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第4讲　小专题:非常规运动学图像　追及相遇问题
对点1.对非常规图像的理解和应用
1.(多选)(2025·广东佛山开学考试)物理兴趣小组的同学在学习无人机的使用技巧时,将无人机置于水平地面上,使其从静止(t=0时刻)开始加速竖直向上飞行,并通过加速度传感器记录下了0~16 s内无人机在竖直方向上的加速度随时间变化的图像,如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.2 s末无人机的加速度大小为1 m/s2
B.2 s末无人机的加速度大小为0.5 m/s2
C.16 s末无人机的速度大小为8 m/s
D.16 s末无人机的速度大小为16 m/s
2.(2025·四川成都模拟)人工智能的应用越来越广泛,无人驾驶出租车已经在很多城市开始运营。汽车自动控制反应时间(从发现障碍物到开始制动的时间)小于人的反应时间。如图甲、乙所示分别是在遇到障碍物时驾驶员操作下的vt图像和自动控制下的v2x图像,数据图中已标出,下列说法正确的是(　　)
A.驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的位移大小是45 m
B.驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的平均速度大小是15 m/s
C.自动控制下,从发现障碍物到停止的时间是3.3 s
D.自动控制下,从发现障碍物到停止的平均速度大小是18 m/s
3.(2025·江西南昌模拟)某公司发布了一款物流机器人,某次实验人员在测试时,机器人沿直线运动,其速度的倒数随位移变化的规律如图所示,则机器人在0~5 m位移内的平均速度大小为(　　)
A.3 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
4.(2025·甘肃张掖期中)直线坐标系Ox轴原点处有A、B两质点,t=0时A、B同时沿x轴正方向做直线运动,其位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示,则(　　)
A.质点A做匀加速直线运动的加速度为5 m/s2
B.A、B从原点出发后再次到达同一位置时,A的速度为10 m/s
C.A、B从原点出发后再次到达同一位置之前,最远相距1.25 m
D.A、B从原点出发后,t=2 s时再次到达同一位置
对点2.追及与相遇问题
5.(2025·江苏苏州专题练习)如图所示,在同一平直公路上行驶的a车和b车,其位置—时间图像分别为图中直线a和曲线b。已知b车的加速度恒定且初速度为8 m/s,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切。下列说法不正确的是(　　)
A.a车的速度大小为2 m/s
B.b车的加速度大小为2 m/s2
C.t=0时,a车和b车相距15 m
D.t=2 s时,a车在b车前方1 m处
6.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,t=0 时刻,乙位于甲的前方x0处。从t=0 时刻开始计时,它们的速度v随时间t变化的图像如图所示,在整个运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.甲车加速度大小是乙车加速度大小的2倍
B.0~2 s内,甲、乙两车的距离越来越大
C.若甲、乙两车能够相遇2次,则0.5 mD.若甲、乙两车恰好不相遇,则x0=1.5 m
7.(2025·江西赣州期末)在赣州市南河大桥扩建工程中,双向桥梁已完成了某一通车方向的建设,为保持双向车辆正常通行,临时将其改成双向车道。如图所示,引桥与桥面对接处,有两车道合并一车道的对接口,A、B两车相距s0=4 m时,B车正以vB=4 m/s 的速度匀速行驶,A车正以vA=7 m/s 的速度借道超越同向行驶的B车,此时A车司机发现前方距离车头s=16 m处的并道对接口,A、B两车长度均为L=4 m,不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车,而立即驶入与B车相同的行驶车道,A车至少以多大的加速度匀减速刹车,才能避免与B车相撞
(2)若A车司机加速超车,A车的最大加速度为3 m/s2,请通过计算分析A车能否实现安全超车。
8.(2025·河南郑州三模)电梯、汽车等交通工具在加速时会使乘客产生不适感,不适感的程度可用“急动度”(j=)来描述,急动度越小,乘客感觉越舒适。如图为某汽车直线加速过程的急动度j随时间t的变化图像,则该过程中汽车加速度a随时间t的变化图像为(　　)
　　　
A B
　　　
C D
9.(2025·广西南宁模拟)如图所示,甲、乙两名运动员在训练2×400 m接力赛跑。甲、乙两名运动员(均视为质点)的起跑过程均可视为初速度为0、加速度大小a=2 m/s2的匀加速直线运动,经加速后都能达到并保持vm=8 m/s的最大速度跑完全程。接力区前端为第一个400 m的终点和第二个 400 m的起点,已知接力区的长度L=18 m,乙在接力区前端听到奔跑的甲发出的口令时立即起跑(不计乙的反应时间),在甲、乙相遇时完成交接棒(不计交接棒的时间),交接棒必须在接力区内完成,假设交接棒动作不影响两运动员的速度大小。
(1)求乙通过接力区的最短时间tmin;
(2)若甲在距离接力区前端Δx=16 m处对乙发出起跑口令,求从发出起跑口令到甲、乙交接棒所用的时间t;
(3)若接力区的长度只有L′=9 m,为使他们取得最好的成绩,求甲对乙发出起跑口令时到接力区前端的距离Δx′及从甲开始起跑到乙跑至终点所用的时间t′。第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
第1讲　运动的描述
对点1.对质点、参考系、位移的理解
1.(2025·河南洛阳期中)“时节序鳞次,古今同雁行。甘英穷西海,四万到洛阳。”雁群在天空中行进时,一般都是排成“人”字阵或“一”字斜阵,如图所示,这是雁群为了长途迁徙而采取的有效措施。下列说法正确的是(　　)
A.研究雁群的行进情况,一定以地面作为参考系
B.雁群的行进情况与参考系的选取无关
C.研究头雁扇动翅膀产生气流的影响时,可以将头雁看作质点
D.研究雁群从北方迁往南方所用的时间时,可以将雁群看作质点
2.(2025·安徽滁州期中)如图所示,自行车在水平地面上做匀速直线运动。车轮外边缘半径为R,气门芯距轮心的距离为r,自行车行驶过程中轮胎不打滑,初始时刻气门芯在最高点,不考虑车轮的形变。气门芯从初始时刻到第一次运动至最低点过程中,下列判断正确的是(　　)
A.气门芯通过的路程为2r+πR
B.气门芯通过的位移大小为2r
C.气门芯通过的位移大小为
D.气门芯通过的路程为
对点2.平均速度和瞬时速度
3.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔期中)寓言《龟兔赛跑》中说:乌龟和兔子同时从起点跑出,兔子在远远超过乌龟时,便骄傲地睡起了大觉,它一觉醒来,发现乌龟已悄悄地爬到了终点,后悔不已。在整个赛跑过程中,下列说法正确的是(　　)
A.兔子骄傲的原因是在瞬时速度上有优势
B.兔子骄傲的原因是在全段运动的平均速度上有优势
C.乌龟获胜的原因是在全段运动的平均速度上有优势
D.乌龟获胜的原因是在瞬时速度上有优势
4.(多选)如图所示,物体沿曲线ABCDE轨迹的箭头方向运动,沿AB、ABC、ABCD、ABCDE四段轨迹运动所用的时间分别是1 s、2 s、3 s、4 s。图中方格的边长均为1 m。下列说法正确的是(　　)
A.物体在AB段的平均速度大小为1 m/s
B.物体在ABC段的平均速度大小为 m/s
C.AB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度
D.物体在ABCDE段的平均速率为 m/s
对点3.加速度
5.(2025·浙江台州期中)我国民营航天公司自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭,在酒泉卫星发射中心圆满完成十公里级垂直起降返回飞行试验。如图为某次回收火箭减速降落时所拍摄的照片,下列说法正确的是(　　)
A.火箭降落过程中,其加速度的方向与速度的方向相同
B.火箭降落过程中,速度减小,加速度也一定减小
C.火箭落地前的瞬间,其加速度一定为零
D.火箭速度变化率越大,其加速度就越大
6.(2025·河南新乡阶段练习)混合接力赛的泳姿有:仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳,其中“蛙泳”是一种人类模仿青蛙游泳动作的游泳姿势,图甲为运动员蛙泳时蹬腿加速及惯性前进过程,将这两个过程各自简化为水平方向的直线运动,其vt图像如图乙所示。求:
(1)0~0.2 s内的速度变化量;
(2)0.3 s时运动员的加速度。
对点4.运动图像对运动的描述
