资源简介

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2026学年初中学业水平模拟检测（二）
九年级数学试题
2026.05
本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图，点表示的数的倒数是
A．-2 B．2 C． D．
2．校徽是学校的专属视觉符号，能够将学校的办学宗旨、育人理念、办学特色、校风校训转化为直观的视觉符号，把抽象的校园精神落地为可感知、可铭记的标识．下列学校的校徽中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．在全城翘首以盼中，2026年“惠享桃都 悦动全城”消费嘉年华启动仪式，暨肥城吾悦广场开业典礼盛大举行！根据公开信息，泰安肥城吾悦广场开业首日（4月30日）客流突破31万人次．其中数据31万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
5．某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液与酚酞试纸进行滴定实验，则混合后溶液呈现红色的概率是
A． B． C． D．
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是
A．设该店有客房间、房客人，依题意得方程组
B．设该店有客房间，依题意得方程
C．设该店有房客人，依题意得方程
D．设该店有客房间、房客人，则
7．如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
8．已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是
A．
B．当时，
C．当水流速度越大时，水流的力也越大
D．当时，
9．为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是
A．当时， B．点到的最小值为9
C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上
10．如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是_____．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，以点为旋转中心将点逆时针旋转后，再沿轴正半轴方向平移2个单位，它的对应点的坐标是_____．
13．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____．
14．山西运城——泛舟禅师塔，它是中国唯一的圆形唐塔孤例，是盛唐与波斯文化交流的活化石．为了测量泛舟禅师塔的底座，小明想了这样的方法来测量；如图，做一个矩形框，边为软皮筋，将矩形框平放推至塔的底座下，使边紧贴塔底座的圆弧，顶点，抵住塔边，若矩形框的边，，则泛舟禅师塔底座直径大约为_____米．（结果精确到0.1米）
15．如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（8分）如图，在等腰三角形中，，以点为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，连接交于点，连接．
（1）判断的形状并证明；
（2）若，，求的长．
18．（8分）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿直立于地面，小腿部分是，上身，即于点，是演员小腿上踢后与大腿在同一平面的瞬间（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知演员身高，腿．
（1）若，．求证：；
（2）若演员上身垂直于大腿，大腿的长为，求点，间的距离（保留根号）；
（3）当演员头部距离地面的高度是时，求上身倾斜的角度．
19．（8分）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍．
（1）求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元；
（2）若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签．
20．（10分）在“书香校园”建设背景下，山东某市教体局想了解A学校九年级500名学生周日课外阅读时长情况，从九年级随机抽取部分学生的周日课外阅读时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析得到以下4组数据：
（1）阅读时长在的人数占调查人数的20%；
（2）将调查的九年级学生周日课外阅读时长的数据从小到大排列，其中一部分数据如下：…，67，67，68，72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80，82，82，85，…．
（3）九年级周日课外阅读时长统计表如下：
组别 频数
10
16
（4）九年级周日课外阅读时长频数分布直方图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生？
（2）填空：_____，_____，抽取的这部分学生周日课外阅读时长的中位数是_____，并补全频数分布直方图；
（3）实际调查中，九年级学生周日课外阅读时长通常不得超过90分钟，估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包括90分钟）的学生共有多少人．
21．（10分）如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
22．（11分）综合与实践
在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
（1）观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则，，三点_____同一直线上（填“在”或“不在”），，，之间的数量关系是_____；
（2）积极思考
若菱形的边长为6，和交于点，求线段的最大值；
（3）类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，与交于点．写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
23．（12分）已知二次函数的图象经过和两点．
（1）当该二次函数图象与轴交于点时，
①求，的值；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求的值；
③二次函数的图象上有两点，，若，说明．
（2）已知点，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．2026学年初中学业水平模拟检测（二）
九年级数学试题参考答案与评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 D A B B C B B C D C
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 12. 13.且 14.5.6 15.2
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
16.（8分）
解：（1）原式 2分
； 4分
（2）原式 5分
. 7分
当时，原式. 8分
17.（8分）
解：（1）是等腰三角形，且.
证明：由题意得，是的平分线， 1分
平分，，
. 2分
由作法可知，是的垂直平分线. 3分
是的中点，
在中，为斜边的中点，
（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），是等腰三角形. 4分
（2）∵在中，，
， 6分
，.
. 8分
18.（8分）
（1）证明：如图1，过点作，
，
.
，
. 1分
，，
.
. 2分
又，
. 3分
（2）解：连接，如图2，
由题意可知，， 4分
，
，
为直角三角形，
在中，． 5分
（3）解：如图3，作，过点作交延长线于点，
由题意得点距离地面的高度约为，
，
又，
， 6分
在中，，
. 7分
又，，共线，
，
∴上身倾斜的角度是. 8分
19.（8分）
解：（1）设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元.
根据题意，得， 2分
解得. 3分
经检验，是原方程的解且符合题意.
当时，.
答：，两种型号文创书签的单价分别是60元和40元. 4分
（2）设购买型号文创书签个，则购买型号文创书签个.
根据题意，得， 7分
解得.
答：最多能购买40个A型号的文创书签. 8分
20.（10分）
解：（1）（名）
答：本次调查了50名学生. 1分
（2）18；6；77（每空2分，补全频数分布直方图1分）
（3）（人）
答：估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包括90分钟）的学生共有440人. 10分
21.（10分）
（1）证明：如图1，连接，
中，，
. 1分
，，.
又为的半径，是的切线； 3分
（2）解：如图2，连接，
是的直径，
.
又，.
.
.
. 5分
，. 6分
，
. 7分
又，
， 8分
，而，
，. 10分
22.（11分）
（1）在； 2分
解析：将绕点顺时针旋转得到，
是等边三角形.
，.
又在菱形中，，
，，，
为等边三角形，，.
，
，.．
又，，
∴三点，，在同一直线上.
（2）解：设，则，
，，
，
.
又，
，
， 5分
，
.
，，
线段的最大值为. 7分
（3）解：；
四边形为正方形，，.
将绕点顺时针旋转，得到，
是等腰直角三角形，，，
，，， 9分
，， 10分
． 11分
23.（12分）
解：（1）①∵二次函数的图象经过和两点且与轴交于点，
1分
解得 2分
，
当时，.
和的值分别是2和27. 3分
②，
当时，，
若，则二次函数的最大值与最小值的差为，这与二次函数的最大值与最小值的差为2矛盾，若，则最大值与最小值的差大于4，与差为2矛盾.
. 4分
当时，图象在抛物线对称轴的左侧，随的增大而减小， 5分
，
解得，，
又，. 6分
③二次函数的图象上有两点，，
，，
. 8分
又，，且，
. 9分
（2）或. 12分

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