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浙江省宁波市镇海中学 2026届高三模拟预测
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= y|y=-x2 , B={x ∣ x> 2}，则下列说法正确的是
A. A∩ B= B B. A∪ B= R C. RA ∪ B= B D. RB ∩ A= A
2.已知 α , β , γ是空间中三个不同的平面, a , b , c是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 a⊥ b , b⊥ c ,则 a c B. 若 α⊥ β , β⊥ γ ,则 α γ
C. 若 a⊥ α , a⊥ β ,则 α β D. 若 a α , a β ,则 α β
3.图中是抛物形拱桥，当水面在 l时，拱顶部离水面 1m，水面宽 2m，水面下降 1m后,水面的宽约为 (其中
2 ≈ 1.414 ,精确到 0.1m)
A. 1.4m B. 2.8m C. 4.2m D. 5.7m
4.某函数的图像如图所示,则该函数解析式可能为
x-1 x2-1 exA. x B. C.
2
x x+1 D. x -1 e
x
e e
5.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
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6.在△ABC中,角 A , B ,C 1+sinA 1+sinB为三个内角,则“ cosA = cosB ”是“A= B”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
7.已知双曲线C : x2 -
y
2 = 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 y= 3与双曲线的右支交于点 P且∠Fa b 1
PF2=
π
2 , PF2的中点记为Q ,且 OQ = 3 ,则双曲线C的离心率为
A. 3 B. 3+ 32 C. 2 3 D. 3+ 1
8.已知函数 f x = ex- x+ 1 , g x = klnx , h x = kx- k ,在区间 0,+∞ 上恒有 f x ≥ h x ≥ g x ,求 k
的取值范围
A. 0,e2-1 B. 0,e2-1 C. 0,e-1 D. 0,e-1
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列说法正确的是
A. χ2独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 8 , 9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0的直线上,则 R2= 1
D. 已知父亲身高为 172cm，儿子身高的观测值为 176cm，儿子身高预测值为 173cm，则儿子身高的残差
为 3cm
10.已知平面内的三个非零向量 a , b , c满是 b b-a = b2 ,且 a -b = b-c = c -a = 2 ,则下列说法正
确的是

A. a ⊥ b B. a -b b-c =-2
C. a c 的最小值为 1 D. a c的最大值为 3
11.已知无穷数列 an 前 n项和为 Sn ,若存在 i , j∈ 1,2, ,n ,当 i≠ j时, Si = S j ,则称 an 为“绝对数
列”.则下列选项正确的是
A. 已知数列 an= 2n- 5 n∈N * ，则数列 an 为“绝对数列”
B. 若数列 an 和 bn 均为“绝对数列”,则 an+bn 为“绝对数列”
C. 若等比数列 an 为“绝对数列”,则公比为-1
D. 存在两个公差均不为 0的等差数列 an 和 bn ,使得数列 an , bn , an+bn 和 anbn 均为“绝对数
列”
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.复数 z= 1+ i i 1+ ，则 z = .2
13.已知实数 a , b满足 ab+ 5= 3a+ 2b，且 a> 2，则 a+ b的最小值为 .
14.甲有 2个白球和 1个黑球,乙有 3个白球,甲乙两人每次交换 1个球,经过 5次交换后，黑球仍然在甲手中
的概率为 .
数学试题 第 2 页 共 4 页
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知锐角△ABC三个内角 A , B ,C的对边分别是 a , b , c ,若 ccosA+ 3csinA= b+ a.
(1)求C的大小；
(2)若CE ∠ACB AB E AE平分 交 于点 ，求 BE 的取值范围.

16.如图，已知平行四边形 ABCD，AB= 4 , BC= 6，∠ABC= π3 ，E是线段 BC上的点，且 2BE= EC , F为线
段 AD中点，现将△ABE沿 AE翻折至△AB1E，使得 BB 1
= 2.
(1)若点M在线段 B1C上，且 B1M = 3MC，证明: FM 平面 AB1E；
(2)求直线DB1与平面 AB1E所成角的正弦值.
B1
M
B CE
A F D
17.设数列 an 的前 n项和为 Sn , a1=-50 ,当 n≥ 2时满足 nSn- n+1 S 3n-1= n - n.
(1)求 Sn；
(2) S令 b nn= n ，记 Tn为 bn 的前 n项和，当 n为何值时，Tn取最小值.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y2= 4x上点 P t2,2t 处的切线与双曲线 x2- y2= 1相交于不同的两点
A , B.
(1)若 P为 AB中点，求实数 t的值；
(2)若 0< t< 1，且在 x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数 t的值；
(3)若 t> 1，求△OAB面积的最小值.
19.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 Γ1 : y= ax a>1 与 Γ2 : xy=m m>0 交于点 A.
(1)当 a= e时，求曲线 Γ1在 0,1 的切线方程；
(2)若直线OA与 Γ1相切于点 A ,求 am的值；
3若直线OA与 Γ1交于另一点 B ,且 OB ≥ 2 OA ,求 am的取值范围.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. D
【解析】A= y|y=-x2 = y|y≤0 , B={x ∣ x> 2},
∴ A∩ B= , A∪ B≠ R ,CRA= 0,+∞ , CRA ∪ B= 0,+∞ ≠ B,
CRB= (-∞ , 2] , CRB ∩ A= -∞,0 = A.
2. C
【解析】垂直于同一条直线的两个不同平面平行, a⊥ α , a⊥ β , α , β为不同平面,∴ α β ,C正确.
3. B
【解析】以拱顶为原点,竖直向下为 y轴,设抛物线为 y= ax2 a>0 , y= 1时水面宽为 2米,
∴ 1,1 在抛物线上,∴ a= 1 ,水面下降 1米后, y= 2, x2= 2 ,水面宽为 2 2 ≈ 2.8米.
4. B
【解析】由图像知, x→+∞ f x → 0+ ,且 f x > 0 ;
2
x→-∞ f x →+∞ , x -1 并有两个零点,选项 B中 f x = x ,零点为 x=±1x→-∞ f xe
→+∞ , x→
+∞ f x → 0+ ,与图像相符.
5. C
【解析】圆锥轴截面为等腰三角形,内切球、外接球球心重合,
轴截面的内心、外心重合,∴轴截面为等边三角形.
a , 3设等边三角形边长为 则 6 a= 1 , a= 2 3 , r=
a
2 = 3 , h=
3
2 a= 3,V=
1 πr23 h= 3π.
6. C
A= B A< π , . , , 1+sinA = 1+sinB【解析】 2 等式成立 反过来 等式有意义 由 cosA cosB ,得 1+sinA cosB=
1+sinB cosAcosB- cosA= sinBcosA- sinAcosB , cosB- cosA= sinB- A
2sin A-B sin A+B +cos A-B2 2 2 = 0 , sin
A+B
2 + cos
A-B
2 > 0 ,∴ sin
A-B
2 = 0,
∴ A= B ,所以为充要条件.
7. D
【解析】设 F1 -c,0 , F2 c,0 , P x,3 x>0 .∠F1PF π2= 2 ,
则 PF 2+ PF 21 2 = F 21F2 , x+ c2+ 9+ x- c2+ 9= 4c2 ,∴ x2+ 9= c2.
Q x+c , 3 x+c
2 9 2 2
2 2 , OQ = 3 , 4 + 4 = 9 ,∴ x+ c= 3 3. c - x = 9 ,
∴ c-x c+x = 9 ,∴ c- x= 3 ,∴ c= 2 3 , x= 3.
PF1= 6 , PF2= 2 3 , 2a= PF1- PF2= 6- 2 3 , a= 3- 3,
e= c 2 3a = = 3+ 1.3- 3
8. A
【解析】方法一:由 h x ≥ g x k x- lnx-1 ≥ 0恒成立, x= 1显然成立,
x> 0且 x≠ 1时, x- lnx- 1> 0 ,∴必有 k≥ 0
由 f x ≥ h x ex- x+ 1≥ k x-1 ,∵ ex- x+ 1> x+ 1- x+ 1= 2,
当 0< x≤ 1时,左边> 2 ,右边≤ 0 ,不等式显然成立.
参考答案 1 页 共 8 页
x> 1 k≤ e
x-x+1
当 时, x-1 ,min
ex-x+1 x x-1 x
而 x-1 =
e
x-1 - 1= e
e
x-1 - 1≥ e
2- 1(x= 2时取“=”) ( e运用了 x> 0时, x ≥ e)
∴ 0≤ k≤ e2- 1 , A正确.
方法二: h x - g x = k x-1- lnx , lnx≤ x- 1 ,等号在 x= 1
时成立. h x ≥ g x 恒成立 k≥ 0.k= 0时, f x ≥ 0= h x = g x 成立.
以下设 k> 0 ,令 F x = f x - h x = ex- k+1 x+ k+ 1.
F x = ex- k- 1 , F x = ex> 0 , F x = 0 x= ln k+1
F x min= F ln k+1 = k+1 2- ln k+1
k> 0 , k+ 1> 0.F x ≥ 0恒成立 2- ln k+1 ≥ 0.ln k+1 ≤ 2 k≤ e2- 1
综上, 0≤ k≤ e2- 1.
方法三: h x ≥ g x kx- k≥ klnx k x-1- lnx ≥ 0.
∵ x∈ 0,+∞ 时 x- 1- lnx≥ 0恒成立,∴ k≥ 0.
x
f x ≥ h x ex- x+ 1≥ k x-1 x∈ 1,+∞ k≤ e -x+1 .当 时, x-1 .
x
φ x = e -x+1
ex-1 x-1 - ex-x+1 x-2 ex
设 x-1 , φ x = = . x-1 2 x-1 2
x∈ 1,2 时, φ x < 0 , φ x 单调递减; x∈ 2,+∞ 时, φ x > 0 , φ x 单调
递增.∴ φ x min= φ 2 = e2- 1.∴ k≤ e2- 1.
当 x∈ 0,1 时, x- 1< 0 , ex- x+ 1> 0 ,且 k≥ 0 ,∴ ex- x+ 1≥ k x-1 恒成立.
当 x= 1时, e≥ 0恒成立.综上, 0≤ k≤ e2- 1.
9. ACD
【解析】χ2独立性检验用于随机样本数据,普查数据不适用, A对.
数据共 10个,后 5个数为 4 , 4 , 5 , 8 , 9,所以上四分位数为 5, B错.
所有散点落在斜率非 0的直线上，则拟合完全，R2= 1，C对.
残差= 176- 173= 3cm，D对.
10. ABD

