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数学
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效。
3.不能使用计算器。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。）
1.国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮20米，此时机器人处在的位置为（ ）
A.湖面下520米 B.湖面下620米 C.湖面下740米 D.湖面下860米
2.如图是生活中常见的一次性纸杯，它的杯身部分的主视图近似为（ ）
A. B. C. D.
3.作为广西首座抽水蓄能电站，南宁抽水蓄能电站装机容量1200000千瓦，可推动广西能源低碳化转型，助力“双碳”目标实现。将数据200000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在大正方形的四个角上分别剪去直角边长为a，b的直角三角形，若用两种不同的方法表示剩余部分的面积，则可以得到的代数恒等式为（ ）
A. B.
C. D.
6.学校开设了丰富的校本课程，甲和乙计划从“多彩剪纸”“趣味编程”“数学实验”三门校本课程中分别随机选择一门参加。两人恰好都选择“数学实验”这门课程的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角形木架，木工的选法有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
8.已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯BD的长度为24m，其中扶梯BD的仰角为30°，扶梯AC的仰角为50°，那么扶梯AC的高度BC为（ ）
A.m B.m C.m D.m
10.如图1，某游乐园内摩天轮的中心点0距地面的高度为24m，摩天轮按逆时针方向匀速转动。摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t（min）后，点P的高度h与t的函数图象如图2所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.当时，h随t的增大而增大 B.摩天轮的直径为45m
C.P点离地面最高为45m D.P点离地面35m时，摩天轮转动了4min
11.古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时。已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需x小时，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
12.在综合与实践活动课上，老师引导同学们探究一种不依赖直尺和量角器的作图方法：仅通过折叠一张矩形纸片，作出已知直线l的平行线。某同学的折叠操作如图所示。第一次折叠：使直线1与自身重合，得到一条经过点A的折痕m；第二次折叠：使折痕m与自身重合，得到另一条经过点A的折痕n，则。在折纸的过程中蕴含的依据不可能是（ ）
A.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分 B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D.垂线段最短
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）
13.若二次根式有意义，则x的值可以是______。（写出一个即可）
14.某校组织八年级学生针对“综合素质评价”中的“运动与健康”这一维度，进行了本学期的户外运动测试，测试有跑步、立定跳远、原地掷实心球、抛绣球四项，每项满分均为100分，在综合成绩中的占比如下表，小悦同学这四项的得分分别为85分，90分，85分，80分，则小悦这四项测试的综合成绩为______分。
项目 跑步 立定跳远 原地掷实心球 抛绣球
所占比例 35% 30% 25% 10%
15.如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，若点B的对应点E恰好落在线段AC上，连接AD，则______°．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，若C为反比例函数（，）图象上的一点，连接AC，BC．若，则k的值为______．
三、解答题本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本题满分8分）（1）计算：－18÷6＋{－4}；（2）化简：a3·a5＋（－2a4）2。
18.（本题满分10分）风筝，古称“纸鸢”或“纸鹞”，最早起源于中国，已经有2000多年的历史。小颖查阅了有关风筝的资料，进行风筝制作。
（1）下列风筝图案中，不是轴对称图形的风筝图案是______；
（2）如图，小颖在单位长度为1的正方形网格中进行风筝骨架的设计，请以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半，并计算出AB的长．
19.（本题满分10分）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域。王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型 补贴标准 最高补贴
新能源乘用车 新车售价的12% 20000元
2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元
（1）按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由；
①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车
