资源简介

姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
2026 届高三最后一卷
数 学
（考试时间： 120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务
必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.集合 A 0,1,3，4,5 ，集合B x | (x 1)(x 5) 0 ，则 A B （ ）
A. 1,3,4 B. 1,4 C. 3,4 D. 3,4，5
z 2
2.已知复数 z满足 (2 i)（其中 i为虚数单位），则 z的虚部为（ ）z
A .1 B.2 C. 2 D. 2 2

3.平面向量 a，b满足 a 2
2π
， a (a b ) 3，且向量 a，b的夹角为 ，则 b （ ）3
3
A .1 B. C. 3 D.22
4.记 Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 S6 9S3， a4 a2 3，则 a3 （ ）
A .4 B . 2 C.8 D. -8
2 2
5.已知 F1,F
x y
2是椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左右焦点，点 P在椭圆上， PF1F2为等腰三角形，a b
F1F2P 120 ，则椭圆C的离心率为（ ）
1 1
A . B. C. 2 - 3 D. 3 -1
4 2 3 2
π π
6.将函数 y 3cos 2x 1的图象向右平移 个单位长度，得到函数 f x 的图象，则 f x 图象的对称
6 3
中心的坐标是（ ）
kπ
A. , 0

k Z
kπ ,1 k Z kπ π kπ π B. C. , 0 k Z D. ,1 k Z
2 2 2 3 2 3
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2
7.在三棱锥 A BCD中， AB BC AC CD 2 3， BCD ，二面角 A BC D的大小为 ，3 3
则三棱锥 A BCD的外接球表面积为（ ）
84 100 148
A. B. C. 27 D.
3 3 3
3
8.已知 = e 8 22 ， = ln 7 ， = ，则下列大小关系正确的是（ ）15
A . a b c B . c b a C .b a c D . a c b
二、多项选择题:本题共 3小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是（ ）
A. 2若随机变量 X N 1, ，则 P(X 0) P(X 2)
B. 若事件 A，B相互独立，则 P(A B) P(A) P(B)
C. 若样本数据 x1， x2， ， xn的方差为 2，则数据 2x1 1， 2x 1， 2 ， 2xn 1的方差为 8
D. 用相关指数 R2刻画回归效果，R2越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
10.已知 ( ) = ( + ) + + ，其中 ( )最大值为记为 ( )，则下列正确的是（ ）
A. 存在θ ∈ R，使得函数 ( )为奇函数
B. 任意θ ∈ R，都有M(θ) ≤ 3 3
2
C. 任意θ ∈ R， ， ( + π)至少有一个不小于 1
D. 任意θ ∈ R，且 ( 1) = ( 2) = M(θ)，则 | x1 x2 |min 2
11.如图，抛物线 : 2 = 4 ，过点P向抛物线 E作两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B. 切线 PA，PB
分别交 轴于 C，D. 设 ( 1, 1)，则下列说法正确的有（ ）
A. 过点 A的切线方程为 x1x 2(y1 y)
B. 当点 P在准线上时， | PA || PB |的最小值为 8
C. 当点 P在准线上时， | PC || AB | 2 | PB ||CD |
D. 对任意点 P均有∠ = ∠
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三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15 分.
12.已知函数 f x 2lnx a 2 的图象在 x 1处的切线与直线 x 4y 2 0垂直，则 a __________.x
13.一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字 1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，
一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为 1,则以数字 1 结束的概率是
_______.
5 1 1 1
14.设数列 an ，满足 a1 ，an 1 a2n an 1，记m ，则m的整数部分是_______.3 a1 a2 a2026
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）在Δ 中，三角 ， ， 所对的边分别为 a，b， c，其内切圆与外接圆半径分别为 r，R .
已知 c 2且 a 2cosB，求：
（1）求∠C的值；
r
（2）求 的最大值.
R
16.（15分）底面ABCD为正方形，侧面EAD垂直于底面ABCD且ΔEAD为正三角形，EF//AB, AB = 2EF = 2.
（1）若 H为 DE中点，求证：DE ⊥平面 ABH；
（2）求平面 ADE与平面 BCF所成二面角的平面角大小.
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17.（15 分）已知函数 ( ) = 1 ln ，其中 a R .