7.(2025·福建厦门三模)小明同学参加折返跑比赛,从静止开始由起点出发跑到距起点30 m处的折返点,再跑回起点,则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是(　　)
A　　 B
C 　D
8.(2024·河北卷,3)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的 vt 图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
9.(2025·江苏连云港阶段练习)将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环,不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从P点沿纸带中线向前爬行,当其再一次来到P点的整个过程中,蚂蚁的(　　)
A.路程为L
B.位移的大小为L
C.加速度始终不为零
D.平均速度不为零
10.(多选)(2025·山西大同阶段练习)一物体做速度均匀变化的直线运动,某时刻速度的大小为6 m/s,1 s后速度的大小变为10 m/s,则在这1 s内该物体的(　　)
A.速度变化的大小可能小于4 m/s
B.速度变化的大小可能大于10 m/s
C.加速度的大小可能小于4 m/s2
D.加速度的大小可能大于10 m/s2
11.(2025·云南红河阶段练习)学校的400 m运动场平面图如图所示,校运动会上,甲同学参加了400 m 赛跑,以D为起点逆时针跑动,最终取得80 s的成绩;乙同学参加了100 m短跑,以A为起点逆时针跑动,冲过终点线D瞬间的速度v=11 m/s,最终取得11 s的成绩。求:
(1)甲同学全程的平均速度;
(2)甲同学全程的平均速率;
(3)乙同学的平均加速度的大小和方向。第2讲　匀变速直线运动的规律
课时作业
对点1.匀变速直线运动的基本公式
1.(2025·江苏卷,1)新能源汽车在辅助驾驶系统测试时,感应到前方有障碍物立刻制动,做匀减速直线运动。2 s内速度由12 m/s减至0。该过程中加速度大小为(　　)
A.2 m/s2 B.4 m/s2 C.6 m/s2 D.8 m/s2
【答案】 C　
【解析】 根据运动学公式v=v0+at,代入数值解得a=-6 m/s2,故加速度大小为6 m/s2。
2.(2025·贵州贵阳期中)如图为位于贵州的花江峡谷大桥,其主桥长为1 420 m,桥面距水面高度625 m。假设该大桥允许最高通行速度为30 m/s,汽车在加速阶段的加速度恒为3 m/s2,视大桥主桥部分为直线,则汽车由主桥一端静止启动至完全通过主桥的最短时间约为(　　)
A.21 s B.45 s C.53 s D.96 s
【答案】 C
【解析】 汽车匀加速的位移为x1== m=150 m,匀加速的时间为t1==10 s,汽车匀速运动的时间为t2==42.3 s,汽车由主桥一端静止启动至完全通过主桥的最短时间约为t=t1+t2=
52.3 s,故选C。
3.(2024·全国甲卷,24)为抢救病人,一辆救护车紧急出发,鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动,加速度大小a=2 m/s2,在t1=10 s 时停止加速开始做匀速运动,之后某时刻救护车停止鸣笛,t2=41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0=340 m/s,求:
(1)救护车匀速运动时的速度大小;
(2)在停止鸣笛时救护车与出发处的距离。
【答案】 (1)20 m/s　(2)680 m
【解析】 鸣笛后声波传播的距离和救护车运动的距离草图如图所示。
(1)救护车在t1=10 s时停止加速,则救护车匀速运动时速度为v=at1,
解得v=20 m/s。
(2)设匀速运动时间Δt时停止鸣笛,此时救护车与出发点的距离为x=a+vΔt,
发出的鸣笛声从停止鸣笛处传播到救护车出发点时,传播距离为x=v0(t2-t1-Δt),
解得x=680 m。
对点2.匀变速直线运动的推论及其应用
4.(2025·安徽卷,4)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动;最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
【答案】 A
【解析】 由题意可知,设汽车做匀加速直线运动的时间为t′,匀速运动的速度为v,匀加速直线运动阶段,由运动学公式有x=t′,根据逆向思维,匀减速直线运动阶段的位移等于匀加速直线运动阶段的位移,则匀速直线运动阶段有8x-x-x=vt,联立解得t′=,匀加速直线运动过程中有x=at′2,解得x=at2,A正确。
5.(多选)某次实验证实四个水球就可以挡住子弹。实验中,将完全相同的水球紧挨在一起水平排列,子弹恰好能穿出第四个水球,子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动,则(　　)
A.由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比
B.子弹在每个水球中运动的平均速度相同
C.子弹在每个水球中速度变化量相同
D.子弹依次进入四个水球的初速度之比为2∶∶∶1
【答案】 AD
【解析】 将子弹穿过四个水球的过程逆向看作初速度为零的匀加速直线运动,则通过连续相等位移所用的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶(2-),即子弹通过四个水球所用时间之比为(2-)∶(-)∶(-1)∶1,故A正确;由于子弹做匀减速直线运动,则通过每个水球的初、末速度不同,由=可知,子弹在每个水球中运动的平均速度不同,又水球尺寸都相同,子弹通过每个水球的时间不等,根据Δv=at知,子弹通过每个水球的速度变化量不等,故B、C错误;由于初速度为零的匀加速直线运动中,连续相等位移的末速度之比为1∶∶∶2,即子弹依次进入四个水球的初速度之比为2∶∶∶1,故D正确。
对点3.运动图像的应用
6.(多选)(2025·广西北海模拟)某运动员参加百米赛跑,起跑后加速度先逐渐增大后逐渐减小,一段时间后达到最大速度,此后保持该速度运动到终点。下列速度—时间(v-t)和位移—时间(x-t)图像中,能够正确描述该过程的是(　　)
A　　 　B
C　　 　D
【答案】 BD
【解析】 根据题意,运动员先做变加速直线运动,后做匀速直线运动,v-t图像的斜率表示加速度,故v-t图像的斜率先增大后减小至零,A错误,B正确;x-t图像的斜率表示速度,故x-t图像的斜率先增大后恒定不变,C错误,D正确。
7.(多选)(2025·黑龙江大庆阶段练习)如图甲所示是某跳水运动员站在10 m 跳台起跳的精彩瞬间,从她离开跳台开始计时,其重心的v-t图像可简化为如图乙所示。则该运动员(　　)
A.0～t2内加速度先向上后向下
B.t3时到达水下最低点
C.入水后加速度先增大后减小
D.t1～t2的平均速度比t4～t5的大
【答案】 CD
【解析】 v-t图像的斜率表示加速度,0～t2内图像的斜率为正值,可知加速度一直向下,选项A错误;t3时刻速度开始减小,即t3时刻运动员的加速度为0,应为部分身体进入水中,t5时刻到达水下最低点,选项B错误;由图像斜率变化情况,可知t3～t5运动员的加速度先增大后减小,选项C正确;因t1～t2的加速度为g,则速度从零增加到v2的平均速度=,t4～t5内加速度小于g,则速度从v4减小到零所用时间大于t2-t1,则<==,即可知t1～t2的平均速度比t4～t5的大,选项D正确。
8.(2024·山东卷,3)如图所示,固定的光滑斜面上有一木板,其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放,若木板长度为L,通过A点的时间间隔为Δt1;若木板长度为2L,通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为(　　)
A.(-1)∶(-1)
B.(-)∶(-1)
C.(+1)∶(+1)
D.(+)∶(+1)
【答案】 A
【解析】 木板在斜面上运动时,木板的加速度不变,设加速度为a,木板从静止释放到下端到达A点的过程,根据运动学公式有L=a,木板从静止释放到上端到达A点的过程,当木板长度为L时,有2L=a,当木板长度为2L时,有3L=a,又Δt1=t1-t0,Δt2=t2-t0,联立解得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1),故A正确。
9.(教材改编题) ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=15 m/s 行驶,如果过ETC通道,需要在收费站中心线前L=10 m处减速至v2,以速度v2匀速行驶Δt1=2 s后通过中心线,再加速至v1行驶;如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经时间Δt2缴费后,再加速至v1行驶。已知汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约时间Δt3=30 s。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为a=1 m/s2。求汽车:
