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第3讲
小专题:卫星变轨问题　
双星或多星模型
【学习目标】
1.掌握卫星变轨的动力学原理,理解霍曼转移轨道的能量变化特点;认识多星系统(双星、三星等)的稳定运行条件,明确引力与向心力的平衡关系;建立模型观念,能将实际问题抽象为圆周运动、椭圆轨道或开普勒三定律的物理模型。
2.通过对比不同轨道的线速度、角速度、机械能差异,分析变轨过程中的能量转化;推导多星系统的周期、轨道半径与质量的关系;学会将复杂多星系统简化为质心系中的圆周运动问题,忽略次要因素。
3.探究变轨中点火加速或减速对轨道形状的影响;设计多星系统的稳定性条件;通过开普勒第三定律计算实际卫星的轨道参数,验证理论预测。
4.认识卫星变轨技术在航天工程中的重要性;讨论太空垃圾对航天系统的潜在威胁,树立可持续发展观念;质疑经典模型局限性。
考点一
卫星变轨和飞船对接问题
高轨道人造卫星的发射要经过多次变轨方可达到预定轨道。如图,先发射卫星到近地圆轨道Ⅰ,在轨道Ⅰ上的A点第一次点火加速使卫星进入以A点为近地点的椭圆轨道Ⅱ,在椭圆轨道Ⅱ上的远地点B第二次点火加速使卫星进入高圆轨道Ⅲ。
模理探真·深度学习
(1)为什么在A点和B点分别加速后卫星会进入轨道Ⅱ和Ⅲ 卫星在近地轨道Ⅰ的环绕速度v1等于第一宇宙速度,而卫星在轨道Ⅱ上运行时过A点的速度vA>v1,这是否与第一宇宙速度是最大环绕速度矛盾
(2)卫星在轨道Ⅱ上过A点的速度vA和过B点的速度vB大小关系如何 “越高越慢”对椭圆轨道是否也适用 从能量观点能否分析vA和vB的大小关系
提示:(2)vA>vB,“越高越慢”对椭圆轨道也适用,这是开普勒第二定律的表现。从能量观点看,卫星在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒,在A点重力势能更小,故动能更大。
(3)卫星在轨道Ⅰ的环绕速度v1和在轨道Ⅲ的环绕速度v3有何关系
提示:(3)v1>v3。
(4)卫星分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大小关系如何 卫星在三个轨道上运动的周期大小关系如何 “越高越慢”对既有圆轨道又有椭圆轨道的情形是否也适用
提示:(4)卫星分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过A点时所受万有引力相同,故加速度相同。T1(5)卫星在三个轨道上运动的机械能大小关系如何 为什么
提示: (5)E1(6)若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面,应如何操作
提示: (6)使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ,到达近地点时,使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ,之后再减速做近心运动着陆。
1.卫星发射过程概述
模型 图示
(经两次加速由低圆轨道变为高圆轨道)
变轨 过程 为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上,低圆轨道Ⅰ上A点点火加速进入椭圆轨道Ⅱ,椭圆轨道Ⅱ上远地点B再次点火加速进入高圆轨道Ⅲ
2.航天器对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,要使宇宙飞船与空间站成功“对接”,必须让宇宙飞船在稍低轨道上加速,通过速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速,从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
[例1] 【卫星的变轨问题】(多选)(2025·福建三明阶段检测)嫦娥六号探测器发射过程可简化为如图所示。“嫦娥六号”准确进入地月转移轨道后,先沿椭圆轨道b运动,经多次变轨后沿近月圆轨道a做匀速圆周运动,则(　 　)
A.“嫦娥六号”应在M点点火加速,经地月转移轨道运动到N点
B.“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的周期比沿圆轨道a运动的周期小
C.“嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度大于在圆轨道a上N点的加速度
D.“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度
AD
[变式] (1)嫦娥六号在b轨道上从近月点N到远月点P的过程,机械能如何变化 从b轨道进入a轨道,机械能如何变化
【答案及解析】 (1)从近月点N到远月点P的过程,只有月球引力做功,机械能守恒;从b轨道进入a轨道,需要点火减速,外力做负功,机械能减少。
(2)若已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径约是月球半径的4倍,地心到月球球心的距离为r,不考虑地球、月球自转,假定地球、月球静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器,探测器在地球表面附近脱离火箭,不计空气阻力,则若探测器能运动到距地心多远处,就一定能到达月球。探测器到达月球的速度可不可能为零
方法点拨
总结提升
“越高越慢”的三种表现形式
(1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。
(2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。
(3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。
[例2] 【飞船对接问题】 (2025·四川成都二模)a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星,其中a、c的轨道相交于P,b、d均为同步卫星,b、c轨道在同一平面上,某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.若a、c是近地卫星,则已知其周期和引力常量G,可计算地球质量
B.a的发射速度小于地球的第二宇宙速度但大于b的发射速度
C.d卫星提速可以和b卫星成功对接
D.a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是ωa=ωc>ωb=ωd
D
考点二
双星及多星模型
如图所示,绕公共圆心做匀速圆周运动的两个星体组成的系统称为双星系统。
(1)两星做匀速圆周运动的向心力、周期、角速度具有什么特点
提示:(1)所需的向心力由彼此间的万有引力提供,大小相等;两星同轴转动,周期和角速度相等。
模理探真·深度学习
(2)请推导出两星质量比、周期和两星质量之和的表达式。
1.双星模型(模型图见“模理探真”图)
[讨论]
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。
[例3] 【双星模型】 (多选)(2025·河南阶段练习)某三恒星系统包含了两颗快速绕O点做匀速圆周运动的双星A、B和一颗距离较远的恒星P,如图所示。已知A、B的质量分别为M1、M2,绕O点运转周期为T,引力常量为G,若不考虑其他天体对双星A、B的作用,则下列说法正确的是(　 　)
AD
[例4] 【多星模型】 (2025·浙江专题练习)宇宙中存在稳定的四星系统。如图甲,四颗质量均为m的行星位于边长为L1=L的正方形的四个顶点上,绕正方形中心一起做匀速圆周运动。如图乙,三颗质量均为m的行星位于边长为L2=2L的等边三角形的三个顶点上,绕位于三角形中心的中央星一起做匀速圆周运动,若两个系统的环绕周期相等,则图乙中中央星的质量为(　　)
C
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【学习目标】
1.掌握卫星变轨的动力学原理,理解霍曼转移轨道的能量变化特点;认识多星系统(双星、三星等)的稳定运行条件,明确引力与向心力的平衡关系;建立模型观念,能将实际问题抽象为圆周运动、椭圆轨道或开普勒三定律的物理模型。
2.通过对比不同轨道的线速度、角速度、机械能差异,分析变轨过程中的能量转化;推导多星系统的周期、轨道半径与质量的关系;学会将复杂多星系统简化为质心系中的圆周运动问题,忽略次要因素。
3.探究变轨中点火加速或减速对轨道形状的影响;设计多星系统的稳定性条件;通过开普勒第三定律计算实际卫星的轨道参数,验证理论预测。
4.认识卫星变轨技术在航天工程中的重要性;讨论太空垃圾对航天系统的潜在威胁,树立可持续发展观念;质疑经典模型局限性。
考点一　卫星变轨和飞船对接问题　　　　　 　　　　　 　　　　　
高轨道人造卫星的发射要经过多次变轨方可达到预定轨道。如图,先发射卫星到近地圆轨道Ⅰ,在轨道Ⅰ上的A点第一次点火加速使卫星进入以A点为近地点的椭圆轨道Ⅱ,在椭圆轨道Ⅱ上的远地点B第二次点火加速使卫星进入高圆轨道Ⅲ。
(1)为什么在A点和B点分别加速后卫星会进入轨道Ⅱ和Ⅲ 卫星在近地轨道Ⅰ的环绕速度v1等于第一宇宙速度,而卫星在轨道Ⅱ上运行时过A点的速度vA>v1,这是否与第一宇宙速度是最大环绕速度矛盾
(2)卫星在轨道Ⅱ上过A点的速度vA和过B点的速度vB大小关系如何 “越高越慢”对椭圆轨道是否也适用 从能量观点能否分析vA和vB的大小关系
(3)卫星在轨道Ⅰ的环绕速度v1和在轨道Ⅲ的环绕速度v3有何关系
(4)卫星分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大小关系如何 卫星在三个轨道上运动的周期大小关系如何 “越高越慢”对既有圆轨道又有椭圆轨道的情形是否也适用
(5)卫星在三个轨道上运动的机械能大小关系如何 为什么
(6)若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面,应如何操作
提示:(1)在A点点火加速,由于速度变大,所需向心力变大,Gm,将做近心运动,再次点火加速,使G=m,进入圆轨道Ⅲ。环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动的速度,vA>v1与第一宇宙速度是最大环绕速度并不矛盾。
(2)vA>vB,“越高越慢”对椭圆轨道也适用,这是开普勒第二定律的表现。从能量观点看,卫星在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒,在A点重力势能更小,故动能更大。
(3)v1>v3。
(4)卫星分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过A点时所受万有引力相同,故加速度相同。T1(5)E1(6)使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ,到达近地点时,使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ,之后再减速做近心运动着陆。
1.卫星发射过程概述
模型 图示 (经两次加速由低圆轨道变为高圆轨道)
变轨 过程 为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上,低圆轨道Ⅰ上A点点火加速进入椭圆轨道Ⅱ,椭圆轨道Ⅱ上远地点B再次点火加速进入高圆轨道Ⅲ
速度 关系 >vⅠ>vⅢ>
加速度 关系 aⅢ=,=aⅠ
周期 关系 TⅠ机械能 关系 EⅠ2.航天器对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,要使宇宙飞船与空间站成功“对接”,必须让宇宙飞船在稍低轨道上加速,通过速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速,从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
