资源简介

2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试 (四)
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试时间 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 已知集合A= -1,0,1,2 ，集合B= x x<2 ，则A∩B= ( )
A. -1,0 B. 1,2,3 C. 0,1,2 D. x 0【答案】C
【详解】由A= -1,0,1,2 ，B= x x<2 ，则A∩B= 0,1,2 .
2. z

若复数 z满足 z+ 2z= 3- i，则 = ( )
i
A. - 1- i B. - 1+ i C. 1- i D. 1+ i
【答案】A
【详解】设 z= a+ bi a,b∈R ，则 z= a- bi，
代入 z+ 2z = 3- i得到，
(a+ bi) + 2(a- bi) = 3- i，
即 3a- bi= 3- i，
所以 3a=3 - =- ，即 a= 1,b= 1 ，b 1

所以 z= 1- i，
z = 1-i则 =-1- i.
i i
2 3. 设单位向量 e1,e2的夹角为 π，a= e1+ 2e2,b= 2e

3 1
- e2，则 b在 a上的投影数量为 ( )
A. 1 B. 3 C. - 1 D. - 3
2 2 2 2
【答案】D
2
【详解】∵单位向量 e1,e2的夹角为 π，e1 e2= e1 e2 cos e1,e3 2 = 1× 1× cos
2 π=- 1 ，
3 2
∵ a= e1+ 2e2,b= 2e

