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2026 北京延庆高三一模
数 学
2026.03
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = {x | y = log2 (x +1)}， B = {x | (x + 2) (x 3) 0}，则 A B =
（A） ( 1, 3) （B） ( 2, 1)
（C） ( , 2) (3,+ ) （D） ( , 2) ( 1,+ )
（2）已知复数 z满足 (1+ i)z + 2 = i，则在复平面内，复数 z对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）下列函数中，是奇函数且最小正周期为 π的是
（A） f (x) = 2sin xcos x （B） f (x) =| cos x |
（C） f (x) = tan 2x （D） f (x) = x3
（4）已知 a,b R ，且 a b，则下列不等式恒成立的是
a + b 1 1
（A） ab （B）
2 2
2 a +1 b +1
2 2 a b
（C） ac bc （D） e e
x2 y2
（5）若双曲线 =1的离心率为 2 ，则其渐近线方程为
a2 b2
（A） y = x （B） y = 3x
3 2
（C） y = x （D） y = x
3 2
（6）在 ABC中，C =120 ， a + 2b = 6 ， sin A = 4sin B，则 c =
（A） 13 （B） 21
（C） 17 + 4 3 （D） 17 4 3

（7）矩形 ABCD中， BC = 6 ， AB = 3，且 PC = 2AP，则 BA BP =
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9 9
（A） （B）
2 4
（C） 6 （D） 3
（8）设无穷等差数列{an}的公差为 d (d 0) ，其前 n项和为 Sn，则“ d 0 ”是“ Sn存
在最小值”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
x
（9）在平面直角坐标系 xOy 中，若对任意的点 P(x ,a 11 ) （ a 0 且 a 1），都存在

Q(x2 , 2 logb x2 ) （b 0且b 1），使得OP OQ = 0，且 |OP |=|OQ |，则
（A） ab =1 （B） ab = 2
2 2
（C） a b = 1 （D） ab = 1
（10）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角
形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在
平面直角坐标系中作 ABC ， AB = AC = 6，点 B( 3, 2) ，点C(1, 2)，且其“欧
拉线”与圆M： (x + a)
2 + (y + a + 2)2 = r 2 相切．则圆M上的点到直线
x y + 6 = 0 的距离的最小值为
2
（A） （B） 2 2
2
3 2 5 2
（C） （D）
2 2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2
（11） (x )6 的展开式中，常数项为_____．
x2
（ 212）已知抛物线C : y = 4x上一点M (x0 , y0 ) 到焦点 F 的距离为 4，则 | y0 |= _____．
π
（13）已知 是任意角，且满足 cos + k = sin ，则常数 k的一个取值为_____．
3
（14）长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是一个正方形，其边长为 4 ，长方体的高为 2 2 ，联结各表
面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为_____；这个八面体的体积和长方体的体积之
比为_____.
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（15）若非空实数集 X 中存在最大元素M和最小元素m，记 (X ) = M m .
①已知 X = {0,1}，Y = { 1,b}，且 (X ) = (Y ) ，则b = 0 ； P
②已知 2X = [a 2,a]， Y = {y | y = x , x X}，则存在实数 a，使
得 (Y ) 1； M
③已知 X = {x | f (x) ≥ g(x), x [ 1,1]} ，若 (X ) = 2 ，则对任意
A
x [ 1,1]，都有 f (x)≥ g(x) ； B D
④已知 Sn 是等比数列{an}的前 n项和， X = {y | y = Sn ,n N
*}，
C
则存在等比数列{an}，使得 (X ) ≤1；
其中所有不．正．确．的命题是_____．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 14 分）
如 图 ， 在四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 一 个 等 腰梯 形 ， AD // BC ， BC = 2AD ，
AB = AP = AD =1，M 为 BP的中点.
（Ⅰ）求证： AM // 平面 PCD；
（Ⅱ）若 PA ⊥平面 ABCD .