（1）讨论 ( )的单调性；
（2）若 有三个零点 1, 2, 3,且 1 < 2 < 3，求实数 的取值范围.
2 2
18.（17 x y分）已知双曲线 1(a 0,b 0)上任意一点M (x0 , y0 )，则过点M 的切线方程为a2 b2
x 2 20x y0 y
2 2 1 .已知焦点在 x轴上的双曲线 E :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的离心率为 2，且过点(2, 3).a b a b
（1）求双曲线 E的方程；
（2）过双曲线上点M 的直线 l为双曲线 E的切线， l分别与直线 x t , x t (t 0)交于 A,B两点，记
直线OM ,OA,OB的斜率分别为 k0 ,k1,k2 .
（i 2）求证： k1 k2 ；k0
（ii）若 AOM BOM ，求 t的值.
19.（17 分）将 个不同的数20, 21, 22, , 2n 1(n ∈ N )的任意一个排列 1, 2, , ，记为数列{ }.
（1） ∈ ，有 = { 1 1 + 2 2 + + | 1, 2, , ∈ }, = {0,1}，求 3的所有元素之和；
（2）将正整数 n拆分成若干个 2的非负整数次幂（2 =1、2 =2、2 =4……）之和，拆分所得的各项之间
不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为 k .例如：2可以拆分为 2 （1 种方式），也可以拆分为 2 +2 （另
1 种方式），共 2种拆分方式，故 k =2；3可以拆分为 2 +2 （1 种方式），也可以拆分为 2 +2 +2 （另 1
种方式），共 2种拆分方式，故 k =2.
（i）求k10；
（ii）求证：k2n+1 = k2n，k2n = k2n 2 + kn(n ≥ 2).
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参考答案 提示及评分细则
一．单项选择题：
1.答案：C.
z 2 2 2 1 i
2.答案：A .因为 2 i，即 z 2 2 i z可得 z 1 i
z 1 i 1 i 1 i ，所以 z 1 i，选 A.
2π 2π 3.答案：A.解：因为 a 2，且向量a，b的夹角为 ，所以 a b a b cos b 由 3a 2b 3 3 a b 9，
2 2 2
得3a a b 2b 9则 2 b b 3 0，解得 b 1（负值舍）.
a 1 1
4.答案：B. 1解：设等比数列的公比为q，易知 q 1，由题意 S6 9S 及
a4 a2 3，解得 2，由 a1 ，
3 q 2
2
q 2时， a3 a1q
2 2 .
5.答案：B.解：由题意知 A a,0 ,F1 c,0 ,F2 c,0 ，由 PF1F2为等腰三角形，且 F1F2P 120 ，得
PF2 F1F2 2c过 P作 PQ垂直 x轴于Q，如图所示，
则在Rt PF2Q中， PF2Q 180 120 60
3
，故 PQ PF2 sin PF2Q 2c 3c ，2
F2Q PF2 cos PF
1
2Q 2c c，所以 P c c, 3c 3，即 P 2c, 3c2 ，代入直线 AP的方程 y x a ，4
3 c 1
得 3c 2c a ，即 a 2c，所以所求的椭圆离心率为 e .
4 a 2
π π π
6.答案：B.解：由题意可得 f x 3cos 2 x 1 3cos 2x 1 3sin 2x 1 令 2x kπ,k Z ，得
3 6 2
kπ
x kπ , k Z，此时 f x 3sin kπ 1 1 所以 f x 图象的对称中心是 ,1 k Z ，答案为 B.2 2
7.答案：D.
解：取 BC 中点 E，连接 AE，DE， AB BC AC 2 3， AE BC，AE 3，CD 2 3，CE 3，
BC 1200 ，DE BC，DE 3 , AED为二面角 A BC D的平面角，
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AED 600 , AE DE 3， AED为等边三角形，AD 3。设 BCD的外心为O1， ABC的外心
为O2 ， BCD中，BD 6，2r
BD 4 3 r BC1 o ， 1 2 3， ABC为等边三角形，2r 4，sin120 2 sin 60o
r2 2，过O1作平面 BCD的垂线，过O2 作平面 ABC 的垂线，交点为球心O 60
0
，由二面角 计算得
R2 37 148 ，所以表面积为 ，选 D.
3 3
8.答案：A.
3 3
解：要证明 a > c，需证 - ln 2 ln15 3 15， 。因为 e2 5 ，得证 a > c.
2 15 2 2 2
2x x2
构造函数 f (x) ln(1 x) (x 0)。求导得 f (x) 0，故 f(x)在(0,+∞)单调递增.
x 2 (1 x)(x 2)2
2
2x 1 8 2
因此 f(x) > f(0) = 0，即 ln(1 x) 。令 x ，得 ln 7 ，得证 b > c.
x 2 7 7 1 2 15
7
8 1 1 3
由 ln(1+x) < x (x>0)，得 ln 3 e 2 ，故 a > b.综上，a > b > c，答案 A.7 7
e 2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目
要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.答案：ACD.
2
解：对于 A，因随机变量 X ~ N 1, ，则 1，由正态曲线的对称性可得 P(X 0) P(X 2)，故 A 正
确；
对 于 B ， 由 事 件 A ， B 相 互 独 立 可 知 P(A B) P(A)P(B) ， 对 于 随 机 事 件 A ， B ， 都 有
P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B)，故仅当 A， B互斥时，才有 P(A B) 0，
故结论不成立，即 B 错误；
x 1
n 1 n2
对于 C，由题意， xi , s ( xi x)2 2，对于数据 2x 1， 2x 1， ， 2x 1，其均值为n i 1 n 1 2 ni 1
n n
x 1 (2x 1i 1) 2 x n 1i 2x 1 ，其方差为n i 1 n i 1 n
s 2 1
n n n
[(2x i 1) x ]2 1 [2(x i x )]2 4 1 (x x )2 4s2 4 2 8 ，故 C 正确；n i 1 n i 1 n ii 1
对于 D，相关指数R2越接近 1，值越大，残差平方和接近 0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故
D 正确.
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10.答案：BC.
解：易知 A 错误；
f (x) （1 cos )sin x sin cos x sin （1 cos )2 sin 2 sin(x ) sin 2 2cos sin