（2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？
20.（本题满分10分）如图，以的一边AB为直径作，过AC的中点D，CB的延长线交于点E，过点D作于点F，连接BD．
（1）求证：DF为的切线；
（2）若，，求BE的长。
21.（本题满分10分）为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式。其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动。一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）。
【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）：
（1）表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图；
（2）对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）；
（3）在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人．
众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差
一班 8 m 7.925 1.219
二班 8 8 n 0.978
22.（本题满分12分）综合与实践
【问题情境】如图所示是在平面直角坐标系中，甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中y（m）是球距地面的高度，x（m）是球和原点的水平距离，甲在A处以扣球方式击球，乙在C处接球后以吊球方式回击。
【数学建模】扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似地看成一条抛物线。已知赛场中间拦网m，双方最远边界到中间拦网的水平距离均为6.7m。在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息：
信息一：甲在A处击球时，距离拦网DE水平距离为5m，此时羽毛球距离地面的高度m，在击球0.5s后，羽毛球从拦网DE正上方8cm的B处飞过，再过0.3s到达点C。
信息二：乙在点C处回击，经过1s后，和AC交于点F。甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上做匀速运动，其速度分别为，，。
【问题解决】
（1）求AC所在直线的表达式；
（2）若乙回击球时，羽毛球在距离中间拦网左边1.5m处到达最高点．通过计算说明甲选择不接球是否正确；
（3）若乙回击球，在甲选择不接球的情况下羽毛球不出界，且落点在距离边界20cm处，求a的值．
23.（本题满分12分）【问题情境】有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下是对该图形的性质、判定和应用的逐一探究。
【探究性质】（1）如图1，若四边形ABCD为双等腰四边形，其中AB＝AC，∠B＝45°，判断AB与BC的数量关系，并说明理由；
【探究判定】（2）如图2，将两个全等的含30°角的直角三角形ABC和直角三角形DEF拼出一个矩形（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝∠F＝30°），固定△DEF，将△ABC沿FD的方向平移（点B在DF上），使AB与EF交于点M，BC与DE交于点N．当BF＝2BD时，求证：四边形EMBN是双等腰四边形，
【探究应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，AD上的点，连接BF，EF，DE，若四边形BEDF为双等腰四边形，且AB＝2AF，直接写出的值．
数学
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
快速对答案：1～6 BADDAA 7～12 BCBCBD
1.B【解析】，故此时机器人处在的位置为湖面下620米．
2.A【解析】主视图：从正面看，是一个上宽下窄的等腰梯形．
3.D【解析】数据1200000用科学记数法可表示为．
4.D
解题技巧
由一元二次方程根的情况确定字母的取值范围或取值
一元二次方程根的判别式为：，根据根的情况，列不等式或等式，确定字母的取值范围或取值.分以下四种情况：
（1）当方程有两个不相等的实数根时，；
（2）当方程有两个相等的实数根时，；
（3）当方程没有实数根时，；
（4）当方程有实数根时，．
此外，当字母在二次项系数中时，还需要考虑二次项系数不为0的情况．
5.A6.A
7.B【解析】选30厘米、50厘米、60厘米这三根木条或50厘米、60厘米、90厘米这三根木条，才可以组成三角形木架．
8.C
9.B【解析】在中，∵，∴，
∴，
在中，∵，∴，
∴m，则扶梯AC的高度BC为m．
10.C【解析】结合函数图象分析，当时，h随t的增大先增大后减小，按此规律循环变化，故选项A错误；摩天轮的直径为，故选项B错误；P点离地面35m时，摩天轮转动的时间点有很多个，故选项D错误；P点离地面的高度最高为45m，故选C．
解题技巧 函数意义分析与判断
读取图象中的关键信息，包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等，并作出正确的结论判断．具体分析如下：
关键信息 函数意义
坐标轴 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量
拐点 图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一点开始发生变化
水平线 函数值随自变量的变化而保持不变
11.B
解题技巧 抽象等量关系