b b-a
2 2
【解析】由 = b 得 b b- a b= b , a 所以 b= 0 , A对.
2 2 2
令 u = a - b , v = b- c , u = v = u +v = 2 , 4= u +v = u + v + 2u v = 8+ 2u v

所以 u v=-2 ,即 a-b b-c =-2 , B对.

设 a = x , b = y , x> 0 , y> 0 , 由 a b= 0 , a -b = 2得 x2+ y2= 4.

取 a = x,0 , b= 0,y ,则三个向量的终点构成边长为 2的等边三角形,
= x+ 3 y y+ 3x x- 3 y y- 3x x
2± 3xy
c 2 , 2 或 2 , 2 , a c= 2
令 x= 2cosθ , y= 2sinθ , 0< θ< π2 , a
c = 1+ cos2θ± 3sin2θ
π π
取加号时, 1+ cos2θ+ 3sin2θ= 1+ 2cos 2θ- 3 ≤ 3 , θ= 6 时取等号.
取减号时, 1+ cos2θ- 3sin2θ= 1+ 2cos 2θ+ π3 ≥-1 , θ=
π
3 时取等号.
a c 所以 的最小值为-1 ,最大值为 3,C错,D对.
参考答案 2 页 共 8 页
11. AD
【解析】方法一:对于 A ,∵ a1=-3 , a2=-1 , a3= 1 ,∴ S1= S3,∴ S1 ≤ S3 ，A正确.
对于 B ,取 an= 2n- 5(受 A的启发), bn= 5- n , an+ bn= n ,显然 an+bn 不为“绝对数列”, B错.
对于C ,取 a = -2 n -1n ,则 a1= 1 , a2=-2 ,∴ S1= 1 , S2=-1 , S1 = S2 符合 an 为“绝对数列”,但 q=
-2≠-1 ,C错.
对于D ,取 an= bn= n- 2 ,则对 an , bn 而言, S1= S2 ,∴ S1 = S2 an+ bn= 2 n-2 , anbn= n-2 2 ,也
都有 S1 = S2 ,符合 an , bn , an+bn , anbn 均为“绝对数列”,D正确.
方法二:对 A , an= 2n- 5,
Sn= n n+1 - 5n= n2- 4n= n n-4 , S1=-3 , S3=-3 , S1 = S3 , A正确.
对 B ,取 an= n- 2 , bn= 3- n ,设前 n项和分别为 An , Bn ,Cn,
n
A
n-3
n= 2 , A1= A2=-1 ,所以 an 为绝对数列;
n 5-nB = n 2 , B2= B3= 3 ,所以 bn 为绝对数列;
an+ bn= 1 ,Cn= n , i< j时, Ci = i , C j = j ,所以 Ci ≠ C j , B错误.
对C ,取等比数列 an= -2 n -1 ,则 q=-2 , S1= 1 , S2=-1 , S1 = S2 ,但 q≠-1C错误.
对D ,取 an= n- 2 , bn= 2n- 4 ,公差分别为 1 , 2 , A1= A2=-1 , B1= B2=-2, an+ bn= 3n- 6 ,C1=C2
=-3 , anbn= 2 n-2 2 , P1= 2 , P2= 2,D正确.
方法三:对于 A , an= 2n- 5 Sn= n2- 4nS1=-3 , S3=-3 S1 = S3 , A正确.
对于 B ,取等差数列 an= 2n- 5 Sn= n2- 4n ,有 S1= S3=-3
取等差数列 b 2n=-2n+ 7 其前 n项和 Tn=-n + 6n,
有 T2= T4= 8an+ bn= 2 其前 n项和Mn= 2nn∈N * Mn单调递增且大于 0,
不存在 i≠ j使得 Mi = M j , B错误.
对于C ,取 a1= 1 , q=-2 S1= 1 , S2=-1 S1 = S2 ,此时公比不等于-1,C错误.
对于D ,取 an= n- 2 , bn= n- 3a2= 0 S1= S2=-1b3= 0 其前 n项和 Tn满足 T2= T3=-3an+ bn= 2n
- 5 其前 n项和M = n2n - 4n M1=M3=-3anbn
= n-2 n-3 第 2项为 0 其前 n项和Hn满足H1=H2= 2四者均满足条件,D正确.
12. 3
i
【解析】 z = 1+ i × 1+ = 2 × 1+ 12 = 3.2
13. 7
【解析】由 ab+ 5= 3a+ 2b得 a-2 b-3 = 1 , a> 2 , b= 3+ 1所以 , a+ b= 5+ a-2 +
a-2