1- e2，∴ a b= e +2e 2e -e = 2 e 21 2 1 2 1 - e1 e2+ 4e1 e2- 2 e 22

= 2 e 21 + 3e1 e2- 2 1 e 22 = 2+ 3× - - 2=- 3 ，2 2
2 2 a = a = e1+2e 22 = e 21 + 4e1 e 12+ 2e 22 = 1+ 4× - + 4= 3，2
·1·
a = 3，
a b -
3
3
则 b在 a上的投影数量为 2 = =- ，故选项D正确. a 3 2
4. 在△ABC a+b+c中，若∠A= 60°，b= 2，其面积为 2 3，则
sinA+ = ( )sinB+sinC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【详解】由题意知，S= 1 bcsinA= 1 2 c 3 = 3 c= 2 3，所以 c= 4.
2 2 2 2
由余弦定理知，a2= b2+ c2- 2bccosA= 22+ 42- 2 2 4 1 = 12，所以 a= 2 3 .
2
b = c = a = 2 3由正弦定理得， = 4，则 a= 4sinA，b= 4sinB，c= 4sinC.
sinB sinC sinA 3
2
a+b+c
所以 + + =
4sinA+4sinB+4sinC = 4.
sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC
5. 正项数列 an 的前n项积为Tn，且 Tn-2 an-1 = 2，则 a2025= ( )
A. 4047 B. 4049 C. 4051 D. 4053
4045 4047 4049 4051
【答案】C
T T
【详解】当n≥ 2时，an= n ，则 Tn-2 an-1 = Tn-2 Tn-1
n -1
Tn-1 = 2，
整理得T2n -TnTn-1- 2Tn= 0，又Tn> 0，所以Tn-Tn-1= 2 n≥2 ，
当n= 1时，T1= a1，则 T1-2 a1-1 = 2，即 T1-2 T1-1 = 2，
整理得T1= 3或T1= 0(舍去)，所以T1= a1= 3.
所以 Tn 是首项为 3，公差为 2的等差数列，
因此Tn= 3+ 2 n-1 = 2n+ 1.
T
当n≥ 2 a = n = 2n+1 = 2n+1时， n .Tn-1 2 n-1 +1 2n-1
当n= 1时，an= 3满足上式，所以 an= 2n+1 .2n-1
a = 2×2025+1 = 4051故 2025 2× .2025-1 4049
6. 已知函数 f x = x+ 2cosx，则 x∈ 0,π 的最大值为 ( )
A. π + 3 B. π- 2 C. π + 1 D. 5π - 3
6 3 6
【答案】A
【详解】由题意得 f x = 1- 2sinx，x∈ 0,π ，令 f x = 0，得 sinx= 1 π 5π，解得 x= 或 ，
2 6 6
由 f ' x > 0，有 sinx< 1 ，解得 0< x< π 5π或 < x< π，
2 6 6
由 f x < 0，有 sinx> 1 π 5π，解得 < x< ，
2 6 6
f x π , 5π π 5π所以 在 单调递减，在 0, , ,π 单调递增，6 6 6 6
·2·
所以 f π π x 的极大值为 f = + 2cos π = π + 3，6 6 6 6
f π = π+ 2cosπ= π- 2，f 0 = 0+ 2cos0= 2 π，因为 f > f 0 > f π ，6
π
所以 f x 的最大值为 + 3 .
6
7. 已知点P -1,2 ，Q 2,1 ，若直线 l：mx- y+ 2m= 0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范
围为 ( )
A. -∞,4 B. 1 ,24
C. - 1 , 1 D. -∞,- 1 ∪ - 1 ,+∞3 4 3 3
【答案】C
2-1 1
【详解】直线PQ的斜率为 kPQ= - =- .1-2 3
直线 l：mx- y+ 2m= 0可变形为m x+2 - y= 0，则直线 l恒过点M -2,0 ，kl=m，
MQ k = 1-0直线 的斜率为 MQ =
1 .
2- -2 4
当直线 l1与PQ平行时，kl = kPQ=-
1 .
1 3
1 1
结合图象可知，若直线 l与线段PQ的延长线相交，则 kl < kl< kMQ，即- 8. △ABC A B C a b c A= 2C b+2c + 2c
2
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ，，，若 ，则 的最小值为 (c a
)．
A. 1 B. 13 C. 16 D. 5
3 3
【答案】D
【详解】在△ABC中，A+B+C= π，由A= 2C得B= π- 3C，所以 03
a = c A= 2C a= csin2C = 2ccosC 2c 1由正弦定理 ， ，则 ，即 = .
sinA sinC sinC a cosC
