资源简介

数学
本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.参考答案 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.计算－1＋4的结果是（ ）
A.－3 B.3 C.－5 D.5
2.以下是历届冬奥会会徽中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.根据国家统计局数据，我国已成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据500万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架AB，CD，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则∠2的度数为（ ）
A.60° B.50° C.45° D.40°
6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，AB为⊙O的直径，弦DC⊥AB，若，⊙O的半径为4，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8.小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.加热前煤油比水的温度高
B.加热过程中，煤油比水的温度上升的慢
C.随着加热时间增加，煤油和水的温度不断升高
D.煤油比水早10min达到98℃
9.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且，DF∥BC，EF∥AB，连接DE，随机在△ABC内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC为菱形，且面积为60，反比例函数的图象过顶点A和对角线的交点D，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取6名学生的测试成绩（分）：95，92，88，92，86，87，则这6名学生测试成绩的众数为______分．
12.不等式组的解集是______．
13.已知一元二次方程的两个实数根为，，则______．
14.斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，且BD⊥BC，点M为AB的中点，连接DM交AC于点P．若，则BD的长为______．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.如图，有三张写着不同分式的卡片，将其组合成或的形式，进行化简，再求当时，所选择组合形式的值．
17.中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂1名熟练工和2名新工人每天可生产40盒中药制剂，2名熟练工和3名新工人每天可生产70盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂．
18.如图，在△ABC中，．
（1）实践与操作：利用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，E，F分别是边AB，AC上的点，连接DE，DF，若DE⊥AB，，试猜想线段EB与CF的数量关系，并加以证明．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.如图，直线l与⊙O相切于点B，A为⊙O上一点，连接OA，OB，AB，过点O作OA的垂线分别交AB，直线l于点C，D．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个，求OD的长．
①⊙O的半径为4，；
②，．
20.某地举办知识产权普法宣传书法邀请展，展览以A.篆书，B.隶书，C.行书，D.草书，E.楷书五种书体演绎知识产权法律条文，旨在推动法治与文化传播．某校活动小组在进行普法宣传的同时，对五种书体（以下用字母替代）也进行了解读，并开展了全校学生对书法的喜好调研活动．从全校喜好书法的学生中按各个年级人数比例分别随机抽取合适人数的学生，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为______人，并补全条形统计图；
（2）已知该校共有600名喜好书法的学生，为使得这些学生能够学习自己所喜好的书体，该校计划设立5个学习不同书体的书法教室，每个教室最多可容纳50人，试问这样的设立计划能否满足喜好“楷书”的学生同时在同一个教室进行书法学习？请说明理由；
（3）请对该校学生喜好书法的情况作出评价，并提出一条合理化的建议．
21.综合与实践
【活动背景】某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量一桥面上桥塔的高度（如图1）．
【测量工具】
无人机，测角仪．
【方案设计】
如图2，AB为桥塔，小组计划使用无人机飞至点C处，测得桥塔顶端A的俯角∠DCA的度数，和底部B的俯角∠DCB的度数，再沿水平方向向右飞行一段距离到达点D处，测得桥塔顶端A的俯角∠D的度数．
【规范建议】
组长：无人机移动前后要确保高度相同．
教师：保证无人机和桥塔在同一竖直平面内．
【数据收集】
测得，，，点C，D之间的距离米．
【问题解决】
（1）请根据以上数据求桥塔AB的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）；
【方案反思】
（2）测量后，小组成员对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到水平地面EF的距离，可减少需要采集的数据，请直接写出原数据收集方案（37°，59°，56米，45°）中至多可以删减的数据，并说明理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）求点A的坐标；
（2）两抛物线交于点，点为新抛物线上一动点，若时，始终满足，求t的取值范围；
（3）已知新抛物线上有一动点（不与点A，B重合），当时，的最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值．
23.如图，在矩形ABCD中，，点M，N分别是AD，BC边上的动点（点M不与A，D重合，点N不与B，C重合），连接MN，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在E处，点D落在F处．
【特例感知】
（1）如图1，连接CM，当点E在AD上时，试判断四边形CMEN的形状，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，若四边形CMEN的面积是△CDM面积的6倍，在MC上截取，连接DF，DT，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，当点E在矩形内部时，EF与AD边交于点O，连接AE，BE，当，，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形时，求的值．