1 , a-2 + 1 ≥ 2,
a-2 a-2
所以 a+ b≥ 7.当 a- 2= 1 ,即 a= 3 , b= 4时, a+ b的最小值为 7.
14. 122243
【解析】方法一:记 n次交换后球仍在甲手中的概率为 Pn
∴ P 2 1n+1= 3 Pn+ 3 1-Pn =
1
3 Pn+
1
3 ,令 Pn+1+ x=
1
3 Pn+x ,
∴ x=- 1 , P - 1 = 2 - 1
n-1
2 1 2 3 2 =
1
6 ≠ 0 ,∴ P -
1 1 1
n 2 = 6 3
参考答案 3 页 共 8 页
P = 1 + 1 1
n
n 2 2 3 ,∴ P =
1 + 1 × 15 2 2 243 =
122
243 .
1 2
方法二:每次交换,黑球所在者手中均有 3个球,黑球被交换的概率为 3 ,不被交换的概率为 3 . 5次后
黑球仍然在甲手中,即 5次中黑球被交换次数为偶数.
5 2 3 4
P=C0 2 +C2 1 2 +C4 1 2 = 32 + 80 10 1225 3 5 3 3 5 3 3 243 243 + 243 = 243 .
方法三:设经过 n次交换后,黑球在甲手中的概率为 pn ,则黑球在乙手中的概率
为 1- pn , p0= 1.由全概率公式得到,
pn= pn-1×
2
3 × 1+
1 1 1
1-pn-1 × 1× 3 = 3 pn-1+ 3
1 1 n
变形得到 pn- 2 = 3 pn-1-
1
2 ,因为 p0-
1 = 12 2 ,所以 pn-
1 1
2 = 2 ×
1
3
n 5
化成 pn=
1 1
2 + 2 ×
1
3 , n= 5 p5=
1 + 1 × 1 = 1222 2 3 243 .
15. (1)sinCcosA+ 3sinCsinA= sinB+ sinA= sinAcosC+ cosAsinC+ sinA
∴ 3sinC- cosC= 1 , 2sin C- π6 = 1 , sin C-
π
6 =
1 π
2 ,而- 6 π < 5π π π6 6 ,∴C- 6 = 6 C
= π3 .
(2)解法 1 :∵CE平分∠ACB , AE CA bBE = CB = a
在△ABC中, c2= a2+ b2- 2ab 12 = a
2+ b2- ab
2 2 2 2 2 2
∵△ABC a +c >b 2a +b -ab>b 1 b为锐角三角形,∴ b2+c2>a2 a2+2b2-ab>a2 2 < a < 2
∴ AE 1BE 的取值范围为 2 ,2 .
sin A+ π 1 sinA+ 3 cosA
解法 2 :∵CE平分∠ACB∴ AE = CA = b = sinB 3 2 2 1 3BE CB a sinA = sinA = sinA = 2 + 2tanA
0在锐角△ABC中
2 π π
π π 6 < A< 2 ,∴ tanA>
3
0<π-A- < 33 2
∴ 0< 3 3 AE 1tanA < 2 , BE ∈ 2 ,2 .
16. (1)证明:过M作MG CE交 B1E于点G，连接 AG
B1
M
G
B CH E
A F D

∵ B M = 3MC ,∴ GM = B1M 31 CE B C = 4 ,而CE=
2
3 BC.1
//
∴GM= 12 BC ,又∵ AF=
1
2 BC ,GM∥ BC∥ AF ,∴GM=AF
参考答案 4 页 共 8 页
∴四边形 AFMG为平行四边形,∴MF AG,
∵ FM 平面 AB1E , AG 平面 AB1E,
∴ FM 平面 AB1E.
(2)BE= 2 , AB= 4，在△ABE中，AE= 4+16-2×2×4× 12 = 2 3
∴ AE 2+ BE 2= AB2 , ∠AEB= 90° ,∵ AE⊥ BE , AE⊥ B1E , BE∩ B1E= E
∴ AE⊥平面 BB1E，又∵ AE 平面 ABCD，∴平面 BB1E⊥平面 ABCD
过 B1作 B1H⊥ BE于点H , B1H⊥平面 ABCD,
∵ B1E= BE= BB1= 2 ,∴△BB1E为等边三角形,∴ B1H= 3,
S△AB E= 2 3 , S
1
△ADE= 2 × 6× 2 3= 6 31
设D到平面 AB1E的距离为 h ,DB1与平面 AB1E所成角为 θ ,∴ sinθ= hB1D
由VD-AB E=V 1 × 2 3 h= 1B -ADE 3 3 × 6 3 3 h= 3 3,1 1
B1D1= B1H2+DH2= 3+61= 8 ,∴ sinθ= 3 38 .
17. (1)nSn- n+1 Sn-1= n n+1 n-1 , n≥ 2，两边同除以 n n+1
S
∴ n
Sn-1
n+1 - n = n- 1,
n≥ 2 Sn = S1 + S S时, 2 - 1 + S3 S2n+1 2 3 2 4 - 3 + +
Sn - Sn-1n+1 n
n n-1
=-25+ 1+2+ +n-1 =-25+

= 1 n22 2 -
1
2 n- 25
∴ n≥ 2时, Sn= n+1 1 2 1 2 n - 2 n-25 ,而 S1=-50也满足上式,
∴ Sn= n+1 1 1 22 n - 2 n-25 .
2
(2)bn= n+1 n 25 1 n 25 512 - n - 2 = 2 - n - 2 关于 n∈N *单调递增
b = 49 - 25 - 51 < 0 , b = 32- 25注意到 1 2 7 2 8 8 -
51
2 > 0,
∴ 1≤ n≤ 7时, bn< 0 , n≥ 8时, bn> 0
故 n= 7时, T7最小.
2
18.方法一: (1)y2= 4x在 P t2,2t t +x 处的切线方程为 2ty= 4 2 ,
即 x- ty+ t2= 0 ,易知 t≠ 0.设 A x1,y1 , B x2,y2
2 2
∴ x1-y1=1 x2-y2 x1+x2 x1-x2 = y1+y2 y1-y2 2 2=1
∴ 2= y1-y2t 4t 2 1x -x = 4tkAB= 4t t = 4 ,∴ t=± 2.1 2
(2)A x1,y1 , B x2,y2 , AB中点 R x0,y0
x= ty- t2联立 2 2 3x2-y2=1 t -1 y - 2t y+ t
4- 1= 0,
Δ= 4t6- 4 t2-1 t4-1 = 4 t4+ t2-1 > 0
4 2 3
AB = 1+ 2
y +y
t y1-y2 = 1+ t2
2 t + t -1 , y = 1 22 =
t
t -1 0 2 t2-1
3 2 2
∴CR= 1+ 1 t 2 t 3 2 tt2 2 = 1+ t 2 ,∵△ABC为等边三角形,∴CR= 2 AB∴ 1+ t t -1 t -1 t2 =-1
参考答案 5 页 共 8 页
3 41+ t2 2 t + t
2-1 4
2 2 2t + 3t
2- 3= 0.
t -1
∴ t2= -3+ 334 ,∵ t∈ 0,1 ,∴ t=
-3+ 33
2 .
(3)设直线 AB与 x轴交于 E ,∴ E -t2,0
∴ S = 1
4
OE y -y = 1 t2 2 t + t
2-1 t2 4 2
△OAB 2 1 2 2 2 = 2 t + t -1,t -1 t -1
令 t2- 1=m ,m> 0 ,∴ S = m+1△OAB m m+1
2 +m+1-1= m+1 m2m +3m+1
= m+ 1 m+ 1m +3≥ 2 2+3= 2 5m
m= 1
当且仅当 m 1 即m= 1 , t= 2时取“=”,∴ S△OAB min= 2 5.m= m
方法二: (1)抛物线 y2= 4x在 P t2,2t 处的切线为 ty= x+ t2
由题意, t≠ 0 ,所以 x= ty- t2
设 A x1,y1 , B x2,y2 ,且 xi= tyi- t2 , i= 1 , 2.
联立得 ty- t2 2 - y2= 1 , t2-1 y2- 2t3y+ t4- 1= 0
3
2 2t 2 2 4 t
4+ t2-1
由题意, t ≠ 1 ,于是 y1+ y2= 2 , y1y2= t + 1 , y -y =

