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广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（　　）
A．8 B． C． D．
4．已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（　　）
A．15 B．20 C．17.5 D．30
5．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（　　）
A． B． C． D．
7．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（　　）
A．28 B．35 C．63 D．48
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
10．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．若，其中，则
D．在区间上的值域为
11．已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则事件A，B相互独立
B．若事件A，B互斥，则
C．若事件A，B相互独立，则
D．若事件B发生时事件A一定发生，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知单位向量满足，则　 　，在方向上的投影向量等于　 　（用向量表示）．
13．已知，其中，若，则　 　．
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级．某地区在多家果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内的产量（单位：吨）做调查统计并将所有数据分成，，，四组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计样本重量的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
16．已知，，其中，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
17．为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛．
（1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率；
（2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率；
（3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求b；
（3）已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
19．某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．
（1）求的面积S的最大值；
（2）已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的加减运算化简，再根据复数模长公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数的商数关系可得的值，再根据正弦的二倍角公式，结合同角三角函数的弦化切求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，得，
则．
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直的坐标表示列式求得参数x的值，再根据由向量数量积的运算、模长的坐标运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题可知分层抽样比为：，
则五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30，
因为，所以该组数据的第40百分位数为.
故答案为：C.
【分析】先计算分层抽样比为，各学校抽取的人数，从小到大排序，再根据第40百分位数的定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图所示：
因为D为的边的中点，所以，
又因为，所以，
则．
故答案为：B.
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，经过两次变换后，新函数的解析式为，
因为新函数图象关于y轴对称，所以，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】逆用两角差的正弦公式化简函数可得，再根据三角函数图象的伸缩、平移变换求得新函数的解析式，由题意可得求的值即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：第4次仍然由甲投掷分为四类：
第一类，前三次均为甲中，概率为；
第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；
第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；
第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．
则第4次仍然由甲投掷的概率为．
故答案为：D.
【分析】根据独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，
所占权重为，
男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
则样本中全部员工的平均体重为，
方差
，
化简得，即，解得或（舍），
故女员工的人数为：.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的均值和方差公式求解的值，再求解女员工的人数即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、复数的共轭复数为，其虚部为1，故A正确；
B、由且，得，故B正确；
C、由且，得，故C错误；
D、设，则，即z在复平面内对应的点到点的距离为3，z在复平面内对应的点到点的距离范围为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】求共轭复数，根据复数的概念求解即可判断A；根据复数的概念求解即可判断B；根据复数再复平面内的表示求解即可判断C；设，根据复数的模，结合复数的几何意义求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
A、，故A正确；
B、令，可得，
则的单调递增区间为，，显然不是上述区间的子集，故B错误；
C、因为，所以，一个为的最大值，另一个为的最小值，
由，则，故C正确；
D、若，则，则，即，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】直接代入求值法验证对称中心即可判断A；利用整体法，结合正弦型函数的性质求解即可判断B；由，可得，一个为的最大值，另一个为最小值，求得周期即可判断C；利用整体法，结合正弦型函数的性质求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、易知，，则，
即事件，B相互独立，则A，B相互独立，故正确；
B、由，B互斥，则，故正确；
C、，B相互独立，则，，故错误；
D、若发生时A一定发生，则，，故正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据对立事件的概率求得，再根据独立事件的判定得，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质求解即可判断BCD.
12．【答案】；
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，则．
故答案为：；.
【分析】根据向量数量积的运算，结合投影向量的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数关系的商数关系，结合两角差的正弦公式化简求得，再结合角的范围得，即可求的值.
14．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由正弦定理得，整理可得，，，为等腰三角形，
由，得，，
，同理可证，，为的垂心，
如图，延长交于点D，则且D为的中点，，，且C，P，D三点共线，，，．，
，即，
，，
，．
故答案为：.
【分析】利用正弦定理化简判断为等腰三角形，再根据向量的线性运算求得为的垂心，延长交于点D，可得且D为的中点，处理，得到的值，最后根据向量的数量积，结合向量的夹角公式的值即可.
15．【答案】（1）解：，；
，，
所以中位数落在区间内，设中位数为x，由，解得；
（2）解：平均数的估计值为，
方差的估计值为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1列方程求的参数值，再根据频率分布直方图中中位数的求法求解即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数求法、及方差公式求平均数和方差即可.
（1），．
，，
所以中位数落在区间内，设中位数为x，
由，得．
（2）平均数的估计值为，
方差的估计值为．
16．【答案】（1）解：由，可得，则，
两边平方可得，则；
（2）解：由题意，则，
因为，
所以；
（3）解：，
由题意知，则．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简整理可得，平方结合正弦的二倍角公式求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系求得，再根据两角差的余弦公式求解即可；
（3）利用余弦的二倍角公式，结合角的范围求值即可.
