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数学参考答案（模四）
一、选择题（共30分）
1-5 CBABB 6-10 DADBC
二、填空题（共15分）
11． 12． 13． 14． 15．4
三、解答题
16．（1）解：原式= 4分
． 5分
（2）解：方程得 6分
解得：， 7分
将代入①中，得， 8分
解得， 9分
∴方程组的解为． 10分
17．（1）解：， 1分
理由如下：
，
， 2分
，，
， 3分
在和中，，
； 4分
（2）解：， 5分
理由如下：
由（1）可知，，
， 6分
． 7分
18．解：（1）7.5 7 <． 3分
（2）我认为小丽应选择甲公司．理由如下： 4分
从服务质量得分看，两家公司的平均数相同，但是甲公司的方差小于乙公司的方差，所以甲公司的服务质量比较稳定．（答案不唯一，合理即可） 5分
19．（1）解：∵反比例函数经过点，， 1分
∴反比例函数解析式为， 2分
∵点在上，则，
， 3分
把、代入，
得， 4分
解得 5分
∴一次函数的解析式为；
（2）解：把代入，得， 6分
，
， 7分
． 8分
20．解：如下图所示，延长，交的延长线于点，
四边形为矩形，
，， 2分
在中，，，，
，
，
即，
解得：， 4分
，
， 5分
在中，，，，
，即，
解得：， 7分
， 8分
答：桂花树的高约为． 9分
21．（1）证明：在与中，是的中位线，
，
1分
，，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形， 3分
，，
，
且； 4分
（2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 5分
∵四边形是正方形，
，
，
， 6分
E为的中点，
， 7分
在和中，
，
，……8分
，，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
， 9分
，且为的中点，
，
； 10分
（3）． 12分
22．（1）为抛物线的顶点，
∴可设抛物线的函数解析式为． 1分
将代入，
得，， 3分
抛物线的函数解析式为． 4分
（2）当时，最小，最小值为1.75万元． 5分
对于，当时，， 6分
此时． 7分
答：成本最低时，所获利润为0.75万元．
（3）设利润为万元． 8分
则． 10分
，
时，取最大值，最大值是7． 11分
答：当销售量为3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 12分
23．（1）解：； 1分
． 3分
（2）如图，连接， 4分
线段绕点A逆时针旋转得到线段，
，，是等边三角形， 5分
点为线段的中点，
，， 6分
点为线段的中点，，
，，， 7分
，，
，
，
在和中，，，
， 8分
，，
，，
，
∵点F为线段的中点，
，
， 9分
设与交于点，
，，
，
． 10分
（3）的最小值为． 12分数学（四）
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2026年1月1日某市最高温度为，最低温度为，则这天的温差是
A． B． C． D．
2．阅读正在逐渐成为更多人的生活方式，小轩自上小学以来每年暑期出游必打卡各地图书馆，下面是他收集的图书馆标识，其中文字上方的图案是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学计数法表示为
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．如图，添加下列条件仍不能使的是
A． B．
C． D．
6．下列方程中没有实数根的是
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形中，点、在边、上，，，连接交于点，若，则的长为
A． B． C． D．
8．某校准备从甲、乙、丙、丁4名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的5次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 96 98
方差 0.4 0.5 0.6 0.2
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，为的直径，弦交于点，连接、、，若，点是的中点，，则的面积为
A． B．1 C． D．2
10．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是
A． B． C． D．
第Ⅰ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ▲ ．
12．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是 ▲ ．
13．从“熔化”“燃烧”“凝固”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是 ▲ ．
14．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ▲ ．
15．如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，若，则的长是 ▲ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题10分）计算：
（1）．
（2）解方程组：．
17．（本题7分）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，．
（1）与全等吗？为什么？
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由．
18．（本题5分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ▲ ， ▲ ， ▲ （填“>”“=”或“<”）．
（2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
19．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
20．（本题9分）暑期研学时小月在浙江某校园游览，如图，其教学楼广场前面有两棵树，从教学楼顶部点观察，香樟树树顶、桂花树树顶恰好在一条直线上，且俯角为，同时测得香樟树的底部的俯角为，桂花树、香樟树、教学楼处在同一平面上，同时已知教学楼的高为，并测得间的距离为，试求桂花树的高．（精确到，参考数据：，，，，，）
21．（本题12分）课本再现
想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理证明
（1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接．求证：且．
知识运用
（2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
（3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，直接写出线段的长．
22．（本题12分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在吨至吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
（1）求出成本关于销售量的函数解析式．
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额一成本）
23．（本题12分）在等腰中，，，点为线段的中点．点为直线上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当点与点重合时， ▲ ，线段与线段的数量关系为 ▲ ；
（2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，（1）中的线段与线段的数量关系是否仍然成立，若成立请证明，并求出的大小；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线，交直线，于点，请直接写出线段长度的最小值．

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