资源简介

(
数学学科九年级二模试卷
答题
卡
数学学科
答题纸
初二年级 数学学科
)
(
注意事项：
1.
采用网上阅卷在右侧
用
2B
铅笔在
“
考生号
”
处填涂考生号，正确方法是：
。信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。
2.
作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。
3.
作答选做题时，须将选做题的试题组所对应的信息点涂满、涂黑，漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
4.
保持卡面清洁，不要折叠。
) (
九年级（ ）班 姓名（ ）
)
(
条形码粘贴处
)
(
缺考标记：
)
(
一、
选择题（本题包括8小题，共24分）每小题只有一个正确答案。
二、填空题（本题包括10小题，共30分）
9．
；10．
；11．
；12．
；13．
；
14．
；15．
；16．
；17．
；18．
.
19
.
（本题满分8分 ）
（1）
-
2
sin
45
°
+（
）
-1
；
（2）(
a
-1)
2
-
a
3
a
．
)
(
6
7
8
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
) (
1
2
3
4
5
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
)
(
◣
▲
)
(
◢
▲
◥
▲
) (
23
.
（本题满分10分 ）
24.
（本题满分10分 ）
（1）
（2）
) (
20
.
（本题满分8分 ）
21.
（
本题满分8分
）
（
1）
a
=
，
b
=
，
m
=
；
（2）
22
.
（
本题满分8分 ）
（
1）小明任意
转动
B
盘
一次
，指针指向
3
的概率为
；
（2
）
) (
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
)
(
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
)
(
◢
▲
◥
▲
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
28、
(本题满分12分)
（1）
（
填
“
有
”
或
“
没有
”
）
；
（
2）
①
②
③
（4）
；
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
25
.
(本题满分10分)
（1）
（2）
26
.
(本题满分10分)
（1）
点
Q
（填
“
在
”
或
“
不在
”
）边AD
上
；
（2）
（
3
）
☉
C的半径
r
的
取值范围是
．
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
27
.
(本题满分12分)
（1）
，
OC
＝
，
（2）
（3）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)2026年邗江区数学学科九年级二模试卷
（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个数中，比 小的数是（ ▲ ）
A． B．0 C． 1 D．2
2．如图所示的几何体的主视图是（ ▲ ）
A. B. C. D.
3．下列运算中，正确的是（ ▲ ）
A． B．= C． D．
第2题图 第5题图 第7题图
4. 下列说法不正确的是（ ▲ ）
A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式
B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示
C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件
D. 扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的点，将△BCD沿直线CD折叠，使B的对应点E恰好落在边AC上，若∠A＝32°,则∠ADE的大小是（ ▲ ）
A．38° B．40° C．42° D．44°
6．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ▲ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7．如图所示的网格中，每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ▲ ）
A． B． C． D．2
8．若，则（值可能是（ ▲ ）
A. B. 3 C. D. 2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．实数﹣8的立方根是 ▲ ．
10．2026年4月11日，江苏省城市足球联赛（苏超）开幕战在扬州盛大举行，扬州队主场迎战苏州队，现场约28000名球迷到场观赛，为球队呐喊助威.将数据28000用科学记数法表示为 ▲ ．
11．如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，点D是BC的中点，则AD长为 ▲ ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于 ▲ ．
13．已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则该等腰三角形的面积为 ▲ cm2．
14．如图，嘉嘉的作业纸不小心被撕了一部分，则被撕去部分的整式是 ▲ ．
15．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为 ▲ ．
第11题图 第12题图 第14题图
16．如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是 ▲ ．
第15题图 第16题图 第18题图
17．定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．下列三个函数的图象上存在2个“单位圆点”的是 ▲ （填序号）；
①； ②y； ③y＝x2-1．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF（图中所有的点均在同一平面内），连接A′B，A′C，当AF＝ ▲ 时，△A′BC面积的最小．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）计算：（1）-2sin45°+（）-1； （2）(a-1)2-a3a．
20．（本题满分8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
21.（本题满分8分）扬州“皮包水”早茶文化名扬天下.“五一”期间，某茶社为了解顾客对甲、乙两种早茶套餐的体验评价，茶社从点这两种套餐的顾客中各随机抽取了 20 名顾客进行评价问卷调查 (问卷调查满分为 100 分)，对数据进行整理、描述和分析，得分用 表示，共分为四组：（ ),
下面给出了部分信息：
①甲套餐 20 份问卷调查的得分为：
65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，
92，92，94，95，95，98，98，100，100，100.
②乙套餐20 份问卷调查的得分中，其中落在C组中的数据为：
82，83，84，85，87，88，88.
两种套餐评价得分统计表 乙套餐评价得分扇形统计图
套餐 平均数 众数 中位数 方差
甲 87 a 91 121
乙 87 95 b 119.8
根据以上信息,解答下列问题：
（1）上述图表中, a= ▲ ，b= ▲ ，m= ▲ ；
（2）根据以上数据分析，你认为顾客对甲套餐还是乙套餐的体验评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）.
22．（本题满分8分）如图，有两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字1、2、3、5，B盘中圆心角为120°的扇形上标有数字4，其余部分标有数字3．小聪和小明用这两个转盘做游戏，制定规则如下：随意转动A、B转盘各一次，转盘停止后，将、转盘的指针所指数字相加（如果指针指向两个扇形的交线处，则重新转动转盘），若和为偶数，则小聪胜；若和为奇数，则小明胜．
（1）小明任意转动B盘一次，指针指向3的概率为 ▲ ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
23．（本题满分10分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达.
24．（本题满分10分）如图1，ABCD中，AD＞AB，E是边AD上一点，将△ABE沿边BE折叠，A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF，与BE交于点O．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）如图2，连接OC，若∠ABC=60°，AB=4，tan∠OCB=，求OC的长．

