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第4讲　牛顿第三定律　共点力的平衡
课时作业
对点1.牛顿第三定律
1.(2025·湖南娄底模拟)一人用手推水平地面上的汽车但未推动。下列说法正确的是(　　)
A.人对汽车的推力和汽车对人的力是一对平衡力
B.汽车受到的重力和地面对汽车的支持力是一对作用力与反作用力
C.人对汽车的推力和地面对汽车的摩擦力是一对平衡力
D.地面对汽车的支持力和汽车对地面的压力是一对平衡力
【答案】 C
【解析】 人对汽车的推力和汽车对人的力,这两个力分别作用在汽车和人这两个不同物体上,根据作用力与反作用力的定义,它们是一对作用力与反作用力,而非平衡力,故A错误;汽车受到的重力方向竖直向下,地面对汽车的支持力方向竖直向上,这两个力都作用在汽车上,且汽车在竖直方向静止,满足平衡力“同体、等大、反向、共线”的条件,是一对平衡力,并非作用力与反作用力,故B错误;人对汽车有推力,汽车未被推动处于静止状态,在水平方向上受到平衡力作用,此时地面对汽车有摩擦力,推力和摩擦力都作用在汽车上,方向相反且大小相等,满足平衡力条件,是一对平衡力,故C正确;地面对汽车的支持力作用在汽车上,汽车对地面的压力作用在地面上,这两个力分别作用在两个不同物体上,是一对作用力与反作用力,不是平衡力,故D错误。
2.(多选)(2025·重庆期中)如图所示为某高山滑雪运动员在倾斜赛道上沿直线下滑时的情景,下列说法正确的是(　　)
A.赛道对滑雪板的摩擦力方向沿赛道斜向下
B.赛道对滑雪板的摩擦力方向沿赛道斜向上
C.滑雪板受到的摩擦力与赛道受到的摩擦力是一对平衡力
D.滑雪板受到的摩擦力与赛道受到的摩擦力是一对作用力与反作用力
【答案】 BD
【解析】 滑雪运动员在倾斜赛道上沿直线下滑时,赛道对滑雪板的摩擦力方向与滑雪板相对赛道的运动方向相反,为沿赛道斜向上,故A错误,B正确;赛道在给滑雪板施加滑动摩擦力的同时,滑雪板也给赛道施加了滑动摩擦力,二者是一对作用力与反作用力,故C错误,D正确。
对点2.受力分析
3.(2025·重庆模拟)如图所示,一艘船静止在水面上,其粗糙外壁面与竖直方向夹角为θ,一可视为质点的机器人通过磁铁吸附在外壁上并与船保持静止,磁力垂直于壁面,则该机器人受力个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 C
【解析】 机器人与船保持静止,受力分析如图所示,机器人共受4个力。故选C。
4.(2025·贵州黔东南一模)平衡术对人的观察能力和动手能力要求较高,极其锻炼人的耐心。小强同学在海边堆放了一些石块,如图所示,石块A、B的接触面水平,不计空气的作用力,下列说法正确的是(　　)
A.最上面的石块D一定只受两个力作用
B.心形石块E一定不受摩擦力作用
C.石块C可能受到6个力的作用
D.石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上
【答案】 D
【解析】 因为不知道接触面是否水平,所以最上面的石块D可能受摩擦力作用,心形石块E也有可能受摩擦力作用,故A、B错误;石块C最多受到重力、左右两边石块对它的两个摩擦力和两个弹力,共5个力的作用,故C错误;石块A、B的接触面水平,把石块A及其上面的石块看作整体,根据二力平衡条件可知,石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上,故D正确。
对点3.共点力的平衡
5.(2025·广东模拟)有一挂在架子上的双层晾衣篮,上、下篮子完全相同且保持水平,每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成,两篮通过四根等长的轻绳分别与钢圈的四等分点相连,上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图所示,则上、下各一根绳中的张力大小之比为(　　)
A.1∶1 B.2∶1
C.5∶2 D.5∶4
【答案】 C
【解析】 对上下两篮子整体分析,设晾衣篮总质量为2m,如图所示,根据平衡条件和对称关系可知,每根绳上的拉力竖直向上的分量为·2mg=mg,设绳与篮子平面夹角为θ,由几何关系得cos θ===0.6,F1sin θ=mg,解得F1=mg,隔离下面篮子,对下面篮子受力分析,根据平衡条件可知,F2=mg,则F1∶F2=5∶2,故C正确,A、B、D错误。
6.(多选)(2025·福建阶段练习)如图所示,用三根轻绳a、b、c将质量均为m的两个灯笼1、2悬挂起来。两灯笼静止时,轻绳a与竖直方向的夹角为30°,轻绳c水平,三根轻绳能承受的最大拉力均相等,重力加速度为g,则(　　)
