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数学
同学，你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．若，则的值为
A． B． C． D．
2．下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为
A． B． C． D．
4．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
5．在单词“apple”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是
A． B． C． D．
6．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则获胜的冰壶所在位置位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将300 mL的水倒进一个容量为570 mL的杯子中；②将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在
A．36 mL以上，45 mL以下 B．54 mL以上，63 mL以下
C．50 mL以上，60 mL以下 D．45 mL以上，54 mL以下
9．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为
A．28 B．48 C．50 D．120
10．“二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是
A．芒种 B．白露 C．立冬 D．惊蛰
11．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为
A． B．2 C．2.5 D．
12．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：
①与的函数解析式是；②当时，；
③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．计算的结果是________．
14．学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了100条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞50条鱼，发现有2条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为________条．
15．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为，“”的个数为，写出与之间的函数关系式为________．
16．已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________．
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（本题满分12分）
（1）计算：；
（2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程：
①；②；③．
18．（本题满分10分）为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）：
（1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85
（2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90
表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图；
（2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理；
（3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生．
若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率．
19．（本题满分10分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，延长交的延长线于点．
（1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）；
（2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式．
20．（本题满分10分）如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，．
（1）若，试求四边形的周长；
（2）若与的夹角，求四边形的面积．
21．（本题满分10分）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在100 m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．
（1）求两车的速度；
（2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10 m，那么“天眼号”从原起点向后退10 m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由．
22．（本题满分10分）如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）水流和水池底面的夹角的度数是_________；
（2）求落水点距水池边缘的距离的长度．
23．（本题满分12分）如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求图中阴影部分的面积．
24．（本题满分12分）截至2025年，贵州省已建和在建的桥梁总数超3万座，世界前100座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图1所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为8 m，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求拱圈抛物线的函数关系式；
（2）一艘露出水面10.5m高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
（3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5 m处设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5 m，求的值．
25．（本题满分12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是________；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度．
绝密★启用前
数学
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1—6：ACCBAD 7—12：BDBADC
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）
13． 14．2500 15．
16．120
提示：∵是等边三角形，，
∴，．
又∵，∴．
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的，且，
连接OA、OB、OC、OF．
∵，，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵在中，，
由勾股定理，得，
即，解得或（舍），
此时，．
∵点F在上运动，总有，即，
∴当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为．
三、解答题（本大题9小题，共98分。解答应写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（本题满分12分）解：（1）原式．
（2）选①，
移项，得，解得，．
选②，分解因式，得，
∴或．
∴，．
选③，这里，，．
∴．
∴，．
18．（本题满分10分）解：（1）作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图如答图1所示．
（2）（1）班前5名总成绩为（分），
（2）班前5名总成绩为（分）．
∵，
∴应从（2）班选拔更为合理．
（3）画树状图如答图2所示．
∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种．
∴恰好抽到一男一女的概率为．（列表法略）
19．（本题满分10分）解：（1）＞．
（2）∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，，
∴四边形OCED是矩形．∴，．
∵，，∴、、．
∴，．
∵四边形OCED的面积为20，
∴，解得．
∴．又∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
20．（本题满分10分）解：（1）∵在平行四边形ABCD中，，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∵，．
在中，，
∴．∴．
（2）过点A作，垂足为点E，如答图所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
在中，，
∴．
∴．
21．（本题满分10分）解：（1）设“天眼号”的速度是xm/s，则“花江号”的速度是．
根据行驶时间相等，得，解得．
经检验，是原分式方程的解．∴．
答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是．
（2）我不赞同甲队同学的看法．理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变．
∴“天眼号”所用时间：，“花江号”所用时间：．
∵．
∴两车不能同时到达终点．
22．（本题满分10分）解：（1）．
（2）过点A作于点F，交MN于点G，如答图所示．
则四边形MGFE为矩形．
∴，．
在中，，，
∴，．
∴，．
在中，，∴．
在中，，∴．
∴．
∴．
∴．
答：落水点距水池边缘的距离CH的长度约为．
23．（本题满分12分）（1）证明：∵点D为的中点，
∴．∴．
∴BD是的角平分线．
又∵，，∴．
解：（2）DE与相切．
理由：如答图所示，连接OD．
由（1）知．，∴．
∴．∴．
∵，∴．
又∵OD是的半径，∴DE与相切．
（3）由（1）知．∵，∴．
∵，∴．
∴，．
∴图中阴影部分的面积为．
24．（本题满分12分）解：（1）根据题意，得抛物线顶点坐标为．
设抛物线的关系式为．
将代入关系式，得，
∴．
∴拱圈抛物线的函数关系式为或．
（2）一艘露出水面高的航船不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥，理由如下：
分别过点C、D作、，垂足分别为点E、点F，如答图所示．
根据对称性可知，，
∴．∵，则．
∴，
∴这艘船航不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥．
（3）∵，
∴从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上．
①当时，，
解得．
即从左起第3根与第4根吊杆高度差为．
②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，
∴第4根与第5根的高度差也为0.5米．∴．
综上所述，t的值为3或4．
25．（本题满分12分）解：（1），
提示：连接，如答图1所示．
∵，∴菱形ABCD是正方形．
又∵，
∴点为正方形ABCD对角线的交点．
∴，，．
∵菱形与菱形ABCD形状、大小完全相同，
∴．
∴，即．
∴．
∴．∴．
（2）如答图2所示，过点作，交BC于点G．
∵四边形ABCD和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，，
∴，
．
∴和均为等边三角形．
∴，．∵，
∴．∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．∴．
∴．∵，∴．
（3）连接，连接BD交AC于点O，如答图3所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，即．∴．
∴．∴．
当点在线段AO上时，如答图3所示，则．
∴．
由（2）可知．∴．
∴，∴．
当点在线段OC上时，连接，如答图4所示，
则．
∴．∴．
∴．
综上所述，CE的长度为或．

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