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初二年级数学阶段练习 A．左盘内物体重 B．右盘内物体重
C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的 1.5倍
总分值：120 分 答题时间：120 分钟
5．（3分）如图，用 10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3分）
方形墙砖的长和宽分别为 xcm和 ycm，则依题意可列方程组为（ ）
1．（3分）下列语言叙述是命题的是（ ）
A．《飞驰人生 3》是 2026年春节档电影票房冠军
+ 2 = 25， + 2 = 25，
B．你喜欢陇南吗？ A． B． = 3 ； = 3 ；
C．赶紧写作业！
D．画一条端点为 A的射线
C 2 + = 25 2 + = 25，． D．
2．（3 = 3 分）下列表达式中是不等式的有（ ）个． = 3 .
+ 3 = 4
①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3． 6．（3分）已知关于 x，y的二元一次方程组 = 3 ，给出下列结论：①当这个方程组
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 的解 x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当 a＝2时，方程组的解也是方程 x+y＝3a﹣2的解．其
3．（3分）如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面， 中正确的是（ ）
施工人员的操作方法是：从路灯 DE上一点 A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB和 AC，当 A．① B．② C．①② D．都不正确
点 B，E，C在同一直线上，且固定点 B，C到灯脚 E的距离相等时，路灯 DE就垂直于 BC．这 7．（3分）将一副三角板 ABC和 DEF按照如图所示的方式放置，DE与 BC交于点 G．已知∠B
种操作方法的依据是（ ） ＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°．若 EF⊥AC，则∠DGC的度数为（ ）
A．垂线段最短 A．65° B．70° C．75° D．80°
B．等边对等角
C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4．（3分）有三种不同重量的物体“ ”“ ”“ ”，若图 1中左、右手中盘内物体的重
量相同，则图 2中左、右盘内物体的重量（ ）
第 6题 第 7题
8．（3分）将一条长方形纸带先沿 EF折叠，再沿 BF折叠，如图，若∠AED′＝130°，则∠EFC″
的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
第 1页 共 8页 ◎ 第 2页 共 8页
9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，动点 D从点 B出发，沿 BA方向运动到终点 A，以 CD 14．（3 分）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向
为边向上作等边△CDE，连结 AE．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（ ） 外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为 S1＝4，S2＝6，S3＝36，则另一个正方形的面
A．一直减小 B．一直不变 积 S4为 ．
C．先减小后增大 D．先增大后减小 五 三 二七 2 2
15．（3分）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“ ┬ ⊥ ”来表示相当于 +
二 二 天地 5 3 27
天 人
二 三 二 七 33
的代数式．若“ ┬ ”的值为 2，“ ⊥ ”的值为 ，则“天”与“地”的和为 ．
天 地 地 天 14
三．解答题（共 9 小题，满分 75 分）
4 7 1 2
16．（8分）（1）解不等式： + ≤ 1 2 = 1①． （ ）解方程组： 6 3 ．
2 3 2 + = 13②
第 9题 第 10题
17．（8分）阅读题目，完成下面推理过程：
10．（3分）如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点 G、C、D共线，点 B、E、A、
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．
F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；
如图②是由图①抽象的几何图形，其中 AB∥CD，MG∥FN，点 E，M，F在同一直线上，点
④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（ ）
G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
求证：∠EFN＝∠G．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
证明：如图，延长 EF交 CD于点 P．
11．（3分）已知 x＞y，要使不等式（k﹣3）x＜（k﹣3）y成立，写出一个符合条件的 k的整数
∵AB∥CD（已知），
值： ．
∴∠AEF＝∠EPD（ ①）．
12．已知，在△ABC中， = 3 5，AC＝5，BC边上的高 AD＝3，则边 BC的长为 ．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
13．（3分）如图：已知点 B，F，C，E在同一直线上，并且 BF＝CE，∠B＝∠E，请你只添加
∴∠EPD＝ ②（ ③）．
一 个 条 件 （ 不 再 添 加 辅 助 线 ） ， 使 得 △ ABC ≌ △ DEF ， 你 添 加 的 条 件
∴EP∥GH（ ④）．
是 ．
∴∠EFN+ ⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵ ⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （ ⑦）．
∴∠EFN＝∠G（ ⑧）．
第 13题 第 14题
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+ 5 = 15
18 6 = 3
3( + 5) 2( + 3) = 1
．（ 分）在解方程组 4 = 2时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，解得 = 1． 21．（10分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组 3( + 5) + 2( + 3) = 7 时，采用了
b = 5乙看错了方程组中的 ，解得 ． 一种“整体换元”的解法．把 m+5，n+3看成一个整体，设 m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为 = 4
3 2 = 1 = 1 + 5 = 1 = 4
（1）求正确的 a，b的值； 3 + 2 = 7 ，解得 = 2，即 + 3 = 2 ，解得 = 1 ．根据材料，回答下列问题
（2）求出原方程组的正确解． 1 1 = 1 x y 1 = 3（ ）已知关于 ， 的方程组 = 的解为 = 4，请求出关于 m、n 的方程组2 2 2
1( + 2) 1 = 1
2( + 2) =
的解；
2 2
+ + = 4
（2）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组 3 5 +
．
3 5 = 219．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点 A为圆心，以 AD长为半
径画弧，与 AB、AC分别交于点 E、F，连接 DE、DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BDE＝20°，求∠BAC的度数．
22．（14分）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服
务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如
表：
类别 素材内容
20．（8分）如图，直线 l1：y＝2x+1与直线 l2：y＝mx+4相交于点 P（1，b），与 x轴分别交于 素材 1 配送时间计算模型：
A，B两点． （效率对比） 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为 20km/h，
（1）求 b，m的值； 且取货加送货上楼固定消耗 10分钟．
2 = 1
2 x y 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为 60km/h，（ ）结合图象可知关于 、 的方程组 = 4的解是 ；
起飞与降落（含装卸）固定消耗 5分钟．
（3）求直线 l1：y＝2x+1与直线 l2：y＝mx+4与 x轴组成的图形面积．
（注：配送总时长＝行驶时长+固定消耗时长）
素材 2 某咖啡店的配送账单：
（运营成本） 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了 50单外卖，采用“传统骑手”和
“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每
单运费 6元，无人机每单运费 10元，该店当天的总运费支出为 380元．
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素材 3 新机型采购计划： 23．（13分）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动．
（运力升级） 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，
购入“旋翼 A型”和“旋翼 B型”两种新型无人机共建新机队．