（ⅰ）求证： AC ⊥平面 ABP；
（ⅱ）求二面角 A PB C的余弦值.
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（17）（本小题 13 分）
π
已知函数 f (x) = 2 sin(2x + ) ，从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为
2
已知，使函数 f (x) 存在.
（Ⅰ）求 的值；
2 π
（Ⅱ）设 g(x) = f (x) 4 cos x + 2 ，求 g(x)在区间[ , 0]上的最大值和最小值.
2
条件 ①： f (x) 是偶函数；
π
条件 ②： f (x) 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
8
3π π
条件 ③： f (x)在区间[ , ]上单调递增．
8 8
注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分.
（18）（本小题 13 分）
2024 年联合国教科文组织第 46 届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序
的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线位于北京老城中心，全长 7.8 公里，始建于13 世纪，是
统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体.北京中轴线共包含15 处遗产点构成要素，可分为 A、 B、
C、D、 E五种类型，如下表：
A C E
B D
类型 古代皇家 古代城市管 居中道
古代皇家祭祀建筑 国家礼仪和公共建筑
宫苑建筑 理设施 路遗存
天 安
钟 万 天 外 中轴线
社 先 门 广 正 永
中轴 故 景 太 天 端 金
稷 农 鼓 宁 安 场 及 阳 定 南段道
线遗 宫 山 庙 坛 门 水
坛 坛 建 筑 门 门
产点 楼 桥 门 桥 路遗存
群
在上述15 处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取 3处进行研学．
（Ⅰ）求选取的 3处遗产点都为D类的概率；
（Ⅱ）若研学团队计划在 A、 B、C这三类遗产点中，选取 3处研学地点．设选取的 3处遗产点的类型种
数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，
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其人数比值为1: 2 :1，同时，这三个群体选择参观 A类或D类遗产点的频率分布情况如下：
人群 老年人 中年人 青少年
只参观 A类型遗产点 60% 25% 30%
只参观D类型遗产点 20% 45% 30%
两类遗产点都参观 20% 30% 40%
用频率估计概率，若从所有参观 A类或 D类遗产点的人群中，随机选取1人，只参观 A类型遗产点
的概率为 P1 ，只参观 D类型遗产点的概率为 P2 ，根据上面的统计表，试估计 P1 与 P2 的大小关
系．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0)与 y轴的交点为 A, B（点 A位于点 B的上方），且 | AB |= 4，椭圆的
a2 b2
2
离心率为 .
2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线 y = k x + 4 与椭圆C交于不同两点M，N ，直线 y =1与直线BM 交于点G ．
S | AG |
设 AGB与 NGB的面积分别为 S1 ， S2 ，比较
1 与 的大小，并说明理由．
S2 | NG |
（20）（本小题 15 分）
1
已知函数 f (x) = x + ln( ax) ， g(x) = xe x 1， a 0．
a
（Ⅰ）当 a = 2时，求曲线 y = g(x) 在点 (0, g(0))处的切线方程；
（Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅲ）是否存在 a，使得不等式 f (x) g(x) 恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由．
（21）（本小题 15 分）
设m为正整数，数列 a1, a2 , ..., a4m+2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai和 a j (i j)后剩余的
4m项可被平均分为m组，且每组的 4个数都能构成等差数列，则称数列 a1, a2 , ..., a4m+2 是 (i, j)可分等差数
列．
（Ⅰ）判断数列 a1,a2 , ...,a6 是不是 (1, 2)、 (1, 6)、 (2, 4)、 (5, 6)可分等差数列；（结论不要求证明）
（Ⅱ）当 p, q N , 0 p q m时，证明：数列 a1, a2 , ..., a4m+2 是 (4p +1, 4q + 2)可分等差数列；
（Ⅲ）当m 2 时，数列 a1, a2 , ..., a4m+2 是 (i, j)可分等差数列，证明：满足条件的 (i, j)个数不少于
2
m +m +1个．
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A
（6）B （7）C （8）C （9）C （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
3
（11）60 （12） 2 3 （13） （14）16 2 ，1:6
2
（15）①②③
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
（Ⅰ）取 PC的中点 N，连接MN ， ND .