A.轻绳a中的拉力大小为mg
B.轻绳c中的拉力大小为mg
C.轻绳b中的拉力大小为mg
D.若增大m,轻绳a最先被拉断
【答案】 AD
【解析】 将两个灯笼看作一个整体,对整体受力分析,如图所示,根据平衡条件可得
Facos 30°=2mg,Fasin 30°=Fc,解得轻绳a中的拉力大小Fa=mg,A正确;轻绳c中的拉力大小为Fc=Fasin 30°=mg,B错误;对灯笼2受力分析,由平衡条件得,轻绳b中的拉力大小为Fb==mg,C错误;由于轻绳a的拉力最大,因此增大m,轻绳a最先被拉断,D
正确。
7.(2025·四川乐山三模)如图所示,一半径为R、质量为3m的半球放在水平地面上,O点是球心,在O点正上方 R处固定一钉子A,长度为R的轻质细绳一端拴在A上,另一端连接质量为m的光滑小球(可视为质点),整个系统处于静止状态。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.细绳对小球的拉力为mg
B.半球对小球的支持力为mg
C.地面对半球的支持力为4mg
D.地面对半球的摩擦力为零
【答案】 A
【解析】 如图所示,由几何关系可得△ABO是底角为30°的等腰三角形,以小球为研究对象,受力分析可得FN=FT,FNcos 30°+FTcos 30°=mg,解得细绳对小球的拉力为FT=mg,半球对小球的支持力为FN=mg,故A正确,B错误;以小球和半球为整体,根据平衡条件可得地面对半球的支持力为FN地=4mg-FTcos 30°=mg,地面对半球的摩擦力为Ff地=FTsin 30°=mg,故C、D错误。
8.(2025·陕西西安模拟)如图所示,有40个质量相等的小球(可视为质点),将它们用长度相等的轻绳依次连接,再将两端固定在天花板上,静止时,连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为30°,已知每个小球的重力均为1 N,则第15个小球与第16个小球之间轻绳的张力大小为(　　)
A.14 N B.28 N C.35 N D.45 N
【答案】 C
【解析】 每个小球受到的重力均为1 N,以左侧20个小球为整体,受力分析如图甲所示,由共点力的平衡条件可知F=,解得F=20 N;以16到20这五个球为整体,设第15个小球与第16个小球之间轻绳的张力大小为F1,受力分析如图乙所示,根据共点力的平衡条件可得F1=,解得F1=35 N。故选C。
9.(2025·辽宁开学考试)如图所示,物块A放置于水平桌面上,轻绳DO与轻质弹簧的左端及轻绳CO的上端连接于O点,弹簧中轴线沿水平方向,轻绳DO、DE与竖直方向夹角θ相等,均为53°,整个系统均处于静止状态,不计绳与滑轮间的摩擦。已知物块A和B的质量分别为m1=5 kg,m2=1.5 kg,人的质量为m3=50 kg,弹簧的伸长量为4 cm,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)物块A与桌面间的动摩擦因数的最小值;
(3)地面对人的支持力大小。
【答案】 (1)500 N/m　(2)0.4　(3)485 N
【解析】 (1)对结点O受力分析,如图甲所示。根据平衡条件可得竖直方向有
FTcos θ=m2g,
水平方向有FTsin θ=F,
由胡克定律有F=kx,
解得FT=25 N,F=20 N,k=500 N/m。
(2)物块A所受静摩擦力方向水平向右,对物块A受力分析,如图乙所示。根据物体平衡和临界条件,有F=Ff,
又Ff≤Ffmax=μm1g,
解得μ≥0.4,
则物块A与桌面间的动摩擦因数最小为0.4。
(3)对人,竖直方向根据平衡条件可得
FTcos θ+FN=m3g,
解得地面对人的支持力大小为FN=485 N。第3讲　力的合成与分解
课时作业
对点1.共点力的合成
1.(多选)(2025·安徽芜湖模拟)物体静止于水平桌面上,两者之间的最大静摩擦力为5 N,现将水平面内的三个力同时作用于物体上的同一点,三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
【答案】 ABC
【解析】 2 N、2 N、3 N三个力可构成闭合三角形,则三个力的合力范围为0～7 N,由于最大静摩擦力为5 N,因此可判定选项A、B、C正确,D错误。
2.(2025·河北邯郸期中)如图所示,有六个力分别组成正六边形的六个边,还有三个力分别为此正六边形的对角线,若F1已知,这九个力作用在同一点上,则这九个力的合力大小为(　　)
A.0 B.(6+2)F1
C.9F1 D.12F1
【答案】 C
