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广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图案既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：该图案 是中心对称图形但不是轴对称图形，所以C符合题意；
D：该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，所以C不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．若x>y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x+2026C．2026x<2026y D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为x＞y，所以 x+2026＞y+2026，所以A不成立；
B：因为x＞y，所以 x-2026＞y-2026，所以B不成立；
C：因为x＞y，所以 2026x＞2026y，所以C不成立；
D：因为x＞y，所以，所以D成立。
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行推理，即可得出答案。
3．如图，将△ABC平移一定的距离得到△A'B'C'，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．AB∥A'B' B．BB'∥CC'
C．∠ABC=∠A'C'B' D．AC=A'C'
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移性质可得出： AB∥A'B'； BB'∥CC'；∠ABC=∠A'B'C'， AC=A'C'；
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得出AB∥A'B'； BB'∥CC'；∠ABC=∠A'B'C'， AC=A'C'；故而得出 ∠ABC=∠A'C'B' 不一定成立。
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
5．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若S△ABC=16.8，DE=2.8，AC=5，则AB的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2.8
∴DE=DF=2.8，
∵AC=5
∴S=
∵ S△ABC=16.8，
∴S==16.8-7=9.8，
∵DE=2.8
∴AB=7.
故答案为：B.
【分析】首先根据角平分线的性质定理得出DE=DF=2.8，然后根据三角形的面积计算公式可得出S=，进而得出S==16.8-7=9.8，进而利用三角形的面积即可得出AB的长。
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高，中线和角平分线互相重合，腰上的不一定重合，故命题不正确，所以A符合题意；
B：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角不正确，是假命题，所以B不符合题意；
C：用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°正确，所以C不符合题意；
D： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等正确，所以D不符合题意。
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的性质可得出A不正确；根据对顶角的性质及逆命题的定义，可得出B正确；根据反证法，可得出C正确；根据垂直平分线的性质可得出D正确，故而可得出答案。
7．如图，一次函数.与的图象交于点A（2，6），则不等式的解集为（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．0≤x≤2 D．x≤6
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式 可整理为：看k1x-b1≤k2x-b2，
由函数图象可知：在点 A（2，6）的左侧（包括点A）时，y1≤y2.
所以，当x≤2时，，即 不等式的解集为 x≤2。
故答案为：B.
【分析】根据一次函数与不等式之间的关系，结合函数图象，即可得出答案。
8．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G。∠C=∠EFB=90°，∠A=60°，∠E=45°，现将图中的△ABC绕点F按每秒9°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，当AC的对应边A'C'所在直线与DE垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，
BF与AH交点为K，
∴∠HKB=90°-∠EBF= 45°，
∵∠HKB=∠FKC，BC⊥A'H，
∴∠KFC’=45°，
∴∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，
∴旋转时间为
故答案为：A.
【分析】如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，BF与AH交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得出∠HKB=90°-∠EBF= 45°，进而得出∠KFC’=45°，进一步得出∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，再根据旋转速度为每秒9°，即可得出旋转时间。
9．因式分解：=　 　。
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．若点A（2027，-2026）与点B（m，n）关于原点O成中心对称，则m+n=　 　。
【答案】-1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 点A（2027，-2026）与点B（m，n）关于原点O成中心对称，
∴m=-2027，n=2026，
∴m+n=-2027+2026=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先根据关于原点对称的坐标特征，得出m，n的值，进而再代入求值即可得出m+n的值。
11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　。
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得：x＞4，
解②得：x≤a+4，
∵ 关于x的不等式组无解，
∴a+4≤4，解得a≤0.
故答案为：a≤0.
【分析】分别解两个不等式得出它们的解集分别为x＞4，x≤a+4，进而根据不等式组无解，可得出a+4≤4，解不等式即可得出a≤0.
