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2026年山东聊城市阳谷县谷山学校中考模拟数学试卷
一 、单选题（本大题共10小题，共30分）
1.（3分）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足，下列结论中正确的是
A. B. C. D.
2.（3分）如图，直线与相交于点，射线是的平分线，，则的度数为
A. B. C. D.
3.（3分）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”已知纳米米，若苔花的花粉直径约为纳米，则纳米用科学记数法表示为
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
4.（3分）下列几何体中，主视图与俯视图形状相同的是
A. B. C. D.
5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是
A. B. C. D.
6.（3分）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比
A. B. C. D.
7.（3分）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四个如图③的小长方形后分别得到如图①、图②，已知大长方形的长为，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是
A. B. C. D.
8.（3分）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图分别反映了年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况注：贫困发生率贫困人数人统计人数人根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是
A. 年，全国农村贫困人口逐年递减
B. 年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是年
C. 年，全国农村贫困人口数累计减少万
D. 年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过
9.（3分）如图，在等边中，，点，分别在，上，，将沿翻折后，点落在点处．连结 并延长，交于点，交于点如果点为的中点，那么的面积为
A. B. C. D.
10.（3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
点、在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.（3分）已知实数，，满足，则的值为 ______ .
12.（3分）不等式组的整数解是______．
13.（3分）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角是，测得底部的俯角是，此时无人机与该建筑物的水平距离是米，那么该建筑物的高度为______米结果保留根号．
14.（3分）有张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上洗匀后，从中任意抽取张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率是 ______ .
15.（3分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子那么第个图案的棋子数是________枚．
16.（3分）如图，在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且，当点在上移动时，则长的最大值为______．
三 、解答题（本大题共8小题，共72分）
17.（9分）化简

先化简，再求值：，其中
18.（8分）解分式方程：.
19.（8分）如图，△ABC为等边三角形，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CE，连接DE，BE.
（1）依题意补全图形，并判断AD与BE的数量关系；
（2）过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F.用等式表示线段EB，DB与AF之间的数量关系，并证明.
20.（9分）年月日，中国“春节”申遗成功，为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析竞赛成绩用表示，共分为四组：，，，，其中，竞赛成绩分及以上为优秀，部分信息如下：
七年级名学生的竞赛成绩是：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
八年级名学生竞赛成绩在组的数据是：
，，，，，，

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中的______，______，______；
若该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
21.（8分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为，在点的正下方米处的点处测得塔帽的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度计算结果精确到米
参考数据：，，，
22.（8分）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点
求证：
若，，求的半径.
23.（14分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为

求抛物线的解析式以及直线的解析式；
点是抛物线上位于直线下方的动点，过点作轴，轴的平行线，交于点、，当取最大值时，求点的坐标；
如图，连接，点在抛物线上，且满足，求点的坐标．
24.（8分）如图，在 中， ， ，作直线 ，使得 ．过点B作 于D，在 的延长线上取点E，使 ． 连接 ， ．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求用含的式子表示；
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．答案和解析
1.【答案】A;
2.【答案】D;
3.【答案】C;
4.【答案】C;
5.【答案】D;
6.【答案】B;
7.【答案】D;
8.【答案】D;
9.【答案】A;
10.【答案】B;
11.【答案】，
12.【答案】-1，0，1;
13.【答案】12;
14.【答案】;
15.【答案】13;
16.【答案】;
17.【答案】解：（1）原式=-
=
=．
（2）原式=÷
=
=，
当x=1时，
原式=．;
18.【答案】解：.;
19.【答案】解：（1）图略，AD=BE.理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；
（2）.
理由如下：由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=60°.
，
∵AF⊥EB，∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，，，
∵AD+DB=AB，∴EB+DB=AB，.;
【
20.【答案】七年级成绩的众数，
八年级成绩的中位数，
，
故答案为：、、；
人，
答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人．
根据众数、中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
此题主要考查了扇形统计图、频数分布直方图、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
21.【答案】
;
22.【答案】
;
23.【答案】解：（1）将A（-2，0），B（4，0）代入y=a-x+c，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x-4，
当x=2时，y=-4，
∴D（2，-4），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0）D（2，-4）代入，
得，
解得，
∴直线AD的解析式为y=-x-2；
（2）根据题意作图，如图1，
在y=-x-2上，当x=0时，y=-2，
∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，-2），
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠OAB=45°，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF=∠OAB=45°，∠EPF=90°，
∴PF=PE，
设P（x，-x-4），F（x，-x-2），
∴PF=-+2，
∵P在AD的下方，
∴-2＜x＜2，
当x=0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，
∴P（0，-4）；
（3）在BO上截取ON=OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，如图2，
∵点A（-2，0），点C（0，﹣4），
∴OA=2，OC=4，
∴AC=2，
∵ON=OA，∠CON=∠COA=90°，OC=OC，
∴△OCN≌△OCA（SAS），
∴∠ACO=∠NCO，CN=AC=2，
∴∠NCA=2∠ACO，
∵∠QAB=2∠ACO，
∴∠QAB=∠NCA，
∵S△ANC=AN×OC=AH×CN，
∴AH=，
∴CH=，
∴tan∠NCA=，
如图3，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，
∵∠QAB=∠NCA，
∴tan∠NCA=tan∠QAB=，
∴OI=，
∴点I（0，-），
又∵点A（-2，0），
∴直线AQ解析式为：y=-x-，
联立方程组得：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点Q坐标为（，-），
当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：y=x+，
联立方程组得：，
解得：（不合题意舍去）或，
∴点Q坐标为（，），
综上所述：点Q的坐标为（，-）或（，）．;
24.【答案】
;

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