【解析】 根据力的三角形定则,由题图可知,F7和F3的合力为F8,F4和F9的合力为F8,F1和F6的合力为F8,因为是正六边形,所以力的大小关系为F8=2F1,F2=F5=F1,则九个力的合力大小为F合=3F8+F8+F2+F5,联立解得F合=9F1。
3.(2025·河北卷,4)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G C.G D.G
【答案】 B　
【解析】 对小球受力分析可知,当内壁最低点对小球的支持力为零时,拉力F最大,根据平衡条件有2Fmcos 45°=G,解得Fm=G。
对点2.力的分解
4.(教材改编题)如图所示,倾角为15°的斜面上放着一个木箱,现有一个与水平方向成45°角的拉力F斜向上拉着木箱,分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系,把F分解为沿着两个坐标轴的分力,则分力Fx和Fy的大小分别为(　　)
A.Fcos 15°,Fsin 15°
B.Fcos 30°,Fsin 30°
C.Fcos 45°,Fsin 45°
D.Fcos 60°,Fsin 60°
【答案】 B
【解析】 将F沿x轴方向和y轴方向分解,如图所示,根据平行四边形定则,x轴方向上分力为Fx=Fcos (45°-15°)=Fcos 30°,y轴方向分力为Fy=Fsin (45°-15°)=Fsin 30°。故选B。
5.(2025·山东菏泽二模)某兴趣小组探究分力F1、F2与合力F的关系。保持合力F的大小和方向不变,分力F2的大小不变,在如图所示平面内改变分力F2的方向,分力F1的箭头的轨迹图形为(　　)
A　　　　B
C　　　　D
【答案】 A
【解析】 根据三角形定则,分力F1、F2与合力F构成一个矢量三角形,如图所示,保持合力F的大小和方向不变,即F的箭头位置不变,F2的终点不变,且F2大小不变,则F1的箭头的轨迹为以F2的终点为圆心,以F2大小为半径的圆,故A正确,B、C、D错误。
对点3.“活结—死结”模型与“动杆—定杆”模型
6.(2025·安徽模拟)装有物品的手提袋悬挂在光滑的钉子上,手提绳与竖直方向的夹角为θ,手提绳张力大小为F。因为袋中物品倾倒,所以袋体由水平静止状态变为倾斜状态后再次静止,如图所示,此时手提绳与竖直方向的夹角为θ′,手提绳张力大小为F′。不计手提绳质量,则下列判断正确的是(　　)
A.θ=θ′ B.θ<θ′
C.F=F′ D.F>F′
【答案】 D
【解析】 由题意知,绳与竖直方向的夹角为θ,绳子上的拉力为F,2Fcos θ=mg,解得F=;袋体由水平静止状态变为倾斜状态后,θ减小,cos θ增大,所以绳的拉力F′减小,故A、B、C错误,D正确。
7.(2025·江西萍乡三模)如图,甲、乙为两种吊装装置,杆OA的端点O分别固定在水平地面和竖直墙面上,另一端固定一个光滑定滑轮。轻绳绕过定滑轮,一端固定在B点,另一端连接两个相同的物块。装置中的θ均为30°,乙装置中的杆OA水平,定滑轮的质量不计,则甲、乙装置中,定滑轮受到轻绳的作用力大小之比为(　　)
A.∶1 B.1∶
C.∶2 D.2∶
【答案】 A
【解析】 由题意,设重物所受重力为G,可知甲、乙装置中,每段绳的拉力大小等于重物所受的重力大小G,根据平行四边形定则,可得F甲=2Gcos 30°=G,F乙=2Gcos 60°=G,所以F甲∶
F乙=∶1。故选A。
8.(多选)(2025·辽宁葫芦岛一模)逆风能使帆,这是力分解的神奇作用。如图所示,把帆面张在航向(船头指向)和风向之间,因风对帆的压力F垂直于帆面,它会分成两个分力F1、F2,其中F2垂直于船轴(“龙骨”)即航向,会被很大的横向阻力平衡,F1沿着航向,已知帆面与航向之间的夹角为θ,船的总质量为m,下列说法正确的是(　　)
A.F2=Fcos θ
B.船受到的合力是F1
C.F1是船前进的动力
D.若船沿着航向的阻力为F阻,则船的加速度为
【答案】 AC
【解析】 F2垂直于航向,会被很大的横向阻力平衡,根据几何关系可得F2=Fcos θ,故A正确;根据题意可知F1与船运动的方向相同,是船前进的动力,船还受到其他阻力的作用,所以船受到的合力不是F1,故B错误,C正确;若船沿着航向的阻力为F阻,根据牛顿第二定律可得
F合=F1-F阻=Fsin θ-F阻=ma,可得船的加速度a=,故D错误。
9.(2025·安徽专题练习)某同学周末在家大扫除,移动衣橱时,无论怎么推也推不动,于是他组装了一个装置,如图所示,两块相同木板可绕A处的环转动,两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙脚,该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm时,B、C两点的间距L=96 cm,B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg,重力加速度g取