， M ( ) 2 2cos sin 2 | cos | sin 2cos 2sin cos 2cos (1 sin )；
2 2 2 2 2 2

令 t，则 (t) 2cos t(1 sin t), (t) 2(1 2sin t)(1 sin t) 0 1 3，所以 sin t 或者 cos t ，
2 2 2
所以 (t) 3 3max ，选项 B 正确；2
设 f (x) 1, f (x ) 1， f (x) f (x ) 2，即 sin 1矛盾，选项 C 正确；
当1 cos 0时， cos 1，即 sin 0，此时 f (x) 0，选项 D错误.
11.答案：ABD.
解：A 显然正确；
对于 B，设P(x0 , 1)， PA：x1x 2y 2y1过点 P，所以 PA：x1x0 -2 2y1，同理，x2x0 -2 2y2，
x0x 2 2y AB：x0x -2 2y , 联 立 ，2 x
2 2x0x 4 0 ， x1 x2 2x0 , x1x2 4 ，
x 4y
2 2
PA 1 x 1 | x x x21 0 |， PB 1 | x2 x0 |，4 4
x2 x2 3 3
PA PB (1 1 )(1 2 ) | (x 2 2 2
4 4 1
x0)(x1 x0)| (x0 4) 4 8,选项 B 正确；
对于 C，易知， PAB ~ PDC , PC AB PB CD，故 C 错；
y 1 x 2 4 x 2 4 x x x x x x 4
对于 D， k 1 1 ， k 2 ，又 P( 1 2 , 1 2 )， k 1 2AF x1 4x
BF PF
1 4x2 2 4 2(x1 x2 )
k k k k
tan AFP AF pF , tan BFP BF pF ,所以 AFP BFP , D正确.
1 kAFk pF 1 kBFk pF
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.答案：-3.
13. 3答案： .
11
解析：设第一次抛出的点数为 i( = 1,2,3,4),最终以数字 1 结束的概率记为 ,
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第一次出现点数 第二次出现的点数如下：
1，结束（记下） 1，未结束，继续抛
2，结束（不是以 1结束，不记在内） 2，结束（不是以 1结束，不记在内）
1 ，3
3，未结束，继续抛 3，未结束，继续抛
4，结束（不是以 1结束，不记在内） 4，结束（不是以 1结束，不记在内）
= 1 + 11 4 4 3故： 1 1 ,得 1 =
3 .
3 = 1 + 114 4 3
14.答案：1.
a 5 2解析： 1 ,an 1 an an 1，知 a3 n
0 .
由 a 2n 1 an an 2an 1 an 1
2 0，知数列 an 单调递增
由 an 1 a
2
n an 1，知 an 1 1 a
2
n an an an 1 ，
1 1 1 1 1 1 1
得 ，所以
an 1 1 an an 1 an 1 an an an 1 an 1 1
m 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 a2026 a1 1 a2 1 a2 1 a3 1 a2026 1 a2027 1
1 1 3 1
，
a1 1 a2027 1 2 a2027 1
由数列 a 5 2 19 271n 单调递增， a1 ,an 1 an an 1，得 a2 ，a3 3，得到 a2027 3，3 9 81
0 1 1 ，
a2027 1 2
1 1 3 1
则m 的整数部分为1.
a1 1 a2027 1 2 a2027 1
15.解析：（1）由正弦定理得：a = 2RsinA, c = 2 = 2RsinC.所以由 a = 2cosB可得：
2RsinA = 2RsinCcosB,又由 A + B + C = π, sinA = sin(B + C)
则 sinA = sin(B + C) = sinCcosB,得到 cosC = 0,则 C = π.----------------------------------------------6 分