[例1] 【卫星的变轨问题】(多选)(2025·福建三明阶段检测)嫦娥六号探测器发射过程可简化为如图所示。“嫦娥六号”准确进入地月转移轨道后,先沿椭圆轨道b运动,经多次变轨后沿近月圆轨道a做匀速圆周运动,则(　　)
A.“嫦娥六号”应在M点点火加速,经地月转移轨道运动到N点
B.“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的周期比沿圆轨道a运动的周期小
C.“嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度大于在圆轨道a上N点的加速度
D.“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度
【答案】 AD
【解析】 “嫦娥六号”应在M点点火加速做离心运动进入地月转移轨道,A正确;“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的轨道半长轴大于沿圆轨道a运动的半径,由开普勒第三定律知周期关系为Tb>Ta,B错误;由G=ma得a=,则“嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度等于在圆轨道a上N点的加速度,C错误;“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于过P点的圆轨道的速度,在圆轨道a上N点的速度大于过P点的圆轨道的速度,所以在椭圆轨道b远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度,D正确。
[变式] (1)嫦娥六号在b轨道上从近月点N到远月点P的过程,机械能如何变化 从b轨道进入a轨道,机械能如何变化
(2)若已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径约是月球半径的4倍,地心到月球球心的距离为r,不考虑地球、月球自转,假定地球、月球静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器,探测器在地球表面附近脱离火箭,不计空气阻力,则若探测器能运动到距地心多远处,就一定能到达月球。探测器到达月球的速度可不可能为零
【答案】 见解析
【解析】 (1)从近月点N到远月点P的过程,只有月球引力做功,机械能守恒;从b轨道进入a轨道,需要点火减速,外力做负功,机械能减少。
(2)若探测器能运动到地球对探测器的引力等于月球对探测器的引力的位置,就一定能到达月球,由=,r1+r2=r,解得r1=0.9r。探测器先减速后加速运动,到达月球的速度不可能
为零。
“越高越慢”的三种表现形式
(1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。
(2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。
(3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。
[例2] 【飞船对接问题】 (2025·四川成都二模)a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星,其中a、c的轨道相交于P,b、d均为同步卫星,b、c轨道在同一平面上,某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.若a、c是近地卫星,则已知其周期和引力常量G,可计算地球质量
B.a的发射速度小于地球的第二宇宙速度但大于b的发射速度
C.d卫星提速可以和b卫星成功对接
D.a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是ωa=ωc>ωb=ωd
【答案】 D
【解析】 a、c两颗卫星公转轨道半径相同,根据G=m,解得M=,则要计算地球质量,除了已知其周期和引力常量G外还需知道两个近地卫星的环绕半径,A错误;第二宇宙速度是克服地球引力并逃离地球引力场的最小发射速度,由于a卫星仍在环绕地球运动,则a的发射速度小于地球的第二宇宙速度,由于卫星a轨道低于b,则发射速度小于b的发射速度,B错误;两颗卫星不能在同轨道上提速对接,d卫星提速后将会做离心运动远离地球到外侧轨道运行,不能与b卫星对接,C错误;a、c两颗卫星公转轨道半径相同,根据G=mω2r,解得ω=,可知ωa=ωc,同理,b、d两颗卫星有ωb=ωd,而b、d的公转轨道半径大于a、c的公转轨道半径,可知ωa=ωc>ωb=ωd,D正确。
考点二　双星及多星模型　　　　　　 　　　　　 　　　　　
如图所示,绕公共圆心做匀速圆周运动的两个星体组成的系统称为双星系统。
(1)两星做匀速圆周运动的向心力、周期、角速度具有什么特点
(2)请推导出两星质量比、周期和两星质量之和的表达式。
提示:(1)所需的向心力由彼此间的万有引力提供,大小相等;两星同轴转动,周期和角速度相等。
(2)由万有引力提供向心力有G=m1()2r1=m2()2r2,又r1+r2=L,
解得=,T=2π,m1+m2=。
1.双星模型(模型图见“模理探真”图)
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。
(2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。
(5)两星的运动周期T=2π。
(6)两星的总质量m1+m2=。
[讨论]
(1)当m1=m2时,r1=r2=,ω=。
(2)当m1 m2时,r1≈L,r2≈0,ω=,这正是我们已熟知的行星绕恒星的运转模型。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。
常见 的三 星模 型 +=man
×cos 30°×2=man
常见 的四 星模 型 ×cos 45°×2+=man
×cos 30°×2+=man
[例3] 【双星模型】 (多选)(2025·河南阶段练习)某三恒星系统包含了两颗快速绕O点做匀速圆周运动的双星A、B和一颗距离较远的恒星P,如图所示。已知A、B的质量分别为M1、M2,绕O点运转周期为T,引力常量为G,若不考虑其他天体对双星A、B的作用,则下列说法正确的是(　　)
A.双星A、B运动的轨道半径之比为M2∶M1
B.双星A、B的速度大小之比为∶
C.双星A、B的向心加速度大小之比为M1∶M2
D.双星A、B之间的距离为
【答案】 AD
【解析】 设双星A、B的轨道半径分别为r1、r2,其间距为L,则有r1+r2=L,根据万有引力提供向心力有G=M1r1=M2r2,可得=,L=,A、D正确;根据关系式v=,可得双星A、B的速度大小之比==,B错误;由a=r,可得双星A、B的向心加速度大小之比==,C错误。
[例4] 【多星模型】 (2025·浙江专题练习)宇宙中存在稳定的四星系统。如图甲,四颗质量均为m的行星位于边长为L1=L的正方形的四个顶点上,绕正方形中心一起做匀速圆周运动。如图乙,三颗质量均为m的行星位于边长为L2=2L的等边三角形的三个顶点上,绕位于三角形中心的中央星一起做匀速圆周运动,若两个系统的环绕周期相等,则图乙中中央星的质量为(　　)
A.m B.m
C.m D.m
【答案】 C
【解析】 因为两个系统的环绕周期相等,所以两个系统的角速度也相等。在题图甲中,其中某一行星的轨道半径为r1=,所受其他行星的万有引力的合力大小为F1=+=
·,又有F1=mr1ω2,解得ω2=·;在题图乙中,设中央星的质量为km,任意行星的轨道半径为r2=,某一顶点上的行星所受其他行星万有引力的合力大小为F2=2cos 30°+
=(3k+),同理得ω2=(3k+3),联立解得k=,所以中央星的质量为m。C正确。
课时作业　　　
对点1.卫星变轨和飞船对接问题
1.(2025·北京卷,7)2024年6月,嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示,探测器在圆形轨道1上绕月球飞行,在A点变轨后进入椭圆轨道2,B为远月点。关于嫦娥六号探测器,下列说法正确的是(　　)
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期,可求出月球的质量
【答案】 A
【解析】 在轨道2上从A向B运动过程中,探测器远离月球,月球对探测器的引力做负功,根据动能定理,动能逐渐减小,A正确;探测器受到万有引力,根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=G,在轨道2上从A向B运动过程中,r增大,加速度逐渐变小,B错误;探测器在A点从轨道1变轨到轨道2需要加速,即机械能增加,所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能,C错误;探测器在轨道1上做圆周运动,有G=mr,解得M=,要求出月球的质量,除了引力常量G和轨道1的周期T,还需要知道轨道1的半径r,D错误。
2.(多选)(2025·四川遂宁模拟)北京时间2025年1月7日,我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭,成功将实践二十五号卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个多月的时间,实践二十五号抵达同步轨道,并成功给北斗卫星加注了142 kg推进剂,实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料,加注前两卫星的位置如图所示,则要想实现加注燃料,下列说法正确的是(　　)
A.实践二十五号卫星直接加速与卫星A对接即可
B.实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度
C.实践二十五号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D.实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后,实践二十五号卫星向前喷射少量减速剂即可实现分离
【答案】 BD
【解析】 实践二十五号卫星直接加速,将做离心运动,变轨到更高的轨道,不能与卫星A对接,A错误;卫星在轨道运行有=ma,可得a=,实践二十五号卫星和卫星A对接时处于同一轨道,具有相同的加速度,B正确;由于不知道实践二十五号卫星和卫星A的质量关系,所以无法比较二者所受万有引力的大小关系,C错误;实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后,实践二十五号卫星向前喷射少量减速剂,则实践二十五号卫星速度减小而将做近心运动,可实现分离,D正确。
3.(2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】 A
【解析】 在P点变轨前、后空间站都只受到地球的万有引力且不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点因反冲运动获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,即合速度变大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,在近地点时的速度更大,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误。
对点2.双星及多星模型
4.双星系统中的两颗中子星在引力作用下围绕其连线某点做圆周运动的过程中,它们之间的距离逐渐减小,最终在剧烈地碰撞中合并并释放巨大能量,同时为宇宙产生很多重元素物质。这种天体的演化过程就是宇宙中最为壮观的千新星事件。不考虑双星系统中的两颗中子星在合并前质量、半径的变化。则两颗中子星距离减小的过程中(　　)
A.它们表面的重力加速度变大
B.它们做圆周运动的半径之比变大
C.它们做圆周运动的向心加速度大小之和增大