9.8 m/s2,忽略A处的摩擦,此时衣橱受到该装置的水平推力为多大
【答案】 1 470 N
【解析】 该同学站在A点时,重力产生两个作用效果力F1、F2,如图甲所示,
设F1、F2与竖直方向的夹角为θ,则有
F1=F2=,
在B点对F1分解,如图乙所示,
则水平推力为
F=F1sin θ=mgtan θ,
由几何关系得
tan θ=,
联立并代入数据得
F==1 470 N。第2讲　小专题:摩擦力的综合分析
课时作业
对点1.摩擦力的计算
1.(2025·广东模拟)图甲是一种榫卯连接构件,相互连接的两部分P、Q如图乙所示。图甲中构件Q固定在水平地面上,若榫、卯接触面间的动摩擦因数均为μ,各接触面间的弹力大小均为FN,滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等,要用大小为F的力沿P的轴线OO′将P从Q中拉出,则F的大小至少为(　　)
A.6μFN B.4μFN C.2μFN D.μFN
【答案】 A
【解析】 P受到的最大静摩擦力大小为Ff=6μFN,所以要用大小为F的力沿P的轴线OO′将P从Q中拉出,F的大小至少要和P所受的最大静摩擦力相等,即为6μFN,故A正确,B、C、D错误。
2.(2024·山东卷,2)如图所示,国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题意,对机器人分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°,可得μ≥tan 30°=,故选B。
3.(多选)(2025·四川成都期中)如图所示,一质量为m的物块用水平轻质细线连接,细线绕过光滑定滑轮后其下悬挂一质量为m0的物体,物块放在水平传送带上,水平传送带以v2的速度顺时针匀速转动,物块以初速度v1向右运动,传送带与物块间的动摩擦因数为μ。关于物块所受的摩擦力Ff,下列说法正确的是(　　)
A.若v1B.若v1>v2,则Ff=μmg,方向向左
C.若v1=v2,且物块保持匀速运动,则Ff=0
D.若v1=v2,且物块保持匀速运动,则Ff=m0g,方向向左
【答案】 BD
【解析】 若v1v2,则物块相对于传送带向右滑动,故滑动摩擦力方向向左,大小为Ff=μmg,故B正确;若v1=v2,且物块保持匀速运动,由物块处于平衡状态可知,摩擦力方向向左,且大小为Ff=m0g,故C错误,D正确。
4.(2025·河北衡水阶段练习)如图所示,物体A的质量mA=1 kg,物体B的质量mB=2 kg,物体A、物体B、水平面之间的动摩擦因数均为0.5,轻绳和滑轮间的摩擦不计,A、B处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:(g取10 N/kg)
(1)如图1,轻绳跨过光滑定滑轮一端与A水平相连,另一端与物体C竖直相连,C处于静止状态,物体C的最大质量是多少
(2)如图2,物体A用轻绳与墙壁水平相连,另一轻绳跨过光滑定滑轮一端与物体B水平相连,另一端与物体D竖直相连,D处于静止状态,物体D的最大质量是多少
【答案】 (1)0.5 kg　(2)2 kg
【解析】 (1)对物体A受力分析如图甲所示,
根据平衡条件可得
FT=,FBA=mAg,
又FfBA=μFBA,
联立解得FT=5 N;
对物体C受力分析如图乙所示,
根据平衡条件有mCg=FT,又FT=FT′,
解得物体C的最大质量为mC=0.5 kg。
(2)同理对物体A受力分析如图丙所示,可得
FTA=FfBA′=5 N,
对物体B水平方向受力分析如图丁所示(竖直方向受力情况没有画出),
则有FT1=FfAB+Ff地,
其中FfAB=FfBA′=5 N,
Ff地=μ(mA+mB)g=15 N,
解得FT1=20 N,
对物体D受力分析如图戊所示,
则有mDg=FT1′,
又FT1=FT1′,
解得物体D的最大质量为mD=2 kg。
对点2.摩擦力的突变问题
5.如图所示,质量为10 kg 的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端,弹簧的拉力为5 N时,物体A与小车均处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动,则(　　)
A.物体A相对小车向右运动
B.物体A受到的摩擦力减小
