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2026年山东省聊城市莘县东鲁中学九年级5月份学业水平测试 数学试卷
一 、单选题（本大题共10小题，共30分）
1.（3分）如图，数轴上表示的点应在
A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上
2.（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是
A. B. C. D.
3.（3分）古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是
A. B.
C. D.
4.（3分）“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设．国家统计局年国民经济和社会发展统计公报指出：截止年底，国内有效专利达件，将件用科学记数法表示为件．
A. B.
C. D.
5.（3分）下列计算正确的是
A. B.
C. D.
6.（3分）从一副完整的扑克牌中任意抽取张，下列事件与抽到“”的概率相同的是
A. 抽到“大王” B. 抽到“红桃” C. 抽到“小王” D. 抽到“”
7.（3分）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度设慢车的速度是，所列方程正确的是
A. B.
C. D.
8.（3分）如图，在中，是直径，是弦，，垂足为点，连接，，下列说法正确的是

A. B. C. D.
9.（3分）如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为
A. B. C. D.
10.（3分）抛物线的顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④其中正确的是
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
11.（3分）把多项式分解因式的结果是______．
12.（3分）写出满足不等式组的一个整数解__________.
13.（3分）一元二次方程的两根分别是，，则的值为______.
14.（3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为__________结果保留
15.（3分）在平面直角坐标系中有一点，作点关于轴的对称点，再将点向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标是 ，
三 、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.（8分）计算：；
先化简：，再从，，，选择中一个合适的数作为的值代入求值.
17.（9分）某校为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，随机抽取了七年级、八年级各名学生进行问卷测试，并对测试成绩进行整理和分析，测试成绩用整数表示共分五组：，，，，，并绘制了不完整的统计图如图所示，请将统计过程中的有关问题补充完整.
【收集、整理、描述数据】
七年级名学生的测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
八年级学生测试成绩在组和组的分别为：，，，，，，，，，，

【分析数据】
成绩 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
【应用数据】
统计表中______ ，______ ；
从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是 ______ 年级填“七”或“八”；
在八年级测试成绩扇形图中，表示“”这组数据的扇形圆心角度数是 ______ ；
若该校七年级共有学生名，八年级共有学生名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于分的总人数为 ______ .
18.（8分）下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．
已知：直线及直线上一点，如图
求作：，使得，
作法：如图
①在直线上取点；
②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，在的上方；
③作直线，交直线于点；
④连接
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：连接，，
，
是等边三角形

______，
四边形是菱形．______填推理的依据
______填推理的依据

______填推理的依据
19.（8分）某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂、和一个灯杆组成，灯杆与地面垂直现测得米，米，
求两灯臂末端、之间的距离.
求灯臂末端到地面的距离.
参考数据：；；结果精确到米
20.（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，
求这个反比例函数的表达式；
求的面积；
在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.（10分）如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接
求证：与相切；
若，，，求的长.
22.（12分）【问题原型】如图所示，在等腰直角三角形中，，，的中点为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，过点作边上的高，易证∽，从而得到的面积为
【初步探究】如图所示，在中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接用含的代数式表示的面积，并说明理由.
【简单应用】如图所示，在等腰三角形中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，直接写出的面积用含的代数式表示
23.（12分）已知二次函数
若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式；
若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值；
在的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值.答案和解析
1.【答案】D;
2.【答案】A;
3.【答案】B;
4.【答案】C;
5.【答案】C;
6.【答案】D;
7.【答案】B;
8.【答案】D;
9.【答案】C;
10.【答案】A;
11.【答案】x（3x+y）2;
12.【答案】答案不唯一
13.【答案】7;
14.【答案】;
15.【答案】；;
16.【答案】
;

17.【答案】;七年级测试成绩中分的最多，
七年级测试成绩的众数是分，
八年级学生测试成绩在组的有：人，在组的有：人，
在组和组的分别为：，，，，，，，，，，，
在组的有人，
，
第位与第位学生的成绩位于组的最后位，成绩都是分，
八年级学生测试成绩的中位数是分，
，，
故答案为：，；
在表格中七年级的平均数，中位数，众数，方差都优于八年级的，
测试成绩较好且比较整齐的是七年级，
故答案为：七；
八年级学生测试成绩在组的有人，
“”这组数据的扇形圆心角度数为，
故答案为：；
由七年级数据可知，七年级在组的有人，在组的有人，
由题意可知八年级学生测试成绩在组的有人，在组的有人，在组的有人，在组的有人，
在组的有人，
人，
故答案为：
18.【答案】解：如图，为所作；

证明：连接，，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形四边相等的四边形为菱形，
菱形的对角线互相垂直平分，

直角三角形的两锐角互余，


19.【答案】
;
20.【答案】解：（1）∵一次函数y=x+1经过点A（m，2），
∴m+1=2，
∴m=1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y=经过点（1，2），
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）由题意，得，
解得或，
∴B（-2，-1），
∵C（0，1），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=1.5；

（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（-3，-3）或（-1，1）或（3，3）．
;
21.【答案】
;
22.【答案】
;
23.【答案】
;

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