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，根据尺规作图的痕迹，BD=　 　。
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在Rt中：
根据勾股定理可得出AB=，
根据尺规作图可知：AD平分∠BAC，DE ⊥AB，
∴DC=DE
∴Rt，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
∵BD=BC-DC，
∴BD=BC-DE=8-DE，即DE=8-BD，
设BD=x，则：DE=8-x，
在Rt中：BD2=DE2+BE2即：x2=（8-x）2+42
解得：x=5即BD=5。
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理先求出AB的长为10，进而在再证明Rt，得出AE=AC=6，进而得出BE=4，再在在Rt中：设BD=x，则：DE=8-x，根据勾股定理即可得出x2=（8-x）2+42，解方程即可求解。
13．如图，等边三角形ABC的边长为6，D为边AC的中点，P是线段BD上一动点，当PB+2AP的值最小时，PB的长为　 　。
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的重心及应用；胡不归模型
【解析】【解答】解：∵等边△ABC边长为6，D是AC中点，
∴BD是等边三角形的中线、高、角平分线重合(三线合一)，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°，
由勾股定理得：BD ==，
∵∠PBC=30°，过P作PE⊥BC于E，则PE=PB，即PB=2PE，
∴PB+2AP = 2(PE+AP)，要让这个式子最小，只需让AP+PE最小，
根据垂线段最短，当A、P、E三点共线且AE ⊥ BC时，AP+PE最小。
当AE ⊥BC时，AE也是等边△ABC的高，AE与BD的交点即为P，等边三角形的高AE与中线BD的交点是重心，重心分BD的比为2：1，
∵BD=3，
∴PB=BD=×3=2。
故答案为：2。
【分析】首先根据等边三角形的性质可得出BD=3，然后利用30°角的性质，过P作PE⊥BC于E，PB=2PE，从而得出.PB+2AP = 2(PE+AP)，要让这个式子最小，只需让AP+PE最小。根据垂线段最短，当A、P、E三点共线且AE ⊥ BC时，AP+PE最小，最后求出PB的长即可。
14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来。
【答案】解：解不等式，得。
解不等式，得。
不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示如图所示。
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式得出它们的解集，然后再取它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集，进一步在数轴上表示出来即可。
15．在对进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧。下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小深： 原式第一步 第二步 =5（a+b）（a-b）。 第三步 小圳： 原式=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a+3b）第一步 =（5a+5b）（a+5b） 第二步 =5（a+b）（a+5b）。 第三步
任务：
（1）　 　（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第　 　步开始出现错误。
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程。
【答案】（1）小圳；一
（2）原式
。
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 小圳 的解答错误，
原式=（3a+2b+2a+3b）[(3a+2b)-(2a+3b）]=（3a+2b+2a+3b）( 3a+2b-2a-3b)
所以从第一步开始出现错误。
故第1空答案为：小圳；第1空答案为：一；
【分析】（1）通过检查可以发现小圳在应用平方差公式的时候，第一步出现了符号错误，即可得出答案；
（2）根据（1）检查的结果，把符号错误改过来，然后合并同类项，并进一步通过提取公因式，得出最后结果。
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，点A的坐标为（-3，4）。
（1）点B1的坐标为，请画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，将△ABC平移后点P的对应点是P'（a-2，b-4），请画出平移后的；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为。
【答案】（1）解：；
所作△A1B1C1如图所示
（2）所作△A2B2C2如图所示；
（3）解：首先根据（2）得到的平移方法可得出点B2(-6，-2），由（1）知点，
所以对称点的坐标为：（），
即：（－1，－2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）首先根据平面直角坐标系可得出点B（-4，2），再根据关于原点对称的点的坐标之间的关系可得出点B'（4，-2）；并根据中心对称作出△ A1B1C1即可；
（2）根据点 P（a，b） 和平移后的对应点 P'（a-2，b-4）， 可得出 △ABC 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位得到△A2B2C2，进而即可得出△A2B2C2；
（3）首先根据（2）得到的平移方法可得出点B2(-6，-2），然后根据中点坐标公式，即可得出对称中心的坐标。
17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点。
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠ACB=106°，求∠MCN的度数。
【答案】（1）解：，分别垂直平分和，
，，
。
△的周长为20cm，
∴CM＋MN＋CN＝20cm，
∴AB＝20cm，
即AB的长为20cm；
（2）在△ABC中，∠ACB＝106°，
，
，，
，，
，
即∠MCN的度数为32°。
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得出，，进而得出AB的长度与 △CMN的周长 相等，即可得答案；
（2）首先根据三角形内角和定理可得出，进而根据等腰三角形的性质可得出，进而可得出。
18．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”。
例如：已知方程3x-6=0和不等式x-1>0，对于未知数x，当x=2时，使得3×2-6=0，x-1=2-1=1>0同时成立，则称x=2是方程3x-6=0与不等式x-1>0的“和谐解”。
（1）x=3是否是方程3x-9=0与不等式3（x-2）<6的“和谐解” 　 　；（填“是”或“不是”）