C.物体A受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的弹簧的拉力增大
【答案】 C
【解析】 由题意得,物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Ffm≥5 N,当小车加速运动时,假设物体A与小车仍然相对静止,则物体A所受合力大小F合=ma=10 N,可知此时小车对物体A的摩擦力大小为5 N,方向向右,且为静摩擦力,所以假设成立,物体A受到的摩擦力大小不变,故A、B错误,C正确;弹簧长度不变,物体A受到的弹簧的拉力大小不变,故D错误。
6.(多选)(2025·河南开学考试)如图甲所示,在一块足够长的长木板上,放置一个质量m=1.0 kg的小物块。现以木板的下端为轴,缓慢抬起另一端,直至竖直位置,小物块所受摩擦力Ff随木板倾角θ变化的图像如图乙所示,已知重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,sin 53°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
A.在此过程中物块与木板间的最大静摩擦力为6 N
B.在此过程中物块与木板间的最大静摩擦力为4 N
C.物块与木板间的动摩擦因数为0.5
D.物块与木板间的动摩擦因数为0.3
【答案】 AC
【解析】 根据题意,由题图乙可知,当木板与水平面夹角为θ0时,摩擦力变小,可知,物块开始滑动,则物块与木板间的最大静摩擦力为6 N,故A正确,B错误;由平衡条件有Ffm=mgsin θ0=6 N,解得sin θ0=0.6,则有θ0=37°,由题图乙可知,当θ0=37°时,滑动摩擦力为4 N,由Ff=μmgcos θ0,解得μ==0.5,故C正确,D错误。
7.如图所示,物块A、木板B的质量均为m=10 kg,不计A的大小,木板B长L=2 m,开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0=4 m/s从B的最左端开始运动,已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2=0.1。g取10 m/s2,则木板B由开始运动到静止,物块A所受的摩擦力随时间变化的图像正确的是(选v0的方向为正方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A　　 B
C　 　D
【答案】 A
【解析】 刚开始,A、B速度不相等,A、B之间为滑动摩擦力,则Ff1=μ1mg=30 N,方向与v0方向相反,对物块A有a1==3 m/s2,向右减速,对木板B有a2= =1 m/s2,向右加速。设经时间t二者共速,则v0-a1t=a2t,解得t=1 s,则共同运动时速度v=a2t=1 m/s,二者相对位移
x相=xA-xB= t-t=2 m=L,A恰好没有从B上滑下。假设A、B共速后一起做减速运动,由μ2·2mg= 2ma3,得a3=1 m/s2,对A有Ff2=ma3=10 N8.(2025·湖南常德一模)如图,质量分别为mA、mB的两滑块紧贴但不粘连地放在粗糙的水平地面上,滑块B与滑块A接触的那一面固定一个力传感器。两滑块与地面间的动摩擦因数均为μ,从t=0时起,对A施加一个水平向右的外力F,且F=kt(k>0),滑块与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列选项中力传感器测得A、B之间的弹力FN与时间的函数关系图像正确的是(　　)
A　　 　B
C　　 　D
【答案】 C
【解析】 当F=kt<μmAg时,滑块A对B没有弹力,传感器测得的数值为0;当μmAg(mA+mB)g时,传感器测得的数值FN=F-μmAg=kt-μmAg,为一次函数,斜率为k;当F=kt>
μ(mA+mB)g时,滑块A、B一起向右做加速运动,满足F-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a,对B有FN-μmBg=
mBa,得A、B之间的弹力FN=F,为过原点的一次函数,故C正确,A、B、D错误。
9.长方形木板放置在水平地面上,在长方形木板的上方有一条状竖直挡板,挡板的两端固定于水平地面上,挡板与木板不接触。现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度v运动,同时长方形木板以大小相等的速度向左运动,木板的运动方向与竖直挡板垂直,已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2,物块的质量为m,重力加速度大小为g。下列关于物块所受摩擦力的说法正确的是(　　)