图1 图2
25.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点C（0，2），△AOB的面积为6．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围．
26.（本题满分10分）图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形．
（1）初步感知：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到对应的△ADE，连接CE，△ACE显然是等边三角形.若点P是AB边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转60°后的对应点Q ，此时点Q ▲ （填“在”或“不在”）边AD上；
（2）迁移运用：如图2，点P是∠AOB内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边△PCD，其中点C在边OA上，点D在边OB上，并写出必要的文字说明；
（3）继续思考：如图3，△ABC中，∠B=60°，BC=5，AB=7，点P在边BC上，BP=2，点D是边AB上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转60°得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在☉C上，则☉C的半径r的取值范围是
▲ ．
图1 图2 图3
27.（本题满分12分）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，小明同学在研究这个四边形时，发现“这个四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，可得，连接OA，OC．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ▲ ，∴，OC＝ ▲ ，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上．
（1）请补全小明同学的证明过程．
图1 图2 图3 图4
【问题探究】（2）如图3，在四边形ABCD中，点P在对角线BD上，连接AP、CP，若∠BCP＝∠BDC，∠BAP＝∠BDA，试判断线段AB与BC是否相等？并说明理由；
【问题解决】（3）如图4，四边形ABCD，∠C＝2∠D，AH⊥CD，垂足为H，BP⊥AB，且CH＝CB，请你探究线段PD与CH之间的数量关系，并证明你的结论．
28.（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，点，为某函数图象G上不重合的两点，若有，则称点Q与点P关于图象G互为“反差点”．
（1）直线上任意一点关于该直线都 ▲ （填“有”或“没有”）“反差点”；
（2）已知抛物线：；
①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标；
②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点”的点坐标；
③将抛物线G在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W，若图象W上一点关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围.请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效 ◥
20.（本题满分 8分 ） 23.（本题满分 10分 ）
数学学科九年级二模试卷答题卡
注意事项：
1. 采用网上阅卷在右侧用 2B 铅笔 九年级（ ）班 姓名（ ）
在“考生号”处填涂考生号，正
确方法是： 。信息点框内必须
涂满、涂黑，否则无效；修改时
须用橡皮擦干净。
2. 作答时注意题号顺序，不得擅自
更改题号。
3. 作答选做题时，须将选做题的试
题组所对应的信息点涂满、涂
黑，漏涂、错涂、多涂的，答案 条形码粘贴处
无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠。 24.（本题满分 10分 ）
缺考标记： 21.（本题满分 8分 ）
（1）
（1）a= ，b= ，m= ；
一、选择题（本题包括 8小题，共 24 分）每小题只有一个正确答案。 （2）
1 A B C D 6 A B C D
2 A B C D 7 A B C D
3 A B C D 8 A B C D
4 A B C D
5 A B C D
22.（本题满分 8分 ）
二、填空题（本题包括 10 小题，共 30 分） （1）小明任意转动 B盘一次，指针指向 3的概率为 ；
9． ；10． ；11． ；12． ；13． ； （2）
14． ；15． ；16． ；17． ；18． .