(1)通过ETC通道中心线后加速行驶的路程s1;
(2)通过人工收费通道,从开始减速到加速结束行驶的总路程s2;
(3)通过人工收费通道停车缴费的时间Δt2。
【答案】 (1)100 m　(2)225 m　(3)23 s
【解析】 (1)匀速的速度为
v2==5 m/s,
通过ETC通道中心线后加速行驶的路程满足
-=2as1,
解得s1=100 m。
(2)减速至0的时间为t==15 s,
通过人工收费通道,从开始减速到加速结束行驶的总路程
s2=at2×2=225 m。
(3)汽车通过ETC通道从15 m/s到恢复15 m/s的位移为
s3=2s1+L=210 m,
人工收费通道与ETC通道的位移差为
Δs=s2-s3=15 m,
汽车匀速通过15 m所用时间为Δt==1 s,
ETC通道从v1减速到v2的时间为
t′==10 s,
根据题意得
2t′+Δt1+Δt+Δt3=2t+Δt2,
解得Δt2=23 s。第4讲　小专题:非常规运动学图像　追及相遇问题
课时作业
对点1.对非常规图像的理解和应用
1.(多选)(2025·广东佛山开学考试)物理兴趣小组的同学在学习无人机的使用技巧时,将无人机置于水平地面上,使其从静止(t=0时刻)开始加速竖直向上飞行,并通过加速度传感器记录下了0～16 s内无人机在竖直方向上的加速度随时间变化的图像,如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.2 s末无人机的加速度大小为1 m/s2
B.2 s末无人机的加速度大小为0.5 m/s2
C.16 s末无人机的速度大小为8 m/s
D.16 s末无人机的速度大小为16 m/s
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,2 s末无人机的加速度大小为1 m/s2,A正确,B错误;根据加速度的定义式有a=,解得Δv=aΔt,可知a-t图像与坐标轴围成图形的面积表示速度的变化量,时间轴上方的面积为正,时间轴下方的面积为负,由于无人机的初速度为0,则16 s末无人机的速度大小v= m/s+(12-4)×1 m/s- m/s=8 m/s,C正确,D错误。
2.(2025·四川成都模拟)人工智能的应用越来越广泛,无人驾驶出租车已经在很多城市开始运营。汽车自动控制反应时间(从发现障碍物到开始制动的时间)小于人的反应时间。如图甲、乙所示分别是在遇到障碍物时驾驶员操作下的vt图像和自动控制下的v2x图像,数据图中已标出,下列说法正确的是(　　)
A.驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的位移大小是45 m
B.驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的平均速度大小是15 m/s
C.自动控制下,从发现障碍物到停止的时间是3.3 s
D.自动控制下,从发现障碍物到停止的平均速度大小是18 m/s
【答案】 C
【解析】 根据vt图像与坐标轴所围的面积表示位移可知,驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的位移大小x0=×30 m=60 m,A错误;驾驶员操作下,从发现障碍物到停止的时间为t0=3.5 s,则此过程的平均速度大小== m/s,B错误;在自动控制下的v2x图像中,根据v2-=2ax,可得汽车匀减速运动的加速度为a= m/s2=-10 m/s2,由题图乙可知汽车的初速度v0=30 m/s,则反应时间t反== s=0.3 s,匀减速运动的时间t减==3 s,自动控制下,从发现障碍物到停止的时间t=t反+t减=3.3 s,C正确;自动控制下,从发现障碍物到停止的位移x=54 m,所用时间t=3.3 s,则平均速度大小′== m/s,D错误。
3.(2025·江西南昌模拟)某公司发布了一款物流机器人,某次实验人员在测试时,机器人沿直线运动,其速度的倒数随位移变化的规律如图所示,则机器人在0～5 m位移内的平均速度大小为(　　)
A.3 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
【答案】 D
【解析】 -x图像与坐标轴所围面积表示时间,t=4×3 s+×(2+4)×2 s=18 s,则机器人在0～5 m 位移内的平均速度大小为== m/s,故选D。
4.(2025·甘肃张掖期中)直线坐标系Ox轴原点处有A、B两质点,t=0时A、B同时沿x轴正方向做直线运动,其位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示,则(　　)
A.质点A做匀加速直线运动的加速度为5 m/s2
B.A、B从原点出发后再次到达同一位置时,A的速度为10 m/s
C.A、B从原点出发后再次到达同一位置之前,最远相距1.25 m
D.A、B从原点出发后,t=2 s时再次到达同一位置
【答案】 C
【解析】 根据数学知识,对质点A有=5t+5(m/s),则x=5t2+5t(m),与匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2对比可知v0=5 m/s,a=10 m/s2,质点A做匀加速直线运动的加速度为10 m/s2,A错误;同理对B有=10(m/s),B做速度为vB=10 m/s的匀速直线运动,当A、B从原点出发后再次到达同一位置时,有5t2+5t=10t,解得t=1 s,此时A的速度为vA=v0+at=15 m/s,B、D错误;当A、B速度相等时相距最远,有v0+at′=vB,解得t′=0.5 s,即xA=3.75 m,xB=vBt′=5 m,最远相距s=xB-xA=
1.25 m,C正确。
对点2.追及与相遇问题
5.(2025·江苏苏州专题练习)如图所示,在同一平直公路上行驶的a车和b车,其位置—时间图像分别为图中直线a和曲线b。已知b车的加速度恒定且初速度为8 m/s,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切。下列说法不正确的是(　　)
A.a车的速度大小为2 m/s
B.b车的加速度大小为2 m/s2
C.t=0时,a车和b车相距15 m
D.t=2 s时,a车在b车前方1 m处
【答案】 C
【解析】 根据xt图像的斜率表示速度可知,va= m/s=2 m/s,A说法正确;t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切,可知此时b车速度与a车速度相等,为2 m/s,又初速度大小为8 m/s,则加速度大小为a=||=2 m/s2,B说法正确;由图像可知,t=3 s时,两车相遇,3 s内b车位移为xb=v0t-at2=
15 m,此过程中a车位移为xa=8 m-2 m=6 m,可知a、b两车的初始距离为x0=xb-xa=9 m,C说法错误;t=2 s时,两车位移分别为xa′=vat=4 m,xb′=v0t-at2=12 m,则此时两车的距离为x′=xa′+x0-
xb′=1 m,即此时a车在b车前方1 m处,D说法正确。
6.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,t=0时刻,乙位于甲的前方x0处。从t=0 时刻开始计时,它们的速度v随时间t变化的图像如图所示,在整个运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.甲车加速度大小是乙车加速度大小的2倍
B.0～2 s内,甲、乙两车的距离越来越大
C.若甲、乙两车能够相遇2次,则0.5 mD.若甲、乙两车恰好不相遇,则x0=1.5 m
【答案】 AC
【解析】 v-t图像的斜率表示加速度,即a=,则a甲=-1 m/s2,a乙=-0.5 m/s2,A正确。由于甲、乙两车初始距离x0未知,若0～2 s内甲、乙两车未相遇或在2 s末相遇,甲、乙两车的间距变小;若0～2 s内甲、乙两车相遇,甲、乙两车的间距先变小后变大,B错误。若甲、乙两车恰好不相遇,则两车共速时有x0+x乙=x甲,根据题图可知t=2 s时,v甲=v乙=1 m/s,则Δx=(×2-×
2) m=1 m,D错误。共速后到静止,乙车比甲车多走Δx′=(×1×2-×1×1) m=0.5 m,所以0.5 m<
x0<1 m时,甲、乙两车能够相遇2次,C正确。
7.(2025·江西赣州期末)在赣州市南河大桥扩建工程中,双向桥梁已完成了某一通车方向的建设,为保持双向车辆正常通行,临时将其改成双向车道。如图所示,引桥与桥面对接处,有两车道合并一车道的对接口,A、B两车相距s0=4 m时,B车正以vB=4 m/s的速度匀速行驶,A车正以vA=7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车,此时A车司机发现前方距离车头s=16 m处的并道对接口,A、B两车长度均为L=4 m,不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车,而立即驶入与B车相同的行驶车道,A车至少以多大的加速度匀减速刹车,才能避免与B车相撞