t -1 1 2 t2-1 2
x + x = t y +y - 2t2= 2t
2 2 3
又 1 2 1 2 2 ,所以 AB
t t
中点为M ,
t -1 t2-1 t2-1
t2 t3
若 P为 AB中点,则 t2=
t2
, 2t=
-1 t2-1
∴ t2= 2 ,∴ t=± 2
3
(2)当 0< t< 1时，M ty= t2
< 0.
-1
若△ABC为正三角形,且C在 x轴上,则M 2 3y = 4 t
2 y1-y 22
t6 3 4 t42 + t
2-1 4 4 2
2 = 4 t 2 , t = 3 t + t -1 t2

-1 t2-1
2t4+ 3t2- 3= 0 ,∴ t2= 33-34 ,∴ t=
33-3
2
2
此时 t4+ t2- 1= 1- t2 > 0 ,符合题意.
(3)当 t> 1时，S 1ΔOAB= 2 x1y2-x2y1
2 4 2
x1y2- x2y1= ty - t2 y -
t t + t -1
1 2 ty2- t2 y 21= t y1-y2 ,∴ S△OAB= t2-1
2 2
令 u= t2
u u +u-1
,则 u> 1 , S2 = △OAB
u-1 2
2 2
S2
u-2 u +5u-5
△OAB- 20=