A.竖直挡板对物块的摩擦力大小为0
B.竖直挡板对物块的摩擦力大小为μ1μ2mg
C.只增大木板向左运动的速度,竖直挡板对物块的摩擦力将变小
D.只增大物块沿挡板运动的速度,木板对物块的摩擦力将增大
【答案】 B
【解析】 根据题意可知,物块与木板之间的弹力大小等于物块所受的重力,由Ff=μFN可知,木板对物块的摩擦力为Ff2=μ2mg,只增大物块沿挡板运动的速度,木板对物块的摩擦力不变,故D错误;根据题意,物块相对于木板的运动方向如图所示,根据运动的合成和分解规律可知
tan θ=1,解得θ=45°,由平衡条件可知,挡板对物块的支持力为FN1=Ff2sin 45°,挡板对物块的摩擦力大小Ff1=μ1FN1=μ1μ2mg,故A错误,B正确;结合上述分析可知,只增大木板向左运动的速度,θ增大,则FN1增大,竖直挡板对物块的摩擦力将变大,故C错误。
10.如图所示,一本大字典置于桌面上,一张A4纸(质量和厚度均可忽略不计)夹在字典最深处。假设字典的质量分布均匀,同一页纸上的压力分布也均匀,字典总质量M=3 kg,宽L=20 cm,高H=6 cm,A4纸上、下表面与书页之间的动摩擦因数均为μ1=0.5,字典与桌面之间的动摩擦因数为μ2,各接触面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,水平向右拉动A4纸,当A4纸上方部分字典的高度h为4 cm时,字典恰好能被拖动。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求A4纸受到的字典对它的正压力大小;
(2)求字典与桌面之间的动摩擦因数μ2;
(3)若将A4纸夹在字典最深处,A4纸上方部分字典的高度h为3 cm,用水平向右的拉力F将A4纸从字典中匀速抽出,当A4纸抽出位移为x时,分别写出A4纸受到的压力FN、拉力F与A4纸位移x的函数表达式。(在抽出A4纸的过程中,只有与A4纸上方重叠部分的字典才对A4纸有压力)
【答案】 (1)20 N　(2)
(3)FN=15-75x(N)　F=15-75x(N)(0【解析】 (1)(2)当A4纸上方部分字典的高度h为4 cm时,即高于桌面2 cm,字典恰好能被拖动,设A4纸上方部分字典的质量为m,则有
m=M=2 kg,
字典受力平衡,则在竖直方向上有
FN′=mg=20 N,
根据牛顿第三定律可知,A4纸受到字典对它的正压力为20 N;
在水平方向,A4纸对字典的摩擦力Ff=Ff桌,
而Ff桌=μ2Mg,Ff=2μ1mg,
代入数据得μ2=。
(3)若A4纸上方部分字典的高度为3 cm,字典不能被拖动,当A4纸抽出位移为x时,纸上方的压力FN=,
此时A4纸受到的拉力大小F=Ff=2μ1FN,
联立得F=μ1Mg,
代入数据解得
FN=15-75x(N),
F=15-75x(N)(0对点1.共点力的合成
1.(多选)(2025·安徽芜湖模拟)物体静止于水平桌面上,两者之间的最大静摩擦力为5 N,现将水平面内的三个力同时作用于物体上的同一点,三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
2.(2025·河北邯郸期中)如图所示,有六个力分别组成正六边形的六个边,还有三个力分别为此正六边形的对角线,若F1已知,这九个力作用在同一点上,则这九个力的合力大小为(　　)
A.0 B.(6+2)F1
C.9F1 D.12F1
3.(2025·河北卷,4)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
对点2.力的分解
4.(教材改编题)如图所示,倾角为15°的斜面上放着一个木箱,现有一个与水平方向成45°角的拉力F斜向上拉着木箱,分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系,把F分解为沿着两个坐标轴的分力,则分力Fx和Fy的大小分别为(　　)
A.Fcos 15°,Fsin 15°
B.Fcos 30°,Fsin 30°
C.Fcos 45°,Fsin 45°
D.Fcos 60°,Fsin 60°
5.(2025·山东菏泽二模)某兴趣小组探究分力F1、F2与合力F的关系。保持合力F的大小和方向不变,分力F2的大小不变,在如图所示平面内改变分力F2的方向,分力F1的箭头的轨迹图形为(　　)
A　　　　B
C　　　　D
对点3.“活结—死结”模型与“动杆—定杆”模型