因为M 为 BP的中点，
1
所以MN = BC，MN // BC .
2
因为 AD // BC， BC = 2AD，
所以 AD // MN， AD = MN
所以四边形 AMND是平行四边形.
所以 AM // DN .
且 AM 平面CDP，DN 平面CDP .
所以： AM // 平面CDP .
（Ⅱ）（ⅰ）因为 AP ⊥平面 ABCD .
所以 AP ⊥ AC .
因为底面 ABCD是一个等腰梯形， AD // BC， BC = 2AD， AB = AD =1

所以 ABC = ， AC = 3
3
所以 BAC = 90 ，即 AB ⊥ AC .
又因为 AP, AB 面 ABP， AP AB = A .
所以知 AC ⊥平面 ABP .
（ⅱ）由（ⅰ）知 AP ⊥平面 ABCD . z
P
所以 AB ⊥ AC .
如图建立空间直角坐标系 A xyz . M
则 P(0,0,1) ，C(0, 3,0) ， B(1,0,0) . A
B
D
x
所以 BC = ( 1, 3,0)， PB = (1,0, 1) ， AC = (0, 3,0) .
C
y
设平面 PBC 的法向量为 n = (x, y, z)，则

n BC = 0, x + 3y = 0,
即
n PB = 0, x z = 0.
令 x = 3 ，则 y =1， z = 3 .于是 n = ( 3,1, 3) .

AC n 7
因为 AC 为平面 PAB的法向量，且 cos AC,n = = ，
| AC | | n | 7
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7
所以二面角 A PB C的余弦值为 .
7
（17）（共 13 分）
（Ⅰ）解：选择②
π π
将函数 f (x) = 2 sin (2x + ) 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数
2 8
π π
y = 2 sin 2 x + = 2 sin 2x + ，
8 4
π π
由函数 y = 2 sin 2x + 为奇函数，则 = kπ (k Z)，
4 4
π π π
可得 = + kπ (k Z)，又因为 ，则 = .
4 2 4
解：选择③
3 3
由 x [ , ] ，可得 2x + [ + , + ]
8 8 4 4
3π π
f (x)在区间 [ , ]上单调递增，且 f (x)的最小正周期为
8 8
3
所以 + = + 2k ,k z， + = + 2k ,k z
4 2 4 2
π
所以 =
4
π
（Ⅱ）解：由（1）可知， f (x) = 2 sin 2x + = sin 2x + cos 2x，
4
则 g (x) = f (x) 4cos2 x + 2 = sin 2x + cos 2x (2+ 2cos 2x)+ 2 = sin 2x cos 2x
π
= 2 sin 2x ，
4
5
由 x [ ,0] ，可得 2x [ , ]
2 4 4 4
5
当 2x = 时， f (x)取最大值1，此时 x =
4 4 2

当 2x = 时， f (x)取最小值 2 ，此时 x =
4 2 8
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）设这 3 个遗产点都在 D 类为事件 A，
C36 20 4P(A) = = = ．
C315 5 7 13 91
（Ⅱ） X =1,2,3，
C3 4 4 1
P(X =1) = 4 = = = ，
C38 120 8 7 14
C1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
P(X = 2) = 2
C4 +C2 C4 +C4 C2 +C4 C2 +C2 C2 +C2 C2 9=
C38 14
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C1 C1 C1 16 2
P(X = 3) = 2 4 2 = = ．
C38 56 7
1 9 4 2
或P(X = 2) =1 P(X =1) P(X = 3) =1 = = ．
14 14 14 7
X 1 2 3
1 9 2
P
14 14 7
1 9 4 1+18+12 31
E(X ) =1 + 2 +3 = = ．
14 14 14 14 14
（Ⅲ） p1 = p2
（19）（共 15 分）
2b = 4

c 2
（Ⅰ）根据题可得 = ,
a 2
2
a = b
2 + c2 ,
x2 y2
解得 a = 2 2,b = 2，椭圆C的标准方程 + =1．
8 4
（Ⅱ）将曲线C的方程变为为 x2 + 2y2 = 8 ，点 A，B的坐标分别为 ( 0, 2 )， ( 0, 2 )．
y = k x + 4,
由 得 (1+ 2k