D.它们做圆周运动的周期增大
【答案】 C
【解析】 根据万有引力与重力的关系G=mg,有g=,由于不考虑两颗中子星在合并前质量、半径的变化,所以两颗中子星表面的重力加速度不变,故A错误;由万有引力提供彼此做圆周运动的向心力有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,所以=,可知它们做圆周运动的半径之比不变,故B错误;由G=m1a1,G=m2a2,有a1+a2=G,L减小,则向心加速度大小之和增大,故C正确;T==2π,L减小,则周期减小,故D错误。
5.(2025·重庆九龙坡阶段练习)中国科学家发现了代号为TMTSJ0526的双星系统,该系统由一颗质量约为0.7MS(MS为太阳质量)的碳氧白矮星与质量约为0.3MS的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合,用望远镜在地球附近观测,发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮,已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示,图中“星等”表示亮度,实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线,虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为MS=2×1030 kg,引力常量G=6.67×
10-11 N·m2/kg2,π2≈10,下列说法正确的是(　　)
A.碳氧白矮星和热亚矮星转动的半径之比为7∶3
B.该双星系统的运转周期约为600 s
C.两星体之间的距离约为 ×108 m
D.若多年以后,两星体间的距离逐渐减小,两星体转动的角速度也将减小
【答案】 C
【解析】 设碳氧白矮星和热亚矮星之间的距离为L,做圆周运动的半径分别为R1、R2,圆周运动周期为T,则有R1+R2=L,G=0.7MSR1=0.3MSR2;根据实验数据经最佳拟合得到的亮度变化的正弦式曲线可知,正弦曲线周期为600 s,因为亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半,所以该双星系统的运转周期约为T=1 200 s,联立解得=,两星体之间的距离为L==×108 m,A、B错误,C正确。若多年以后,两星体间的距离逐渐减小,质量和不变,则周期T减小,由ω=可知,角速度增大,D错误。
6.(多选)(2025·四川成都检测)如图所示,甲、乙、丙分别为三类星体间的关系图,轨迹圆半径都为R,中心天体质量为M,环绕天体质量均为m,已知M m,则(　　)
A.图乙、丙中环绕天体的周期之比为2∶
B.图乙中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
C.图甲中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
D.图乙、丙中环绕天体的线速度之比为 ∶2
【答案】 CD
【解析】 对题图乙有G=mR,可得T′=4π,对题图丙有G=mR,可得T″=2π,则有T′∶T″=2∶,故A错误;题图乙中的周期比题图丙中的大,故题图乙中的角速度比题图丙中的小,故B错误;对题图甲有G=mω2R,解得ω=,对题图丙有G=mω′2R,解得ω′=,由于M m,则题图甲中环绕天体的角速度大于题图丙中环绕天体的角速度,故C正确;题图乙、丙中环绕天体运动的半径相同,线速度之比为周期的反比,故线速度之比为∶2,故D正确。
7.(2025·安徽宣城阶段练习)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示,三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m,引力常量为G。
(1)计算该三星系统的运动周期T计算;
(2)若实验中观测到该三星系统的运动周期为T观测,且T观测∶T计算=1∶(N>1),为了解释T观测与T计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质,暗物质参与引力相互作用,是有质量的。我们假定一种简化模型,在以O为球心,以O到三角形顶点长为半径的球体内均匀分布着暗物质,不考虑其他暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
【答案】 (1)2πR　(2)
【解析】 (1)三星中的某一颗星受到其他两颗星的万有引力的合力为F1=2Gcos 30°,
对该星有F1=m·,
解得T计算==2πR。
(2)根据题意有T观测∶T计算=1∶,
设暗物质的质量为M,则有F1+G=m·,
该暗物质的密度ρ=,
联立解得ρ=。
8.(2025·江西新余模拟)“古有司南,今有北斗”,北斗卫星收官不仅是技术成就的里程碑,更是国家战略布局的重要节点,为全球用户提供高精度服务的同时,深刻影响国家安全与经济社会发展。已知地球质量为M,半径为R,取无穷远处的引力势能为零。质量为m的“北斗”卫星在绕地球无动力飞行时,它和地球组成的系统机械能守恒,且它们之间引力势能的表达式是Ep=
-,其中r是卫星与地心间的距离(能脱离地球引力,即表明能到达离地球无穷远处,使得Ep=0)。如图,现欲将质量为m的卫星1从近地圆轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ,轨道Ⅱ的近地点A和远地点B距地心分别为r1=R,r2=3R。另有卫星2在轨道Ⅲ上,轨道Ⅲ的半径r3=2R。C为轨道Ⅱ和轨道Ⅲ的一个交点。则下列说法正确的是(　　)
A.卫星1在轨道Ⅱ上的周期大于卫星2在轨道Ⅲ上的周期
B.卫星1从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要在近地点A一次性给它提供能量
C.卫星1和卫星2在C点的加速度大小不同
D.卫星在轨道Ⅱ上经过A 点时的速率是其在此处脱离地球引力所需速率的
【答案】 B
【解析】 由于轨道Ⅲ的半径为2R,轨道Ⅱ的半长轴为=2R,根据开普勒第三定律=k,可知卫星1在轨道Ⅱ上的周期等于卫星2在轨道Ⅲ上的周期,A错误;卫星1在轨道Ⅱ上无动力飞行,其机械能守恒,则有m+(-)=m+(-),而RvA=3RvB,联立解得vA=,卫星在轨道Ⅰ的速率为v1=,卫星1从轨道Ⅰ的A点变轨到轨道Ⅱ,根据能量守恒定律有m-m=E,联立解得E=,B正确;根据=ma,有a=,由于卫星1和卫星2在C点与地球的距离相同,卫星1和卫星2在C点的加速度大小相同,C错误;卫星在A点脱离地球引力需到达无穷远,机械能为0,则有m+(-)=0,解得v脱==vA≠vA,D错误。
9.(2025·湖北阶段练习)如图所示,一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动,已知地球半径为R,轨道A半径是3R,将飞船转移到另一个半径为6R的圆轨道B上去,若规定距地心无限远处为引力势能零势能点,飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达式为Ep=-(其中r为飞船与地心的距离)。已知地球质量为M,飞船质量为m,引力常量为G。
(1)求飞船在轨道A上的环绕速度vA。
(2)求飞船在轨道A上的机械能EA。
(3)请根据理论计算这次轨道转移需要增加的能量ΔE。
【答案】 (1)　(2)-　(3)
【解析】 (1)飞船在轨道A上运动时,根据万有引力提供向心力有G=m,
解得vA=。
(2)设飞船在轨道A上稳定运行时的机械能为EA,则有EA=EkA+EpA,
其中EkA=m=,
EpA=-,
可得EA=-。
(3)飞船在圆轨道B上有G=m,
则动能EkB=m=,
而引力势能EpB=-,
其机械能为EB=-,
可得这次轨道转移需要的能量ΔE=EB-EA=。【考情分析】
　　　　年份 考查点　　　 2025 2024 2023
开普勒定律、万有引力定律及其应用 甘肃·T2、河南·T3、 湖南·T4、广东·T5、 陕晋青宁·T2、云南·T5、 重庆·T7、安徽·T9 新课标·T16、山东·T5、 浙江6月选考·T8、海南·T6、 北京·T19、安徽·T5、 湖北·T4 江苏·T4、湖北·T2、 山东·T3
人造卫星、 宇宙速度 山东·T6、河北·T7、 湖北·T2、四川·T6、 海南·T4、北京·T7 福建·T5、天津·T7、 湖南·T7、广东·T9、 河北·T8、福建·T5、 重庆·T7 山东·T3、广东·T7、 江苏·T4、湖南·T4
【AI考情预测】
一、命题趋势
高考命题更加注重物理概念的理解应用和实际问题的建模分析。中国航天新成就的情境化命题将持续强化, 随着中国航天进入“空间站时代”,天宫空间站、嫦娥探月工程、天问火星探测等国家重大航天项目将继续成为高考命题的热点素材。
1.未来高考会继续以我国最新的航天任务(如探月工程、火星探测、空间站建设)为情境,考查卫星变轨、轨道参数比较、能量变化等知识点。
2.深化天体运动规律与万有引力定律的应用。考查主要集中在开普勒定律;万有引力与重力关系;天体质量与密度计算可能增加对非均匀质量分布天体的引力计算,或结合掩星观测等天文探测技术考查动态分析能力。
3.强化卫星运行参数比较与变轨问题。 主要涉及同步卫星、近地卫星、赤道物体的比较;卫星变轨的动力学分析,如速度变化、加速度关系、机械能变化;宇宙速度的计算与应用;可能结合低轨互联网星座或深空探测卫星的轨道特点,考查多星系统或高轨卫星的运行规律。
4.双星及多星系统的模型考查。 未来可能引入非对称双星或动态质量交换系统,考查能量变化等更复杂的物理模型。
5.量子通信和相对论效应等高端科技内容可能以背景信息或简化模型的形式出现在高考
题中。
6.新型推进技术的原理分析,如离子推进器、太阳帆等新型航天推进技术的简化物理模型,可能结合动量守恒、光压等概念进行考查。
7.跨学科综合与应用的命题将进一步打破学科壁垒,物理与地理、数学的交叉融合将更加明显。
二、潜在难点
1.开普勒定律的理解与应用。 难点是混淆开普勒三定律的适用条件,尤其是第二定律(面积定律)和第三定律(周期定律)的关联。
2.万有引力与向心力的综合。 难点是混淆天体运动中的“重力”与“向心力”,尤其在非地球表面情境中。
3.变轨问题中的能量与速度变化。 难点是卫星变轨时速度、机械能的变化规律。
4.双星与多星系统。 难点是双星周期、半径与质量关系的推导。
5.天体密度与表面重力加速度的计算。 难点是利用环绕天体数据求中心天体密度。
6.对宇宙速度的理解。 难点是第二宇宙速度(脱离地球)与第三宇宙速度(脱离太阳系)的区分。
三、备考建议
1.强化基础模型:透彻理解开普勒三定律、万有引力提供向心力的两类应用(环绕与表面重力)。
2.关注跨学科综合:例如航天器轨道调整结合动量守恒,天体运动结合机械能守恒。
3.提升数学工具应用:重点训练三角函数求极值、图像斜率分析。
4.模型归类和二级结论:将问题分为“环绕模型”“变轨模型”“双星模型”等,总结对应公式;记忆常用结论。
第1讲　行星的运动　万有引力与相对论
【学习目标】
1. 掌握开普勒行星运动三定律的内容及其物理意义;深刻理解牛顿万有引力定律的内涵、适用条件及其普适性;能运用万有引力定律和牛顿运动定律解释天体的运动规律;初步认识爱因斯坦相对论的基本思想。
2.能将复杂的天体系统合理简化为质点模型或中心天体模型;能运用牛顿运动定律和万有引力定律,通过逻辑演绎推理证明开普勒第三定律;能根据天体运动信息推理求解中心天体质量、密度等;认识牛顿万有引力理论的巨大成功及其适用范围。
3.能基于天文观测现象或历史实验,提出与行星运动规律、引力本质及验证相关的问题;理解卡文迪什扭秤实验测量引力常量G的设计思想、方法和意义;能运用开普勒定律和牛顿万有引力定律解释常见的天体运动现象。
4.深刻体会“行星的运动、万有引力与相对论”是科学史上最伟大的成就之一;理解科学理论是不断发展的,需要接受实践的反复检验;认识到和平利用空间技术、保护太空环境、共享科学成果的重要性;学习科学家们追求真理、勇于创新、严谨求实的科学精神;为我国在引力波探测、空间科学等领域的研究进展感到自豪,激发探索宇宙奥秘的热情和科技报国的志向。