2
π
（2）由 C = ，得 2R = c = 2,得 R = 1.而内切圆半径:
2
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r = a+b c = sinA + sinB 1 = sinA + cosA 1 = 2sin(A + π ) 1 ≤ 2 1,
2 4
π
其中 A = B = 时等号成立.-----------------------------------------------------------------------------------13 分
4
16.解析：
(1)取 AD 中点 O 点，连接 EO，由 EAD为正三角形，得到 EO ⊥ AD
又侧面 EAD 垂直于底面 ABCD，AD = 平面 EAD ∩平同 ABCD
所以 EO ⊥ 平面 ABCD,如图建立空间直角坐标系--------------------------------------------------------------2 分
于是 A(1,0,0)，B 1,2,0 , E 0,0, 3 , D 1,0,0 H( 1 , 0, 3 )
2 2
3 3
所以AB = 0,2,0 , AH = ,0, , DE = (1,0, 3)
2 2
DE AB = 0
由 DE AH = 0 得到 DE ⊥ 平面 ABE. ----------------------------------------------------------------------7 分
AB ∩ AH = A
(2)利用EF = 1AB = (0,1,0)得到 F(0,1, 3)
2
在平面 BCE 中，BC = 2,0,0 , BF = ( 1, 1, 3),设平面 BCE
的一个法向量为m = (a, b, c)
则 m BC = 0 2a = 0得到：
m BF = 0 a b + 3c = 0
不妨设 c = 1,则m = (0, 3, 1)--------------------------------10 分
又由平面 ADE 与平面 ABCD 垂直，AB⊥ AD ,AD = 平面 ADE ∩平面 ABCD,
则 AB ⊥ 平面 ADE,则AB = (0,2,0)为平面 ADE 的一个法向量，

所以 cos < m, AB >= m AB = 2 3 = 3
m AB
，
4 2
所以平面 ADE 3与平面 BCF 所成角的余弦值为 .----------------------------------------------15 分
2
2
17.解析：（1） ( )的定义域为(0, + ∞), '( ) = +12 ,--------------------------------2 分
当 ≤ 2时， '( ) = 1 ( 1 + ) ≥ 0,所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增；

> 2 '( ) = 0, =
2 4 + 2 4
当 时，令 不妨记 1 , = ;2 2 2
所以 ( )在(0, 1)上单调递增，在( 1， 2)上递减，在( 2， +∞)上递增；
综上所述：
当 ≤ 2时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
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> 2 ( ) (0,
2 4 )
2 4 + 2 4 + 2 4
当 时， 在 上单调递增，在( ， )上递减，在( ， +∞)上递增；
2 2 2 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7 分
1
（2）设 ( ) = 有三个零点 1, 2, 3,而 (1) = 0.
( ) = 1 1
当 > 0 且 ≠ 1时，由
( 1 ) = + 1
,得到： ( ) + ( ) = 0；
+