b = c B= π- 3C b= csin3C由 ， ，则 ，
sinB sinC sinC
sin3C= sin(2C+C) = sin2CcosC+ cos2CsinC
= 2sinCcos2C+ (1- 2sin2C)sinC= 2sinC(1- sin2C) + sinC- 2sin3C
= 2sinC- 2sin3C+ sinC- 2sin3C= 3sinC- 4sin3C.
b
故 = 3- 4sin2C= 4cos2C- 1.
c
·3·
b+2c + 2c
2 b 2
原式 = + 2+ 1c a c cosC ，
代入得：4cos2C- 1+ 2+ 1 = 4cos2C+ 1 + 1.
cos2C cos2C
令 t= cos2C，由 03 2 4
原式化为 f(t) = 4t+ 1 + 1，t∈ 1 ,1 .t 4
1
由均值不等式得 4t+ ≥ 2 4t 1 = 4 1，当且仅当 4t= 即 t= 1 时取等号
t t t 2
t= 1 ∈ 1 ,1 符合条件，故 f(t)min= 4+ 1= 5，即原式最小值为 5.2 4
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知函数 f(x)的定义域为R，[ f(x)]2+[ f(y)]2= f(x+ y)f(x- y) + 1，f(1) = 0，则 ( )
A. f(0) = 0 B. f(3) = 0 C. f(x)为偶函数 D. f(x)为奇函数
【答案】BC
【详解】对于A，令 x= y= 0，则 2[ f(0)]2=[ f(0)]2+ 1，解得 f(0) =-1或 f(0) = 1，A错误；
对于B，令 x= y= 1，得 2[ f(1)]2= f(2)f(0) + 1= 0 1，则 f(2) =- ，
f(0)
令 x= 3,y= 2，得 [ f(3)]2+[ f(2)]2= f(5)f(1) + 1，则 [ f(3)]2+ 1 = 1，因此 f(3) = 0，B正确；
[ f(0)]2
对于C，依题意，f(x+ y)f(x- y) + 1= f x 2+ f y 2= f y 2+ f x 2= f(y+ x)f(y- x) + 1，
则 f x+y f x-y = f y+x f y-x ，对 t∈R x= t，取 ,y=- t ，
2 2
得 f 0 f t = f 0 f -t ，又 f 0 ≠ 0，则 f t = f -t ，即 f x = f -x ，f(x)为偶函数，C正确；
对于D，由 f(0) =-1或 f(0) = 1，得 f(0) ≠ 0，因此 f(x)不为奇函数，D错误.
2
10. 若曲线 Γ由半圆 x2+ y2= 1 x≤0 x 和半椭圆 + y2= 1 x>0 组成，若直线 y= t与 Γ交于A,B两
2
点 (A在B的左侧)，C 1,0 ,D -1,0 ，则 ( )
A. BC + BD = 2 2
B. AC + AD 的最大值为 3 2
C. 存在 t∈R，使得四边形ABCD是平行四边形
D. △ABC 2+1面积的最大值为
4
【答案】ACD
x2
【详解】因为曲线Γ由半圆 x2+ y2= 1 x≤0 和半椭圆 + y2= 1 x>0 组成，
2
所以曲线Γ关于横轴对称，不妨研究当 0≤ t< 1时的情况.
2
A x：由椭圆 + y2= 1的标准方程可知 a= 2 ,b= 1 c= a2-b2= 2-1= 1，
2
2
所以C 1,0 ,D x -1,0 是椭圆 + y2= 1的焦点，
2
于是有 BC + BD = 2a= 2× 2= 2 2，所以本选项结论正确；
B：显然 OC = OD = OA = 1，所以△ADC是直角三角形，且AD⊥AC，
·4·
AC + AD 2≤ AC + AD
2
所以 = 1 CD 2= 1 ×4= 2，当且仅当 AD = AC 时，取等
2 2 2 2
号，即 AC + AD ≤ 2 2，此时A 0,1 ，显然A,B重合，不符合题意，
即 AC + AD < 2 2，所以本选项说法不正确；
C：当-1≤ x≤ 0,y≥ 0时，
由 x2+ y2= 1 y= 1-x2= t x=- 1-t2 A - 1-t2,t .
当 0< x≤ 2 ,y≥ 0时，
x2 2
由 + y2= 1 y= 1- x = t x= 2 1-t2 B 2 1-t2 ,t .2 2
假设四边形ABCD是平行四边形，因为AB CD，
所以 AB = CD = 2，
即 2 1-t2 - - 1-t2 = 2+1 1-t2= 2 t= 8 2-11，t=- 8 2-11< 0舍去，所以存
在 t∈R，使得四边形ABCD是平行四边形，所以本选项说法正确；
2 2 2
D：△ABC 1的面积为 × 2+1 1-t2 t= 2+1 1-t2 t2≤ 2+1 1-t +t ，当且2 2 2 2
仅当 1- t2= t2 1时取等号，即 × 2+1 1-t2 t≤ 2+1 ，
2 4
t= 2 △ABC 2+1所以当 时， 面积的最大值为 ，所以本选项说法正确.
2 4
11. 已知四棱锥P-ABCD的体积为 24，底面ABCD是平行四边形，Q是PA上靠近点P的一个三等