[footnoteRef:2] [2:
1.(2025·广西来宾期中)地球同步卫星轨道半径为低轨宽带通信卫星轨道半径的6倍,将卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动。则该低宽带通信卫星绕地球一圈需要的时间为(　　)
A. h　　　 B. h
C.4 h D.2 h
【答案】 A
2.(2025·湖北卷,2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
【答案】 A]
【答案】 椭圆　焦点　面积　半长轴　公转周期　正比　反比
G　6.67×10-11　质点　两球心　光速　
l0　低速
考点一　开普勒行星运动定律　　　　　 　　　　　 　　　　　
(1)已知同一行星在轨道的两个位置的速度:近日点速度大小为v1,远日点速度大小为v2,近日点与太阳距离为r1,远日点与太阳距离为r2。
试推导v1、v2与r1、r2间有什么关系。
提示:由开普勒第二定律可得
Δl1r1=Δl2r2,
v1Δt·r1=v2Δt·r2,
解得=。
(2)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动,试推导开普勒第三定律=k中的k值与中心天体质量的定量关系。
提示:由万有引力提供向心力有G=m行r,解得=,故椭圆轨道时有=。
对开普勒定律的三点理解
(1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。
(2)=,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,在近日点速度最大,在远日点速度最小。
(3)开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只适用于环绕同一中心天体的运动天体。
[例1] 【对开普勒定律的理解】 (2025·广东阶段检测)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　)
A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动
B.地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等
C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等
D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的焦点
【答案】 D
【解析】 八大行星均在椭圆轨道上运动,太阳处于椭圆其中一个焦点上,故A错误;同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等,故B错误;开普勒第三定律的内容为=k(k为常量),故C错误;D项表达了开普勒第一定律(轨道定律)的内容,故D正确。
[例2] 【开普勒定律的应用】 (2025·云南卷,5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5
行星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律可知=,其中r地=1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得r行≈3.23 AU,由表格可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[,L为双星中心的距离]都成立。
考点二　万有引力定律　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力
F向,如图所示。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
2.地球表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转),由mg=,得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g′,由mg′=,得g′=,所以=。
3.万有引力的两个推论
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力,即F=G。
[例3] 【重力与万有引力的关系】(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,引力常量为G,将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　)
A.在北极地面称量时,弹簧测力计读数为F0=G
B.在赤道地面称量时,弹簧测力计读数为F1=G
C.在北极上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F2=G
D.在赤道上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F3=G
【答案】 AC
【解析】 在北极地面称量时,物体不随地球自转,万有引力等于重力,则有F0=G,故A正确;在赤道地面称量时,万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力,则有F1[例4] 【“挖补法”求解万有引力】 (2025·重庆模拟)如图所示,在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球,两球相切于P点,O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零,大球密度为ρ,引力常量为G。现将一质量为m的物体N(可视为质点)置于O1处,则大球剩余部分对N的万有引力大小为(　　)
A.πρGmR B.πρGmR
C.πρGmR D.πρGmR
【答案】 B
【解析】 物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力,未挖去前,大球对物体N引力为零,所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力,根据万有引力定律可得F=G,m′=ρ·π,联立可得F=πρGmR,故选B。
[例5] 【星体上空及星体内部重力加速度的求解】 (2025·湖北期中)在某科幻小说中,作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合,创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示,若该地下世界地面距地球表面的深度为d,地球可认为质量分布均匀,且半径为R,质量为M,引力常量为G,则该地下世界地面的重力加速度为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,所以该地下世界地面的重力加速度大小等于半径为R-d的球体表面的重力加速度,设半径为R-d的球体的质量为M′,则=,由万有引力提供向心力及牛顿第二定律得=mg,联立解得该地下世界地面的重力加速度为g=,B正确。
考点三　天体的质量和密度的估算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg,得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr,得M=。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
[例6] 【“重力加速度法”计算天体质量和密度】 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面。已知引力常量为G,月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求:
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动,有h=g月t2,
月球表面的自由落体加速度大小g月=。
(2)不考虑月球自转的影响,有G=mg月,得月球的质量M=。
(3)月球的密度ρ===。
[例7] 【“环绕法”计算天体质量和密度】 (2025·安徽三模)我国天问三号系列任务计划在
2028年前后实施两次发射任务,“天问三号”探测器将登陆火星实现火星表面采样并返回地球。2021年2月,天问一号探测器在环绕火星的圆轨道上稳定运行,开展了广泛的科学探测工作,获取了大量的科学数据。其中火星的质量是一个非常重要的数据,除了引力常量外,依据下列两个物理量能计算出火星质量的是(　　)
A.天问一号绕火星运行的线速度和角速度
B.天问一号的质量和绕火星运行的角速度
C.天问一号在绕火星运行的某一时间内运动的弧长和对应的时间
D.天问一号在绕火星运行的某一时间内运动的某段圆弧对应的圆心角和对应的时间
【答案】 A
【解析】 若已知天问一号绕火星运行的线速度v和角速度ω,可求得轨道半径r=,根据万有引力提供向心力G=m,其中M为火星质量,m为天问一号质量,联立解得M=,A正确;由于G=mω2r,若已知m、ω,无法计算出火星质量,B错误;若已知天问一号在某一时间内运动的弧长l和对应的时间t,可得到线速度v=,代入G=m,无法计算出火星质量,C错误;若已知天问一号在某一时间内运动的某段圆弧对应的圆心角θ和对应的时间t,可得到角速度ω=,代入G=mω2r,无法计算出火星质量,D错误。
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径的区别。
通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的轨道圆的半径。卫星的轨道半径大于或等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期的区别。
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
课时作业　
对点1.开普勒行星运动定律
1.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】 D
【解析】 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T行==6 年,A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律F=可知,小行星受太阳引力增大,B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,C错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,D正确。
2.(多选)(2025·甘肃庆阳期中)行星探索的仪器中有一种常用的飞掠器,其特点为飞掠器的椭圆轨道的近地点几乎与行星表面某点相切。如图所示,设某飞掠器运动过程中处于某位置P时速度为v,方向和行星连线夹角θ=30°,此时到行星中心O的距离为20R。已知行星质量为M,半径为R,引力常量为G,引力势能的表达式为Ep=-(其中r为物体到天体中心的距离,m为物体质量)。飞掠器运动过程中仅受行星的引力,则下列说法正确的是(　　)
A.飞掠器的最大速度为vm=10v
B.飞掠器的最大速度为vm=20v
C.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
D.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
【答案】 AC
【解析】 设取一段极短时间Δt,在P点和近地点,根据开普勒第二定律有R·vmΔt=
·20R·vΔtsin 30°,解得飞掠器的最大速度为vm=10v,A正确,B错误;根据机械能守恒定律有mv2+(-)=m+(-),解得v=,C正确,D错误。