（2）x=2是方程4x-5=3与不等式（组）①，②，③中　 　的“和谐解”；（只填序号）
（3）如果x=2是关于x的方程3x-a=0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a=　 　，b的取值范围是　 　；
（4）如果x=n是关于x的方程x+2m=3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围。
【答案】（1）是
（2）③
（3）6；
（4）解：由题知，，则。
将代入不等式组，得，
解得，
所以的取值范围是。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）把x=3代入方程 3x-9=0，
左边=9-9=0=右边，方程成立；
把x=3代入不等式 3（x-2）<6的左边，可得3（3-2）=3<6，不定式成立，
所以x=3是否是方程3x-9=0与不等式3（x-2）<6的“和谐解” ；
故答案为：是；
（2）把x=2代入方程 4x-5=3，左边=8-5=3=右边，方程成立；
解不等式①，②，③得解集分别为：x＞3；x＜1；1＜x＜3，
因为x=2能使1＜x＜3成立，
∴ x=2是方程4x-5=3与不等式（组） ③的“和谐解”；
故答案为：③；
（3）把x=2代入 3x-a=0中，得：3×2-a=0，解得：a=6；
解不等式组 ，由①得：x＜6，由②得，x≥，则≤2，解得：b≥14；
故第1空答案为：6；第2空答案为：b≥14；
【分析】（1）根据“和谐解”的定义，分别把把x=3代入方程和不等式中进行检验，即可得出答案；
（2）首先把x=2代入方程 4x-5=3，方程成立，进而分别解不等式（组），根据不等式（组）的解集即可得出答案；
（3）根据和谐解的定义可得出，则；得，把代入，得到关于n的不等式组，解不等式组，即可得出答案。
20．阅读材料，并解决问题：
（1）【思维指引】如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数。
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接PP，借助旋转的性质可以推导出△PAP'是　 　三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　；
（2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上两点，且∠EAF=45°，请判断EF2，BE2，FC2的数量关系，并证明你的结论；
（3）【方法推广】如图3，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=2，BC=7，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，请你求出.的最小值。
【答案】（1）等边；150°
（2）解：。理由如下：
如图，把△绕点逆时针旋转得到△。
由旋转的性质，得，CE'＝BE，，，，
，
，
。
在△和△中，，
△EAF≌△E'AF（SAS），
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即
（3）解：如图，在△ABC内部任取一点P，连接PA，PB，PC，
将△绕点逆时针旋转得到△B'P'C，连接PP'。
由旋转的性质，得，，BC＝B'C，
∠PCP'＝∠BCB'＝90°，
∴PP'2＝2PC2，
，
，
当，，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长。
过点作的垂线，交延长线于点。
，
，
∴AH＝AC＝，
∴HC＝＝3，
。
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：解：(1)如图，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，连接P'P，
∴，
∴AP'=AP=5，CP'=BP=12，∠AP'C=∠APB，
依题意得旋转角∠PAP'=60°，
∴△PAP'为等边三角形，
. PP'=AP=5，∠AP'P=60°，
∴ PP‘2 + P'C2 = 52 + 122 =132 = PC2，
∴△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°，
∴∠APB = ∠AP'C=∠AP'P +∠PP'C =60°+ 90°=150°；
故答案为：等边，150°；
【分析】（1）由旋转性质可得出，进而可得出AP'=AP，且根据旋转角的定义可得出∠PAP'=60°，进而即可得出△PAP'为等边三角形；再根据勾股定理的逆定理可得出△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°，得出∠APB = ∠AP'C=∠AP'P +∠PP'C =60°+ 90°=150°；
（2）首先证明△EAF≌△E'AF，可得出，进而在由勾股定理，得，进一步即可得出；
（3）在△ABC内部任取一点P，连接PA，PB，PC，由旋转的性质，得，再根据等腰直角三角形的性质得出，进而可得出，即可得出当，，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点作的垂线，交延长线于点，可根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AH＝AC＝，HC＝＝3，最后再根据勾股定理即可得出
1 / 1广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若x>y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x+2026C．2026x<2026y D．
3．如图，将△ABC平移一定的距离得到△A'B'C'，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．AB∥A'B' B．BB'∥CC'
C．∠ABC=∠A'C'B' D．AC=A'C'
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若S△ABC=16.8，DE=2.8，AC=5，则AB的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等
7．如图，一次函数.与的图象交于点A（2，6），则不等式的解集为（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．0≤x≤2 D．x≤6
8．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G。∠C=∠EFB=90°，∠A=60°，∠E=45°，现将图中的△ABC绕点F按每秒9°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，当AC的对应边A'C'所在直线与DE垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
9．因式分解：=　 　。
10．若点A（2027，-2026）与点B（m，n）关于原点O成中心对称，则m+n=　 　。