(2)若A车司机加速超车,A车的最大加速度为3 m/s2,请通过计算分析A车能否实现安全超车。
【答案】 (1) m/s2　(2)见解析
【解析】 (1)A车减速到与B车同速时,若恰未与B车相碰,则A车将不会与B车相碰,设经历的时间为t1,则
A车位移xA1=t1,
B车位移xB=vBt1,
又xA1-xB=s0,联立解得t1= s。
则A车与B车不相碰,刹车时的最小加速度大小
a== m/s2= m/s2。
(2)设A车加速t2时间后车尾到达B车车头,则
s0+2L+vBt2=vAt2+a′,
解得t2=2 s,
在此时间内,A车向前运动了
xA2=vAt2+a′,
计算可得xA2=20 m>s=16 m,
说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车。
8.(2025·河南郑州三模)电梯、汽车等交通工具在加速时会使乘客产生不适感,不适感的程度可用“急动度”(j=)来描述,急动度越小,乘客感觉越舒适。如图为某汽车直线加速过程的急动度j随时间t的变化图像,则该过程中汽车加速度a随时间t的变化图像为(　　)
A　 　　B
C　　 　D
【答案】 C
【解析】 根据“急动度”表达式j=,则j为a-t图像的斜率,结合j-t图像可知,j随时间t先均匀减小后不变(不为零),可知a-t图像为C,C正确。
9.(2025·广西南宁模拟)如图所示,甲、乙两名运动员在训练2×400 m接力赛跑。甲、乙两名运动员(均视为质点)的起跑过程均可视为初速度为0、加速度大小a=2 m/s2的匀加速直线运动,经加速后都能达到并保持vm=8 m/s的最大速度跑完全程。接力区前端为第一个400 m的终点和第二个 400 m的起点,已知接力区的长度L=18 m,乙在接力区前端听到奔跑的甲发出的口令时立即起跑(不计乙的反应时间),在甲、乙相遇时完成交接棒(不计交接棒的时间),交接棒必须在接力区内完成,假设交接棒动作不影响两运动员的速度大小。
(1)求乙通过接力区的最短时间tmin;
(2)若甲在距离接力区前端Δx=16 m处对乙发出起跑口令,求从发出起跑口令到甲、乙交接棒所用的时间t;
(3)若接力区的长度只有L′=9 m,为使他们取得最好的成绩,求甲对乙发出起跑口令时到接力区前端的距离Δx′及从甲开始起跑到乙跑至终点所用的时间t′。
【答案】 (1)4.25 s　(2)4 s　(3)15 m　102.125 s
【解析】 (1)乙起跑后先做匀加速直线运动,有
=2ax1,vm=at1,
解得t1=4 s,x1=16 m;
然后乙以最大速度跑完剩余路程,有
t2=,
解得t2=0.25 s,
乙通过接力区的最短时间tmin=t1+t2,
解得tmin=4.25 s。
(2)假设甲追上乙前乙并未匀速运动,有
Δx=vmt-at2,
解得t=t1=4 s,假设成立。
(3)由于L′解得t3=3 s;
乙起跑时与甲的距离为Δx′=vmt3-L′,
解得Δx′=15 m。
分析全过程,甲先匀加速运动一段距离x1=16 m,之后甲匀速运动到交接棒处,通过的距离为
400 m-x1+L′=393 m,
此过程运动时间为t4= s=49.125 s,
乙接到接力棒后加速到最大速度所用时间为
t5=t1-t3=1 s,
乙匀速运动的距离为x2,则
x2=400 m-x1=384 m,
乙匀速运动的时间
t6== s=48 s,
从甲开始起跑到乙跑至终点的时间
t′=t1+t4+t5+t6,
解得t′=102.125 s。第2讲　匀变速直线运动的规律
对点1.匀变速直线运动的基本公式
1.(2025·江苏卷,1)新能源汽车在辅助驾驶系统测试时,感应到前方有障碍物立刻制动,做匀减速直线运动。2 s内速度由12 m/s减至0。该过程中加速度大小为(　　)
A.2 m/s2 B.4 m/s2
C.6 m/s2 D.8 m/s2
2.(2025·贵州贵阳期中)如图为位于贵州的花江峡谷大桥,其主桥长为1 420 m,桥面距水面高度625 m。假设该大桥允许最高通行速度为30 m/s,汽车在加速阶段的加速度恒为3 m/s2,视大桥主桥部分为直线,则汽车由主桥一端静止启动至完全通过主桥的最短时间约为(　　)
A.21 s B.45 s C.53 s D.96 s
3.(2024·全国甲卷,24)为抢救病人,一辆救护车紧急出发,鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动,加速度大小a=2 m/s2,在t1=10 s 时停止加速开始做匀速运动,之后某时刻救护车停止鸣笛,t2=41 s 时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0=340 m/s,求:
(1)救护车匀速运动时的速度大小;
(2)在停止鸣笛时救护车与出发处的距离。
对点2.匀变速直线运动的推论及其应用
4.(2025·安徽卷,4)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动;最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
5.(多选)某次实验证实四个水球就可以挡住子弹。实验中,将完全相同的水球紧挨在一起水平排列,子弹恰好能穿出第四个水球,子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动,则(　　)
A.由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比
B.子弹在每个水球中运动的平均速度相同
C.子弹在每个水球中速度变化量相同
D.子弹依次进入四个水球的初速度之比为2∶∶∶1
对点3.运动图像的应用
6.(多选)(2025·广西北海模拟)某运动员参加百米赛跑,起跑后加速度先逐渐增大后逐渐减小,一段时间后达到最大速度,此后保持该速度运动到终点。下列速度—时间(vt)和位移—时间(xt)图像中,能够正确描述该过程的是(　　)
A　　 　B
C　　 　D
7.(多选)(2025·黑龙江大庆阶段练习)如图甲所示是某跳水运动员站在10 m 跳台起跳的精彩瞬间,从她离开跳台开始计时,其重心的vt图像可简化为如图乙所示。则该运动员(　　)
A.0~t2内加速度先向上后向下
B.t3时到达水下最低点
C.入水后加速度先增大后减小
D.t1~t2的平均速度比t4~t5的大
8.(2024·山东卷,3)如图所示,固定的光滑斜面上有一木板,其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放,若木板长度为L,通过A点的时间间隔为Δt1;若木板长度为2L,通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为(　　)
A.(-1)∶(-1)
B.(-)∶(-1)
C.(+1)∶(+1)
D.(+)∶(+1)
9.(教材改编题) ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=15 m/s 行驶,如果过ETC通道,需要在收费站中心线前L=10 m处减速至v2,以速度v2匀速行驶Δt1=2 s后通过中心线,再加速至v1行驶;如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经时间Δt2缴费后,再加速至v1行驶。已知汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约时间Δt3=30 s。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为a=1 m/s2。求汽车:
(1)通过ETC通道中心线后加速行驶的路程s1;
(2)通过人工收费通道,从开始减速到加速结束行驶的总路程s2;
(3)通过人工收费通道停车缴费的时间Δt2。第5讲　实验:测量做直线运动物体的瞬时速度
课时作业
1.(2025·浙江杭州期中)实验小组用打点计时器、平板、小车等器材做研究匀变速直线运动的实验。
(1)穿入打点计时器限位孔的纸带,正确的是　　　　(选填“甲”或“乙”)。
(2)图丙是学生即将释放小车之前的装置图,关于图示及操作,以下存在错误的是　　　　。(多选,填字母)
A.细线与木板不平行
B.小车释放的位置离计时器较远
C.无论什么计时器,使用时均要先接通电源,后释放纸带
(3)下列实验步骤的正确顺序是　　　　。(填字母)
A.关闭电源,取下纸带
B.将小车停靠在打点计时器附近,小车尾部与纸带相连
C.把打点计时器固定在木板上,让纸带穿过限位孔
D.接通电源后,放开小车
(4)本实验中,算出小车经过各计数点的瞬时速度后,为了计算加速度,最合理的方法是　　　　。(填字母)
A.根据任意两计数点的速度用公式算出加速度
B.画出v-t图像,量出其倾角α,由a=tan α算出加速度
C.画出v-t图像,由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间,用公式a=算出加速度