分点，经过直线CQ的平面与侧棱 PB,PD分别交于点M ,N (均不与P重合)，设PM = λPB,PN =

μPD，则下列说法正确的是 ( )
A. 1当AB 平面CMN时，μ= 3λ B. 当 λ= μ时，MN= BD
3
C. 四面体P-QCM 4的体积的最小值为 D. 四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为 4
3
【答案】ACD
【详解】设AC∩BD=O，PO∩CQ=G，

在平面PAC内，因为O为AC的中点，则PO= 1 PA+ 1 PC，
2 2
·5·
x x
可设PG= xPO= PA+ PC，
2 2
y
又因为Q,G,C三点共线，则PG= yPQ+ 1-y PC = PA+ 1-y PC，
3
x = y x=
1
2 3 1 则 x ，解得
2
3 ，则PG= PO，=1-y y= 22 4
因为G∈PO，PO 平面PBD，则G∈平面PBD，
且G∈QC，QC 平面CMQN，则G∈平面CMQN，
因为平面PBD∩平面CMQN=MN，则G∈MN，可知MN∩PO=G，

因为M ,G,N三点共线，则PG= kPM + 1-k PN = kλPB+ 1-k μPD，

且点O 1为BD的中点，则PO= PB+ 1 PD 1，可得PG= PO= 1 PB+ 1 PD，
2 2 2 4 4
kλ=
1
4 k 1 + 1可得 ，消去 可得 = 4. 1-k μ= 1 λ μ4
A：若AB 平面CMN，
因为AB 平面PAB，平面CMN∩平面PAB=QM，可得AB QM，
PQ
则 = PM = 1 ，即PM = 1 PB，λ= 1 ，
PA PB 3 3 3
3+ 1则 = 4，解得 μ= 1，所以 μ= 3λ，故A正确；
μ
B λ= μ PM = PN：若 ，则 ，可知MN BD，
PB PD
PM = PN则 = PG = 1 ，所以MN= 1 BD，故B错误；
PB PD PO 2 2
C 1 + 1 = 4 1 = 4- 1 1：因为 ，则 ≥ 1，解得 ≤ λ≤ 1，
λ μ μ λ 3
1 1 1
又因为VQ-PBC= VA-PBC= × VP-ABCD=
1 × 24= 4，
3 3 2 6
4
则四面体P-QCM的体积VP-QCM=VQ-PCM= λVQ-PBC= 4λ≥ ，3
当且仅当 λ= 1 4时，等号成立，所以四面体P-QCM的体积的最小值为 ，故C正确；
3 3
D：因为V 1 1 1 1Q-PCD= VA-PCD= × V3 3 2 P-ABCD= × 24= 4，6
则四面体P-QCN的体积VP-QCN=VQ-PCN= μVQ-PCD= 4μ，
可得四棱锥P-MCNQ的体积VP-MCNQ=VP-QCM+VP-QCN= 4 λ+μ ，
又因为 4 λ+μ = 1 + 1 μ λ μ λ+μ = 2+ + ≥ 2+ 2 λ = 4，λ μ λ μ λ μ
μ λ
当且仅当 = ，即 λ= μ= 1 时，等号成立，
λ μ 2
所以四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为 4，故D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 已知 1+x 2 + 1+x 3 + + 1+x 9 = a0+ a1x+ a 22x + +a 99x ，则 a2的值为 .
【答案】120
【详解】由 1+x 2 + 1+x 3 + + 1+x 9 = a0+ a1x+ a2x2+ +a9x9，
得 a2=C2 2 22+C3+C4+C2+C2+C2+C2+C25 6 7 8 9=C33+C23+C2 24+C5+C26+C27+C2+C28 9
=C34+C24+C2 2 25+C6+C7+C2+C2=C3+C2+C28 9 5 5 6+C27+C2+C28 9
·6·
=C3+C2+C2+C2+C2=C3+C2+C2+C26 6 7 8 9 7 7 8 9=C38+C2 28+C9=C3+C29 9=C310= 120.
2 y2
13. P x已知点 在双曲线 C： - = 1(a> 0，b> 0)上，P到两渐近线的距离为 d ，d
2 2 1 2
，若 d1d2≤
a b
1
OP 2恒成立，则C的离心率的取值范围为 .
2
【答案】 1, 2
C x
2 y2
【详解】双曲线 ： - = 1(a> 0，b> 0)的两条渐近线的方程为 bx- ay= 0和 bx+ ay= 0，
a2 b2
bx0-ay0 bx0+ayP 0 点 x0,y0 到两条渐近线的距离之积为 d1d2= ，
a2+b2 a2+b2
1
而 d1d2≤ OP 2恒成立，又因为 OP 2的最小值为 a2，2
b2x 20 -a2y0 2
故只需 ≤ 1 a2，又点P x0,y0 满足双曲线的方程，
a2+b2 2
2 2
∴ b2x20- a2y20= a2b2，∴ a b ≤ 1 a2，即 a2≥ b2，
a2+b2 2
2
则C的离心率 e= c = 1+ b ≤ 2，∴ 1< e≤ 2 .
a a2
14. 若 x> 0，ex+1≥ a ln ax -1 ，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 0,e2
【详解】由题知 x∈ (0, +∞)，ex+1≥ a ln ax -1 恒成立，
即 xex+1≥ ax ln ax -1 ，即 xex+1≥ ln ax -1 eln ax -1+1对于 x∈ (0, +∞)恒成立，
令 h(x) = xex+1，则 h(x)≥ h ln ax -1 ，
而 h (x) = ex+1+ xex+1> 0在 x∈ (0, +∞)上恒成立，
所以 h(x) = xex+1在 x∈ (0, +∞)上单调递增，
x+1
所以 x≥ ln ax - 1，即得 ln ax ≤ x+ 1，即 ax≤ ex+1，所以 a≤ e 对于 x∈ 0,+∞ 恒成立，
x
ex+1 x+1 x+1 ex+1 x-1
令 t x = ,x∈ 0,+∞ ，则 t (x) = e x-e =

，
x x2 x2
所以当 x∈ (0,1)时，t (x)< 0；
当 x∈ (1, +∞)时，t (x)> 0；
x+1
所以 t(x) = e 在 (0,1)单调递减，在 (1, +∞)单调递增，
x
所以 t(x)min= t(1) = e2，所以 a≤ e2，又 ax> 0 a> 0, ∴ 0< a≤ e2.
所以实数 a的取值范围是 0,e2 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知 a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+ 3asinC- b- c= 0．
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，a= 3，求边BC上的中线AD的取值范围．
【答案】(1) π (2)AD∈ 7 , 3 3 2 2
【解析】
【小问 1详解】
·7·
根据题意可知，acosC+ 3asinC- b- c= 0，
由正弦定理得：sinAcosC+ 3sinAsinC- sinB- sinC= 0，
即 sinAcosC+ 3sinAsinC= sin(A+C) + sinC，
所以 sinAcosC+ 3sinAsinC= sinAcosC+ cosAsinC+ sinC，
即 3sinAsinC= cosAsinC+ sinC．
又 0 0，
3 1 1 π 1
故 3sinA- cosA= 1，即 sinA- cosA= ，所以 sin A- = ．2 2 2 6 2
06 6 6
A- π = π π π π即 ，故A= + = ．
6 6 6 6 3
【小问 2详解】
b2+c2-a2 b2cosA= = +c
2-3 1
根据余弦定理得： = ，
2bc 2bc 2
即 b2+ c2= bc+ 3．