（1）由题意知，则，
，则．
（2）由题意，则．
，
．
（3），
由题意知，则．
17．【答案】（1）解：记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，，
设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”，
则
，有15种可能的结果，
，有4种可能的结果，
所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为；
（2）解：设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”，显然，，，，
因为事件，互斥，事件D，E相互独立，
所以，
所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26；
（3）解：设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，
“两轮测试中甲、乙共解决三道题”，
；；
；，
因为，互斥，事件与，与相互独立，
所以，
所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）先记事件，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）先记事件，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可；
（3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可.
（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”.
则
，有15种可能的结果.
，有4种可能的结果.
所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为.
（2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”，
显然，，，.
因为事件，互斥，事件D，E相互独立，
所以，
所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26.
（3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，
“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，
“两轮测试中甲、乙共解决三道题”．
；；
；．
因为，互斥，事件与，与相互独立，
所以，
所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
，，，，
，，，
，又，；
（2）解：由（1）知，，，则，
，
由正弦定理得，，
，；
（3）解：由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
平分，，
，，
，
，化简得：，
代入，得，
，，，的周长为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由（1）的结论，利用同角三角函数基本关系，结合两角和正弦公式求得，再根据正弦定理，结合三角形面积公式求解即可；
（3）由（1）的结论，利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，最后利用半角公式以及面积公式求得，两式联立求出，即可求得的周长.
（1）由正弦定理，得，
，，，，
，，，
，又，．
（2）由（1）知，，，则．
．
由正弦定理得，，
，．
（3）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即．
平分，．
，．
，
，
化简得：，
代入，得，
，，
，的周长为．
19．【答案】（1）解：设，由题意，
，，，
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，，
，
，，
当，即或时，；
（2）解：记的周长为L，由（1）知，，
，
，，
令，则，
，
，，
，，
，
，
.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）设，解三角形求得、，再根据二倍角正弦公式、正弦函数的性质求面积的最大值即可；
（2）记的周长为L，由（1）利用勾股定理先求，再表示的周长，利用换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围.
（1）设，由题意，
，，．
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，
．
，
，，
当，即或时，．
（2）记的周长为L，由（1）知，
，
，
，．
令，则，
．
，，
，，
，
，
.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的加减运算化简，再根据复数模长公式求解即可.
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数的商数关系可得的值，再根据正弦的二倍角公式，结合同角三角函数的弦化切求解即可.
3．已知向量，，且，则（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，得，
则．
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直的坐标表示列式求得参数x的值，再根据由向量数量积的运算、模长的坐标运算求解即可.
4．已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（　　）
A．15 B．20 C．17.5 D．30
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题可知分层抽样比为：，
则五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30，
因为，所以该组数据的第40百分位数为.
故答案为：C.
【分析】先计算分层抽样比为，各学校抽取的人数，从小到大排序，再根据第40百分位数的定义求解即可.
5．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图所示：
因为D为的边的中点，所以，
又因为，所以，
则．
故答案为：B.
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，经过两次变换后，新函数的解析式为，
因为新函数图象关于y轴对称，所以，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】逆用两角差的正弦公式化简函数可得，再根据三角函数图象的伸缩、平移变换求得新函数的解析式，由题意可得求的值即可.
7．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：第4次仍然由甲投掷分为四类：
第一类，前三次均为甲中，概率为；
第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；
第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；
第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．
则第4次仍然由甲投掷的概率为．
故答案为：D.
【分析】根据独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式求解即可.
8．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（　　）
A．28 B．35 C．63 D．48
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，
所占权重为，
男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
则样本中全部员工的平均体重为，
方差
，
化简得，即，解得或（舍），
故女员工的人数为：.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的均值和方差公式求解的值，再求解女员工的人数即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、复数的共轭复数为，其虚部为1，故A正确；
B、由且，得，故B正确；
C、由且，得，故C错误；
D、设，则，即z在复平面内对应的点到点的距离为3，z在复平面内对应的点到点的距离范围为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】求共轭复数，根据复数的概念求解即可判断A；根据复数的概念求解即可判断B；根据复数再复平面内的表示求解即可判断C；设，根据复数的模，结合复数的几何意义求解即可判断D.
10．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．若，其中，则
D．在区间上的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
A、，故A正确；
B、令，可得，
则的单调递增区间为，，显然不是上述区间的子集，故B错误；
C、因为，所以，一个为的最大值，另一个为的最小值，
由，则，故C正确；
D、若，则，则，即，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】直接代入求值法验证对称中心即可判断A；利用整体法，结合正弦型函数的性质求解即可判断B；由，可得，一个为的最大值，另一个为最小值，求得周期即可判断C；利用整体法，结合正弦型函数的性质求解即可判断D.