2 )x2 +16k x + 24 = 0．
x2 + 2y2 = 8,
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以 = (16k)2 4(1+ 2k 2 ) 24 0 ，
2 3即 k ．
2
设点M，N 的坐标分别为 (x1, y1) ， (x 2 , y 2 )，则 y1 = k x1 + 4， y 2 = k x 2 + 4 ，
16k 24
x1 + x 2 = ， x x = ．
1+ 2k 2
1 2
1+ 2k 2
y1 + 2 3x1
直线BM 的方程为 y + 2 = x，点G的坐标为 ( ,1) ．
x1 y1 + 2
y 2 2 y1 + 2
因为直线 AN 和直线 AG的斜率分别为 kAN = ， kAG = ，
x2 3x1
y 2 2 y1 + 2
所以 kAN kAG = +
x2 3x1
k x2 + 2 k x1 + 6 4k x1x2 + 6(x1 + x2 )
= + =
x2 3x1 3x1x2
4 2(x1 + x2 )
= k +
3 x1 x2
16k
2
4
= k + 1+ 2k
2
= 0 ．即 kAN = kAG ．
3 24
1+ 2k 2
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所以 A，G， N 三点共线．
所以设 AGB与 NGB的高相等，
S1 | AG |所以 =
S2 | NG |
（20）（共 15 分）
1
解：（Ⅰ）当 a = 2时， g(x) = xe x 1，
2
1 1
所以 g ' (x) = e x xe x．
2 2
' 1g (0) = ， g(0) = 1．
2
1
所以曲线 y = g(x) 在点 (0, g(0))处切线的方程为 y = x 1．
2
（Ⅱ）当 a 0 时， f (x) 的定义域为 ( ,0)．
1 1 x
f (x) = 1+ = 0．
x x
所以 f (x) 的单调递减区间为 ( ,0)
当 a 0 时， f (x) 的定义域为 (0,+ )．
1 1 x
f (x) = 1+ =
x x
所以 x (0,1) 时， f (x) 0； x (1,+ ) 时， f (x) 0 ．
所以 f (x) 的单调递增区间为 (0,1) ；单调递减区间为 (1,+ ) ．
1
（Ⅲ）令 h(x) = x + ln( ax) xe x
a
要使得不等式 f (x) g(x) 恒成立，即 h(x) 1成立，
x
h'
1 e
(x) = (1 x)( )．
x a
当 a 0 时， h(x) 的定义域为 ( ,0 )．
所以 h ' (x) 0 ， h(x) 在 ( ,0 )上单调递减．
1
1 1 1
因为 h( ) = + ea 0 ，所以 a 0 不合题意．
a a a2
当 a 0 时， h(x) 的定义域为 ( 0,+ ) ．
因为 x (0,1) 时， h ' (x) 0； x (1,+ ) 时， h ' (x) 0 ．
所以 h(x) 的单调递增区间为 (0,1) ；单调递减区间为 (1,+ ) ．
1
所以 h(x)max = h(1) = 1+ ln( a) ． ae
1 1 1 ex +1
设m(x) = 1+ ln( x) ，则m' (x) = + = ，
ex x ex2 ex2
1 1
因为 x ( , ) 时，m ' (x) 0； 'x ( ,0) 时，m (x) 0，
e e
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1 1
所以m(x)的单调递减区间为 ( , ) ；单调递增区间为 ( ,0)．
e e
1
所以m(x)min = m( ) = 1． e
1
当 a = f (x) g(x) 不等式恒成立．
e ，
（21）(共 15 分）
（Ⅰ）解：数列 a1,a2 ,...,a6 是 (1,2)、 (1,6)、 (5,6)、可分数列，不是 (2, 4)可分数列
（Ⅱ）证明：当 p,q N ,0 p q m
数列 a a a1,a2 ,...,a4m+2 中删去 4 p+1和 4q+2 两项后， a4 p+1前面是 a1,a2 ,...,a4 p（有连续的 4p项，当
p = 0 时 ， 无 这 4p 项 ）； a4q+2 后 面 是 a4q+3 ,a4q+4 ,...,a4m+2 （ 有 连 续 的
4m + 2 (4q + 3)+1= 4(m q) 项，当 q = m 时，无这 4(m q) 项）， a4 p+1 和 a4q+2 中间是
a4 p+2 ,a4 p+3 ,...,a4q+1 （有连续的
4q +1 (4p + 2) +1= 4(q p) 项，当 q = p时，无这 4(q p) 项），因为都是连续的 4 的整数倍
项，显然都可以平均分成每组都是 4 个数公差为 d的等差数列.