又因为 2AD=AB+ 2 2 2AC，两边平方得 4 AD =AB +AC + 2AB AC = c2+ b2+ bc= 2bc+ 3．
b c
根据正弦定理可知， = = a = 3 = 2，故 c= 2sinC，b= 2sinB，
sinB sinC sinA 3
2
所以 2bc+ 3= 8sinBsinC+ 3= 8sinBsin 2π -B + 3= 8sinB 3 cosB+ 1 sinB + 33 2 2
= 4 3sinBcosB+ 4sin2B+ 3= 2 3sin2B+ 4 1-cos2B + 3= 2 3sin2B- 2cos2B+ 5
2
= 4 sin2B 3 -cos2B 1 + 5= 4sin 2B- π + 5．2 2 6
0又由于△ABC π π是锐角三角形，因此可得 2 2 π ，解得 2B- π ∈ π , 5π sin 2B- π ∈ 1因此 ，所以 ,1 π ，即 4sin 2B- + 5∈ (7,9]，6 6 6 6 2 6

所以 4|AD|2∈ (7,9]，则AD∈ 7 , 3 ．2 2
16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100位居民作为样本，就最近一年
来网购消费金额 (单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这 100位居民的网购
消费金额均在区间 [0,30]内，按 [0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成 6组，其频率分布
直方图如图所示．
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额在 20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 2× 2列联表，并判断有多大把握认
·8·
为“网购迷与性别有关系”
男 女 总计
网购迷 20
非网购迷 45
总计 100
2= n(ad-bc)
2
附：K ,n= a+ b+ c+ d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
临界值表：
P K 2≥k0 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)17.5千元；(2)见解析，有 97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”．
【详解】(1)在直方图中，从左至右前 3个小矩形的面积之和为 (0.01+ 0.02+ 0.04) × 5= 0.35，
后 2个小矩形的面积之和为 (0.04+ 0.03) × 5= 0.35，所以中位数位于区间 (15,20]内．
设直方图的面积平分线为 15+ x，则 0.06x= 0.5- 0.35= 0.15，得 x= 2.5，
所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为 17.5千元．
(2)由直方图知，网购消费金额在 20千元以上的频数为 0.35× 100= 35，
所以“网购迷”共有 35人，由列联表知，其中女性有 20人，则男性有 15人．
所以补全的列联表如下：
男 女 总计
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
总计 60 40 100
100(45×20-15×20)2
K 2= = 600因为 ≈ 6.593> 5.024，查表得P K 2≥5.024 = 0.025，
60×40×35×65 91
所以有 97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”．
17. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面 PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为
2 3的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若F为BC中点．
(ⅰ)求异面直线AF与PC的距离；
(ⅱ)求四棱锥P-ABCD的外接球被△AEF所在的平面截得的圆的面积．
·9·
【答案】(1)证明见解析
(2) (ⅰ) 6 ；(ⅰⅰ) 11π
2 2
【解析】【分析】(1)先由面面垂直性质得BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥AE，再结合等腰三角形性
质得AE⊥PB，最后由线面垂直判定得AE⊥平面PBC，从而根据面面垂直判定完成证明.
(2) (ⅰ)由线面平行性质推出EF∥PC，确定F为BC中点，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，

进而得到向量AF 、PC，求与两向量都垂直的向量n，利用公式算出异面直线AF、PC距离
(ⅱ)根据外接球球心性质求出球心坐标与半径，再利用法向量求球心到平面距离，最后由勾股定理
求截面圆半径并计算面积.
【小问 1详解】
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
且BC 平面ABCD，则BC⊥平面PAB，
因为AE 平面PAB，则BC⊥AE，又PA=AB，PE=EB，则AE⊥PB，
因PB∩BC=B，PB,BC 平面PBC，则AE⊥平面PBC，
又AE 平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC．
【小问 2详解】
(ⅰ)由EF 平面PDC，平面PDC∩平面PBC=PC，EF 平面PBC，则EF∥PC，
故F为BC的中点，取AB的中点O，连接OP，OP⊥AB，
则BC⊥平面PAB，因OP 平面PAB，则BC⊥OP，
BC∩AB=B，BC,AB 平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，
故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为 x，z轴，过O作BC的平行线为 y轴，建立如图所示的空
间直角坐标系O- xyz．
由题意，P 0,0,3 ，A - 3,0,0 ，B 3,0,0 3 ，C 3,2 3,0 ，E ,0, 3 ，F 3, 3,0 ，
2 2
AF = 2 3, 3,0 ，PC = 3,2 3,-3 ，
n