D.依次算出连续两点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度
【答案】 (1)甲　(2)AB　(3)CBDA　(4)C
【解析】 (1)穿入打点计时器限位孔的纸带,对于电火花计时器,应该墨粉纸盘在上,纸带在下;对于电磁打点计时器,应该复写纸在上,纸带在下,故选甲。
(2)为给小车提供一个恒定的拉力,细线应与木板平行,A存在错误;小车释放前应靠近打点计时器,B存在错误;无论什么计时器,使用时均要先接通电源,后释放纸带,C正确。
(3)做本实验正确的步骤顺序是先把打点计时器固定在木板上,让纸带穿过限位孔;再将小车停靠在打点计时器附近,小车尾部与纸带相连;然后接通电源,释放小车;最后关闭电源,取下纸带。本实验步骤的正确顺序是CBDA。
(4)在处理实验数据时,如果只使用其中两个数据,由于偶然误差的存在可能会造成最后误差较大,A错误;由于v-t图像中纵坐标和横坐标所取的标度不一致,图像的斜率与图线倾角的正切值不相等,不能用公式a=tan α求解加速度,B错误;根据实验数据画出vt图像,连线时,应该尽量使那些不能画在线上的点均匀地分布在线的两侧,由图线上相距较远的两点所对应的速度及时间,用公式a=算出加速度,C正确;若依次算出通过连续两计数点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度,实质上还是仅用了两个计数点的速度,偶然误差较大,故D错误。
2.某实验小组用如图甲所示装置来测量物体做匀变速直线运动的加速度,在水平气垫导轨上放置一滑块(滑块上固定有遮光条),一不可伸长的细绳跨过轻质定滑轮,两端分别与滑块和悬挂物连接,滑块和滑轮间的细绳与导轨平行。滑块由静止释放,测得滑块上遮光条通过光电门1、2的遮光时间。已知遮光条的宽度为d,光电门1、2中心间的距离为L,回答下列问题。
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度d,示数如图乙所示。该遮光条的宽度d=　　　　 mm。
(2)实验过程中测得遮光条通过光电门1、2的遮光时间分别为Δt1=0.003 5 s、Δt2=0.001 5 s。遮光条通过第一个光电门的速度大小为v1=　　　　 m/s,遮光条通过第二个光电门的速度大小为v2=　　　 m/s。(结果均保留三位有效数字)
(3)测得两光电门之间的距离L=0.5 m,滑块的加速度大小为a=　　　　 m/s2。(结果保留三位有效数字)
【答案】 (1)5.25　(2)1.50　3.50　(3)10.0
【解析】 (1)20分度游标卡尺的精确度为0.05 mm,该遮光条的宽度d=5 mm+5×0.05 mm=
5.25 mm。
(2)根据极短时间内的平均速度近似等于瞬时速度,遮光条通过光电门1的速度v1==
1.50 m/s,遮光条通过光电门2的速度v2==3.50 m/s。
(3)根据位移与速度关系式得滑块的加速度大小为
a==10.0 m/s2。
3.(2025·河南郑州模拟)某同学用图甲所示的实验装置研究小车沿斜面向下运动的规律。安装好器材后,接通电源,释放小车,打出一条纸带。舍去开始密集的点迹,从便于测量的点开始,每隔四个点取一个计数点,如图乙中0、1、2、…、7点所示。
(1)实验中,除打点计时器、小车、长木板、铁架台、导线及开关外,在下面的器材中,还必须使用的有　　　　。(多选,填字母)
A.电压合适的50 Hz交流电源　B.电压可调的直流电源　C.刻度尺　D.秒表　E.天平
(2)某同学计算出打下1、2、3、4、5这五个计数点时小车的速度,并在图丙中画出坐标点。请帮助他计算打下计数点6时小车的速度v=　　　　 m/s,并在图丙中标出计数点6对应的坐标点,作出v-t图线。
(3)根据图丙,测得小车的加速度大小a=　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
(4)某同学把这条纸带每隔T=0.1 s剪断,得到若干短纸条,测得长度依次为L1、L2、…、L7(单位:m)。再把这些纸条并排贴在一张纸上,如图丁所示,使这些纸条的下端对齐,作为时间轴,并以纸带的宽度代表T的时间间隔。这些短纸条上端的中心点近似在一条直线上,该同学把它们连接起来作出图线①。若将图线①转化为小车的v-t图像,则图丁中纵坐标位置标出的速度值为　　　　(用题中字母表示)。该同学发现每段短纸条上的第2个点也近似在同一条直线上,如图线②所示。若测得图线②的斜率为k,则小车的加速度a与斜率k的关系式为　　　。
【答案】 (1)AC　(2)0.57　图见解析　(3)0.43　(4)　a=2.5k
【解析】 (1)必须使用电压合适的50 Hz交流电源给打点计时器供电,需要用刻度尺测量计数点之间的距离,故选AC。
(2)电源频率为50 Hz,每隔四个点取一个计数点,故相邻两计数点之间的时间间隔为0.1 s,则打下计数点6时小车的速度为
v= m/s=0.57 m/s。
如图所示。
(3)小车的加速度大小a== m/s2=0.43 m/s2。
(4)因为剪断的纸带所用的时间都是T=0.1 s,即时间T相等,所以纸带的长度之比等于此段纸带的平均速度之比,而此段纸带的平均速度等于这段纸带中间时刻的瞬时速度,即纸带的高度之比等于中间时刻瞬时速度之比,则题图丁中纵坐标位置标出的速度值为v=。v-t图像的斜率表示加速度,根据图线②可知斜率k=,解得a=2.5k。第1讲　运动的描述
课时作业
对点1.对质点、参考系、位移的理解
1.(2025·河南洛阳期中)“时节序鳞次,古今同雁行。甘英穷西海,四万到洛阳。”雁群在天空中行进时,一般都是排成“人”字阵或“一”字斜阵,如图所示,这是雁群为了长途迁徙而采取的有效措施。下列说法正确的是(　　)
A.研究雁群的行进情况,一定以地面作为参考系
B.雁群的行进情况与参考系的选取无关
C.研究头雁扇动翅膀产生气流的影响时,可以将头雁看作质点
D.研究雁群从北方迁往南方所用的时间时,可以将雁群看作质点
【答案】 D
【解析】 参考系的选择可以是任意的,研究雁群的行进情况,不一定以地面作为参考系,A错误;物体的运动状态与参考系的选取有关,B错误;研究头雁扇动翅膀产生气流的影响时,不能忽略头雁的形状、大小,不能将头雁看作质点,C错误;研究雁群从北方迁往南方的时间时,雁群的形状、大小可以忽略,可以将雁群看作一个质点,故D正确。
2.(2025·安徽滁州期中)如图所示,自行车在水平地面上做匀速直线运动。车轮外边缘半径为R,气门芯距轮心的距离为r,自行车行驶过程中轮胎不打滑,初始时刻气门芯在最高点,不考虑车轮的形变。气门芯从初始时刻到第一次运动至最低点过程中,下列判断正确的是(　　)
A.气门芯通过的路程为2r+πR
B.气门芯通过的位移大小为2r
C.气门芯通过的位移大小为
D.气门芯通过的路程为
【答案】 C
【解析】 当气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方时,轮子向前运动半个周长,如图所示,气门芯的位移大小为x==,B错误,C正确;气门芯通过的轨迹为曲线,路程不等于位移大小,A、D错误。
对点2.平均速度和瞬时速度
3.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔期中)寓言《龟兔赛跑》中说:乌龟和兔子同时从起点跑出,兔子在远远超过乌龟时,便骄傲地睡起了大觉,它一觉醒来,发现乌龟已悄悄地爬到了终点,后悔不已。在整个赛跑过程中,下列说法正确的是(　　)
A.兔子骄傲的原因是在瞬时速度上有优势
B.兔子骄傲的原因是在全段运动的平均速度上有优势
C.乌龟获胜的原因是在全段运动的平均速度上有优势
D.乌龟获胜的原因是在瞬时速度上有优势
【答案】 AC
【解析】 在兔子睡觉之前,兔子和乌龟运动的时间相同,兔子通过的路程长,所以兔子跑得快,即兔子在瞬时速度上有优势;在整个过程中,兔子和乌龟通过的路程相同,乌龟用的时间短,所以乌龟运动得快,即乌龟在全段运动的平均速度上有优势,故A、C正确,B、D错误。
4.(多选)如图所示,物体沿曲线ABCDE轨迹的箭头方向运动,沿AB、ABC、ABCD、ABCDE四段轨迹运动所用的时间分别是1 s、2 s、3 s、4 s。图中方格的边长均为1 m。下列说法正确的是(　　)
A.物体在AB段的平均速度大小为1 m/s
B.物体在ABC段的平均速度大小为 m/s
C.AB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度
D.物体在ABCDE段的平均速率为 m/s
【答案】 ABC
【解析】 物体在AB段的路径为直线,则位移大小为1 m,因此平均速度大小为v==1 m/s,故A正确;物体在ABC段的位移大小为x′= m= m,则平均速度大小为v′== m/s,故B正确;物体在t～t+Δt过程中,Δt越小时的平均速度越接近t时的瞬时速度,可知AB段的平均速度比ABC段的平均速度更接近A点的瞬时速度,故C正确;物体在ABCDE段的位移大小为3 m,其平均速度大小为 m/s,而该过程的路程大于位移,故平均速率大于 m/s,故D错误。
对点3.加速度