3.(2025·河北石家庄模拟)某颗彗星绕太阳运动的轨道为椭圆,平均周期约为p年,近日点的速率为v1,近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道,据此可知该彗星在远日点的速率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设彗星轨道的半长轴为a,地球的轨道半径为R,彗星周期T1=p年=pT地,对地球和彗星根据开普勒第三定律有=,解得=,近日点到太阳距离为a1=qR,若远日点到太阳距离为a2,则a=,即a2=2a-a1=R(2-q),代入v1a1=v2a2得v2=,D正确。
对点2.万有引力定律
4.(2025·山东威海期中)卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动,卫星速率二次方的倒数与轨道高度的关系图像如图所示,已知图线的纵截距为b,斜率为k,则地球表面附近的重力加速度为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 根据牛顿第二定律得G=m,又因为mg=G,解得=h+,根据题意得=k,=b,解得g=。A正确。
5.(2025·贵州贵阳二模)考虑到地球自转的影响,下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是(　　)
A B
C D
【答案】 D
【解析】 若在P点处有一小物体随地球转动,所受万有引力指向地心,其作用提供向心力和产生重力,而向心力指向地轴,根据平行四边形定则,重力方向即重力加速度g的方向在PO连线的左下方。D正确。
6.(2025·北京期中)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G。若假设在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔(挖出的物质运走至无穷远处),空腔与天体表面相切,如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心,空腔内Q点与球心O′的距离为,Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
【答案】 D
【解析】 由于质量分布均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零,则处于Q处的质点所受万有引力的等效示意图如图所示。
而球体质量m′=ρ·πr3,又密度ρ处处相等,则球体的质量与半径的三次方成正比。设O′Q距离为b,OQ距离为a,大球(虚线Ⅰ)对Q点物体的引力为F1=G,小球(虚线Ⅱ)对Q点的引力为F2=G,可知Q处质点受力为F′=F1-F2=(a-b),而a-b=,联立得F′=G,D正确。
对点3.天体的质量和密度的估算
7.(2025·陕晋青宁卷,2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统,实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动,轨道半径约3 750 km,轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2,根据以上数据可推算出火星的(　　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
【答案】 A
【解析】 轨道器绕火星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,可得G=mr,题中已知的物理量有轨道半径r,轨道周期T,引力常量G,可据此推算出火星的质量,故A正确;若想推算出火星的体积和逃逸速度,则还需要知道火星的半径R,故B、C错误;轨道周期不等于火星的自转周期,不能通过所提供的物理量推算出火星的自转周期,故D错误。
8.在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
A.k3()2 B.k3()2
C.()2 D.()2
【答案】 D
【解析】 设月球绕地球运动的轨道半径为r1,地球绕太阳运动的轨道半径为r2,根据G=m()2r,可得G=m月()2r1,=m地()2r2,其中==,ρ=,联立可得=()2,故选D。
9.如图所示,某星球水平地面上,固定放置一个直角三角形斜面AB,斜面的倾角θ=30°,顶点A高 h=10 m。将小球从A点以速度v0=10 m/s水平抛出,恰好落在B点,已知该星球半径R=
3 000 km,引力常量G=6.67×/kg2,求:
(1)小球的飞行时间;
(2)该星球表面的重力加速度;
(3)该星球的平均密度。
【答案】 (1) s　(2) m/s2　(3)8×103 kg/m3
【解析】 (1)水平方向有x=v0t,tan θ=,
解得t= s。
(2)竖直方向有h=gt2,解得g= m/s2。
(3)根据万有引力定律可得=mg,
星球密度ρ==,
解得ρ=8×103 kg/m3。
10.(多选)(2025·湖南岳阳二模)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星,“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示,O为地心。卫星a、b相对地球的张角分别为θa、θb(θb图中未标出),已知b到O的距离是地球半径的n1倍,a到O的距离是地球半径的n2倍,卫星a和卫星b的角速度分别为ωa、ωb,且均绕地球同向运行。在运行过程中由于地球的遮挡,卫星b会进入卫星a通信的盲区,卫星间的通信信号视为沿直线传播,信号传输时间可忽略。下列分析正确的是(　　)
A.a、b受到地球的万有引力大小一定不相等
B.a、b的周期之比为
C.a、b每次信号中断的时间间隔为
D.a、b每次信号中断的时间间隔为
【答案】 BD
【解析】 由于卫星a、b的轨道半径不同,且质量也不同,根据万有引力定律F=G,可知它们受到地球的引力大小可能相等,故A错误;根据开普勒第三定律有=,则卫星a、b的周期之比为=,故B正确;以a为参考,b的角速度为ωb-ωa,b在通信盲区对应的角度为θb+θa,所以a、b每次信号中断的时间间隔为Δt=,故C错误,D正确。
11.(2025·江苏期末)2024年6月4日,嫦娥六号完成世界首次月球背面采样,采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ,再进入椭圆轨道Ⅱ,在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接,图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R,嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行周期为T,Q点离月球表面的高度为h,引力常量为G。求:
(1)月球的质量M;
(2)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。
【答案】 (1)　(2)(1+)
【解析】 (1)嫦娥六号在近月轨道运动,根据万有引力提供向心力有=,
解得M=。
(2)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点在椭圆轨道运动,在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ,根据开普勒第三定律有=,
其中a=,
解得T椭=T(1+),
则在轨道Ⅱ第一次由P到Q的时间为t==(1+)。(共34张PPT)
第2讲
宇宙航行
【学习目标】
1.理解宇宙速度的物理意义。会推导第一、第二、第三宇宙速度,理解其与航天发射和星际航行的联系;比较不同轨道的机械能、速度变化,理解变轨原理。
2.建立理想化模型。将天体运动简化为匀速圆周运动或椭圆轨道模型。
3. 研究火箭推进原理(动量守恒),讨论能源效率;结合数学(微积分、参数方程)推导轨道方程;讨论前沿技术(如曲率驱动、虫洞理论)及其物理基础。
4.探讨太空探索的伦理问题(如行星保护、太空垃圾治理);从可持续发展视角分析太空资源利用的可行性(如小行星采矿)及其对地球生态的影响;了解中国航天成就(嫦娥工程、天宫空间站),认识国际合作在深空探测中的重要性。
知识构建
【答案】 7.9　最大　最小　11.2　地球　16.7　太阳　匀速圆周 地心　向心力　≈　等于　自转　赤道　自转
基础转化
(多选)(2025·天津期末)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索,其后将建造月球科研试验站,开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船绕月球做匀速圆周运动的半径为月球半径的2倍,周期为T;已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是(　 　)
BC
考点一
宇宙速度
1.第一宇宙速度的推导
2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s,卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。
[例1] 【对三个宇宙速度的理解】(多选)(2025·广东湛江期中)关于地球的三个宇宙速度,下列说法正确的是(　　 )
A.第一宇宙速度大小为7.9 km/s,是发射卫星所需的最小速度
B.绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C.第二宇宙速度为11.2 km/s,是绕地飞行器最大的环绕速度
D.在地面附近发射的飞行器速度大于或等于第三宇宙速度时,飞行器就能逃出太阳系了
AD
[例2] (2025·辽宁丹东二模)航天员在某星球表面(不考虑星球自转)做了如下的实验:在半径为2.4 cm的竖直放置的光滑圆轨道内部,有一个质量为0.01 kg的小球(可看作质点)以0.3 m/s的速度恰好通过轨道最高点。该星球的半径约3 395 km,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。以下说法正确的是(　　)
A.该星球表面的重力加速度为g=3.75 m/s2
B.该星球的第一宇宙速度约为7.9 km/s
C.该星球的质量约为6.48×1020 kg
A
考点二
卫星运动参量的分析
1.人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心,一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道,静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
2.物理量随轨道半径变化的规律
3.地球静止卫星的六个“一定”
[说明] 一般的同步卫星轨道平面和绕行方向不定,周期、角速度、高度、速率都一定。另外,卫星的运行参量与卫星质量无关,不要误认为同步卫星的质量一定。
[例3] 【一般卫星】 (多选)(2025·广西玉林期中)我国“嫦娥六号”实现世界首次月球背面采样返回,先期进入环月使命轨道的“鹊桥”中继星功不可没。“鹊桥一号”运行在地月延长线上的拉格朗日L2点附近,并以该点为圆心做圆周运动,同时与月球保持相对静止一起绕地球运动。“鹊桥一号”和“鹊桥二号”轨道位置示意图如图虚线所示。
BCD
[例4] 【静止卫星、近地卫星和赤道上物体的比较】 (多选)(2025·四川巴中期中)如图所示,a为放在赤道上相对地球静止的物体,随地球自转做匀速圆周运动,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是(　 　)
A.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa
B.b卫星运行的线速度约等于7.9 km/s
C.在a、b、c中,c的线速度最大
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=TcAB
方法点拨
总结提升
近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较
项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体
图示
向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的
一个分力
轨道 半径 r静>r近=r物
方法点拨
总结提升
方法点拨
总结提升
注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下做匀速圆周运动,此结论也不能直接套用
[例5] 【天体的“追及”问题】 (2025·福建泉州检测)2024年12月8日发生木星冲日现象,木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线,地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,地球一年绕太阳一周,木星11.84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　)
A.在相同时间内,木星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
B.木星的运行速度比地球的运行速度大
C.木星冲日现象时间间隔约为12年
D.下一次出现木星冲日现象是在2026年
D
[变式] (1)再过大约多少年,地球和木星相距最远
【答案】 (1)0.55年
(2)假设地球和木星绕太阳公转的方向相反,木星冲日现象的时间间隔约为多少年
【答案】 (2)0.92年
方法点拨
方法总结
天体“追及”问题的处理方法
方法点拨
方法总结
[例6] 【行星的冲日问题】(2025·重庆卷,7)“金星凌日”时,从地球上看,金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测,测得金星在太阳表面的小黑点相距为L,如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动,太阳直径远小于金星的轨道半径,则地球和金星绕太阳运动的(　　)
D
感谢观看(共44张PPT)
第五章　
万有引力与宇宙航行
【考情分析】
　　　　年份 考查点　　　 2025 2024 2023
开普勒定律、万有引力定律及其应用 甘肃·T2、河南·T3、 湖南·T4、广东·T5、 陕晋青宁·T2、云南·T5、 重庆·T7、安徽·T9 新课标·T16、山东·T5、 浙江6月选考·T8、海南·T6、 北京·T19、安徽·T5、 湖北·T4 江苏·T4、湖北·T2、
山东·T3
人造卫星、 宇宙速度 山东·T6、河北·T7、 湖北·T2、四川·T6、 海南·T4、北京·T7 福建·T5、天津·T7、 湖南·T7、广东·T9、 河北·T8、福建·T5、 重庆·T7 山东·T3、广东·T7、
江苏·T4、湖南·T4
【AI考情预测】
一、命题趋势
高考命题更加注重物理概念的理解应用和实际问题的建模分析。中国航天新成就的情境化命题将持续强化, 随着中国航天进入“空间站时代”,天宫空间站、嫦娥探月工程、天问火星探测等国家重大航天项目将继续成为高考命题的热点素材。
1.未来高考会继续以我国最新的航天任务(如探月工程、火星探测、空间站建设)为情境,考查卫星变轨、轨道参数比较、能量变化等知识点。
2.深化天体运动规律与万有引力定律的应用。考查主要集中在开普勒定律;万有引力与重力关系;天体质量与密度计算可能增加对非均匀质量分布天体的引力计算,或结合掩星观测等天文探测技术考查动态分析能力。
3.强化卫星运行参数比较与变轨问题。 主要涉及同步卫星、近地卫星、赤道物体的比较;卫星变轨的动力学分析,如速度变化、加速度关系、机械能变化;宇宙速度的计算与应用;可能结合低轨互联网星座或深空探测卫星的轨道特点,考查多星系统或高轨卫星的运行规律。
4.双星及多星系统的模型考查。 未来可能引入非对称双星或动态质量交换系统,考查能量变化等更复杂的物理模型。
5.量子通信和相对论效应等高端科技内容可能以背景信息或简化模型的形式出现在高考题中。
6.新型推进技术的原理分析,如离子推进器、太阳帆等新型航天推进技术的简化物理模型,可能结合动量守恒、光压等概念进行考查。
7.跨学科综合与应用的命题将进一步打破学科壁垒,物理与地理、数学的交叉融合将更加明显。
二、潜在难点
1.开普勒定律的理解与应用。 难点是混淆开普勒三定律的适用条件,尤其是第二定律(面积定律)和第三定律(周期定律)的关联。
2.万有引力与向心力的综合。 难点是混淆天体运动中的“重力”与“向心力”,尤其在非地球表面情境中。
3.变轨问题中的能量与速度变化。 难点是卫星变轨时速度、机械能的变化规律。
4.双星与多星系统。 难点是双星周期、半径与质量关系的推导。
5.天体密度与表面重力加速度的计算。 难点是利用环绕天体数据求中心天体密度。
6.对宇宙速度的理解。 难点是第二宇宙速度(脱离地球)与第三宇宙速度(脱离太阳系)的区分。
三、备考建议
1.强化基础模型:透彻理解开普勒三定律、万有引力提供向心力的两类应用
(环绕与表面重力)。
2.关注跨学科综合:例如航天器轨道调整结合动量守恒,天体运动结合机械能守恒。
3.提升数学工具应用:重点训练三角函数求极值、图像斜率分析。
4.模型归类和二级结论:将问题分为“环绕模型”“变轨模型”“双星模型”等,总结对应公式;记忆常用结论。
第1讲
行星的运动　万有引力与相对论
【学习目标】
1. 掌握开普勒行星运动三定律的内容及其物理意义;深刻理解牛顿万有引力定律的内涵、适用条件及其普适性;能运用万有引力定律和牛顿运动定律解释天体的运动规律;初步认识爱因斯坦相对论的基本思想。
2.能将复杂的天体系统合理简化为质点模型或中心天体模型;能运用牛顿运动定律和万有引力定律,通过逻辑演绎推理证明开普勒第三定律;能根据天体运动信息推理求解中心天体质量、密度等;认识牛顿万有引力理论的巨大成功及其适用范围。
3.能基于天文观测现象或历史实验,提出与行星运动规律、引力本质及验证相关的问题;理解卡文迪什扭秤实验测量引力常量G的设计思想、方法和意义;能运用开普勒定律和牛顿万有引力定律解释常见的天体运动现象。
4.深刻体会“行星的运动、万有引力与相对论”是科学史上最伟大的成就之一;理解科学理论是不断发展的,需要接受实践的反复检验;认识到和平利用空间技术、保护太空环境、共享科学成果的重要性;学习科学家们追求真理、勇于创新、严谨求实的科学精神;为我国在引力波探测、空间科学等领域的研究进展感到自豪,激发探索宇宙奥秘的热情和科技报国的志向。
知识构建
基础转化
1.(2025·广西来宾期中)地球同步卫星轨道半径为低轨宽带通信卫星轨道半径的6倍,将卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动。则该低宽带通信卫星绕地球一圈需要的时间为(　　)
A
2.(2025·湖北卷,2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
A
考点一
开普勒行星运动定律
(1)已知同一行星在轨道的两个位置的速度:近日点速度大小为v1,远日点速度大小为v2,近日点与太阳距离为r1,远日点与太阳距离为r2。
试推导v1、v2与r1、r2间有什么关系。
模理探真·深度学习
对开普勒定律的三点理解
(1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。
[例1] 【对开普勒定律的理解】 (2025·广东阶段检测)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　)
A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动
B.地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等
C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等
D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的
焦点
D
[例2] 【开普勒定律的应用】 (2025·云南卷,5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。
行星 水星 金星 地球 火星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5
行星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 5.2 9.5 19 30
忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
C
总结提升
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
考点二
万有引力定律
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示。
2.地球表面上的重力加速度
3.万有引力的两个推论
[例3] 【重力与万有引力的关系】(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,引力常量为G,将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　 　)
AC
B
[例5] 【星体上空及星体内部重力加速度的求解】 (2025·湖北期中)在某科幻小说中,作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合,创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示,若该地下世界地面距地球表面的深度为d,地球可认为质量分布均匀,且半径为R,质量为M,引力常量为G,则该地下世界地面的重力加速度为(　　)
B
考点三
天体的质量和密度的估算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
[例6] 【“重力加速度法”计算天体质量和密度】 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面。已知引力常量为G,月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求:
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ。
[例7] 【“环绕法”计算天体质量和密度】 (2025·安徽三模)我国天问三号系列任务计划在2028年前后实施两次发射任务,“天问三号”探测器将登陆火星实现火星表面采样并返回地球。2021年2月,天问一号探测器在环绕火星的圆轨道上稳定运行,开展了广泛的科学探测工作,获取了大量的科学数据。其中火星的质量是一个非常重要的数据,除了引力常量外,依据下列两个物理量能计算出火星质量的是(　　)
A.天问一号绕火星运行的线速度和角速度
B.天问一号的质量和绕火星运行的角速度
C.天问一号在绕火星运行的某一时间内运动的弧长和对应的时间
D.天问一号在绕火星运行的某一时间内运动的某段圆弧对应的圆心角和对应的时间
A
方法点拨
方法点拨
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径的区别。
通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的轨道圆的半径。卫星的轨道半径大于或等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期的区别。