2 ≥ 0 ,等号成立时, u= 2 ,即 t= 2. u-1
∴ S△OAB min= 2 5.
19.方法一: (1)Γ1 : y= ex , y = ex , k= 1 , Γ1在 0,1 处的切线方程为 y= x+ 1.
(2)设 A x ,ax00 , Γ1 : y= ax , y = axlna，
参考答案 6 页 共 8 页
x0
∴ Γ1在 A a处的切线斜率 k x0OA= a lna= x x0lna= 1 , a
x0= e,
0
又∵ Γ1与 Γ2交于点 A ,∴ A也在 Γ2上,∴ x x00 a =m ex0=m
∴ am= aex0= ax0 e = ee.
(3)设 A x1,y1 , B x2,y2 ,∵O , A , B三点共线，
y x1∴ k = k 1 = y2 y2 x2 y1=a lny1=x1lnaOA OB x x y = x ,而 y =ax 21 2 1 1 2 lny2=x2lna
x2 lny2 y2
OB BS
x = lny = y ,∵ OB ≥ 2 OA
= =
y2 ≥ 2
1 1 1 OA AT y1
y2 = ,∴ lntyt 1令 y lny = t lny1=
lnt
t-1 , t≥ 2,1 1
1 t-1 - lnt 1- 1 - lnt
令 g t = lnt , g t = t t 1 t-1 2 = < 0(运用了 lnt≥ 1- ,当且仅当 t= 1时取 t-1 t-1 2 t
“=”)
∴ g t 在 2,+∞ 上单调递减, 0< g t ≤ g 2 = ln2 0< lny1≤ ln2 , 1< y1≤ 2
又∵ A也在 Γ 上,∴ x y =m ,∴ am= ax1y1= ax1 y 12 1 1 = yy11 = ey1lny1
而 y1lny1在 y1∈ 1,2 上单调递增,∴ 0< y1lny1≤ ln4 ,∴ 1< am≤ 4.
方法二: (1)当 a= e时, y= ex , x= 0处切线斜率为 e0= 1 , y- 1= x∴ y= x+ 1.
(2)设 A x ,ax11 , x1> 0 , k= lna，
x1
∵OA与 Γ A a相切于 ， = kax11 x ，∴ kx1= 1.1
又 A∈ Γ ,m= x ax1 ,∴ ln am =mlna= x ax1lna= kx ekx12 1 1 1 = e
∴ am= ee.
(3)设 A x ,ax11 , B x ,ax22 ，由 OB ≥ 2 OA ，可设 x2≥ 2x1> 0，
x x
令 r= x2
1 2
x ,则 r≥ 2.∵ A , B ,O
a
三点共线, x =
a x2-x1
1 1 x
,∴ a = r.
2
设 t= x lna ,则 e r-1 t1 = r ,∴ t= lnrr-1 .
φ r = lnr r-1 在 r≥ 2时连续递减,且 r→+∞ φ r → 0 , r≥ 2时, 0< t≤ ln2 ;
反过来, 0< t≤ ln2时,也存在 r≥ 2与之对应.
又m= x ax11 , ln am =mlna= x x11a lna= tet.
参考答案 7 页 共 8 页
0< t≤ ln2 ,∴ 0< tet≤ 2ln2 ,∴ 1< am≤ 4.
∴ am的取值范围为 1< am≤ 4.
方法三: (1)当 a= e时, Γ1 : y= ex ,∴ y = ex在 x= 0处切线斜率 k= e0= 1
∴曲线 Γ1在 0,1 处的切线方程为 y- 1= 1 x-0 y= x+ 1.
(2)设 A x x1 1,y1 ,∴ y1= a 且 x1y1=mΓ1的导数为 y = axlna
∵直线OA与 Γ1相切于点 A ,∴直线OA的斜率 k= ax1lna
x1 x1 1
∵ yA在直线OA上，∴ k= 1 ax = x ，∴ a
x1lna= ax x1lna= 1 x =
1 lna
1 lna ∴ y1= a = e ,∴m= x1y1=1 1 1
e mlna= e ,∴ am= emlna= eelna .
(3)设 A x1,y1 , B x2,y2 ，由于 A , B在第一象限，且 OB ≥ 2 OA
∴ x2≥ 2x1> 0 ,令 x2= tx1 t≥2 ,∵O , A , B三点共线,
y y x tx∴ 1 = 2 a
1 a 1 t-1 x1x x x = tx ,∴ a = t t-1 x lna= lnt x lna=
lnt
1 1
1 2 1 1 t-1
∵m= x1y1= x1ax1 ,∴mlna= x1lna ax1= x1lna ex1lna
1
lnt t t-1 - lnt 1-
1 - lnt
令 u t = t-1 , t∈ 2,+∞ ,∴ u
t t = =
t-1 2 t-1 2
令 h t = 1- 1 t - lnt , h
t = 1 - 1 = 1- t 2 t < 0 t≥2t t2
∴ h t 在 2,+∞ 上单调递减,∴ h t ≤ h 1 2 = 2 - ln2< 0 ,∴ u
t < 0,
∴ u t 在 2,+∞ 上单调递减 t→+∞ u t → 0 , u 2 = ln2
∴ u t ∈ 0, ln2 ,令 g u = ueu , u∈ 0, ln2 , g u = u+1 eu> 0
∴ g u 在 0, ln2 上单调递增 u→ 0 g u → 0,
g ln2 = ln2 eln2= 2ln2= ln4 ,∴ g u ∈ 0, ln4 ,∴mlna∈ 0, ln4
∴ am= emlna= eg u ∈ 1,4 .
参考答案 8 页 共 8 页浙江省宁波市镇海中学 2026届高三模拟预测
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 (解析来源于锤子数学)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= y|y=-x2 , B={x ∣ x> 2}，则下列说法正确的是
A. A∩ B= B B. A∪ B= R C. RA ∪ B= B D. RB ∩ A= A
【答案】D
【解析】A= y|y=-x2 = y|y≤0 , B={x ∣ x> 2},
∴ A∩ B= , A∪ B≠ R ,CRA= 0,+∞ , CRA ∪ B= 0,+∞ ≠ B,
CRB= (-∞ , 2] , CRB ∩ A= -∞,0 = A.
2.已知 α , β , γ是空间中三个不同的平面, a , b , c是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 a⊥ b , b⊥ c ,则 a c B. 若 α⊥ β , β⊥ γ ,则 α γ
C. 若 a⊥ α , a⊥ β ,则 α β D. 若 a α , a β ,则 α β
【答案】C
【解析】垂直于同一条直线的两个不同平面平行, a⊥ α , a⊥ β , α , β为不同平面,∴ α β ,C正确.
3.图中是抛物形拱桥，当水面在 l时，拱顶部离水面 1m，水面宽 2m，水面下降 1m后,水面的宽约为 (其中
2 ≈ 1.414 ,精确到 0.1m)
A. 1.4m B. 2.8m C. 4.2m D. 5.7m
【答案】B
【解析】以拱顶为原点,竖直向下为 y轴,设抛物线为 y= ax2 a>0 , y= 1时水面宽为 2米,
∴ 1,1 在抛物线上,∴ a= 1 ,水面下降 1米后, y= 2, x2= 2 ,水面宽为 2 2 ≈ 2.8米.
4.某函数的图像如图所示,则该函数解析式可能为
数学试题 第 1 页 共 11 页
A. x-1 B. x
2-1 xC. e D. x2x x x+1 -1 e
x
e e
【答案】B
【解析】由图像知, x→+∞ f x → 0+ ,且 f x > 0 ;
2
x→-∞ f x →+∞ ,并有两个零点,选项 B中 f x = x -1 x ,零点为 x=±1x→-∞ f x →+∞ , x→e
+∞ f x → 0+ ,与图像相符.
5.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】C
【解析】圆锥轴截面为等腰三角形,内切球、外接球球心重合,
轴截面的内心、外心重合,∴轴截面为等边三角形.
3
设等边三角形边长为 a ,则 6 a= 1 , a= 2 3 , r=
a
2 = 3 , h=
3
2 a= 3,V=
1 2
3 πr h= 3π.
6.在△ABC中,角 A , B ,C 1+sinA 1+sinB为三个内角,则“ cosA = cosB ”是“A= B”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】A= B A< π2 ,等式成立.反过来,等式有意义,
1+sinA = 1+sinB由 cosA cosB ,得 1+sinA cosB=
1+sinB cosAcosB- cosA= sinBcosA- sinAcosB , cosB- cosA= sinB- A
2sin A-B2 sin
A+B
2 +cos
A-B
2 = 0 , sin
A+B
2 + cos
A-B > 0 ,∴ sin A-B2 2 = 0,
∴ A= B ,所以为充要条件.
2 y2
7. x已知双曲线C : 2 - 2 = 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 y= 3与双曲线的右支交于点 P且∠F1PFa b 2
=
π
2 , PF2的中点记为Q ,且 OQ = 3 ,则双曲线C的离心率为
A. 3 B. 3+ 32 C. 2 3 D. 3+ 1
【答案】D
【解析】设 F1 -c,0 , F π2 c,0 , P x,3 x>0 .∠F1PF2= 2 ,
则 PF 2+ PF 2= F F 2 , x+ c2+ 9+ x- c21 2 1 2 + 9= 4c2 ,∴ x2+ 9= c2.
Q x+c 3 x+c
2 9 2 2
2 , 2 , OQ = 3 , 4 + 4 = 9 ,∴ x+ c= 3 3 . c - x = 9 ,
数学试题 第 2 页 共 11 页
∴ c-x c+x = 9 ,∴ c- x= 3 ,∴ c= 2 3 , x= 3 .
PF1= 6 , PF2= 2 3 , 2a= PF1- PF2= 6- 2 3 , a= 3- 3 ,
e= c = 2 3a = 3+ 1.3- 3
8.已知函数 f x = ex- x+ 1 , g x = klnx , h x = kx- k ,在区间 0,+∞ 上恒有 f x ≥ h x ≥ g x ,求 k
的取值范围
A. 0,e2-1 B. 0,e2-1 C. 0,e-1 D. 0,e-1
【答案】A
【解析】方法一:由 h x ≥ g x k x- lnx-1 ≥ 0恒成立, x= 1显然成立,
x> 0且 x≠ 1时, x- lnx- 1> 0 ,∴必有 k≥ 0
由 f x ≥ h x ex- x+ 1≥ k x-1 ,∵ ex- x+ 1> x+ 1- x+ 1= 2,
当 0< x≤ 1时,左边> 2 ,右边≤ 0 ,不等式显然成立.
ex-x+1
当 x> 1时, k≤ x-1 ,min
ex-x+1 ex x-1 x
而 x-1 = x-1 - 1= e
e
x-1 - 1≥ e
2- 1(x= 2 e时取“=”) (运用了 x> 0时, x ≥ e)
∴ 0≤ k≤ e2- 1 , A正确.
方法二: h x - g x = k x-1- lnx , lnx≤ x- 1 ,等号在 x= 1
时成立. h x ≥ g x 恒成立 k≥ 0.k= 0时, f x ≥ 0= h x = g x 成立.
以下设 k> 0 ,令 F x = f x - h x = ex- k+1 x+ k+ 1.
F x = ex- k- 1 , F x = ex> 0 , F x = 0 x= ln k+1
F x min= F ln k+1 = k+1 2- ln k+1
k> 0 , k+ 1> 0.F x ≥ 0恒成立 2- ln k+1 ≥ 0.ln k+1 ≤ 2 k≤ e2- 1
综上, 0≤ k≤ e2- 1.
方法三: h x ≥ g x kx- k≥ klnx k x-1- lnx ≥ 0.
∵ x∈ 0,+∞ 时 x- 1- lnx≥ 0恒成立,∴ k≥ 0.
x
f x ≥ h x ex- x+ 1≥ k x-1 .当 x∈ 1,+∞ , k≤ e -x+1 时 x-1 .
ex-x+1 e
x-1 x-1 - ex-x+1 x-2 ex
设 φ x

= x-1 , φ x = = . x-1 2 x-1 2
x∈ 1,2 时, φ x < 0 , φ x 单调递减; x∈ 2,+∞ 时, φ x > 0 , φ x 单调
递增.∴ φ x min= φ 2 = e2- 1.∴ k≤ e2- 1.
当 x∈ 0,1 时, x- 1< 0 , ex- x+ 1> 0 ,且 k≥ 0 ,∴ ex- x+ 1≥ k x-1 恒成立.
当 x= 1时, e≥ 0恒成立.综上, 0≤ k≤ e2- 1.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列说法正确的是
A. χ2独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 8 , 9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0的直线上,则 R2= 1
D. 已知父亲身高为 172cm，儿子身高的观测值为 176cm，儿子身高预测值为 173cm，则儿子身高的残差
数学试题 第 3 页 共 11 页
为 3cm
【答案】ACD
【解析】χ2独立性检验用于随机样本数据,普查数据不适用, A对.
数据共 10个,后 5个数为 4 , 4 , 5 , 8 , 9,所以上四分位数为 5, B错.
所有散点落在斜率非 0的直线上，则拟合完全，R2= 1，C对.
残差= 176- 173= 3cm，D对.
10.已知平面内的三个非零向量 a , b , c 满是 b b-a = b2

,且 a-b = b-c = c -a = 2 ,则下列说法正
确的是

A. a ⊥ b B. a -b b-c =-2
C. a c 1 D. a 的最小值为 c的最大值为 3
【答案】ABD
2 2
【解析】由 b b-a = b 得 b b- a b= b ,所以 a b= 0 , A对.
2 2 2
令 u = a - b , v = b- c , u = v = u +v = 2 , 4= u +v = u + v + 2u v = 8+ 2u v

所以 u v =-2 ,即 a -b b-c =-2 , B对.