在解决工程问题时，需提取关键信息，找到两个工程队工作效率的关系，一般题中会给出或者用单独完成需要的天数表示，再找工作总量之间的关系列方程求解，常考等量关系式：工作总量=工作时间×工作效率，（工作总量看作1），工作总量=各队工作量的和，各队合作工作效率=各队工作效率的和．
12.D【解析】由题知，第一次折叠可得，依据是：折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，同理第二次折叠可得，根据内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行均可得到．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13.1（答案不唯一，即可）【解析】∵二次根式有意义，∴，解得，故x的值可以是1（答案不唯一）．
14.86【解析】∵，∴小悦这四项测试的综合成绩为86分．
15.77【解析】在中，，，
∴，由旋转得，
，∴．
16.16【解析】如解图，连接CO，过点C作轴于点D，∵，，，
∴，∴，∴，
设，则，在中，，
即，解得（舍去），
解题技巧 反比例函数与几何图形结合
1.对于求反比例函数表达式的问题，可通过将几何图形的面积或线段条件转化为函数图象上的点坐标，再直接用待定系数法求解；
2.涉及与图形面积有关的问题时，注意k的几何意义的运用；
3.若题干中已知线段或面积数量关系，通常向坐标轴作垂线，构造直角三角形，全等或相似三角形，利用边角关系，表示出函数图象上的点的坐标后求解．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.解:（1）原式
（2）原式
18.解：（1）C；
（2）画出风筝骨架另一半如解图所示；
∴AB的长为．
19.解：（1）①；
理由如下：
∵（万元），1.92万元<2万元，
（万元），1.6万元>1.5万元，
∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）；
售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元），
∵14.08万元<14.5万元，
∴购买①车价格更低；
（2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元．根据题意可列方程为：
解得，
∴（万元）,
答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元．
20.（1）证明：如解图1，连接OD,
∵AB是的直径，，则，
∵D是AC的中点，∴BD垂直平分AC,
，
即，∵OD是的半径，
∴DF为的切线；
（2）解：如解图2，连接OD，过点O作于点G，
则，由（1）得，，
则四边形ODFG是矩形，
设，则，
在中，，
即，解得，∴．
解题技巧
切线判定常用解题方法
1.直线与圆有交点时，“连半径，证垂直”．
（1）利用等角代换：通过同角或等角的余角相等进行等量代换得证；
（2）利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；
（3）利用三角形全等或相似：通过证明所证切线和半径（或直径）围成的三角形与含90°角的三角形全等或相似得证；
2.直线与圆无交点时，“作垂线，证相等”，即证所作的垂线段的长等于半径的长．
21.解:（1）8；8.35，补全统计图如解图；
[解法提示]∵一班和二班各40名学生，∴一班得分为8分的人数为（人），补全统计图如解图；一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8，∴中位数．
二班的平均分．
（2）二；
[解法提示]∵0.978<1.219，∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差，∴二班的成绩比较稳定．
（3）由题知，一班总人数为40人，
∵中位数为8.5,
∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分，
∴评分为9分和10分的人数一共为20人，
又∵众数为9，
∴评分为10分的同学最多有9人．
22.解：（1）由题意可知，点A坐标为，
∴点B坐标为，
设，
将分别代入，
得 解得，
即AC所在直线的表达式为；
（2）甲选择不接球是正确的,计算如下:
由题意可知,在甲击球后经过0.5s飞行的水平距离为5m，
，，
∵再经过0.3s后到达点C,
∴点C横坐标为，
代入可得，故点C坐标为，
乙在点C处回击，经过1s后，和AC交于点F，故此时羽毛球往回飞行的水平距离为，即点F横坐标为，
代入可得，故点F坐标为，
∵羽毛球在距离中间拦网左边1.5m处到达最高点，
∴此时羽毛球最高点的横坐标为，
即，
将分别代入中，
得解得
，
∵场地最远边界到中间拦网的水平距离为6.7米，当时，，故羽毛球会出界，
∴甲选择不接球是正确的；
（3）由（2）可知,抛物线一定过，两点，
∴解得
∴抛物线的表达式为．
∵最终羽毛球落点在距离边界20cm处，
∴当时，，
代入可得 ，解得，
故的值为．
23.解：
理由如下：∵四边形ABCD为双等腰四边形，，
，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：由平移可知,，，
∴四边形EMBN是平行四边形，，，
，，
在中，，
，，
∴平行四边形EMBN是菱形，，
如解图1，连接MN，
，∴是等边三角形，，
∴四边形EMBN是双等腰四边形；
（3）解：的值为或．
[解法提示]∵四边形ABCD为矩形，∴，，，
∵四边形BEDF为平行四边形，∴，∴，，∴．
∵四边形BEDF为双等腰四边形，且BD与BE，BF不可能相等，
∴有以下两种情况：①当时，如解图2，过点F作于点N，
∵，∴N为BE的中点，∴，易证四边形ABNF为矩形，
∴，又∵，∴，∴，
∵，∴；
②当时，如解图3，过点E作于点M，
∵，∴M为BF的中点，，，设，则，
∴，∴，∵在矩形ABCD中，，∴，
∴，∴，由可得， ，
∴，∴．综上所述，的值为或．

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