（2）
19.（本题满分 8分 ）
1
（1） 18 2 3-2sin45°+（ ）-1； （2）(a-1) -a ÷a．
2
◣
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效 ◢
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
25.(本题满分 10 分)
27.(本题满分 12 分) 28、(本题满分 12 分)
（1）
（1） ，OC＝ ， （1） （填“有”或“没有”）；
（2）①
（2）
（2）
26.(本题满分 10 分) ②
（1）点 Q （填“在”或“不在”）边 AD 上；
（2） （3）
（3）☉C的半径 r 的取值范围是 ． ③
◢
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2026年邗江区数学学科九年级二模试卷参考答案
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟 ）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C D B D
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9． －2 ；10． 2.8×104 ；11． ；12． 55° ；13． ；
14． x+1 ；15． ；16．0.5 ≤θ≤ 1；17． ① ；18． .
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）
（1）解：原式= 2× +2 ………………………… 3分
= ………………………… 4分
（2）解：原式=a2-2a+1-a2 ………………………… 6分
=-2a+1 ………………………… 8分
20．（本题满分8分）
解：由①得： ………………………… 2分
由②得： ………………………… 4分
∴不等式组的解集为： ………………… 6分
………………… 8分
21．（本题满分8分）
（1）a＝ 100 ，b＝ 88 ， m= 15 ； …………………6分
（2）∵甲乙套餐平均数相等；甲套餐众数，中位数均大于乙套餐众数和中位数；
∴对甲套餐体验评价更高 …………………8分
答案不唯一，只要说出一条正确的理由即可参考给分
22．（本题满分8分）
（1） ； …………………3分
（2）
B A 3 3 4
1 4 4 5
2 5 5 6
3 6 6 7
5 8 8 9
∴P（和为奇数）= ； P（和为偶数）= …………………7分
∵ ∴不公平 …………………8分
23．（本题满分10分）
解：设规定x天到达，根据题意得： …………………1分
…………………5分
解得： …………………8分
经检验：是原方程的解 …………………9分
答：规定7天到达． …………………10分
24．（本题满分10分）
（1）由折叠可得，AB=BF，∠ABE=∠EBC
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∴ ∠AEB=∠EBC
∴ ∠ABE=∠AEB
∴AB＝AE …………………2分
∵ AB=BF
∴AE＝BF
∵ AD∥BC
∴ 四边形ABFE是平行四边形 …………………4分
∵AB=BF
∴ 平行四边形ABFE是菱形 …………………5分
（方法不唯一，其余证法按步骤酌情给分）
（2）作OH⊥BC于点H …………………6分
求出OH= …………………7分
求出OC= …………………10分
25．（本题满分10分）
（1）∵C（0，2）
∴ OC=2
∵S△AOB=S△AOC + S△BOC =
∴
∴B (4 , 2)
∴k= 8
∴反比例函数： …………………3分
∴A (2 , 4)
将A、B、C中任两点代入得，
…………………6分
（2） …………………10分
26．（本题满分10分）
（1）作出点Q ………………2分
点Q 在 边AD上； ………………3分
（2）文字说明：①连OP，分别以O、P为圆心，OP长为半径画圆弧，两弧交于点Q，得等边△OPQ；
②在PQ的左侧作∠PQD＝∠POA，交OB于点D；
③在OA上截取OC=QD，连接PC，PD，CD；
④△PCD即为所画等边三角形； ………………7分
（3）☉C的半径r的取值范围是 r= ………………8分
、 ………………10分
27．（本题满分12分）
（1）请补全小明同学的证明过程．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°， O为BD的中点 ，
∴，OC＝ ， ………………2分
（2）∵∠BCP＝∠BDC , ∠BPC＝∠CBD ,
∴ △PBC △CBD
∴
∴BC2 = BP
∵∠BAP＝∠BDA , ∠ABP＝∠DBA ,
∴ △PBA △ABD
∴
∴BA2 = BP ………………7分
∴BC2 = BA2
∴BC = AB
