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2026年春期初中毕业年级总复习阶段第二次模拟考试
数学试卷参考解答及评分标准
一、选择题：（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C D C A C B D
二、填空题：（每小题4分，共20分）
11．【答案】4．
12．【答案】.
13．【答案】22．
14．【答案】．
15．【答案】①④⑤．
三、解答题：（本大题共7小题，共90分）
16．（14分）
【解答】解：（1）原式 （4分）
； （7分）
（2），
，
， （10分）
，
， （13分）
解得，． （14分）
17．（11分）
【解答】解：（1）将班学生的成绩按照从小到大排列为：78，83，85，86，87，89，89，90，93，93，94，94，95，95，95，97，98，99，100，100，处在中间位置的两个数为93，94，故中位数；
班学生的成绩中87出现的次数最多，故；
故答案为：93.5，87； （4分）
（2），
将班成绩按照从大到小排列为：100，100，99，98，97，95，95，95，94，94，93，93，90，89，89，87，86，85，83，78，其中94分位于第9名和第10名，
故班的小宁同学本次测试成绩为94分，她有机会参与航天知识竞赛； （7分）
（3）根据题意，列表可得：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （丁，丁）
（10分）
由表格可得，其中甲、乙两个视频恰好同时被播放的情况有2种，
故甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率为． （11分）
18．（11分）
【解答】解：（1）由，解得或，
由图形可知，
； （5分）
（2）设点的坐标为，则，，
，，
， （9分）
当有最大值时，有最小值，
，
当时，有最大值为4，
有最小值为． （11分）
19．（12分）
【解答】（1）证明：在中，
是中点，为中点
为的中位线
又
，
，
四边形为平行四边形， （3分）
在中，，点为的中点，
，，
平行四边形为矩形． （5分）
（2）解：如图，过点作于，
，，
，，
，
．
， （7分）
设，则，，则，
，
，
，
，，
，
， （10分）
，
． （12分）
20．（13分）
【解答】解：（1）设每台型无人机的单次最高载货量是，则每台型无人机的单次
最高载货量是，
由题意得：，
解得：， （3分）
经检验，是原方程的解，且符合题意，
， （4分）
答：每台型无人机的单次最高载货量是，每台型无人机的单次最高载货量是； （5分）
（2）①由题意得：，
整理得：，
，，为正整数
或； （9分）
②由①可知，有2种运送方案：，
方案1的运费为：（元）；方案2的运费为：（元）；，
为了节省成本，该公司应使用种型号的无人机4台，种型号的无人机4台． （13分）
21．（14分）
【解答】解：（1）点，是抛物线上的点，
，解得：，
抛物线的解析式为， （3分）
，
抛物线顶点的坐标为； （5分）
（2）抛物线顶点的坐标为，
当时，随的增大而减小，
当时，在处，取得最大值， （7分）
在处，取得最小值，
当时，二次函数的最大值与最小值的差为； （9分）
（3）设直线的解析式为，
点，，，解得：，
直线的解析式为， （10分）
设点（且），则点，
当点在点的下方，即时，；
时，线段的长随的增大而增大； （12分）
当点在点的上方时，，
当时，线段的长随的增大而增大，
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． （14分）
22．（15分）
【解答】（1）解：连接，如图，
是的直径，，
，
为的中点，
，
，
，
，
的长度； （3分）
（2）证明：，
，
，
，
．（7分）
是的直径，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线； （9分）
（3）解：，，间的数量关系为：． （10分）
证明：延长至点，使，连接，，，，，如图，
由（1）知：，，
为等边三角形，
同理：为等边三角形，
，，
．
为圆内接四边形的外角，
．
在和中，
， （12分）
，
，
过点作于点，
则．
，
，
，
．
，
． （15分）2026年春期初中毕业年级总复习阶段第二次模拟考试
数学试卷
考生注意：
1．考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置，注意填涂规范．
2．非选择题用黑色墨水笔或中性签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．
3．全卷共22个小题，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，比-1小的数是（ ）
A．-2 B． C．0 D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，“”全球月活跃用户数量突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、设计精巧，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成．图1为折叠电动车实物图，图2为设计示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的进步和发展，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧时的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何体组合．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元，则买油毡纸要花费的费用至少为（ ）
A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元
7．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知平行四边形中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
10．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
11．如果，，那么_________．
12．若某圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为_________．
13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为18的纸条，则_________．
14．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．即“如图，已知，，是上一点，，，，在处测得点的俯角为，那么__________．”
15．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是________．（填写番号）
三、解答题：（本大题共7小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（14分）计算及解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（11分）2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对、两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：
【收集数据】
班学生的成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89．
班学生的成绩：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
A 92 95 34.2
B 89 88.5 24.4
根据以上信息，解决下列问题．
（1）填空：__________，_________；
（2）已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；
（3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率．
18．（11分）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）求的最小值．
19．（12分）如图，在中，，，分别为，的中点，连接并延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）过点作交于点，若，，求的长．
20．（13分）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货．
（1）每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的、的值；
②若型无人机运费为40元/次，型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
21．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点．点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差；
（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围．
22．（15分）如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
（3）猜想，，间的数量关系，并证明你的猜想．

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