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
快速对答案：1～5 BACDB 6～10 BCDBA
1.B
2.A
3.C
4.D 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 判断正误
A ×
B ×
C ×
D √
5.B 【解析】∵CD⊥AB，∴．∵，∴．
∵，∴．
6.B 【解析】由题图可知，∴，故A选项错误，B选项正确；由题图可知实数a在数轴上的对应点与0的距离大于实数b在数轴上的对应点与0的距离，∴，故C选项错误；
又∵，，∴，故D选项错误．
7.C 【解析】如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，DC⊥AB，∴．
∵，⊙O的半径为4，∴的长为，∴的长为．
8.D 【解析】由题图可知，加热前，煤油和水的温度是一样的，故A选项错误；由题图可知，加热同样的时间，煤油的温度比水的温度高，∴加热过程中，煤油比水的温度上升的快，故B选项错误；在一定加热时间范围内随着加热时间增加，煤油的温度不断升高，水的温度升高到98℃之后不变，故C选项错误；煤油在加热10min时达到98℃，水在加热20min时达到98℃，∴煤油比水早10min达到98℃，故D选项正确．
9.B 【解析】∵DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BDFE是平行四边形．∵，∴，，∴，，∴P（针扎到阴影区域内）．
10.A 【解析】设点A的坐标为，如图，过点A作AE⊥x轴于点E，则，∵四边形OABC是菱形，∴，∴点D的纵坐标为，∴点D的坐标为，∴点C的横坐标为3a，则．∵菱形OABC的面积为60，∴，∴，即，
∴，∴反比例函数的表达式为．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.92
12. 【解析】令由①得，，由②得，，∴不等式组的解集为．
13.－10 【解析】解法一：，，解得，，∴．
解法二：由根与系数的关系可得，．
14.2 【解析】∵，∴，∴，∴，∴最接近的整数为2．
15. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，，，，
∴△APM∽△CPD，∴．∵点M为AB的中点，∴，∴，设，则，，∴，解得，∴．
∵BD⊥BC，，∴，
∴．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.解：当选择的形式时，
分式为，
原式
，
当时，原式．
或当选择的形式时，
分式为，
原式
，
当时，原式．
（任选一种组合形式即可）
17.解：设每名熟练工每天可生产x盒中药制剂，每名新工人每天可生产y盒中药制剂，
由题意得解得
答：每名熟练工每天可生产20盒中药制剂，每名新工人每天可生产10盒中药制剂．
18.解：（1）如图，射线AD即为所求；
（2），
证明如下：如图，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，，
∴，
在Rt△BED和Rt△FCD中，
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL），
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴，即．
∵OD⊥OA，∴，
∴．
∵，∴，
∴．
∵，
∴，∴；
（2）解：选择条件①：
在Rt△AOC中，
∵，，
∴，∴，
由（1）知，
设，则，，
在Rt△OBD中，，
即，解得，
∴．
或选择条件②：
如图，过点D作DE⊥CB于点E，
∴，
∵，，
∴△OCA∽△ECD，∴，∴．
由（1）知，∴．∵，，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，∴．
（任选一个即可）
20.解：（1）200，补全条形统计图如图；
（2）能，
理由如下：∵（人），且，
∴这样的设立计划能满足喜好“楷书”的学生同时在同一个教室进行书法学习；
（3）由统计图可知，该校学生中，喜好“行书”“草书”的人数较多，喜好“篆书”“楷书”的人数较少．
建议：喜好“行书”“草书”的人数较多，可以增加设立这两个书体的学习教室，以满足学生的学习需求．（答案不唯一，言之有理即可）
21.解：（1）如图，延长BA交CD于点G，易得AG⊥CD，∵在Rt△ACG中，，
∴，
设，则，
∵在Rt△AGD中，，
∴，∴，
∴，解得，
∴，，
∵在Rt△BCG中，，
∴，∴，
∴（米）．
答：桥塔AB的高度约为29米；
（2）56米和45°，
理由如下：如图，延长BA交CD于点G，
∵点G到水平地面EF的距离已知，
∴BG已知，则，
∵△BCG与△ACG共CG边，
∴在这两个三角形中利用锐角三角函数求解即可，
∴至多可以删减的数据为CD的长及在D处测得顶端A的俯角．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22.解：（1）由题意可知，新抛物线表达式为，
令，可得，解得，，
又∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（1，0）；
（2）解题思路 令，可得，解得，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点是，
结合对称轴，分点Q在直线右侧和点Q在直线左侧进行讨论
当点Q在直线右侧时，则；当点Q在直线左侧时，则，解得，
综上所述，t的取值范围为或；
（3）∵，∴．
∵，∴，
∴，∴．
∴点C不与点B重合，∴．
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴当时，二次函数取最小值，当时，二次函数取最大值，即，．
∵，∴，
∴．
∵，∴，
∵为整数，∴，∴，此时，
将，代入，解得．
23.解：（1）四边形CMEN为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∴．
由折叠的性质知，，
∴，
∴，∴．
∵EM∥CN，∴四边形CMEN为平行四边形．
∵，∴四边形CMEN为菱形；
（2）如图1，过点M作MH⊥BC于点H，则．
由（1）知四边形CMEN为菱形，∴，
∵四边形CMEN的面积是△CDM面积的6倍，
∴，∴，
设，则，∴，
∴．
∵，∴，∴．
由折叠的性质易得△MEF≌△MCD，
∴，，
∴．
∵，
∴，即C，M，F三点共线，
∴，
∴，∴．
∵，∴△CDF∽△CTD，
∴；
（3）如图2，过点E作EG⊥BC于点G，延长GE交AD于点H，延长NE交AD于点P，易得，
∵△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，，
∴△PHE≌△NGE（ASA），∴．
∵，∴．
由折叠的性质知，设，则，
∵在Rt△EGN中，，
∴，解得，∴．
由折叠的性质知，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴，∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠的性质知，，，
∵，，
∴△OMF∽△OPE，
∴，∴的值为．

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