设 a = x , b = y , x> 0 , y> 0 , 由 a b= 0 , a -b = 2得 x2+ y2= 4.

取 a= x,0 , b= 0,y ,则三个向量的终点构成边长为 2的等边三角形,
x+ 3 y 2
c = 2 ,
y+ 3x x- 3 y , y- 3x2 或 2 2 , =
x ± 3xy
a c 2
令 x= 2cosθ , y= 2sinθ , 0< θ< π2 , a
c = 1+ cos2θ± 3sin2θ
取加号时, 1+ cos2θ+ 3sin2θ= 1+ 2cos 2θ- π3 ≤ 3 , θ=
π
6 时取等号.
取减号时, 1+ cos2θ- 3sin2θ= 1+ 2cos 2θ+ π3 ≥-1 , θ=
π
3 时取等号.
a c 所以 的最小值为-1 ,最大值为 3,C错,D对.
11.已知无穷数列 an 前 n项和为 Sn ,若存在 i , j∈ 1,2, ,n ,当 i≠ j时, Si = S j ,则称 an 为“绝对数
列”.则下列选项正确的是
A. 已知数列 an= 2n- 5 n∈N * ，则数列 an 为“绝对数列”
B. 若数列 an 和 bn 均为“绝对数列”,则 an+bn 为“绝对数列”
C. 若等比数列 an 为“绝对数列”,则公比为-1
D. 存在两个公差均不为 0的等差数列 an 和 bn ,使得数列 an , bn , an+bn 和 anbn 均为“绝对数
列”
【答案】AD
【解析】方法一:对于 A ,∵ a1=-3 , a2=-1 , a3= 1 ,∴ S1= S3,∴ S1 ≤ S3 ，A正确.
对于 B ,取 an= 2n- 5(受 A的启发), bn= 5- n , an+ bn= n ,显然 an+bn 不为“绝对数列”, B错.
对于C ,取 an= -2 n -1 ,则 a1= 1 , a2=-2 ,∴ S1= 1 , S2=-1 , S1 = S2 符合 an 为“绝对数列”,但 q=
-2≠-1 ,C错.
对于D ,取 an= bn= n- 2 ,则对 an , bn 而言, S1= S2 ,∴ S1 = S2 an+ bn= 2 n-2 , anbn= n-2 2 ,也
都有 S1 = S2 ,符合 an , bn , an+bn , anbn 均为“绝对数列”,D正确.
数学试题 第 4 页 共 11 页
方法二:对 A , an= 2n- 5,
Sn= n n+1 - 5n= n2- 4n= n n-4 , S1=-3 , S3=-3 , S1 = S3 , A正确.
对 B ,取 an= n- 2 , bn= 3- n ,设前 n项和分别为 An , Bn ,Cn,
n n-3
A = n 2 , A1= A2=-1 ,所以 an 为绝对数列;
n 5-nB n= 2 , B2= B3= 3 ,所以 bn 为绝对数列;
an+ bn= 1 ,Cn= n , i< j时, Ci = i , C j = j ,所以 Ci ≠ C j , B错误.
对C ,取等比数列 an= -2 n -1 ,则 q=-2 , S1= 1 , S2=-1 , S1 = S2 ,但 q≠-1C错误.
对D ,取 an= n- 2 , bn= 2n- 4 ,公差分别为 1 , 2 , A1= A2=-1 , B1= B2=-2, an+ bn= 3n- 6 ,C1=C2=
-3 , a 2nbn= 2 n-2 , P1= 2 , P2= 2,D正确.
方法三:对于 A , an= 2n- 5 Sn= n2- 4nS1=-3 , S3=-3 S1 = S3 , A正确.
对于 B ,取等差数列 an= 2n- 5 Sn= n2- 4n ,有 S1= S3=-3
取等差数列 bn=-2n+ 7 其前 n项和 T 2n=-n + 6n,
有 T2= T4= 8a *n+ bn= 2 其前 n项和Mn= 2nn∈N Mn单调递增且大于 0,
不存在 i≠ j使得 Mi = M j , B错误.
对于C ,取 a1= 1 , q=-2 S1= 1 , S2=-1 S1 = S2 ,此时公比不等于-1,C错误.
对于D ,取 an= n- 2 , bn= n- 3a2= 0 S1= S2=-1b3= 0 其前 n项和 Tn满足 T2= T3=-3an+ bn= 2n
- 5 其前 n项和Mn= n2- 4n M1=M3=-3anbn
= n-2 n-3 第 2项为 0 其前 n项和Hn满足H1=H2= 2四者均满足条件,D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. i复数 z= 1+ i 1+ ，则 z = .2
【答案】 3
【解析】 z = 1+ i × 1+ i = 2 × 1+ 12 = 3 .2
13.已知实数 a , b满足 ab+ 5= 3a+ 2b，且 a> 2，则 a+ b的最小值为 .
【答案】7
【解析】由 ab+ 5= 3a+ 2b得 a-2 b-3 = 1 , a> 2 , b= 3+ 1 所以 , a+ b= 5+ a-2 +
a-2