11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　。
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，根据尺规作图的痕迹，BD=　 　。
13．如图，等边三角形ABC的边长为6，D为边AC的中点，P是线段BD上一动点，当PB+2AP的值最小时，PB的长为　 　。
14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来。
15．在对进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧。下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小深： 原式第一步 第二步 =5（a+b）（a-b）。 第三步 小圳： 原式=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a+3b）第一步 =（5a+5b）（a+5b） 第二步 =5（a+b）（a+5b）。 第三步
任务：
（1）　 　（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第　 　步开始出现错误。
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程。
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，点A的坐标为（-3，4）。
（1）点B1的坐标为，请画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，将△ABC平移后点P的对应点是P'（a-2，b-4），请画出平移后的；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为。
17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点。
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠ACB=106°，求∠MCN的度数。
18．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”。
例如：已知方程3x-6=0和不等式x-1>0，对于未知数x，当x=2时，使得3×2-6=0，x-1=2-1=1>0同时成立，则称x=2是方程3x-6=0与不等式x-1>0的“和谐解”。
（1）x=3是否是方程3x-9=0与不等式3（x-2）<6的“和谐解” 　 　；（填“是”或“不是”）
（2）x=2是方程4x-5=3与不等式（组）①，②，③中　 　的“和谐解”；（只填序号）
（3）如果x=2是关于x的方程3x-a=0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a=　 　，b的取值范围是　 　；
（4）如果x=n是关于x的方程x+2m=3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围。
20．阅读材料，并解决问题：
（1）【思维指引】如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数。
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接PP，借助旋转的性质可以推导出△PAP'是　 　三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　；
（2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上两点，且∠EAF=45°，请判断EF2，BE2，FC2的数量关系，并证明你的结论；
（3）【方法推广】如图3，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=2，BC=7，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，请你求出.的最小值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图案既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：该图案 是中心对称图形但不是轴对称图形，所以C符合题意；
D：该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，所以C不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为x＞y，所以 x+2026＞y+2026，所以A不成立；
B：因为x＞y，所以 x-2026＞y-2026，所以B不成立；
C：因为x＞y，所以 2026x＞2026y，所以C不成立；
D：因为x＞y，所以，所以D成立。
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行推理，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移性质可得出： AB∥A'B'； BB'∥CC'；∠ABC=∠A'B'C'， AC=A'C'；
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得出AB∥A'B'； BB'∥CC'；∠ABC=∠A'B'C'， AC=A'C'；故而得出 ∠ABC=∠A'C'B' 不一定成立。
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2.8
∴DE=DF=2.8，
∵AC=5
∴S=
∵ S△ABC=16.8，
∴S==16.8-7=9.8，
∵DE=2.8
∴AB=7.
故答案为：B.
【分析】首先根据角平分线的性质定理得出DE=DF=2.8，然后根据三角形的面积计算公式可得出S=，进而得出S==16.8-7=9.8，进而利用三角形的面积即可得出AB的长。
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高，中线和角平分线互相重合，腰上的不一定重合，故命题不正确，所以A符合题意；
B：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角不正确，是假命题，所以B不符合题意；
C：用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°正确，所以C不符合题意；
D： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等正确，所以D不符合题意。
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的性质可得出A不正确；根据对顶角的性质及逆命题的定义，可得出B正确；根据反证法，可得出C正确；根据垂直平分线的性质可得出D正确，故而可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式 可整理为：看k1x-b1≤k2x-b2，
由函数图象可知：在点 A（2，6）的左侧（包括点A）时，y1≤y2.