5.(2025·浙江台州期中)我国民营航天公司自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭,在酒泉卫星发射中心圆满完成十公里级垂直起降返回飞行试验。如图为某次回收火箭减速降落时所拍摄的照片,下列说法正确的是(　　)
A.火箭降落过程中,其加速度的方向与速度的方向相同
B.火箭降落过程中,速度减小,加速度也一定减小
C.火箭落地前的瞬间,其加速度一定为零
D.火箭速度变化率越大,其加速度就越大
【答案】 D
【解析】 火箭降落过程中,速度减小,其加速度的方向与速度的方向相反,加速度不一定减小,A、B错误;火箭落地前的瞬间,其加速度不为零,C错误;速度变化率即加速度,所以火箭速度变化率越大,其加速度就越大,D正确。
6.(2025·河南新乡阶段练习)混合接力赛的泳姿有:仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳,其中“蛙泳”是一种人类模仿青蛙游泳动作的游泳姿势,图甲为运动员蛙泳时蹬腿加速及惯性前进过程,将这两个过程各自简化为水平方向的直线运动,其v-t图像如图乙所示。求:
(1)0～0.2 s内的速度变化量;
(2)0.3 s时运动员的加速度。
【答案】 (1)1.4 m/s,方向与运动员前进方向相同
(2)- m/s2,方向与运动员前进方向相反
【解析】 (1)0～0.2 s内的速度变化量
Δv1=(2.4-1.0) m/s=1.4 m/s,
方向与运动员前进方向相同。
(2)0.2～0.5 s内的速度变化量
Δv2=(2.0-2.4) m/s=-0.4 m/s,
由a2=代入数据解得0.3 s时运动员的加速度
a2= m/s2=- m/s2,
“-”表示方向与运动员前进方向相反。
对点4.运动图像对运动的描述
7.(2025·福建厦门三模)小明同学参加折返跑比赛,从静止开始由起点出发跑到距起点30 m处的折返点,再跑回起点,则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是(　　)
A　 　B
C　 　D
【答案】 C
【解析】 折返跑比赛的初始位移为零,末位移也为零,B错误;位移—时间图像中,一个时刻不可能对应两个位移,D错误;该同学从静止开始运动,t=0时刻速度为零,t=0时刻图像切线与时间轴平行,A错误,C正确。
8.(2024·河北卷,3)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的 vt 图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
【答案】 A
【解析】 由图像可知,图像第四象限表示篮球向下运动,速度为负值,当向下运动到速度最大时篮球与地面接触并减速至0,之后速度方向变为向上,并由于地面弹力的作用先做加速运动至速度最大,然后做减速运动,故第一次反弹后上升至a点,此时速度第一次向上减为零,到达离地面最远的位置。故四个点中篮球位置最高的是a点。
9.(2025·江苏连云港阶段练习)将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环,不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从P点沿纸带中线向前爬行,当其再一次来到P点的整个过程中,蚂蚁的(　　)
A.路程为L
B.位移的大小为L
C.加速度始终不为零
D.平均速度不为零
【答案】 C
【解析】 路程指运动轨迹的长度,可知再次来到P点,蚂蚁的路程为2L,A错误;位移指由初位置指向末位置的有向线段,题中初、末位置相同,则蚂蚁的位移为0,B错误;题图中蚂蚁的速度大小一定,方向在变化,可知速度在变化,根据加速度定义式可知,蚂蚁的加速度始终不为零,C正确;平均速度等于位移与时间之比,结合上述可知,蚂蚁的位移为零,则蚂蚁的平均速度为零,故D错误。
10.(多选)(2025·山西大同阶段练习)一物体做速度均匀变化的直线运动,某时刻速度的大小为 6 m/s,1 s后速度的大小变为10 m/s,则在这1 s内该物体的(　　)
A.速度变化的大小可能小于4 m/s
B.速度变化的大小可能大于10 m/s
C.加速度的大小可能小于4 m/s2
D.加速度的大小可能大于10 m/s2
【答案】 BD
【解析】 以物体某时刻速度方向为正方向,若1 s后速度方向与正方向相同,则Δv1=v-v0=
10 m/s-6 m/s=4 m/s,a1== m/s2=4 m/s2;若1 s后速度方向与正方向相反,则Δv2=v′-v0=
-10 m/s-6 m/s=-16 m/s,速度变化大小为16 m/s,负号表示速度变化方向与正方向相反,a2=
= m/s2=-16 m/s2,负号表示加速度方向与正方向相反,故选项B、D正确,A、C错误。
11.(2025·云南红河阶段练习)学校的400 m运动场平面图如图所示,校运动会上,甲同学参加了400 m 赛跑,以D为起点逆时针跑动,最终取得80 s的成绩;乙同学参加了100 m短跑,以A为起点逆时针跑动,冲过终点线D瞬间的速度v=11 m/s,最终取得11 s的成绩。求:
(1)甲同学全程的平均速度;
(2)甲同学全程的平均速率;
(3)乙同学的平均加速度的大小和方向。
【答案】 (1)0　(2)5 m/s
(3)1 m/s2,方向由A指向D
【解析】 (1)甲同学参加了400 m赛跑,以D为起点逆时针跑动,全程位移为零,根据平均速度等于位移与时间的比值可知,平均速度为0。
(2)甲同学参加了400 m赛跑,以D为起点逆时针跑动,全程路程为400 m,根据平均速率等于路程与时间的比值可得
== m/s=5 m/s。
(3)根据加速度定义式得
a== m/s2=1 m/s2,
方向由A指向D。第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
课时作业
对点1.自由落体运动
1.(多选)如图所示,在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c,离桌面高度分别为h1、h2、h3,h1∶h2∶h3=3∶2∶1,若先后依次释放a、b、c,三球刚好同时落到桌面上,不计空气阻力,则(　　)
A.三者到达桌面时的速度大小之比是 ∶∶1
B.三者运动时间之比为3∶2∶1
C.b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比,与质量成反比
【答案】 AC
【解析】 由v2=2gh得v=,故v1∶v2∶v3=∶∶1,A正确;由h=gt2得t=,故t1∶t2∶t3=∶∶1,B错误;b与a开始下落的时间差Δt1=(-),c与b开始下落的时间差Δt2=(-1),Δt1<Δt2,C正确;三个小球的加速度与所受重力及质量无关,都等于重力加速度,D错误。
2.(2025·广东汕头期末)某款“眼疾手快”玩具用来锻炼人的反应能力与手眼协调能力。如图所示,该玩具的圆棒长度L=0.55 m,游戏者将手放在圆棒的正下方,手(视为质点)离圆棒下端的距离h=1.25 m,不计空气阻力,重力加速度大小g取10 m/s2,圆棒由静止释放的时刻为0时刻,游戏者能抓住圆棒的时刻可能是(　　)
A.0.45 s B.0.49 s
C.0.54 s D.0.62 s
【答案】 C
【解析】 圆棒由静止释放到圆棒下端经过手时,有h=g,圆棒上端经过手时,有h+L=g,代入数据解得t1=0.5 s,t2=0.6 s,可知游戏者能抓住圆棒的时刻应在0.5～0.6 s之间,C正确。
3.(2025·辽宁丹东模拟)如图所示,A、B两小球用等长的细线悬挂在倾角为30°的直杆上,现同时剪断细线,A球比B球晚落地0.2 s,B球与地面的高度差h=5 m,不计空气阻力,g取10 m/s2,则(　　)
A.A球与地面的高度差为6 m
B.A、B两小球释放前相距4.4 m
C.若先剪断悬挂B球的细线,A、B两球有可能同时落地
D.A球比B球在空中运动的时间长,所以A球的速度变化率比B球的大
【答案】 B
【解析】 设B球落地用时为t,则有5 m=gt2,对A球有h′=g(t+0.2)2,联立解得h′=7.2 m,A错误;A、B两小球释放前高度差为Δh=7.2 m-5 m=2.2 m,则相距为s==4.4 m,B正确;B球离地面近,若先剪断悬挂B球的细线,B球会更早于A球落地,C错误;速度变化率即为加速度,两球加速度均为重力加速度,速度变化率相同,D错误。
对点2.竖直上抛运动
4.(2023·广东卷,3)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中,可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度。随后激光关闭,铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
【答案】 D
【解析】 铯原子团仅受重力的作用,加速度g竖直向下,大小恒定,在vt图像中,斜率表示加速度,故斜率不变,图像应该是一条倾斜的直线,故A、B错误;因为加速度恒定,且方向竖直向下,为负值,故C错误,D正确。
