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2026年山东省济南市天桥区复习诊断测试数学试题
一 、单选题（本大题共10小题，共30分）
1.（3分）下列说法错误的是
A. 非负数有算术平方根 B. 是的算术平方根
C. 没有意义 D. 无选项
2.（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是
A. B.
C. D.
3.（3分）截止年底，我国高铁总里数是公里，数据用科学记数法表示
A. 公里 B. 公里
C. 公里 D. 公里
4.（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
5.（3分）一个多边形的内角和是，这个多边形是
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
6.（3分）下列运算正确的是
A. B.
C. D.
7.（3分）若一元二次方程有两实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.（3分）某校举办才艺表演活动，需要从学生中挑选表演活动的主持人若有名男生和名女生作为学生候选人，从这名学生中随机抽取名作为主持人，则恰好抽到名男生和名女生的概率是
A. B. C. D.
9.（3分）如图， 中，，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；
③画射线，交于点，交对角线于点
若，则的长度为
A. B. C. D.
10.（3分）关于的二次函数，下列三个结论：①对称轴直线为；②点，均在该抛物线上，若，，则；③若抛物线与轴只有一个交点，当时，则或其中正确结论为
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
11.（3分）对于分式，当______ 时，分式的值为
12.（3分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖飞镖每次都落在游戏板上，击中阴影部分的概率为 ______ .
13.（3分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；，当且点在直线的上方，使三角形的一边与三角形的某一边平行时，写出的所有可能的值____．
14.（3分）如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为 ______ .
15.（3分）如图，在正方形中，是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长，交边于点若，，则线段的长为 ______ .
三 、解答题（本大题共10小题，共85分）
16.（6分）计算：
17.（8分）解方程组或不等式组；
解方程组；
解不等式组，并写出它的所有整数解.
18.（8分）已知：如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 、 ，射线 交 的延长线于点 ．
(1)求证：；
(2)如果，求证：
19.（8分）图是一台实物投影仪，图是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，，

如图，，
①填空：______ ；
②投影探头的端点到桌面的距离 ______ .
如图，将中的向下旋转，时，求投影探头的端点到桌面的距离参考数据：，，，
20.（8分）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点
求证：；
连接，若的半径为，，求的长.
21.（10分）某区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区简称“双创”为抓手，坚持立德树人，以文化人，形成青少年健康成长的良好环境某校为了解学生对“双创”的了解情况，从七、八年级各选取了名同学，开展了“双创”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀，下面给出了部分信息：
七年级名同学在组的分数为：，，，；
八年级名同学在组的分数为：，，，，，，，
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级
八年级

填空：______ ，______ ，______ ；
根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情况更好？请说明理由： ______ ；写出一条理由即可
该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有多少人？
22.（12分）一种进价为每件元的商品，若销售单价为元，则每周可卖出件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价元，每周要少卖出件．
请写出商场每周卖该商品所获得的利润元与该商品每件涨价元之间的函数关系式；不要求写出自变量的取值范围
商场每周销售该种商品获利能否达到元？请说明理由．
23.（9分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点
求，的值；
已知点为直线在第一象限上的一个动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，当时，求的值；
观察图象，直接写出当时，的取值范围.
24.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，，与轴交于点，直线经过坐标原点，与抛物线的一个交点为点，与抛物线的对称轴交于点，连接，已知点，的坐标分别为，．
求抛物线的函数表达式，并分别求出点和点的坐标；
连接，是线段下方抛物线上一点，求的面积的最大值；是对称轴上一点，求周长的最小值．
25.（8分）如图①，在中，，，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．
①______°；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是______．
(2)请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．答案和解析
1.【答案】D;
2.【答案】B;
3.【答案】B;
4.【答案】B;
5.【答案】A;
6.【答案】D;
7.【答案】C;
8.【答案】C;
9.【答案】A;
10.【答案】C;
11.【答案】2;
12.【答案】;
13.【答案】或．;
14.【答案】
15.【答案】;
16.【答案】
;
17.【答案】
;
18.【答案】
;
19.【答案】160 36cm;
【解析】解：①过点作，如图，则，

，
，
，
，
②过点作于点，如图，

则，
则投影探头的端点到桌面的距离为：；
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，如图，

，，
，
在中，，
则投影探头的端点到桌面的距离
故投影探头的端点到桌面的距离约为
20.【答案】证明：，
，
为的直径，
是的切线，
与相切于点，与相切于点，

解：连接，则，
的半径为，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是
21.【答案】解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第、个数为，，
，
八年级中得分的人数最多，
，
七年级学生的优秀率
故答案为：；；；
由于七年级的中位数大于八年级的中位数，
该校七年级学生对“双创”的了解情况更好；
故答案为：由于七年级的中位数大于八年级的中位数；
人，
答：这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有人．
22.【答案】解：（1）设每件商品涨价x元，则每周的销售量为300- 5=（300-10x）件，
依题意，得：y=（60-40+x）（300-10x）=-10+100x+6000．
（2）依题意，得：-10+100x+6000=6300，
整理，得：-10x+30=0．
∵Δ=（-10）2-4×1×30=-20＜0，
∴该方程无解，
∴商场每周销售该种商品获利不能达到6300元．;
23.【答案】
;
24.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
又抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
点在直线上，
，解得，
直线的函数表达式为，
点为直线和抛物线对称轴的交点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为；
令，则，
令，则，
解得：，，
，，，
设点的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
设直线，则该直线的解析式可表示为：，

当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，
即：，且；
，
即，
直线：，
所以点即直线和抛物线的唯一交点，有：，
解得：，，
即，
过点作轴于，
△OCB


，
的面积的最大值为；
周长的最小值为．;
25.【答案】解：(1)①50；②；
(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作．
垂直平分线段BC，
，
，
，
．
(3)如图④中，作于H，
点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值;

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