设 = x,y,z 与AF，PC向量都垂直，则
2 3x+ 3y=0, + 令 x= 1得n= 1,-2,- 3 ，3x 2 3y-3z=0,

FC = 0, 3,0 ，
-2 3
则异面直线AF，PC的距离 d= = 6 ．
8 2
(ⅱ)由底面ABCD为正方形，设P-ABCD外接球球心为O 0, 3,t ，
由OB=OP得 3+ 3+ t2= 3+ t-3 2 ，得 t= 1，
则球半径R= 7，
由 (2)知平面AEF的法向量为 1,-2,- 3 ，
·10·
则球O到平面AEF距离为 d1= 2 3 = 6 ，
8 2
则球O截平面AEF r2= 7- 6 = 11所得圆的半径 ，
4 2
11π
则截面圆面积为 ．
2
18. 已知函数 f x = ax2- lnx(a> 0)．
(1)设 y= kx+ b是曲线 y= f x 的任意一条切线，若 kb≤ 0，求 a的值；
(2)证明：存在 r> 0，对任意 0< s< t，且 s+ t≤ 2r，都有 f s > f t ；
n i
(3) 2 +i证明： ln > 4- n+2．
i=1 2i-i 2n-1
1
【答案】(1)a=
2e
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【解析】
【小问 1详解】
2ax2-1
设直线 y= kx+ b与曲线 y= f(x)切点横坐标为 x0，因为 f (x) = ，x
2
= 2ax0-1 ( - )+ 2- = 2ax
2
0-1所以切线方程为：y x x 2
x 0
ax0 lnx0 x+ 1- axx 0- lnx0，0 0
2ax2-1
所以 kb= 0 (1- ax2
x 0
- lnx0)≤ 0，
0
即 (2ax20- 1) (1- ax20- lnx0)≤ 0对任意 x0> 0都成立，
因为 a> 0，所以 y= 2ax2- 1在 (0, +∞)上递增且存在唯一正的零点 1 ，
2a
又 y= 1- ax2- lnx在 (0, +∞)上递减，所以 1 也是它的零点.
2a
所以 1- a× 1 - ln 1 = 0 1；解得 a= .
2a 2a 2e
【小问 2详解】
2
因为 f(x)的定义域为 (0, +∞)，a> 0，f (x) = 2ax -1 ，
x
当 x∈ 0, 1 时，f (x)< 0，f(x)递减；2a
当 x∈ 1 ,+∞ 时，f (x)> 0，f(x)递增.2a
取 r= 1 t，设 = q> 1 2，代入 s+ t≤ 2r得， as≤ ，
2a s q+1
所以 f(s) - f(t) = a(s2- t2) + ln t =-as2(q2- 1) + 2(q-1)lnq≥ lnq- ，
s q+1
( ) = - 2(x-1)设 h x lnx + ，x> 1，x 1
2
h (x) = 1 - 4 = (x-1)因为 > 0，所以 h(x)在 (1, +∞)上单调递增，
x (x+1)2 x(x+1)2
所以 h(x)> h(1) = 0，即 f(s) - f(t)> 0，
所以 f(s)> f(t)，
所以 a> 0时，存在 r> 0，对任意 0< s< t，且 s+ t≤ 2r，都有 f s > f t ；.
·11·
【小问 3详解】
i2
取 a= ，i∈N * 1，s= - 1 1，t= + 1 ，
2 i 2i i 2i
则 0< s< t，s+ t= 2 ，
i
2
由 (2)知，f(s)> f(t) t i，即 ln > (t2- s2)，
s 2
1 1
t = i
+
2i 2i+i 1 1 2 1 1 2因为 = ，t2- s2= + - -s 1 - 1 2i-i i 2i i 2i =
4
，
i 2i
i 2i
i
ln 2 +i > i
2
所以 4 = i ，
2i-i 2 i 2i 2i-1
n
设Sn= i = 1+ 2 + 3 + + n ，
2i-1 2i=1 2 2 2n-1
1 1 2 3 n
所以 S = + + + + ，
2 n 2 22 23 2n
1 1 1-
1
n
两式相减得， Sn= 1+ + 1 + 1 + 1 - n = 2 - n = 2- n+2 ，2 2 22 23 2n-1 2n 1- 1 2n 2n2
n+2
所以Sn= 4- ，
2n-1
n 2i+i
所以 ln > 4- n+2 ,n∈N *.i
i=1 2 -i 2n-1
19. 已知抛物线C :y2= 2px p>0 的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点D 2p,0 ，且 AD 的最小值为 2 3．
(1)求C的方程；
AF