所以，当x≤2时，，即 不等式的解集为 x≤2。
故答案为：B.
【分析】根据一次函数与不等式之间的关系，结合函数图象，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，
BF与AH交点为K，
∴∠HKB=90°-∠EBF= 45°，
∵∠HKB=∠FKC，BC⊥A'H，
∴∠KFC’=45°，
∴∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，
∴旋转时间为
故答案为：A.
【分析】如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，BF与AH交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得出∠HKB=90°-∠EBF= 45°，进而得出∠KFC’=45°，进一步得出∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，再根据旋转速度为每秒9°，即可得出旋转时间。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．【答案】-1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 点A（2027，-2026）与点B（m，n）关于原点O成中心对称，
∴m=-2027，n=2026，
∴m+n=-2027+2026=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先根据关于原点对称的坐标特征，得出m，n的值，进而再代入求值即可得出m+n的值。
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得：x＞4，
解②得：x≤a+4，
∵ 关于x的不等式组无解，
∴a+4≤4，解得a≤0.
故答案为：a≤0.
【分析】分别解两个不等式得出它们的解集分别为x＞4，x≤a+4，进而根据不等式组无解，可得出a+4≤4，解不等式即可得出a≤0.
12．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在Rt中：
根据勾股定理可得出AB=，
根据尺规作图可知：AD平分∠BAC，DE ⊥AB，
∴DC=DE
∴Rt，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
∵BD=BC-DC，
∴BD=BC-DE=8-DE，即DE=8-BD，
设BD=x，则：DE=8-x，
在Rt中：BD2=DE2+BE2即：x2=（8-x）2+42
解得：x=5即BD=5。
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理先求出AB的长为10，进而在再证明Rt，得出AE=AC=6，进而得出BE=4，再在在Rt中：设BD=x，则：DE=8-x，根据勾股定理即可得出x2=（8-x）2+42，解方程即可求解。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的重心及应用；胡不归模型
【解析】【解答】解：∵等边△ABC边长为6，D是AC中点，
∴BD是等边三角形的中线、高、角平分线重合(三线合一)，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°，
由勾股定理得：BD ==，
∵∠PBC=30°，过P作PE⊥BC于E，则PE=PB，即PB=2PE，
∴PB+2AP = 2(PE+AP)，要让这个式子最小，只需让AP+PE最小，
根据垂线段最短，当A、P、E三点共线且AE ⊥ BC时，AP+PE最小。
当AE ⊥BC时，AE也是等边△ABC的高，AE与BD的交点即为P，等边三角形的高AE与中线BD的交点是重心，重心分BD的比为2：1，
∵BD=3，
∴PB=BD=×3=2。
故答案为：2。
【分析】首先根据等边三角形的性质可得出BD=3，然后利用30°角的性质，过P作PE⊥BC于E，PB=2PE，从而得出.PB+2AP = 2(PE+AP)，要让这个式子最小，只需让AP+PE最小。根据垂线段最短，当A、P、E三点共线且AE ⊥ BC时，AP+PE最小，最后求出PB的长即可。
14．【答案】解：解不等式，得。
解不等式，得。
不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示如图所示。
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式得出它们的解集，然后再取它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集，进一步在数轴上表示出来即可。
15．【答案】（1）小圳；一
（2）原式
。
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 小圳 的解答错误，
原式=（3a+2b+2a+3b）[(3a+2b)-(2a+3b）]=（3a+2b+2a+3b）( 3a+2b-2a-3b)
所以从第一步开始出现错误。
故第1空答案为：小圳；第1空答案为：一；
【分析】（1）通过检查可以发现小圳在应用平方差公式的时候，第一步出现了符号错误，即可得出答案；
（2）根据（1）检查的结果，把符号错误改过来，然后合并同类项，并进一步通过提取公因式，得出最后结果。
16．【答案】（1）解：；
所作△A1B1C1如图所示
（2）所作△A2B2C2如图所示；
（3）解：首先根据（2）得到的平移方法可得出点B2(-6，-2），由（1）知点，