（3）连接BH，AP，过C作CG⊥BH于G，
设∠ADC＝α，则∠BCD＝2α，
由AH⊥CD，BP⊥AB，得到点A、B、H、P四点共圆，
则∠APD＝∠ABH，∠AHB＝∠ADP＝∠HCG＝α，
证明△APD∽△ABH，
得到，
再证明△ABP∽△HGC，
得到，
则，
代入
∴PD＝2CH． ………………12分
28．（本题满分12分）
（1） 没有 “反差点” ………………2分
（2）①，顶点坐标（1，1）
设顶点关于的“反差点”坐标（t,t2+2t）
∴t2+2t-(-1)=-1-t
t2+3t+2=0
∴t1=-1(舍去) ,t2=-2
∴“反差点”坐标（-2,0） ………………5分
②设任意一点（x1，y1）, 反差点（x2，y2）
∴
2+2(2+2) =
∴
若
若
∴P( ,) 没有 “反差点” ………………9分
或者：
互为反差点的两点在直线y=-x+b的图像上
∴ ∴
当△=0时，= ，
∴P( ,)没有“反差点”
③
∵设关于图象的“反差点”Q(x，y)
∴
∴y=x+(m+n)
∵关于图象有2个“反差点”，
∴直线y=x+(m+n)与图象有3个不同交点
当时；
∴
∴
y=x+(m+n) =x+(m2+3m)
∴
当△=0时,m=- ∴－ ………………12分2026 年邗江区数学学科九年级二模试卷
（全卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每题所给的四个选项，只有一个
符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个数中，比 3 小的数是（ ▲ ）
A．1 B．0 C． 1 D． 2
2．如图所示的几何体的主视图是（ ▲ ）
A. B. C. D.
3．下列运算中，正确的是（ ▲ ）
A．a2 + a2 = 2a4 B． a + b 2= a2 + b2 C．( 2a)3 = 6 a3 D．a6 ÷ a2 = a4
第 2题图 第 5题图 第 7题图
4. 下列说法不．正．确．的是（ ▲ ）
A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式
B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示
C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件
D. 扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是 AB边上的点，将△BCD沿直线 CD折叠，使 B的
对应点 E恰好落在边 AC上，若∠A＝32°,则∠ADE的大小是（ ▲ ）
A．38° B．40° C．42° D．44°
6．关于 x的方程 2 + ( + 1) + 1 = 0 有两个相等的实数根，则 2+2a的值是（ ▲ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7．如图所示的网格中，每个小正方形边长均为 1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点
上，点 D，E分别是边 AB，AC与网格线的交点，连接 DE，则 DE的长为（ ▲ ）
A． 3 B
9 C 5． ． D．2
5 3
8．若 + = 3，则（ + 1） 1 的值可能是（ ▲ ）
A. 9 B. 3 C. 7 D. 2
2 3
1
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，不需要写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卡相应位置上）
9．实数﹣8的立方根是 ▲ ．
10．2026年 4月 11日，江苏省城市足球联赛（苏超）开幕战在扬州盛大举行，扬州队主
场迎战苏州队，现场约 28000名球迷到场观赛，为球队呐喊助威.将数据 28000用科学记
数法表示为 ▲ ．
11．如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，点 D是 BC的中点，则 AD长为 ▲ ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于 ▲ ．
13．已知等腰三角形的两边长分别为 2cm和 4cm，则该等腰三角形的面积为 ▲ cm2．
14．如图，嘉嘉的作业纸不小心被撕了一部分，则被撕去部分的整式是 ▲ ．
15．如图，由边长为 1的小正方形构成的网格中，点 A，B，C都在格点上，以 AB为直径
的圆经过点 C，D，则 tan∠ADC的值为 ▲ ．
第 11题图 第 12题图 第 14题图
16．如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“E”形图所成的角
1
叫做分辨视角 ，视力值 n与分辨视角 （分）的对应关系近似满足 n 0.5 10 ，