5.(2025·浙江杭州开学考试)如图甲所示是儿童喜欢玩的“抓子”游戏,能很好地培养儿童的反应和肢体协调能力。具体玩法:儿童将小石子以初速度v0从Q点正上方离地高h处的O点竖直向上抛出,然后迅速用同一只手沿如图乙所示轨迹运动,将水平地面上相隔一定距离的P、Q处的小石子捡起,并将抛出的石子在落地前接住。已知某次游戏中h=40 cm,P、Q相距30 cm,儿童手移动的平均速率为2 m/s,不计抓石子的时间,重力加速度g取10 m/s2,则v0至少为(　　)
A.0.5 m/s B.1 m/s
C.1.5 m/s D.2 m/s
【答案】 B
【解析】 由题可得,手从O经过P到Q移动的时间至少为t== s=0.4 s,取竖直向上的方向为正方向,根据匀变速直线运动公式可得-h=v0t-gt2,解得v0=1 m/s,B正确。
6.(多选)(2025·四川绵阳模拟)在t=0时刻,从水平地面以初速度v0竖直上抛一小球a,同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b,重力加速度为g,不计空气阻力,则(　　)
A.若两球同时落地,则v0=
B.若两球同时落地,则v0=
C.若a、b能在空中相遇,则相遇时刻t=
D.若a、b能在空中相遇,则相遇时刻t=
【答案】 AC
【解析】 由题意,根据自由落体运动规律,设b球落地时间为tb,则H=g,若两球同时落地,a球在空中运动时间为=tb,解得v0=,A正确,B错误;若a、b能在空中相遇,根据竖直上抛运动和自由落体运动的规律可知,二者在空中相遇时有v0t-gt2+gt2=H,解得t=,C正确,
D错误。
7.(2025·四川绵阳期末)如图所示为感应门的正上方俯视图,虚线圆是传感器的感应范围,当传感器探测到人行走到虚线圆位置处,指令双门立即同时分别向左、右平移开门。每扇门每次开启时都先匀加速运动,达到最大速度后立即以大小相等的加速度匀减速运动,完全开启时的速度刚好减为零,每扇门移动的距离等于门的宽度。已知门的宽度d=2 m,平移加速度大小为0.5 m/s2,人步行的速度大小范围为1 m/s≤vn≤2 m/s。为保证所有进门的人从虚线圆上某点径直走到A点正下方时,门都已经完全打开,则传感器的感应半径最小应该设置为(　　)
A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m
【答案】 A
【解析】 门开启时做匀加速运动,有d=a,解得t1== s=2 s,根据对称性可知,门完全打开所用时间为t=2t1=4 s。为保证所有进门的人从虚线圆上某点径直走到A点正下方时,门都已经完全打开,则传感器的感应半径最小应该设置为rmin=vnmaxt=2×4 m=8 m,故选A。
对点3.匀变速直线运动中的多过程问题
8.据统计,开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍,开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆汽车在平直公路上以某一速度行驶时,司机低头看手机3 s相当于盲开60 m,该车遇见紧急情况,紧急刹车的距离(从开始刹车到停下时汽车所行驶的距离)至少是25 m。根据以上提供的信息,
(1)求汽车刹车的最大加速度;
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时,前方150 m处出现意外,该车司机低头看手机3 s后才发现危险,已知司机的反应时间为0.6 s,刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明是否会发生交通事故。
【答案】 (1)8 m/s2　(2)会,计算见解析
【解析】 (1)根据题意,低头看手机3 s相当于盲开60 m,则汽车行驶的速度大小为v==20 m/s,
设紧急刹车的最大加速度为a,由刹车的逆过程得
a== m/s2=8 m/s2。
(2)在高速公路上汽车的速度为
v′=108 km/h=30 m/s,
司机看手机过程汽车的位移为
x1=v′t=30×3 m=90 m,
反应时间内的位移为
x2=v′Δt=30×0.6 m=18 m,
刹车后汽车的位移为
x3== m=56.25 m,
所以汽车的总位移为
x′=x1+x2+x3=164.25 m>150 m,
所以会发生交通事故。
9.(2025·山西晋城期中)取一根轻质长细线,在线的下端系上1个薄铁片,依次相隔12 cm、
36 cm、60 cm分别系上第2个、第3个和第4个薄铁片,如图所示。用手提起线的上端,让线自由下垂,且第1个铁片恰好紧贴在地面上。从松手后开始计时,已知各铁片均沿直线运动,不计空气阻力,则(　　)
A.第2、3、4个铁片下落的时间之比为1∶4∶9
B.第2、3、4个铁片落地时的速度之比为1∶2∶3
C.第3个与第2个铁片落地的时间差小于第4个与第3个铁片落地的时间差
D.第3个与第2个铁片落地的时间差大于第4个与第3个铁片落地的时间差
【答案】 B
【解析】 各薄铁片同时开始做自由落体运动并最终落到第1个薄铁片上,根据h=gt2,解得t=,又h2∶h3∶h4=1∶4∶9,有t2∶t3∶t4=1∶2∶3,A错误;根据速度与时间的关系v=gt,可知v2∶v3∶v4=1∶2∶3,B正确;根据A项分析可知t4-t3=t3-t2,C、D错误。
10.(2025·河北一模)比赛中,运动员将网球竖直向上抛出,并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中,最初0.4 s与最后0.4 s 内上升的高度之比为2∶1,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A.1.2 m B.1 m
C.0.8 m D.0.6 m
【答案】 B
【解析】 网球上升过程中,最后0.4 s内上升的高度h1=gt2=0.8 m,可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2=2h1=1.6 m,设网球抛出时的初速度大小为v0,则有v0t-gt2=h2,解得v0=6 m/s,所以击球瞬间网球至抛出点的距离h=v0t′-gt′2,其中t′=1 s,解得h=1 m,故选B。
11.(2025·四川内江检测)如图所示,有一空心上下无底的弹性圆筒,它的下端距水平地面的高度为H(已知量),筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球,现让小球和圆筒同时由静止自由落下,圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的,它与地面的碰撞时间极短,可看作瞬间反弹,运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下,它的底端与小球同时到达地面(在此之前小球未碰过地),重力加速度为g,不计空气阻力,求:
(1)圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度hmax;
(2)小球从释放到第一次落地所经历的时间t球以及圆筒的长度L。
【答案】 (1)H　(2)　H
【解析】 (1)圆筒第一次落地前做自由落体运动,
有2gH=,
圆筒第一次落地弹起后到最高点做加速度为g的匀减速直线运动,
有-2ghmax=0-(v筒) 2,
联立解得hmax=H。
(2)根据h=gt2可得,
圆筒第一次落地的时间t1=,
圆筒第一次弹起后到最高点的时间
t2==,
圆筒第一次弹起后到落地时与小球同时到达地面,所以小球从释放到第一次落地所经历的
时间
t球=t1+2t2=+2×=,
可知小球下落的高度
h球=g=H,
则圆筒的长度L=h球-H=H。第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
对点1.自由落体运动
1.(多选)如图所示,在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c,离桌面高度分别为h1、h2、h3,
h1∶h2∶h3=3∶2∶1,若先后依次释放a、b、c,三球刚好同时落到桌面上,不计空气阻力,则(　　)
A.三者到达桌面时的速度大小之比是 ∶∶1
B.三者运动时间之比为3∶2∶1
C.b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比,与质量成反比
2.(2025·广东汕头期末)某款“眼疾手快”玩具用来锻炼人的反应能力与手眼协调能力。如图所示,该玩具的圆棒长度L=0.55 m,游戏者将手放在圆棒的正下方,手(视为质点)离圆棒下端的距离h=1.25 m,不计空气阻力,重力加速度大小g取10 m/s2,圆棒由静止释放的时刻为0时刻,游戏者能抓住圆棒的时刻可能是(　　)
A.0.45 s B.0.49 s C.0.54 s D.0.62 s
3.(2025·辽宁丹东模拟)如图所示,A、B两小球用等长的细线悬挂在倾角为30°的直杆上,现同时剪断细线,A球比B球晚落地0.2 s,B球与地面的高度差h=5 m,不计空气阻力,g取10 m/s2,则(　　)
A.A球与地面的高度差为6 m
B.A、B两小球释放前相距4.4 m