所以对称点的坐标为：（），
即：（－1，－2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）首先根据平面直角坐标系可得出点B（-4，2），再根据关于原点对称的点的坐标之间的关系可得出点B'（4，-2）；并根据中心对称作出△ A1B1C1即可；
（2）根据点 P（a，b） 和平移后的对应点 P'（a-2，b-4）， 可得出 △ABC 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位得到△A2B2C2，进而即可得出△A2B2C2；
（3）首先根据（2）得到的平移方法可得出点B2(-6，-2），然后根据中点坐标公式，即可得出对称中心的坐标。
17．【答案】（1）解：，分别垂直平分和，
，，
。
△的周长为20cm，
∴CM＋MN＋CN＝20cm，
∴AB＝20cm，
即AB的长为20cm；
（2）在△ABC中，∠ACB＝106°，
，
，，
，，
，
即∠MCN的度数为32°。
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得出，，进而得出AB的长度与 △CMN的周长 相等，即可得答案；
（2）首先根据三角形内角和定理可得出，进而根据等腰三角形的性质可得出，进而可得出。
18．【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
19．【答案】（1）是
（2）③
（3）6；
（4）解：由题知，，则。
将代入不等式组，得，
解得，
所以的取值范围是。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）把x=3代入方程 3x-9=0，
左边=9-9=0=右边，方程成立；
把x=3代入不等式 3（x-2）<6的左边，可得3（3-2）=3<6，不定式成立，
所以x=3是否是方程3x-9=0与不等式3（x-2）<6的“和谐解” ；
故答案为：是；
（2）把x=2代入方程 4x-5=3，左边=8-5=3=右边，方程成立；
解不等式①，②，③得解集分别为：x＞3；x＜1；1＜x＜3，
因为x=2能使1＜x＜3成立，
∴ x=2是方程4x-5=3与不等式（组） ③的“和谐解”；
故答案为：③；
（3）把x=2代入 3x-a=0中，得：3×2-a=0，解得：a=6；
解不等式组 ，由①得：x＜6，由②得，x≥，则≤2，解得：b≥14；
故第1空答案为：6；第2空答案为：b≥14；
【分析】（1）根据“和谐解”的定义，分别把把x=3代入方程和不等式中进行检验，即可得出答案；
（2）首先把x=2代入方程 4x-5=3，方程成立，进而分别解不等式（组），根据不等式（组）的解集即可得出答案；
（3）根据和谐解的定义可得出，则；得，把代入，得到关于n的不等式组，解不等式组，即可得出答案。
20．【答案】（1）等边；150°
（2）解：。理由如下：
如图，把△绕点逆时针旋转得到△。
由旋转的性质，得，CE'＝BE，，，，
，
，
。
在△和△中，，
△EAF≌△E'AF（SAS），
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即
（3）解：如图，在△ABC内部任取一点P，连接PA，PB，PC，
将△绕点逆时针旋转得到△B'P'C，连接PP'。
由旋转的性质，得，，BC＝B'C，
∠PCP'＝∠BCB'＝90°，
∴PP'2＝2PC2，
，
，
当，，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长。
过点作的垂线，交延长线于点。
，
，
∴AH＝AC＝，
∴HC＝＝3，
。
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：解：(1)如图，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，连接P'P，
∴，
∴AP'=AP=5，CP'=BP=12，∠AP'C=∠APB，
依题意得旋转角∠PAP'=60°，
∴△PAP'为等边三角形，
. PP'=AP=5，∠AP'P=60°，
∴ PP‘2 + P'C2 = 52 + 122 =132 = PC2，
∴△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°，
∴∠APB = ∠AP'C=∠AP'P +∠PP'C =60°+ 90°=150°；
故答案为：等边，150°；
【分析】（1）由旋转性质可得出，进而可得出AP'=AP，且根据旋转角的定义可得出∠PAP'=60°，进而即可得出△PAP'为等边三角形；再根据勾股定理的逆定理可得出△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°，得出∠APB = ∠AP'C=∠AP'P +∠PP'C =60°+ 90°=150°；
（2）首先证明△EAF≌△E'AF，可得出，进而在由勾股定理，得，进一步即可得出；
（3）在△ABC内部任取一点P，连接PA，PB，PC，由旋转的性质，得，再根据等腰直角三角形的性质得出，进而可得出，即可得出当，，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点作的垂线，交延长线于点，可根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AH＝AC＝，HC＝＝3，最后再根据勾股定理即可得出
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