旋翼 A型：单价 0.4万元，最大载重 15千克；
旋翼 B型：单价 0.6万元，最大载重 25千克．
公司计划正好投入 5万元预算用于采购这两种无人机，
且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务 1 现有一份紧急文件需要从 A地送往 B地，两地直线距离为 12公里．若
（1）观察发现
仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省
如图①，AB∥CD，点 E在直线 AB、CD之间，连接 EB、ED．若∠B＝28°，∠D＝50°，
分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
则∠BED的大小为 度．
任务 2 根据素材 2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无 （2）探究迁移
人机”配送了多少单？ （Ⅰ）如图②，AB∥CD，BE，CE交于点 E，探究∠BEC，∠B，∠C之间的数量关系，并说
任务 3 根据素材 3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： 明理由．
①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； （Ⅱ）如图③，AB∥CD，若点 E在直线 AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当
②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？ ∠PEQ＝98°时，直接写出∠PFQ的度数是 ．
最大总载重是多少？ （3）拓展应用
如图④，AB∥CD，若 E在直线 AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延
长线交 QF于点 F，当∠PEQ＝α时，直接写出∠PFQ的度数＝ ．（用
含α的式子表示）
第 7页 共 8页 ◎ 第 8页 共 8页初二年级数学阶段练习
总分值：120分 答题时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列语言叙述是命题的是（　　）
A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军
B．你喜欢陇南吗？
C．赶紧写作业！
D．画一条端点为A的射线
2．（3分）下列表达式中是不等式的有（　　）个．
①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当点B，E，C在同一直线上，且固定点B，C到灯脚E的距离相等时，路灯DE就垂直于BC．这种操作方法的依据是（　　）
A．垂线段最短
B．等边对等角
C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4．（3分）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（　　）
A．左盘内物体重 B．右盘内物体重
C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的1.5倍
5．（3分）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（　　）
A．B．
C．D．
6．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝2时，方程组的解也是方程x+y＝3a﹣2的解．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．都不正确
7．（3分）将一副三角板ABC和DEF按照如图所示的方式放置，DE与BC交于点G．已知∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°．若EF⊥AC，则∠DGC的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
第6题 第7题
8．（3分）将一条长方形纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，如图，若∠AED′＝130°，则∠EFC″的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，动点D从点B出发，沿BA方向运动到终点A，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　）
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
第9题 第10题
10．（3分）如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知x＞y，要使不等式（k﹣3）x＜（k﹣3）y成立，写出一个符合条件的k的整数值：　 　 ．
12．已知，在△ABC中，，AC＝5，BC边上的高AD＝3，则边BC的长为　 　 ．
13．（3分）如图：已知点B，F，C，E在同一直线上，并且BF＝CE，∠B＝∠E，请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得△ABC ≌△DEF，你添加的条件是　 　 ．
第13题 第14题
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为S1＝4，S2＝6，S3＝36，则另一个正方形的面积S4为　 　 ．
15．（3分）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“ ┬ ⊥ ”来表示相当于的代数式．若“ ┬ ”的值为2，“ ⊥ ”的值为，则“天”与“地”的和为　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式：． （2）解方程组：．
17．（8分）阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．
如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．
求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ①）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝　 　 ②（　 　 ③）．
∴EP∥GH（　 　 ④）．
∴∠EFN+　 　 ⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵　 　 ⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （　 　 ⑦）．
∴∠EFN＝∠G（　 　 ⑧）．
18．（6分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得．
乙看错了方程组中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求出原方程组的正确解．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BDE＝20°，求∠BAC的度数．
20．（8分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），与x轴分别交于A，B两点．
（1）求b，m的值；
（2）结合图象可知关于x、y的方程组的解是 　 　 ；
（3）求直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4与x轴组成的图形面积．
21．（10分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得．根据材料，回答下列问题
（1）已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解；
（2）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
22．（14分）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为20km/h， 且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为60km/h， 起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长＝行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型， 购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机， 且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省　 　 分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
23．（13分）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动．
（1）观察发现
如图①，AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接EB、ED．若∠B＝28°，∠D＝50°，则∠BED的大小为　 　 度．
（2）探究迁移
（Ⅰ）如图②，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠BEC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．
（Ⅱ）如图③，AB∥CD，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝98°时，直接写出∠PFQ的度数是　 　 ．
（3）拓展应用
如图④，AB∥CD，若E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝α时，直接写出∠PFQ的度数＝　 　 ．（用含α的式子表示）

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