11．已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则事件A，B相互独立
B．若事件A，B互斥，则
C．若事件A，B相互独立，则
D．若事件B发生时事件A一定发生，则
【答案】A,B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、易知，，则，
即事件，B相互独立，则A，B相互独立，故正确；
B、由，B互斥，则，故正确；
C、，B相互独立，则，，故错误；
D、若发生时A一定发生，则，，故正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据对立事件的概率求得，再根据独立事件的判定得，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质求解即可判断BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知单位向量满足，则　 　，在方向上的投影向量等于　 　（用向量表示）．
【答案】；
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，则．
故答案为：；.
【分析】根据向量数量积的运算，结合投影向量的定义求解即可.
13．已知，其中，若，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数关系的商数关系，结合两角差的正弦公式化简求得，再结合角的范围得，即可求的值.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由正弦定理得，整理可得，，，为等腰三角形，
由，得，，
，同理可证，，为的垂心，
如图，延长交于点D，则且D为的中点，，，且C，P，D三点共线，，，．，
，即，
，，
，．
故答案为：.
【分析】利用正弦定理化简判断为等腰三角形，再根据向量的线性运算求得为的垂心，延长交于点D，可得且D为的中点，处理，得到的值，最后根据向量的数量积，结合向量的夹角公式的值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级．某地区在多家果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内的产量（单位：吨）做调查统计并将所有数据分成，，，四组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计样本重量的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
【答案】（1）解：，；
，，
所以中位数落在区间内，设中位数为x，由，解得；
（2）解：平均数的估计值为，
方差的估计值为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1列方程求的参数值，再根据频率分布直方图中中位数的求法求解即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数求法、及方差公式求平均数和方差即可.
（1），．
，，
所以中位数落在区间内，设中位数为x，
由，得．
（2）平均数的估计值为，
方差的估计值为．
16．已知，，其中，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）解：由，可得，则，
两边平方可得，则；
（2）解：由题意，则，
因为，
所以；
（3）解：，
由题意知，则．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简整理可得，平方结合正弦的二倍角公式求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系求得，再根据两角差的余弦公式求解即可；
（3）利用余弦的二倍角公式，结合角的范围求值即可.
（1）由题意知，则，
，则．
（2）由题意，则．
，
．
（3），
由题意知，则．
17．为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛．
（1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率；
（2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率；
（3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率．
【答案】（1）解：记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，，
设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”，
则
，有15种可能的结果，
，有4种可能的结果，
所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为；
（2）解：设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”，显然，，，，
因为事件，互斥，事件D，E相互独立，
所以，
所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26；
（3）解：设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，
“两轮测试中甲、乙共解决三道题”，
；；
；，
因为，互斥，事件与，与相互独立，
所以，
所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）先记事件，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）先记事件，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可；
（3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可.
（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”.
则
，有15种可能的结果.
，有4种可能的结果.
所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为.
（2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”，
显然，，，.
因为事件，互斥，事件D，E相互独立，
所以，
所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26.
（3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，
“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，
“两轮测试中甲、乙共解决三道题”．
；；
；．
因为，互斥，事件与，与相互独立，
所以，
所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求b；
（3）已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
，，，，
，，，
，又，；
（2）解：由（1）知，，，则，
，
由正弦定理得，，
，；
（3）解：由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
平分，，
，，
，
，化简得：，
代入，得，
，，，的周长为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由（1）的结论，利用同角三角函数基本关系，结合两角和正弦公式求得，再根据正弦定理，结合三角形面积公式求解即可；
（3）由（1）的结论，利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，最后利用半角公式以及面积公式求得，两式联立求出，即可求得的周长.
（1）由正弦定理，得，
，，，，
，，，
，又，．
（2）由（1）知，，，则．
．
由正弦定理得，，
，．
（3）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即．
平分，．
，．
，
，
化简得：，
代入，得，
，，
，的周长为．
19．某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．
（1）求的面积S的最大值；
（2）已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．
【答案】（1）解：设，由题意，
，，，
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，，
，
，，
当，即或时，；
（2）解：记的周长为L，由（1）知，，
，
，，
令，则，
，
，，
，，
，
，
.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）设，解三角形求得、，再根据二倍角正弦公式、正弦函数的性质求面积的最大值即可；
（2）记的周长为L，由（1）利用勾股定理先求，再表示的周长，利用换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围.
（1）设，由题意，
，，．
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，
．
，
，，
当，即或时，．
（2）记的周长为L，由（1）知，
，
，
，．
令，则，
．
，，
，，
，
，
.
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