当 n 1.0时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角 的范围是 ▲ ．
第 15题图 第 16题图 第 18题图
17．定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于 1的点叫做“单位圆点”．下列三个
函数的图象上存在 2个“单位圆点”的是 ▲ （填序号）；
y= 2x+2 y= 1① ； ② ； ③y＝x
2-1．
18．如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，E是线段 AD
的中点，F是线段 AB上的一个动点．现将△AEF沿 EF所在直线翻折得到△A′EF（图中
所有的点均在同一平面内），连接 A′B，A′C，当 AF＝ ▲ 时，△A′BC面积的最小．
2
三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1
19．（本题满分 8分）计算：（1） 18 -2sin45°+（ ）-1； （2）(a-1)2-a3÷a．
2
2 + 3 ≥ 5
20．（本题满分 8分）解不等式组： 2 < +1 ，并在数轴上表示其解集．
4
21.（本题满分 8 分）扬州“皮包水”早茶文化名扬天下.“五一”期间，某茶社为了解顾
客对甲、乙两种早茶套餐的体验评价，茶社从点这两种套餐的顾客中各随机抽取了 20 名
顾客进行评价问卷调查 (问卷调查满分为 100 分)，对数据进行整理、描述和分析，得分
用 表示，共分为四组：（ . 60 ≤ < 70; . 70 ≤ < 80; . 80 ≤ < 90; . 90 ≤ ≤ 100 ),
下面给出了部分信息：
①甲套餐 20 份问卷调查的得分为：
65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，
92，92，94，95，95，98，98，100，100，100.
②乙套餐 20 份问卷调查的得分中，其中落在 C组中的数据为：
82，83，84，85，87，88，88.
两种套餐评价得分统计表 乙套餐评价得分扇形统计图
A5%
B
套餐 平均数 众数 中位数 方差 m%
C
甲 87 a 91 121
D
乙 87 95 b 119.8 45%
根据以上信息,解答下列问题：
（1）上述图表中, a= ▲ ，b= ▲ ，m= ▲ ；
（2）根据以上数据分析，你认为顾客对甲套餐还是乙套餐的体验评价更高？请说明理由
（写出一条理由即可）.
3
22．（本题满分 8分）如图，有两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个
扇形，分别标有数字 1、2、3、5，B 盘中圆心角为 120°的扇形上标有数字 4，其余部分
标有数字 3．小聪和小明用这两个转盘做游戏，制定规则如下：随意转动 A、B转盘各一
次，转盘停止后，将 A、B转盘的指针所指数字相加（如果指针指向两个扇形的交线处，
则重新转动转盘），若和为偶数，则小聪胜；若和为奇数，则小明胜．
（1）小明任意转动 B盘一次，指针指向 3的概率为 ▲ ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
23．（本题满分 10 分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道
题的大意为：把一份文件用慢马送到 900 里(1 里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间
多 1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少 3 天.已知快马的速度是慢马的 2 倍，
求规定几天到达.
24．（本题满分 10 分）如图 1， ABCD中，AD＞AB，E是边 AD上一点，将△ABE沿边
BE折叠，A的对应点 F恰好落在边 BC上，连接 AF，与 BE交于点 O．
（1）求证：四边形 ABFE是菱形；
1
（2）如图 2，连接 OC，若∠ABC=60°，AB=4，tan∠OCB= ，求 OC的长．
2
图 1 图 2
4
25.（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= ax+b(a≠ 0)的图象与
k
反 比 例 函 数 y= (k ≠ 0) 的 图 象 交 于 点 2, ，
x
, 2 ．与 y轴交于点 C（0，2），△AOB的面积为 6．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出当不等式 + < 成立时， x的