(2) 若 AD = BD ，求 的所有可能取值；
BF
(3)若M，N两点在C上 (M，N与A，B均不重合)，且MF，NF分别是∠AMB，∠ANB的平分线，
GA GB△ FMN的外心为G，证明： 为定值．
GF 2
【答案】(1)y2= 4x
(2)1，2± 3
(3)证明见解析
【解析】
【小问 1详解】
设A x, 2px ，
则 AD = x-2p 2 +2px= x2-2px+4p2= x-p 2 +3p2≥ 3 p，
所以 AD 的最小值为 3 p，当且仅当 x= p成立，
依题意则有 3 p= 2 3，解得 p= 2，
故C的方程为 y2= 4x．
【小问 2详解】
由于 p= 2，故D 4,0 ，F 1,0 ，
易知直线AB斜率不为零，故设直线AB:x=my+ 1，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
·12·
将 x=my+ 1与 y2= 4x联立，得 y2- 4my- 4= 0，
则 y1+ y2= 4m，y1y2=-4，x1+ x2=m y1+y2 + 2= 4m2+ 2，
x +x y +y
设P为AB的中点，则P 1 2 , 1 2 ，即P 2m2+1,2m ，由题可知PD⊥AB，2 2
AF
当AB的斜率不存在时，m= 0，显然满足题意，此时 = 1，
BF
当AB，PD 1 2m的斜率均存在时，kAB= ，kPD= ，m 2m2-3
k 2则由 AB kPD=-1，解得m=± ，2
y = 2+ 6
当m= 2 时，由 y2- 2 2y- 4= 0，解得 1 = - ，2 y2 2 6
AF y= 1 2+ 6此时 = = 2+ 3，
BF y2 6- 2
当m=- 2 时，由 y2+ y = 6- 22 2y- 4= 0，解得 1
2 y2=- 2- ，6
AF y= 1 = 6- 2此时 = 2- 3，
BF y2 6+ 2
AF
综上， 的可能取值为 1，2± 3．
BF
【小问 3详解】
MA NA FA
由角平分线的性质可知 = = ，设该比值为 t t>0 ，
MB NB FB
TA
下面分析满足 = t的点T a,b 的轨迹，知该轨迹与抛物线有两个交点，且过焦点F，
TB
=
FA
当 t 1时，由 = 1可知，点T的轨迹为 x轴，与抛物线C仅有一个交点，
FB
不符合题意，所以 t≠ 1；
TA
, , =
a-x 2 + b-y 2
A x1 y1 ，B x y
1 1
2 2 ，由 = t，
TB a-x 22 + b-y 22
得 a-x 21 + b-y 21 = t2 a-x 22 + t2 b-y 22 ，
整理得 t2-1 a2+ t2-1 b2+ 2 x1-t2x2 a+ 2 y -t21 y2 b= x21+ y2 21- t x2+y22 2 ，
2 x -t2x 2 2 2 2 2 2
a2+ b2+ 1 2
2 y -t y x +y -t x +y
则 a+ 1 2 b= 1 1 2 2 (*)，
t2-1 t2-1 t2-1
AF 2
由 (2)知，y1y2=-4，故 t=
=- y1 = y1 = x1，y1= 4x1= 2 t，
BF y2 4
2 2
又 x1x2=
y1y2 = 1，所以 x2= 1 = 1 ，y2=- 4x =- 22 ，16 x1 t t
代入 (*)式中，化简，得 a2+ b2+ 4 t- b= 1，t 1
2 t 2 t
故点T的轨迹是以 0, - 为圆心的圆，M，N，F三点在该圆上，所以G 0,1 t 1-t ，
A t,2 t B 1 ,- 2 t由前面的分析可得 ， ，F 1,0 ，G 0, 2 t ，t t 1-t
3
所以 GA GB = t2+ 4t 12 +
4
1-t t2 t 1-t 2
·13·
= t2 1+ 4t 2
1 4t 1+ 2 = 1+
4t = GF 2，
1-t t2 1-t 1-t 2
GA GB
故 = 1，为定值，得证．
GF 2
·14·2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试 (四)
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试时间 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 已知集合A= -1,0,1,2 ，集合B= x x<2 ，则A∩B= ( )
A. -1,0 B. 1,2,3 C. 0,1,2 D. x 0z
2. 若复数 z满足 z+ 2z = 3- i，则 = ( )
i
A. - 1- i B. - 1+ i C. 1- i D. 1+ i