（Ⅲ）首先证明：数列 a1,a2 ,...,a4m+2 是 (4P + 2,4q + 9)可分数列，
其中 p,q N ,0 p q m 2 .
证明：（1）数列 a1,a2 ,...,a a4m+2 中删去 4 p+2 和 a4q+9 两项后， a4 p+1 前面是 a1,a2 ,...,a4 p（有连
续的 4p 项，当 p = 0 时，无这 4p 项）， a4q+10 后面是 a4q+11,a4q+12 ,...,a4m+2 （有连续的
4m+ 2 (4q +11) +1= 4(m q 2) 项，当 q = m 2时，无这 4(m q 2) 项），因为都是连
续的 4 的整数倍项，显然都可以平均分每组都是 4 个数公差为 d的等差数列.
（2）分析中间的数列 a4 p+1,a4 p+2 ,...,a4q+9 ,a4q+10 是 (4P + 2,4q + 9)可分数列.
上述数列共有 4q +10 (4p +1) +1= 4(q p + 2) + 2 项
将数列写成下述形式：
第一行 a4 p+1, a ...4 p+2 , a4 p+3 , a4 p+1+q p+1 共 q p + 2项
第二行 a4 p+1+(q p+2) ,a4 p+2+(q p+2) ,a4 p+3+(q p+2) ,...,a4 p+1+2(q p+1)+1共 q p + 2项
第三行 a4 p+1+2(q p+2) ,a4 p+2+2(q p+2) ,a4 p+3+2(q p+2) ,...,a4 p+1+3(q p+1)+1共 q p + 2项
第四行 a4 p+1+3(q p+2) ,a4 p+2+3(q p+2) ,a4 p+3+3(q p+2) ,...,a4 p+1+4(q p+1)+1共 q p + 2项
第五行 a4 p+1+4(q p+2) ,a4 p+2+4(q p+2) 共 2 项
上述表格中，若删去 a4 p+2 和 a4 p+1+4(q p+2) = a4q+9 两项，剩余显然可以平均分每组都是 4 个数
的等差数列。
所以，由（1）（2）可知，数列 a1,a2 ,...,a4m+2 是 (4P + 2,4q + 9)可分数列，
其中 p,q N ,0 p q m 2 .
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当 p,q N ,0 p q m 2 时，数列 a1,a2 ,...,a4m+2 是 (4P + 2,4q + 9)可分数列，满足条件的
2 m(m 1)(i, j)个数有Cm 1 +m 1= 个，
2
当 p, q N , 0 p q m 时，数列 a1, a2 , ..., a4m+2 是 (4p +1, 4q + 2) 可分等差数列，满足条件的
( ) C2
(m+1)(m+ 2)
i, j 个数有 m+1 +m+1= 个。
2
m(m 1) (m+ 2)(m+1)
所以共有不少于 + = m
2 +m+1个
2 2
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