取值范围．
26.（本题满分 10 分）图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，
还能帮助我们研究图形．
（1）初步感知：如图 1，将△ABC绕点 A逆时针旋转 60°得到对应的△ADE，连接 CE，
△ACE显然是等边三角形.若点 P是 AB边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点 P
绕 A点逆时针旋转 60°后的对应点 Q ，此时点 Q ▲ （填“在”或“不在”）边 AD
上；
（2）迁移运用：如图 2，点 P是∠AOB内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆
规和无刻度的直尺作等边△PCD，其中点 C在边 OA上，点 D在边 OB上，并写出必要的
文字说明；
（3）继续思考：如图 3，△ABC中，∠B=60°，BC=5，AB=7，点 P在边 BC上，BP=2，
点 D是边 AB上一动点，以 P为旋转中心，将点 D顺时针旋转 60°得到点 E，若点 D在从
点 A运动到点 B的过程中，点 E只有一次落在☉C上，则☉C的半径 r的取值范围是
▲ ．
图 1 图 2 图 3
5
27.（本题满分 12 分）【问题提出】如图 1，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，小明
同学在研究这个四边形时，发现“这个四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证
明的思路如下：
1
如图 2，连接对角线 BD，取 BD中点 O，可得 OB=OD= 2BD，连接 OA，OC．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ▲ ，∴OA= 12BD，OC＝ ▲ ，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形 ABCD的顶点 A，B，C，D均在以点 O为圆心，BD为直径的圆上．
（1）请补全小明同学的证明过程．
图 1 图 2 图 3 图 4
【问题探究】（2）如图 3，在四边形 ABCD中，点 P在对角线 BD上，连接 AP、CP，若
∠BCP＝∠BDC，∠BAP＝∠BDA，试判断线段 AB与 BC是否相等？并说明理由；
【问题解决】（3）如图 4，四边形 ABCD，∠C＝2∠D，AH⊥CD，垂足为 H，BP⊥AB，
且 CH＝CB，请你探究线段 PD与 CH之间的数量关系，并证明你的结论．
28.（本题满分 12分）在平面直角坐标系 xoy中，点 P( 1, 1)，Q( 2, 2)为某函数图象 G
上不重合的两点，若有 2 1 = 1 2，则称点 Q与点 P关于图象 G互为“反差点”．
（1）直线 = 3上任意一点关于该直线都 ▲ （填“有”或“没有”）“反差点”；
（2）已知抛物线 G：y=x2+2x；
①求抛物线顶点关于 G的“反差点”坐标；
②抛物线 G上任意一点 P关于 G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请
求出没有“反差点”的 P点坐标；
③将抛物线 G在 y轴右侧的部分沿 x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象
W，若图象 W上一点 (m,n)关于图象 W有两个“反差点”，请直接写出 m的取值范围.
62026年邗江区数学学科九年级二模试卷参考答案
（试卷满分：150分 考试时间：120 分钟 ）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正
确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C D B D
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题
卡相应位置上）
5
9． －2 ；10． 2.8×104 ；11． ；12． 55° ；13． 15 ；
2
2
14． x+1 ；15． ；16．0.5 ≤θ≤ 1；17． ① ；18． 2 1 .
3
三、解答题（本大题共有 10小题，共 96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
19．（本题满分 8分）
（1）解：原式=3 2 22× +2 ………………………… 3分
2
= 2 2 2 ………………………… 4分
2 a2（ ）解：原式= -2a+1-a2 ………………………… 6分
=-2a+1 ………………………… 8分
20．（本题满分 8分）
解：由①得： ≥ 4 ………………………… 2分
由②得： < 3 ………………………… 4分
∴不等式组的解集为： 4 ≤ < 3 ………………… 6分
………………… 8分
21．（本题满分 8分）
（1）a＝ 100 ，b＝ 88 ， m= 15 ； …………………6分
（2）∵甲乙套餐平均数相等；甲套餐众数，中位数均大于乙套餐众数和中位数；
∴对甲套餐体验评价更高 …………………8分
答案不唯一，只要说出一条正确的理由即可参考给分
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22．（本题满分 8分）
2
（1） ； …………………3分
3
（2）
B
3 3 4
A
1 4 4 5
2 5 5 6
3 6 6 7
5 8 8 9
5 7
∴P（和为奇数）= P（12 和为偶数
）= …………………7分
； 12
5 ≠ 7∵ ∴不公平 …………………8分
12 12
23．（本题满分 10分）
解：设规定 x 天到达，根据题意得： …………………1分
900 2× 900 …………………5分
x 3 x＋1
解得： x 7 …………………8分
经检验： x 7是原方程的解 …………………9分
答：规定 7天到达． …………………10分
24．（本题满分 10分）
（1）由折叠可得，AB=BF，∠ABE=∠EBC
∵ 四边形 ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∴ ∠AEB=∠EBC
∴ ∠ABE=∠AEB
∴AB＝AE …………………2分
∵ AB=BF
∴AE＝BF
∵ AD∥BC
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形 …………………4分
∵AB=BF
∴ 平行四边形 ABFE 是菱形 …………………5分
（方法不唯一，其余证法按步骤酌情给分）
（2）作 OH⊥BC于点 H …………………6分
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求出 OH= 3 …………………7分
求出 OC= 15 …………………10分
25．（本题满分 10分）
（1）∵C（0，2）
∴ OC=2
1 1
∵S△AOB=S△AOC + S△BOC = × 2 × 2 + × 2 × ( ) = 2 = 62 2
∴ = 4
∴B ( 4 , 2)
∴k= 8
8
∴反比例函数：y = …………………3分