1 , a-2 1a-2
+ ≥ 2,
a-2
所以 a+ b≥ 7.当 a- 2= 1 ,即 a= 3 , b= 4时, a+ b的最小值为 7.
14.甲有 2个白球和 1个黑球,乙有 3个白球,甲乙两人每次交换 1个球,经过 5次交换后，黑球仍然在甲手中
的概率为 .
122
【答案】243
【解析】方法一:记 n次交换后球仍在甲手中的概率为 Pn
∴ P 2n+1= 3 Pn+
1
3 1-Pn =
1
3 P
1 1
n+ 3 ,令 Pn+1+ x= 3 Pn+x ,
∴ x=- 1 , P - 1 = 2 - 1 = 1
n-1
2 1 2 3 2 6 ≠ 0 ,∴ Pn-
1
2 =
1
6
1
3
n
Pn= 1 12 + 2
1 1 1 1 122
3 ,∴ P5= 2 + 2 × 243 = 243 .
数学试题 第 5 页 共 11 页
方法二: 1 2每次交换,黑球所在者手中均有 3个球,黑球被交换的概率为 3 ,不被交换的概率为 3 . 5次后
黑球仍然在甲手中,即 5次中黑球被交换次数为偶数.
5 2 3 4
P=C0 2 +C2 1 2 +C4 15 3 5 3 3 5 3
2 = 32 80 10 1223 243 + 243 + 243 = 243 .
方法三:设经过 n次交换后,黑球在甲手中的概率为 pn ,则黑球在乙手中的概率
为 1- pn , p0= 1.由全概率公式得到,
pn= p
2 1 1 1
n-1× 3 × 1+ 1-pn-1 × 1× 3 = 3 pn-1+ 3
p 1 1 1 1 1 1 1 1
n
变形得到 n- 2 = 3 pn-1- 2 ,因为 p0- 2 = 2 ,所以 pn- 2 = 2 × 3
1 1 1 n 5
化成 pn= 2 + 2 × 3 , n= 5 p =
1 + 1 × 15 2 2 3 =
122
243 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知锐角△ABC三个内角 A , B ,C的对边分别是 a , b , c ,若 ccosA+ 3csinA= b+ a.
(1)求C的大小；
(2)若CE AE平分∠ACB交 AB于点 E，求 BE 的取值范围.
【解析】(1)sinCcosA+ 3sinCsinA= sinB+ sinA= sinAcosC+ cosAsinC+ sinA
∴ 3sinC- cosC= 1 , 2sin C- π6 = 1 , sin C-
π
6 =
1
2 ,
π π 5π π π
而- 6 = π3 .
(2)解法 1 :∵CE平分∠ACB , AE CABE = CB =
b
a
在△ABC中, c2= a2+ b2- 2ab 1 = a22 + b
2- ab
2
∵△ABC ,∴ a +c
2>b2 2a2+b2-ab>b2 1 b
为锐角三角形 b2+c2>a2 a2+2b2-ab>a2 2 < a < 2
∴ AE 1BE 的取值范围为 2 ,2 .
sin A+ π 1 sinA+ 3AE CA b sinB 3 2 2 cosA
解法 2 :∵CE 1平分∠ACB∴ BE = CB = a = sinA = sinA = sinA = 2 +
3
2tanA
0π
△ABC 2 π π在锐角 中 < A< ,∴ tanA>
3
0<π-A- π < π 6 2 33 2
∴ 0< 3 < 3 , AE ∈ 1tanA 2 BE 2 ,2 .

16.如图，已知平行四边形 ABCD，AB= 4 , BC= 6，∠ABC= π3 ，E是线段 BC上的点，且 2BE= EC , F为线
段 AD中点，现将△ABE沿 AE翻折至△AB
1
E，使得 BB1= 2.
(1)若点M在线段 B1C上，且 B1M = 3MC，证明: FM 平面 AB1E；
(2)求直线DB1与平面 AB1E所成角的正弦值.
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B1
M
B CE
A F D
【解析】(1)证明:过M作MG CE交 B1E于点G，连接 AG
B1
M
G
B CH E
A F D

∵ B1M = 3MC ,∴ GM
B1M 3
CE = B C = 4 ,而CE=
2
3 BC.1
∴GM= 1 BC , ∵ AF= 1
//
2 又 2 BC ,GM∥ BC∥ AF ,∴GM=AF
∴四边形 AFMG为平行四边形,∴MF AG,
∵ FM 平面 AB1E , AG 平面 AB1E,
∴ FM 平面 AB1E.
(2)BE= 2 , AB= 4，在△ABE中，AE= 4+16-2×2×4× 12 = 2 3
∴ AE 2+ BE 2= AB2 , ∠AEB= 90° ,∵ AE⊥ BE , AE⊥ B1E , BE∩ B1E= E
∴ AE⊥平面 BB1E，又∵ AE 平面 ABCD，∴平面 BB1E⊥平面 ABCD
过 B1作 B1H⊥ BE于点H , B1H⊥平面 ABCD,
∵ B1E= BE= BB1= 2 ,∴△BB1E为等边三角形,∴ B1H= 3 ,
S△AB E= 2 3 , S
1
1 △ADE= 2 × 6× 2 3= 6 3
设D到平面 AB1E的距离为 h ,DB1与平面 AB1E所成角为 θ ,∴ sinθ= hB1D
由V 1 1D-AB E=VB -ADE 3 × 2 3 h= 3 × 6 3 3 h= 3 3 ,1 1
B1D1= B H21 +DH2= 3+61= 8 ,∴ sinθ= 3 38 .
17.设数列 an 的前 n项和为 Sn , a1=-50 ,当 n≥ 2时满足 nSn- n+1 S 3n-1= n - n.
(1)求 Sn；
(2)令 bn=
Sn
n ，记 Tn为 bn 的前 n项和，当 n为何值时，Tn取最小值.
【解析】
(1)nSn- n+1 Sn-1= n n+1 n-1 , n≥ 2，两边同除以 n n+1 ∴
Sn - S n-1n+1 n = n- 1,
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n≥ 2 , Sn = S1 + S2 - S1 + S3 - S2 + + S S时 n n-1n+1 2 3 2 4 3 n+1 - n
n n-1
=-25+ 1+2+ +n-1 =-25+
1
2 = 2 n
2- 12 n- 25
∴ n≥ 2 1 1时, Sn= n+1 22 n - 2 n-25 ,而 S1=-50也满足上式,
∴ S = n+1 1 n2- 1n 2 2 n-25 .
2
(2)b = n+1 n 25 1 n 25 51n *2 - n - 2 = 2 - n - 2 关于 n∈N 单调递增
注意到 b1= 492 -
25
7 -
51
2 < 0 , b
25
8= 32- 8 -
51
2 > 0,
∴ 1≤ n≤ 7时, bn< 0 , n≥ 8时, bn> 0
故 n= 7时, T7最小.
18.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y2= 4x上点 P t2,2t 处的切线与双曲线 x2- y2= 1相交于不同的两点
A , B.
(1)若 P为 AB中点，求实数 t的值；
(2)若 0< t< 1，且在 x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数 t的值；
(3)若 t> 1，求△OAB面积的最小值.
2
【解析】方法一: (1)y2= 4x P t +x在 t2,2t 处的切线方程为 2ty= 4 2 ,
即 x- ty+ t2= 0 ,易知 t≠ 0.设 A x1,y1 , B x2,y2
∴ x
2
1-y21=1
x2-y2=1 x1+x2 x1-x2 = y1+y2 y1-y2 2 2
∴ 2t2= y4t 1-y2x -x = 4tkAB= 4t
1
t = 4 ,∴ t=± 2 .1 2
(2)A x1,y1 , B x2,y2 , AB中点 R x0,y0
x= ty- t2联立 2 2x2-y2=1 t -1 y - 2t
3y+ t4- 1= 0,
Δ= 4t6- 4 t2-1 t4-1 = 4 t4+ t2-1 > 0
4 2 3
AB = 1+ t2 y -y = 1+ t2 2 t + t -1 ,
y +y
1 2 2 y =
1 2
0 2 =
t
t -1 t2-1
∴CR= 1+ 1 t
3 t2 22
t2 2 = 1+ t 2 ,∵△ABC为等边三角形,∴CR=
3
2 AB∴ 1+ t
2 t2 =t -1 t -1 t -1
3 2 t4+ t21+ t2 -1 2t42 2 + 3t
2- 3= 0.
t -1
∴ t2= -3+ 334 ,∵ t∈ 0,1 ,∴ t=
-3+ 33
2 .
(3)设直线 AB与 x轴交于 E ,∴ E -t2,0
4 2 2
∴ S 1 1 2 2 t + t -1 t 4 2△OAB= 2 OE y1-y2 = 2 t 2 = 2 t + t -1 ,t -1 t -1
令 t2- 1=m ,m> 0 ,∴ S = m+1 2 m+1 2△OAB m m+1 +m+1-1= m m +3m+1
= m+ 1m m+
1
m +3≥ 2 2+3= 2 5
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m= 1
当且仅当 m 1 即m= 1 , t= 2时取“=”,∴ S△OAB min= 2 5 .m= m
方法二: (1)抛物线 y2= 4x在 P t2,2t 处的切线为 ty= x+ t2
由题意, t≠ 0 ,所以 x= ty- t2
设 A x1,y1 , B x2,y2 ,且 xi= tyi- t2 , i= 1 , 2.
联立得 ty- t2 2 - y2= 1 , t2-1 y2- 2t3y+ t4- 1= 0
2t3 4 t4+ t2-1
由题意, t2≠ 1 ,于是 y1+ y2= 2 , y
2
1y2= t + 1 , y1-y 2=

t -1 2 t2-1 2
2 2 3
又 x1+ x2= t y +y - 2t2= 2t , AB M t , t1 2 2 所以 中点为t -1 t2-1 t2-1
t2 3
若 P为 AB中点,则 t2= 2 , 2t=
t
t -1 t2-1
∴ t2= 2 ,∴ t=± 2
3
(2)当 0< t< 1 M = t时， y < 0.t2-1
若△ABC为正三角形,且C在 x轴上,则M 2y = 3 t2 y 24 1-y2
t6 4 2= 3 t2
4 t + t -1 , t4= 3 t42 4 2 + t
2-1
t2-1 t2