1
故 ( ) = 0, ( 1 ) = 0，又因为 f (1) 0，故 1, 2, 3满足0 < 1 < 1, 2 = 1, x3 1 x1
2
所以 '( ) = +1 2
2
= 0，即 + 1 = 0 在(0, + ∞)有两个不同的实数根 1, 2， 1 < 2
1 + 2 = > 0
所以 1 2 = 1 > 0 ,得到 > 2, 0 < 1 < 1 < 2.
= 2 4 > 0
所以 ( )在(0, 1)上单增，在( 1, 2)上单减，在( 2, + ∞)上单增;-----------------------------------------10 分
取 = ∈ (0,1),所以 ( ) = 2 + < + 2 + 1,
由 > 2 设 ( ) = + 2 + 1 , '( ) = + 2 , ''( ) = + 2 < 0 ,所以 '( )在(2, + ∞)上递减，故
‘( ) < (2) = 2 + 4 < 0,故 ( )在(2, + ∞)上递减.
故 ( ) < (2) = 2 + 5 < 0,故 ( )<0
而 ( 1) > (1) = 0, ( 2) < (1) = 0,
取 = 时， ( ) = 2 + = ( ) > 0,
故由根的存性定理可知，当 > 2 时，必存在三个不同实数，0 < 1 < 2 = 1 < 3,使得 ( 1) = ( 2) =
( 3) = 0.故 > 2.---------------------------------------------------------------------------15分
18.答案：(1) x2 y2 = 1---------------------------------------------------------------------------4分
(2) (i)设 M x0, y0 ，则 l 的方程：x0x y0y + 1,
∴A t, tx0 1 ,B t tx0 1， , ∴ k + k 2
y y 1 2
= ---------------------------------------------------9分
0 0 k0
(ii) 由∠AOM+∠BOM= S OAπ，故 AOM= =MA------------------------------------------------------12 分
S BOM OB MB
2 2
因为OA2 = t2 + tx0 1 , OB2 = t2 + tx0+1
y0 y0
MA x t OA MA 2
又因为 = 0 ，代入 = ,求得 t = ------------------------------------------------------17 分
MB x0+t OB MB 2
19.解析：
(1)解法一：当 = 3 时， 3 = {0,1，2，3，4，5，6，7}，
故所有项的和为 28.
解 法 二 ： 3 共 有 23 = 8 种 情 况 ， 而 20，21，22 出 现 的 次 数 均 为 22 个 ， 故 所 有 项 之 和 为
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22(20 + 21 + 22) = 28.-----------------------------------------------------------4 分
(2)①解法一：可直接拆分：10 = 23 + 21
= 23 + 1 + 1 = 22 + 22 + 21 = 22 + 22 + 1 + 1 = 22 + 21 + 21 + 21,
= 22 + 21 + 21 + 1 + 1 = 22 + 21 + 1 + 1 + 1 + 1=22 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1,
= 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
= 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
故 10 = 14
解法二：可以用第②结论来求 10 = 5 + 8 = 4 + 6 + 4 = 3 4 + 3 = 3(2 2) + 3 = 14.---------9 分
②先证明： 2 +1 = 2 ，
任意整均可拆分成 2 的非负整数次幂，而 2 的幂只有 1 为奇数，要得到奇数 2 + 1，必顺用奇数个 1，把
任意拆分里的 1 个 1 去掉，便可得么 2n 的一个拆分，反过来 2n 的任意一个拆分加个 1，便得到 2n+1 的一
个拆分，所以 2 +1 = 2 .-------------------------------------------------------------------------------------------12 分
再证： 2 = 2 2 + ( ≥ 2).
对 2n 的拆分项进行分类，共两类：
1 类为至少含有两个 1 的拆分项，2 类至多含 1 个 1 的拆分项，
第 1类至少含有两个 1的拆分项，将两个 1去掉，与 2n-2的拆分项是一一对应的，故这类拆分的数量为 2 2.
2 类 2 类至多含 1 个 1 的拆分项，而总和为偶数，故 1 的个数只能是 0 个，于是 2n 的拆分项，只需考查 n
的拆分即可，设 = +1 + 2 + + , ∈ ,这里 1， 2， ， 都是 2的幂的形式.所以 2 = 2( 1 + 2 +
+ )，两边同除 2 得到 n 的拆分，于是 2n 的拆分项，与 n的折分项是一一对应的.故此类拆分数为 .
综上可得： 2 +1 = 2 .-------------------------------------------------------------------------------------------17 分
2026 届高三数学答案 第 7 页 共 7 页

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