3. e 2 设单位向量 1,e2的夹角为 π，a= e1+ 2e2,b= 2e1- e2，则 b在 a上的投影数量为 ( )3
A. 1 B. 3 C. - 1 D. - 3
2 2 2 2
4. 在△ABC中，若∠A= 60° a+b+c，b= 2，其面积为 2 3，则 = ( )
sinA+sinB+sinC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 正项数列 an 的前n项积为Tn，且 Tn-2 an-1 = 2，则 a2025= ( )
A. 4047 B. 4049 C. 4051 D. 4053
4045 4047 4049 4051
6. 已知函数 f x = x+ 2cosx，则 x∈ 0,π 的最大值为 ( )
A. π + 3 B. π- 2 C. π + 1 D. 5π - 3
6 3 6
7. 已知点P -1,2 ，Q 2,1 ，若直线 l：mx- y+ 2m= 0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范
围为 ( )
A. -∞,4 B. 1 ,24
C. - 1 , 1 D. -∞,- 1 ∪ - 1 ,+∞3 4 3 3
·1·
2
8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若A= 2C b+2c，则 +
c
2c 的最小值为 (a
)．
A. 1 B. 13 C. 16 D. 5
3 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知函数 f(x)的定义域为R，[ f(x)]2+[ f(y)]2= f(x+ y)f(x- y) + 1，f(1) = 0，则 ( )
A. f(0) = 0 B. f(3) = 0 C. f(x)为偶函数 D. f(x)为奇函数
2
10. 若曲线 Γ x由半圆 x2+ y2= 1 x≤0 和半椭圆 + y2= 1 x>0 组成，若直线 y= t与 Γ交于A,B两
2
点 (A在B的左侧)，C 1,0 ,D -1,0 ，则 ( )
A. BC + BD = 2 2
B. AC + AD 的最大值为 3 2
C. 存在 t∈R，使得四边形ABCD是平行四边形
D. △ABC 2+1面积的最大值为
4
11. 已知四棱锥P-ABCD的体积为 24，底面ABCD是平行四边形，Q是PA上靠近点P的一个三等

分点，经过直线CQ的平面与侧棱 PB,PD分别交于点M ,N (均不与P重合)，设PM = λPB,PN =

μPD，则下列说法正确的是 ( )
A. 当AB 1平面CMN时，μ= 3λ B. 当 λ= μ时，MN= BD
3
C. 4四面体P-QCM的体积的最小值为 D. 四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为 4
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 已知 1+x 2 + 1+x 3 + + 1+x 9 = a0+ a1x+ a x22 + +a 99x ，则 a2的值为 .
2 y2
13. 已知点 P x在双曲线 C： - = 1(a> 0，b> 0)上，P到两渐近线的距离为 d1，d2 2 2，若 d1d2≤a b
1
OP 2恒成立，则C的离心率的取值范围为 .
2
14. 若 x> 0，ex+1≥ a ln ax -1 ，则实数 a的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知 a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+ 3asinC- b- c= 0．
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，a= 3，求边BC上的中线AD的取值范围．
·2·
16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100位居民作为样本，就最近一年
来网购消费金额 (单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这 100位居民的网购
消费金额均在区间 [0,30]内，按 [0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成 6组，其频率分布
直方图如图所示．
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额在 20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 2× 2列联表，并判断有多大把握认
为“网购迷与性别有关系”
男 女 总计
网购迷 20
非网购迷 45
总计 100
n(ad-bc)2
附：K 2= ,n= a+ b+ c+ d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
临界值表：
P K 2≥k0 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面 PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为
2 3的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若F为BC中点．
(ⅰ)求异面直线AF与PC的距离；
(ⅱ)求四棱锥P-ABCD的外接球被△AEF所在的平面截得的圆的面积．
·3·
18. 已知函数 f x = ax2- lnx(a> 0)．
(1)设 y= kx+ b是曲线 y= f x 的任意一条切线，若 kb≤ 0，求 a的值；
(2)证明：存在 r> 0，对任意 0< s< t，且 s+ t≤ 2r，都有 f s > f t ；
n i
(3) 2 +i证明： ln > 4- n+2．i
i=1 2 -i 2n-1
19. 已知抛物线C :y2= 2px p>0 的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点D 2p,0 ，且 AD 的最小值为 2 3．
(1)求C的方程；
AF
(2) 若 AD = BD ，求 的所有可能取值；
BF
(3)若M，N两点在C上 (M，N与A，B均不重合)，且MF，NF分别是∠AMB，∠ANB的平分线，
GA GB
△ FMN的外心为G，证明： 为定值．
GF 2
·4·

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