∴A (2 , 4)
将 A、B、C中任两点代入 = + ≠ 0 得，
一次函数： = + 2 …………………6分
（2）0 < x < 2 或 x < 4 …………………10分
26．（本题满分 10分）
（1）作出点 Q ………………2分
点 Q 在 边 AD 上； ………………3分
（2）文字说明：①连 OP，分别以 O、P为圆心，OP长为半径画圆弧，两弧交于点 Q，得等边△OPQ；
②在 PQ的左侧作∠PQD＝∠POA，交 OB于点 D；
③在 OA上截取 OC=QD，连接 PC，PD，CD；
④△PCD 即为所画等边三角形； ………………7分
A A
C
● P E1 E2
O D B B
P C
Q
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（3）☉C 的半径 r 的取值范围是 r= 3 ………………8分
、2 3 < r ≤ 19 ………………10 分
27．（本题满分 12分）
（1）请补全小明同学的证明过程．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°， O为 BD的中点 ，
1
∴ = 12 ，OC＝ ， ………………2分2
（2）∵∠BCP＝∠BDC , ∠BPC＝∠CBD ,
∴ △PBC △CBD

∴ =

∴BC2= BP×
∵∠BAP＝∠BDA , ∠ABP＝∠DBA ,
∴ △PBA △ABD

∴ =

∴BA2= BP× ………………7分
∴BC2= BA2
∴BC= AB
（3）连接 BH，AP，过 C作 CG⊥BH于 G，
设∠ADC＝α，则∠BCD＝2α，
由 AH⊥CD，BP⊥AB，得到点 A、B、H、P四点共圆，
则∠APD＝∠ABH，∠AHB＝∠ADP＝∠HCG＝α，
证明△APD∽△ABH，

得到 = ，

再证明△ABP∽△HGC，

得到 = ，


则 = = ，

代入 = 12

=
1
2
∴PD＝2CH． ………………12分
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28．（本题满分 12分）
（1） 没有 “反差点” ………………2分
（2）①y=x2+2x，顶点坐标（ 1， 1）
2
设顶点关于 G的“反差点”坐标（t,t +2t）
2
∴t +2t-(-1)=-1-t
2
t +3t+2=0
∴t1=-1(舍去) ,t2=-2
∴“反差点”坐标（-2,0） ………………5分
②设任意一点 P（x1，y1）, 反差点 Q（x2，y2）
∴ 2 1 = 1 2
22 +2 2 (
2
1 +2 1) = 1 2
∴ ( 1 + 2 + 3)( 2 1) = 0
若 1≠ 2 ，则 1 + 2 = 3，存在反差点；
若 1= 2 ，则 1 = 2 =
3
时，两点重合，则没有反差点；
2
3
∴P( , 3) 没有 “反差点” ………………9分
2 4
或者：
互为反差点的两点在直线 y=-x+b 的图像上
y = x2+2x
∴ 2 = + ∴x +3x b=0
当△=0 时， 1=
3 3
2 = ，y = 2 4
3 3
∴P( , )没有“反差点”
2 4
x2+2x (x<0 )
③ y =
x2 2x (x≥0 )
∵设M( m, n)关于图象W的“反差点”Q(x，y)
∴ = m x y
∴y= x+(m+n)
∵M( m, n)关于图象W有 2个“反差点”，
∴直线 y= x+(m+n)与图象W有 3个不同交点
当 m<0时； 0 x
∴n=m2+2m
∴ = m x
y= x+(m+n) = x+(m2+3m)
2
y = x +2x x+(m2+3m)
∴x2+3x (m2+3m) =0
3 3
当△=0 时,m=- ∴－ 2 2
第 5 页 共 5 页

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