C.若先剪断悬挂B球的细线,A、B两球有可能同时落地
D.A球比B球在空中运动的时间长,所以A球的速度变化率比B球的大
对点2.竖直上抛运动
4.(2023·广东卷,3)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中,可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度。随后激光关闭,铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
5.(2025·浙江杭州开学考试)如图甲所示是儿童喜欢玩的“抓子”游戏,能很好地培养儿童的反应和肢体协调能力。具体玩法:儿童将小石子以初速度v0从Q点正上方离地高h处的O点竖直向上抛出,然后迅速用同一只手沿如图乙所示轨迹运动,将水平地面上相隔一定距离的P、Q处的小石子捡起,并将抛出的石子在落地前接住。已知某次游戏中h=40 cm,P、Q相距30 cm,儿童手移动的平均速率为2 m/s,不计抓石子的时间,重力加速度g取10 m/s2,则v0至少为(　　)
A.0.5 m/s B.1 m/s
C.1.5 m/s D.2 m/s
6.(多选)(2025·四川绵阳模拟)在t=0时刻,从水平地面以初速度v0竖直上抛一小球a,同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b,重力加速度为g,不计空气阻力,则(　　)
A.若两球同时落地,则v0=
B.若两球同时落地,则v0=
C.若a、b能在空中相遇,则相遇时刻t=
D.若a、b能在空中相遇,则相遇时刻t=
7.(2025·四川绵阳期末)如图所示为感应门的正上方俯视图,虚线圆是传感器的感应范围,当传感器探测到人行走到虚线圆位置处,指令双门立即同时分别向左、右平移开门。每扇门每次开启时都先匀加速运动,达到最大速度后立即以大小相等的加速度匀减速运动,完全开启时的速度刚好减为零,每扇门移动的距离等于门的宽度。已知门的宽度d=2 m,平移加速度大小为0.5 m/s2,人步行的速度大小范围为1 m/s≤vn≤2 m/s。为保证所有进门的人从虚线圆上某点径直走到A点正下方时,门都已经完全打开,则传感器的感应半径最小应该设置为(　　)
A.8 m B.6 m
C.4 m D.2 m
对点3.匀变速直线运动中的多过程问题
8.据统计,开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍,开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆汽车在平直公路上以某一速度行驶时,司机低头看手机3 s相当于盲开60 m,该车遇见紧急情况,紧急刹车的距离(从开始刹车到停下时汽车所行驶的距离)至少是25 m。根据以上提供的信息,
(1)求汽车刹车的最大加速度;
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时,前方150 m处出现意外,该车司机低头看手机3 s后才发现危险,已知司机的反应时间为0.6 s,刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明是否会发生交通事故。
9.(2025·山西晋城期中)取一根轻质长细线,在线的下端系上1个薄铁片,依次相隔12 cm、
36 cm、60 cm分别系上第2个、第3个和第4个薄铁片,如图所示。用手提起线的上端,让线自由下垂,且第1个铁片恰好紧贴在地面上。从松手后开始计时,已知各铁片均沿直线运动,不计空气阻力,则(　　)
A.第2、3、4个铁片下落的时间之比为1∶4∶9
B.第2、3、4个铁片落地时的速度之比为1∶2∶3
C.第3个与第2个铁片落地的时间差小于第4个与第3个铁片落地的时间差
D.第3个与第2个铁片落地的时间差大于第4个与第3个铁片落地的时间差
10.(2025·河北一模)比赛中,运动员将网球竖直向上抛出,并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中,最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A.1.2 m B.1 m
C.0.8 m D.0.6 m
11.(2025·四川内江检测)如图所示,有一空心上下无底的弹性圆筒,它的下端距水平地面的高度为H(已知量),筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球,现让小球和圆筒同时由静止自由落下,圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的,它与地面的碰撞时间极短,可看作瞬间反弹,运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下,它的底端与小球同时到达地面(在此之前小球未碰过地),重力加速度为g,不计空气阻力,求:
(1)圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度hmax;
(2)小球从释放到第一次落地所经历的时间t球以及圆筒的长度L。第5讲　实验:测量做直线运动物体的瞬时速度
1.(2025·浙江杭州期中)实验小组用打点计时器、平板、小车等器材做研究匀变速直线运动的实验。
(1)穿入打点计时器限位孔的纸带,正确的是　　　　(选填“甲”或“乙”)。
(2)图丙是学生即将释放小车之前的装置图,关于图示及操作,以下存在错误的是　　　　。(多选,填字母)
A.细线与木板不平行
B.小车释放的位置离计时器较远
C.无论什么计时器,使用时均要先接通电源,后释放纸带
(3)下列实验步骤的正确顺序是　　　　。(填字母)
A.关闭电源,取下纸带
B.将小车停靠在打点计时器附近,小车尾部与纸带相连
C.把打点计时器固定在木板上,让纸带穿过限位孔
D.接通电源后,放开小车
(4)本实验中,算出小车经过各计数点的瞬时速度后,为了计算加速度,最合理的方法是　　　　。(填字母)
A.根据任意两计数点的速度用公式算出加速度
B.画出vt图像,量出其倾角α,由a=tan α算出加速度
C.画出vt图像,由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间,用公式a=算出加速度
D.依次算出连续两点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度
2.某实验小组用如图甲所示装置来测量物体做匀变速直线运动的加速度,在水平气垫导轨上放置一滑块(滑块上固定有遮光条),一不可伸长的细绳跨过轻质定滑轮,两端分别与滑块和悬挂物连接,滑块和滑轮间的细绳与导轨平行。滑块由静止释放,测得滑块上遮光条通过光电门1、2的遮光时间。已知遮光条的宽度为d,光电门1、2中心间的距离为L,回答下列问题。
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度d,示数如图乙所示。该遮光条的宽度d=　　　　 mm。
(2)实验过程中测得遮光条通过光电门1、2的遮光时间分别为Δt1=0.003 5 s、Δt2=0.001 5 s。遮光条通过第一个光电门的速度大小为v1=　　　　 m/s,遮光条通过第二个光电门的速度大小为v2=　　　 m/s。(结果均保留三位有效数字)
(3)测得两光电门之间的距离L=0.5 m,滑块的加速度大小为a=　　　　 m/s2。(结果保留三位有效数字)
3.(2025·河南郑州模拟)某同学用图甲所示的实验装置研究小车沿斜面向下运动的规律。安装好器材后,接通电源,释放小车,打出一条纸带。舍去开始密集的点迹,从便于测量的点开始,每隔四个点取一个计数点,如图乙中0、1、2、…、7点所示。
(1)实验中,除打点计时器、小车、长木板、铁架台、导线及开关外,在下面的器材中,还必须使用的有　　　　。(多选,填字母)
A.电压合适的50 Hz交流电源
B.电压可调的直流电源
C.刻度尺
D.秒表
E.天平
(2)某同学计算出打下1、2、3、4、5这五个计数点时小车的速度,并在图丙中画出坐标点。请帮助他计算打下计数点6时小车的速度v=　　　　 m/s,并在图丙中标出计数点6对应的坐标点,作出vt图线。
(3)根据图丙,测得小车的加速度大小a=　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
(4)某同学把这条纸带每隔T=0.1 s剪断,得到若干短纸条,测得长度依次为L1、L2、…、L7(单位:m)。再把这些纸条并排贴在一张纸上,如图丁所示,使这些纸条的下端对齐,作为时间轴,并以纸带的宽度代表T的时间间隔。这些短纸条上端的中心点近似在一条直线上,该同学把它们连接起来作出图线①。若将图线①转化为小车的vt 图像,则图丁中纵坐标位置标出的速度值为　　　　(用题中字母表示)。该同学发现每段短纸条上的第2个 点也近似在同一条直线上,如图线②所示。若测得图线②的斜率为k,则小车的加速度a与斜率k的关系式为
　　　　　　。

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