x 1 x
= a(x1 x2 )(x
1 1
1 + x2 ) + x2 x1 + ln = (x2 x1) + ln
2 x2 2 x2
x
令 1 = t，则 x1 = tx2 ，因为 x1 x ，所以2 0 t 1
x2
1 t +1
所以 x1 + x2 =（t +1)x
2，所以 x =1+ t，
2 = = x1x2 = tx2 1 x2 =
a t
1 x 1 1
所以 f (x 12 ) f (x1) = (x2 x1) + ln = ( t) + ln t，
2 x2 2 t
1 1 1 2t
2 (1 t2 ) 1 (t 1)2
设 g(t) = ( t) + ln t，则 g (t) = + = 0
2 t 2 t2 t 2t2
1 3 1
所以 g(t)在（0，1）单调递减，又 g( ) = ln 2，所以 0 t
2 4 2
t +1 1 t 1 2
x1x2 =（1+ t)( ) = ，所以 a = =
t a (t +1)
2 1 9
t + + 2
t
2
所以 0 a -----------------（15 分）
9
1
法二：由（Ⅱ）可知，若 f (x) 有两个极值点 x ，则 1, x2 (x1 x2 ) 0 a
4
1 1
令 f (x) = 0，可得 ax2 x +1= 0 则 x1 + x = ，2 x1x2 =
a a
x
所以 x 11 + x2 = x1x2 ，则 x = ， 2
x1 1
1
因为 f (1) = a 0，所以1 x1 ，
2a
1 2 1则 f (x 22 ) f (x1) = ax2 + x2 ln x2 + ax1 x1 + ln x1
2 2
1 x 1 x
= a(x1 x2 )(x1 + x2 ) + x2 x1 + ln
1 = (x2 x1) + ln
1
2 x2 2 x2
1 x
= ( 1 x1)+ ln(x1 1)
2 x1 1
1 1 x
= + 1 + ln(x1 1)
2 2(x1 1) 2
1 1 x 1
设 h(x1) = +
1 + ln(x1 1)，1 x1 ，
2 2(x1 1) 2 2a
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1 1 1 (x1 2)
2
h (x1) = + = 0
2(x1 1)
2 2 x1 1 2(x1 1)
2
1
所以 h(x1) 在 (1, )上单调递减，
2a
3 3 3 3
因为 h( ) = ln 2 ，所以若 h(x1) h( )，则1 x ， 1
2 4 2 2
1 x21 1 1 1因为 = x1x2 = = ，所以 a = + ，
a x 1 1 21 1 x x + 1 1
x21 x1
2 1 1 1 1 1 1 2
因为 1，所以 a = + = ( )2 + (0, ) ---------------（15 分）
3 x x21 1 x1 x1 2 4 9
1
法三：由（Ⅱ）可知，若 f (x) 有两个极值点 x1, x (x x )，则 0 a 2 1 2
4
1 1
令 f (x) = 0，可得 ax2 x +1= 0 则 x1 + x2 = ， x1x2 =
a a
1 1
所 以 f (x2 ) f (x1) = ax
2
2 + x2 ln x2 + ax
2
1 x1 + ln x 1
2 2
1 x
= a(x x )(x + x 1
1 x1
1 2 1 2 ) + x2 x1 + ln = (x2 x1) + ln
2 x2 2 x2
1 1 4a 1+ 1 4a 1 4a 1 1 4a
因为 x1 = , x2 = ，所以 f (x2 ) f (x1) = + ln
2a 2a 2a 1+ 1 4a
1 t 2 2t 1 t
设 t = 1 4a t (0,1) ，则 a = ，所以 f (x2 ) f (x1) = + ln ，
4 1 t2 1+ t
2t 1 t
设 g(t) = + ln
1 t 2 1+ t
2(t3 + t 2 t +1)
g (t) = 0，所以 g(t)在 (0,1) 上单调递增，
(1 t 2 )2
1 3 1
因为 g( ) = ln 2，所以 t ，
3 4 3
2
所以0 a . -----------------（15 分）
9
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） B(1) = 8 , B(2) =12 -----------------（4 分）
（Ⅱ）设b1 = b2 = = bn = k ，若 k = 0，则 a1 = a2 ,a2 = a3 , ,an = a1，
a a a
于是 a1 + a
1 1 1
2 + + an = a1 + + + + a ，所以 a = 0， 2 n 2 1 = 0 1
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进而 a1 = a2 = = an = 0
若 k 0，则 a1 a2 ,a2 a3 , ,an a1这n个数只能取 k 和 k 这两个值，又
a1 a2 + a2 a3 + + an a1 = 0，所以这 n个数中取 k 和 k 这两个值的个数相同，因为 n为奇
数，这不可能，所以 a1 = a2 = = an = 0 .---------------（10 分）
（III）若T = 0,则 a1 = a2 = = an = 0结论显然成立.
若T 0,因为对数列 A实施循环置换时，数列 B中各数只改变排列的次序，所以不妨设 a1 = T ，于是
由题设可知 a2 + + an = T
因为 a a ≤ a a ≤B(1),所以 a2 ≥ a1 B(1),同理可得 1 2 1 2
a3≥ a2 B(1)≥ a1 2B(1),依此类推得到
a2≥ a1 B(1),
a3 ≥ a2 B(1)≥ a1 2B(1),
，
a ≥ a n n 1 B(1)≥ a1 (n 1)B(1),
即得 ai ≥ a1 (i 1)B(1) (i = 2,3, ,n) ------ ①
同理，有 a a ≤ a ≤ ≤ ≤ 等等 1 n n a1 B(1), an an 1 an 1 an B(1),
于是得到下列一组不等式：
an ≥ a1 B(1),
an 1 ≥ an B(1)≥ a1 2B(1),
，
a2 ≥ a B(1)≥ a (n 1)B(1), 3 1
即得 ai ≥ a1 (n +1 i)B(1) (i = 2,3, ,n) ------ ②
下面区分 n的奇偶性分别讨论:
当 n = 2k +1是奇数时，那么在①式中令 i = 2,3, ,k +1，
在式②中令 i = k + 2,k + 3, ,n，总共得到 k + (n k 1) = n 1个不等式，
将他们相加，可得
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a2 + + an ≥ (n 1)a1 (1+ 2+ + k )B(1) (1+ 2+ + (n k 1))B(1)
= (n 1)a1 (1+ 2+ + k )B(1) (1+ 2+ + k )B(1)
= (n 1)a1 k (k +1)B(1)
于是 a1 + a2 + + an ≥ na1 k (k +1)B(1)，
nT
即0≥ na k (k +1)B(1)，由此解出1 B(1)≥
k (k +1)
n 1 4nT 4T
因为 k = ，所以 B(1)≥
2 n2 1 n
当 n = 2k是偶数时，那么在式（1）中令 i = 2,3, ,k，
在②式中令 i = k +1,k + 2, ,n，总共得到 k 1+ (n k ) = n 1个不等式，将他们相加，可得
a2 + + an ≥ (n 1)a1 (1+ 2+ + k 1)B(1) (1+ 2+ + (n k ))B(1)
= (n 1)a (1+ 2+ + k 1)B(1) (1+ 2+ + k )B(1) 1
= (n 1)a1 k
2B(1)
nT
于是 a1 + a2 + + a
2
n ≥ na1 k B(1) ，即0≥ na1 k
2B(1)，由此解出 B(1)≥
k 2
n 4nT 4T
因为 k = ，所以 B(1)≥ =
2 n2 n
4T
综上可得 B(1)≥ ------------（15 分）
n
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