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
感谢观看第2讲　宇宙航行
【学习目标】
1.理解宇宙速度的物理意义。会推导第一、第二、第三宇宙速度,理解其与航天发射和星际航行的联系;比较不同轨道的机械能、速度变化,理解变轨原理。
2.建立理想化模型。将天体运动简化为匀速圆周运动或椭圆轨道模型。
3. 研究火箭推进原理(动量守恒),讨论能源效率;结合数学(微积分、参数方程)推导轨道方程;讨论前沿技术(如曲率驱动、虫洞理论)及其物理基础。
4.探讨太空探索的伦理问题(如行星保护、太空垃圾治理);从可持续发展视角分析太空资源利用的可行性(如小行星采矿)及其对地球生态的影响;了解中国航天成就(嫦娥工程、天宫空间站),认识国际合作在深空探测中的重要性。
[footnoteRef:2] [2:
(多选)(2025·天津期末)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索,其后将建造月球科研试验站,开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船绕月球做匀速圆周运动的半径为月球半径的2倍,周期为T;已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该飞船的线速度大小为
B.月球的质量为
C.月球的第一宇宙速度为
D.月球两极的重力加速度为
【答案】 BC]
【答案】 7.9　最大　最小　11.2　地球　16.7　太阳　匀速圆周
地心　向心力　≈　等于　自转　赤道　自转
考点一　宇宙速度
1.第一宇宙速度的推导
方法一:由G=m,得v== m/s=7.9×103 m/s。
方法二:由mg=m得v== m/s=7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度,也是人造卫星的最大环绕速度,此时它的运行周期最短,Tmin=2π=2π s=5 075 s=85 min,正是近地卫星的周期。
2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s,卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。
[例1] 【对三个宇宙速度的理解】(多选)(2025·广东湛江期中)关于地球的三个宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.第一宇宙速度大小为7.9 km/s,是发射卫星所需的最小速度
B.绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C.第二宇宙速度为11.2 km/s,是绕地飞行器最大的环绕速度
D.在地面附近发射的飞行器速度大于或等于第三宇宙速度时,飞行器就能逃出太阳系了
【答案】 AD
【解析】 第一宇宙速度是卫星绕地球表面做圆周运动的最小发射速度,也是最大环绕速度,其数值为7.9 km/s,故A正确;同步卫星的轨道半径远大于地球半径,根据万有引力提供向心力有=m,解得v=,可知轨道半径越大,环绕速度越小,因此同步卫星的速度小于第一宇宙速度,故B错误;第二宇宙速度11.2 km/s是物体脱离地球引力所需的最小发射速度,而不是最大的环绕速度,故C错误;第三宇宙速度16.7 km/s是脱离太阳引力束缚的最小速度,当飞行器速度大于或等于16.7 km/s时,可逃出太阳系,故D正确。
[例2] (2025·辽宁丹东二模)航天员在某星球表面(不考虑星球自转)做了如下的实验:在半径为2.4 cm的竖直放置的光滑圆轨道内部,有一个质量为0.01 kg的小球(可看作质点)以0.3 m/s的速度恰好通过轨道最高点。该星球的半径约3 395 km,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。以下说法正确的是(　　)
A.该星球表面的重力加速度为g=3.75 m/s2
B.该星球的第一宇宙速度约为7.9 km/s
C.该星球的质量约为6.48×1020 kg
D.若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍,则该星球的第二宇宙速度约为3.57 km/s
【答案】 A
【解析】 小球在最高点时,重力恰好提供向心力,有mg=m,解得g=3.75 m/s2,故A正确;该星球的第一宇宙速度为近地卫星的速度,根据牛顿第二定律有mg=m,解得v1=3.57 km/s,故B错误;根据星球表面物体的重力等于万有引力有G=mg,解得M=6.48×1023 kg,故C错误;若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍,则该星球的第二宇宙速度约为v2=v1=5.05 km/s,故D错误。
考点二　卫星运动参量的分析
1.人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心,一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道,静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
2.物理量随轨道半径变化的规律
3.地球静止卫星的六个“一定”
[说明] 一般的同步卫星轨道平面和绕行方向不定,周期、角速度、高度、速率都一定。另外,卫星的运行参量与卫星质量无关,不要误认为同步卫星的质量一定。
[例3] 【一般卫星】 (多选)(2025·广西玉林期中)我国“嫦娥六号”实现世界首次月球背面采样返回,先期进入环月使命轨道的“鹊桥”中继星功不可没。“鹊桥一号”运行在地月延长线上的拉格朗日L2点附近,并以该点为圆心做圆周运动,同时
与月球保持相对静止一起绕地球运动。“鹊桥一号”和“鹊桥二号”轨道位置示意图如图虚线所示。已知地球球心与月球球心间距离为L,L2点到月球球心距离为d(远大于“鹊桥一号”到L2点的距离),地球半径为R,停泊轨道Ⅰ、Ⅱ的近地点P离地面高度为h,远地点离地面的高度分别为h1、h2,地球表面附近的重力加速为g,“鹊桥一号”绕地球运动的周期为“鹊桥二号”在环月使命轨道周期的n倍,若忽略地球和月球外其他天体对“鹊桥一号”的影响、忽略月球外其他天体对“鹊桥二号”的影响、忽略地球外其他天体对月球的影响,则下列说法正确的是(　　)
A.在地球上发射“鹊桥”卫星的发射速度大于11.2 km/s
B.“鹊桥一号”在“转移轨道”上P点的加速度等于“停泊轨道”上P点的加速度
C.“鹊桥一号”在“转移轨道”上的P点运行速度大于
D.“鹊桥二号”环月使命轨道(可以视为圆轨道)半径为
【答案】 BCD
【解析】 在地球上发射“鹊桥”卫星时,“鹊桥”卫星并没有直接脱离地球的束缚,所以发射速度大于7.9 km/s小于11.2 km/s,A错误;根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=G,因为P点在“鹊桥一号”的停泊轨道和转移轨道到地心的距离相等,所以“鹊桥一号”在两轨道上P点的加速度相等,B正确;“鹊桥”卫星在离地面高度为h的点P做匀速圆周运动时,有G=m,而在地面附近有G=mg,联立解得v=,因为“鹊桥一号”在进入“转移轨道”时,需要在P点加速,所以“鹊桥一号”在“转移轨道”上的P点运行速度大于,C正确;设月球质量为m,“鹊桥一号”质量为m1,“鹊桥二号”质量为m2,“鹊桥一号”绕地周期为T1,“鹊桥二号”在使命轨道的运行周期为T2,“鹊桥二号”环月使命轨道的半径为a,依题意L2点到月球球心的距离远大于“鹊桥一号”到L2点的距离,则“鹊桥一号”可近似为在L2位置绕地球运动,对“鹊桥一号”有G+G=m1(L+d),对月球有G=mL,解得=,对“鹊桥二号”有G=m2a,又T1=nT2,联立解得a=[·d2],D正确。
[例4] 【静止卫星、近地卫星和赤道上物体的比较】 (多选)(2025·四川巴中期中)如图所示,a为放在赤道上相对地球静止的物体,随地球自转做匀速圆周运动,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是(　　)
A.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa
B.b卫星运行的线速度约等于7.9 km/s
C.在a、b、c中,c的线速度最大
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc【答案】 AB
【解析】 a、c做圆周运动的角速度相等,但a的半径小于c的速度,根据an=ω2r可知,ac>aa,又根据G=ma,得a=,故ab>ac,则ab>ac>aa,A正确;b为地球的近地卫星,其运行的线速度约等于地球的第一宇宙速度,即为7.9 km/s,B正确;a、c做圆周运动的角速度相等,但a的半径小于c的半径,故c的线速度比a的大,又根据G=m 得v=,可知b的线速度比c的大,即a、b、c中b的线速度最大,C错误;由题意知Ta=Tc,根据G=mr,得T=2π,故Tc>Tb,故a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc>Tb,D错误。
近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较
项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体
图示
向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的 一个分力
轨道 半径 r静>r近=r物
角速度 ω近=,ω静=ω物=, 有ω近>ω静=ω物
线速度 v近=,v静=ω静(R+h)=, v物=ω物R,有v近>v静>v物
向心 加速度 a近=R=,a静=(R+h)=,a物=R,有a近>a静>a物
注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下做匀速圆周运动,此结论也不能直接套用
[例5] 【天体的“追及”问题】 (2025·福建泉州检测)2024年12月8日发生木星冲日现象,木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线,地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,地球一年绕太阳一周,木星11.84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　)
A.在相同时间内,木星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
B.木星的运行速度比地球的运行速度大
C.木星冲日现象时间间隔约为12年
D.下一次出现木星冲日现象是在2026年
【答案】 D
【解析】 对同一行星而言,它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等,故A错误;由G=m可得v=,故木星的运行速度比地球的小,故B错误;下一次木星冲日时有
(ω地-ω木)·t=2π,其中ω地=,ω木=,解得t=1.1年,则下一次出现木星冲日现象是在2026年,故C错误,D正确。
[变式] (1)再过大约多少年,地球和木星相距最远 (2)假设地球和木星绕太阳公转的方向相反,木星冲日现象的时间间隔约为多少年
【答案】 (1)0.55年　(2)0.92年
【解析】 (1)相距最远有(-)t=π,解得t=0.55年。
(2)若公转方向相反,则有(+)t=2π,解得t=0.92年。
天体“追及”问题的处理方法