-1
2t4+ 3t2- 3= 0 ,∴ t2= 33-3 ,∴ t= 33-34 2
t4+ t2- 1= 1- t
2
此时 2 > 0 ,符合题意.
(3) 1当 t> 1时，SΔOAB= 2 x1y2-x2y1
2 4 2
x1y2- x2y1= ty1- t2 y2- ty2- t2 y1= t2 y1-y2 ,∴ S =
t t + t -1
△OAB t2-1
u2 u2+u-1
令 u= t2 ,则 u> 1 , S2△OAB=
u-1 2
2 2
S2
u-2 u +5u-5
△OAB- 20=

2 ≥ 0 ,等号成立时, u= 2 ,即 t= 2 . u-1
∴ S△OAB min= 2 5 .
19.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 Γ x1 : y= a a>1 与 Γ2 : xy=m m>0 交于点 A.
(1)当 a= e时，求曲线 Γ1在 0,1 的切线方程；
(2)若直线OA与 Γ1相切于点 A ,求 am的值；
3若直线OA与 Γ1交于另一点 B ,且 OB ≥ 2 OA ,求 am的取值范围.
【解析】方法一: (1)Γ1 : y= ex , y = ex , k= 1 , Γ1在 0,1 处的切线方程为 y= x+ 1.
(2)设 A x ,ax00 , Γ1 : y= ax , y = axlna，
x0
∴ Γ1在 A k x0 a处的切线斜率 x0OA= a lna= x x0lna= 1 , a = e,0
又∵ Γ1与 Γ2交于点 A ,∴ A也在 Γ2上,∴ x0 ax0=m ex0=m
∴ am= aex0= ax0 e = ee.
(3)设 A x1,y1 , B x2,y2 ,∵O , A , B三点共线，
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∴ = y1 = y2 y2 = x2 , y1=a
x1
lny1=xk 1lnaOA kOB x1 x2 y1 x 而1 y =ax22 lny2=x2lna
x2 = lny2 = y2
OB BS
,∵ OB ≥ 2 OA = = y2x1 lny y
≥ 2
1 1 OA AT y1
y2 = ,∴ lnty令 y t
1
lny = t lny1=
lnt
1 1 t-1
, t≥ 2,
1 1
g t = lnt t
t-1 - lnt 1- t - lnt 1令 t-1 , g t = 2 = 2 < 0(运用了 lnt≥ 1- t ,当且仅当 t= 1时取“=”) t-1 t-1
∴ g t 在 2,+∞ 上单调递减, 0< g t ≤ g 2 = ln2 0< lny1≤ ln2 , 1< y1≤ 2
又∵ A也在 Γ2上,∴ x y =m ,∴ am= ax1y1= ax1 y11 1 = yy11 = ey1lny1
而 y1lny1在 y1∈ 1,2 上单调递增,∴ 0< y1lny1≤ ln4 ,∴ 1< am≤ 4.
方法二: (1)当 a= e时, y= ex , x= 0处切线斜率为 e0= 1 , y- 1= x∴ y= x+ 1.
(2)设 A x1,ax1 , x1> 0 , k= lna，
x1
∵OA a与 Γ1相切于 A，x = ka
x1，∴ kx1= 1.
1
又 A∈ Γ ,m= x ax1 ,∴ ln am =mlna= x ax12 1 1 lna= kx ekx11 = e
∴ am= ee.
(3)设 A x1,ax1 , B x ,ax22 ，由 OB ≥ 2 OA ，可设 x2≥ 2x1> 0，
r= x2 , r≥ 2.∵ A , B ,O , a
x1 ax2
令 x 则 三点共线 x = x ,∴ a
x2-x1= r.
1 1 2
设 t= x1lna ,则 e r-1 t= r ,∴ t= lnrr-1 .
φ r = lnr r-1 在 r≥ 2时连续递减,且 r→+∞ φ r → 0 , r≥ 2时, 0< t≤ ln2 ;
反过来, 0< t≤ ln2时,也存在 r≥ 2与之对应.
又m= x ax11 , ln am =mlna= x x11a lna= tet.
0< t≤ ln2 ,∴ 0< tet≤ 2ln2 ,∴ 1< am≤ 4.
∴ am的取值范围为 1< am≤ 4.
方法三: (1)当 a= e时, Γ : y= ex ,∴ y = ex1 在 x= 0处切线斜率 k= e0= 1
∴曲线 Γ1在 0,1 处的切线方程为 y- 1= 1 x-0 y= x+ 1.
(2)设 A x1,y1 ,∴ y1= ax1且 x1y1=mΓ1的导数为 y = axlna
∵直线OA与 Γ1相切于点 A ,∴直线OA的斜率 k= ax1lna
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y ax1 x1 1∵ A 1在直线OA上，∴ k= x =
x1 a 1 lna
x ，∴ a lna= x x1lna= 1 x1= lna ∴ y1= a = e ,∴m= x1y1=1 1 1
e
lna mlna= e ,∴ a
m= emlna= ee.
(3)设 A x1,y1 , B x2,y2 ，由于 A , B在第一象限，且 OB ≥ 2 OA
∴ x2≥ 2x1> 0 ,令 x2= tx1 t≥2 ,∵O , A , B三点共线,
∴ y
x tx
1 y2 a 1= = a
1
t-1 x1 lnt
x x x tx ,∴ a = t t-1 x1lna= lnt x1lna=1 2 1 1 t-1
∵m= x1y1= x1ax1 ,∴mlna= x1lna ax1= x lna ex1lna1
1
lnt t t-1 - lnt 1-
1
t - lnt
令 u t = t-1 , t∈ 2,+∞ ,∴ u
t = =
t-1 2 t-1 2
h t = 1- 1 - lnt , h t = 1 - 1 = 1- t令 t < 0t2 t t2
t≥2
∴ h t 2,+∞ ,∴ h t ≤ h 2 = 1 在 上单调递减 2 - ln2< 0 ,∴ u
t < 0,
∴ u t 在 2,+∞ 上单调递减 t→+∞ u t → 0 , u 2 = ln2
∴ u t ∈ 0, ln2 ,令 g u = ueu , u∈ 0, ln2 , g u = u+1 eu> 0
∴ g u 在 0, ln2 上单调递增 u→ 0 g u → 0,
g ln2 = ln2 eln2= 2ln2= ln4 ,∴ g u ∈ 0, ln4 ,∴mlna∈ 0, ln4
∴ am= emlna= eg u ∈ 1,4 .
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