(1)相距最近:两同心转动的卫星(rA(2)相距最远:两同心转动的卫星(rA[例6] 【行星的冲日问题】(2025·重庆卷,7)“金星凌日”时,从地球上看,金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测,测得金星在太阳表面的小黑点相距为L,如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动,太阳直径远小于金星的轨道半径,则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为()2
【答案】 D　
【解析】 太阳直径远小于金星的轨道半径,太阳直径忽略不计,根据题意结合几何知识可知,地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=,A错误;根据万有引力提供向心力有=
m()2r=m=ma,解得T=,v=,a=,可得周期之比为=,线速度大小之比为=,向心加速度大小之比为=()2,B、C错误,D正确。
课时作业　　
对点1.宇宙速度
1.如图所示是三个宇宙速度的示意图,则(　　)
A.“天问二号”对绕太阳近似做匀速圆周运动的小行星“2016HO3”进行探测,其发射速度需要大于16.7 km/s
B.发射载人登月飞船时,其发射速度需要大于11.2 km/s
C.天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D.三个宇宙速度是在地球上发射不同用途探测器的三个最小发射速度
【答案】 D
【解析】 “天问二号”对“2016HO3”小行星进行探测,没有脱离太阳系,发射速度需要小于
16.7 km/s,A错误;载人登月飞船发射过程并未脱离地球,其发射速度需要小于11.2 km/s,B错误;天宫空间站绕地球做近似圆周运动,运动速度小于7.9 km/s,C错误;三个宇宙速度对应于在地球上发射绕地球的卫星、脱离地球束缚的卫星和脱离太阳系的卫星的最小发射速度,
D正确。
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力有=m,解得v=,若v=,小星球做匀速圆周运动,A正确;若,小星球将脱离恒星引力束缚,做曲线运动,不可能与恒星相撞,D错误。
3.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　)
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
【答案】 C
【解析】 由万有引力提供向心力得G=m,解得v===,
所以 ===,故选C。
4.(多选)(2025·河南期末)理论分析表明,天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的 倍。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸。当某种天体的第二宇宙速度至少为光速c时,这种天体就成为黑洞,如图所示。若某黑洞的质量为M,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为 c
B.该黑洞的最大半径为
C.由题中已知量可以求出该黑洞的最大密度
D.如果某天体绕该黑洞做线速度为v、角速度为ω的匀速圆周运动,则有M=
【答案】 BD
【解析】 黑洞的第二宇宙速度v2至少为光速c,可知v2=v1,则第一宇宙速度v1至少为c,A错误;设绕黑洞运动的天体的质量为m,根据万有引力提供向心力有G=m,可得黑洞的半径最大为R=,而半径最大时密度最小,则可以求解出黑洞的最小密度,B正确,C错误;如果某天体绕该黑洞做线速度为v、角速度为ω的匀速圆周运动,则轨道半径为r=,根据万有引力提供向心力有G=m,则有M=,D正确。
对点2.卫星运动参量的分析
5.(2025·内蒙古乌兰察布二模)太空电梯固定于地球赤道上某地,一航天员全身固定在电梯中的座椅上,电梯匀速升空到达距地面高度为同步卫星轨道高度的1.5倍处(上升过程中每一点可视为随太空电梯一起做的匀速圆周运动),则电梯匀速上升过程中,座椅对航天员的作用力F随电梯上升时间t变化的Ft图像可能正确的是(　　)
A B C D
【答案】 D
【解析】 当高度小于同步卫星轨道高度时,根据圆周运动的规律,对航天员有-F=
mω2(vt+R),解得航天员受到的支持力为F=-mω2(vt+R),随着时间的增大,作用力减小,且为非线性关系;当高度等于同步卫星轨道高度时,此处万有引力等于航天员做圆周运动的向心力,有=mω2(vt+R),则作用力为0;当高度大于同步卫星轨道高度时,由+F压=
mω2(vt+R),可得F压=mω2(vt+R)-,力的方向发生变化,且随着时间的增大,作用力随时间非线性增大。D正确。
6.(多选)(2025·吉林期末)如图所示,2025年6月14日,我国成功将电磁监测卫星“张衡一号”02星发射升空。该卫星能够克服地面观测的许多局限性,提供更全面和准确的地震监测数据。卫星在椭圆轨道上运行,地球视为球体,则该卫星在轨道上运行过程中(　　)
A.卫星在近地点时加速度最大
B.从近地点到远地点,卫星的速度逐渐减小
C.从近地点到远地点,卫星的机械能减少
D.从近地点到远地点,卫星的重力势能不变
【答案】 AB
【解析】 对卫星有=ma,解得a=,由于卫星在近地点到地心距离r最小,故加速度最大,A正确;根据开普勒第二定律可知,从近地点到远地点,卫星速度逐渐减小,B正确;卫星在椭圆轨道运行,只有地球引力做功,机械能守恒,C错误;从近地点到远地点,卫星高度升高,重力势能增大,D错误。
7.(2025·贵州毕节一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图。设地球半径为R,地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1,加速度大小为a1;近地卫星的轨道半径近似为R,运行速度大小为v2,加速度大小为a2;地球静止卫星的轨道半径为r,运行速度大小为v3,加速度大小为a3。下列选项正确的是(　　)
A.=1 B.=
C.= D.=
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得=m=ma,可得v=,a=,则有==,=,故B正确,D错误;地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等,根据v=ωr,a=ω2r,可得=,=,则有=,故A、C错误。
8.(2025·贵州贵阳期末)如图,北斗系统主要由离地面高度为6R的同步卫星(R为地球半径)和离地面高度为3R的中圆轨道卫星组成,两轨道均看作圆轨道,忽略地球自转。下列说法正确的是(　　)
A.这两种卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B.中圆轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为7∶4
C.通过地面控制可以将北斗静止卫星定点于贵阳正上方
D.中圆轨道卫星与同步卫星的角速度大小之比约为7∶8
【答案】 D
【解析】 速度v=7.9 km/s是卫星绕地球表面运动的速度,是在地面发射卫星的最小速度,也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度,此时的轨道半径为地球的半径,由v=可知,速度v与轨道半径r的平方根成反比,则这两种卫星的速度都小于7.9 km/s,A错误;中圆轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为==,由于卫星的质量未知,动能无法比较,B错误;静止卫星只能定点于赤道的正上方,C错误;根据=mω2r,得ω=,则两卫星角速度之比为ω1∶ω2=7∶8,D正确。
9.(2025·河北唐山模拟)如图甲,某行星外围有一圈厚度为d的发光带,R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群,发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示(图线中v0为已知量)。引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该行星的第一宇宙速度为v0
B.该行星的第一宇宙速度为2v0
C.该行星表面的重力加速度g=
D.该行星的质量M=GR
【答案】 A
【解析】 若该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群,根据万有引力提供向心力有G=m,化简可得v2=GM·,可知v2图像的斜率k=GM==R,即该行星的质量为M=,D错误;在行星表面有G=mg,解得该行星表面的重力加速度g==,C错误;该行星的第一宇宙速度等于在行星表面绕行星做匀速圆周运动的线速度,则有=m,即该行星的第一宇宙速度为v==v0,A正确,B错误。
10.(多选)(2025·河北石家庄阶段练习)嫦娥探月工程的巨大成功把拉格朗日点引入人们视野。拉格朗日点是指在大天体、小天体和探测器组成的系统中,探测器可以和小天体同步转动的位置。其中拉格朗日点3由于未被开发利用,较少被人关注。在地月系统中,拉格朗日点3(以下称作L3)位于与月亮相对的一侧,探测器在这里可以和月亮地球一起同步绕地月质心做匀速圆周运动,如图所示。图中O点为地球球心,O′点为地月质心,虚线为过月心以O为圆心的圆,实线为过月心以O′为圆心的圆。若月球绕地心转动,周期为T1;月球绕地月质心转动,周期为T2,则(　　)
A.T1=T2
B.T1>T2
C.L3一定位于A点外侧
D.L3可能位于AB之间
【答案】 BD
【解析】 月球绕地月质心转动,月球轨道半径变小而引力不变,故周期变小,A错误,B正确。探测器在A点时若绕地心转动,轨道半径与地、月距离相同但同时受到地球和月球引力,将比月球转得快而二者不同步,因此L3应在A点外侧;可实际轨道圆心在O′点,探测器轨道半径较大,转动未必快于月球,故L3可能位于AB之间,C错误,D正确。
11.(2023·北京卷,20)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质,主要分布在半径为R的球体内,球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M,可认为均匀分布,球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动,恒星到星系中心的距离为r,引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零,利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识,求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(3)科学家根据实测数据,得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像,如图所示,根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变,科学家预言螺旋星系周围(r>R)存在一种特殊物质,称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用,并遵循万有引力定律,求r=nR内暗物质的质量M′。
【答案】 (1)v=　(2)v=r (3)(n-1)M
【解析】 (1)由题知,r>R区域的恒星绕星系中心做匀速圆周运动,则由万有引力提供向心力有G=m,解得v=(r>R)。
(2)在r≤R区域,球体内物质质量M0=·πr3=,
同理,由万有引力提供向心力有G=m,
解得v=r(r≤R)。
(3)设在r>R范围内的恒星速度大小为v0,由图像可知v0近似等于轨道半径为R的恒星对应的线速度大小,由(2)的结论可得v0=,可把r=nR内的暗物质看作处在星系中心的等质量的质点,则对处于r=nR处的恒星,所需的向心力等于星系物质和暗物质对其万有引力之和,
即+=m,解得M′=(n-1)M。

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