6.(2025·安徽模拟)装有物品的手提袋悬挂在光滑的钉子上,手提绳与竖直方向的夹角为θ,手提绳张力大小为F。因为袋中物品倾倒,所以袋体由水平静止状态变为倾斜状态后再次静止,如图所示,此时手提绳与竖直方向的夹角为θ′,手提绳张力大小为F′。不计手提绳质量,则下列判断正确的是(　　)
A.θ=θ′ B.θ<θ′
C.F=F′ D.F>F′
7.(2025·江西萍乡三模)如图,甲、乙为两种吊装装置,杆OA的端点O分别固定在水平地面和竖直墙面上,另一端固定一个光滑定滑轮。轻绳绕过定滑轮,一端固定在B点,另一端连接两个相同的物块。装置中的θ均为30°,乙装置中的杆OA水平,定滑轮的质量不计,则甲、乙装置中,定滑轮受到轻绳的作用力大小之比为(　　)
A.∶1 B.1∶
C.∶2 D.2∶
8.(多选)(2025·辽宁葫芦岛一模)逆风能使帆,这是力分解的神奇作用。如图所示,把帆面张在航向(船头指向)和风向之间,因风对帆的压力F垂直于帆面,它会分成两个分力F1、F2,其中F2垂直于船轴(“龙骨”)即航向,会被很大的横向阻力平衡,F1沿着航向,已知帆面与航向之间的夹角为θ,船的总质量为m,下列说法正确的是(　　)
A.F2=Fcos θ
B.船受到的合力是F1
C.F1是船前进的动力
D.若船沿着航向的阻力为F阻,则船的加速度为
9.(2025·安徽专题练习)某同学周末在家大扫除,移动衣橱时,无论怎么推也推不动,于是他组装了一个装置,如图所示,两块相同木板可绕A处的环转动,两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙脚,该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm时,B、C两点的间距L=96 cm,B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg,重力加速度g取
9.8 m/s2,忽略A处的摩擦,此时衣橱受到该装置的水平推力为多大 第6讲　实验:探究弹簧弹力与形变量的关系
探究两个互成角度的力的合成规律
1.(2025·湖南怀化期中)用如图甲所示的装置,探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.弹簧被拉伸时,不能超出它的弹性限度
B.用刻度尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
C.用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力,应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
D.可得出弹簧弹力与弹簧长度成正比
(2)未挂钩码时,弹簧原长放大如图甲所示,可读得弹簧原长L0=　　　　 cm。
(3)由图乙可得B弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。
(4)若要制作一个精确度较高的弹簧测力计,应选　　　　(选填“A”或“B”)弹簧。
2.(2024·海南卷,14)为验证两个互成角度的力的合成规律,某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材,按照如下实验步骤完成实验。
Ⅰ.用图钉将白纸固定在水平木板上;
Ⅱ.如图甲、乙、丙所示,橡皮条的一端固定在木板上的G点,另一端连接轻质小圆环,将两细线系在小圆环上,细线另一端系在弹簧测力计上,用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置,并标记圆环的圆心位置为O点,拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点,大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N;改用一个弹簧测力计拉动小圆环,使其圆心到O点,在拉力F的方向上标记P3点,拉力的大小为F=5.60 N。
请回答下列问题。
(1)在图丙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′。
(2)比较F和F′,写出可能产生误差的两点原因:
　。
3.(2025·湖北二模)某同学利用如图甲所示的装置来探究两个互成角度的力的合成规律:在竖直木板上铺有白纸,固定两个光滑的滑轮A和B,将绳子打一个结点O,每个钩码所受的重力相等,当系统达到平衡时,根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3,回答下列问题。
(1)改变钩码个数,实验可能完成的是　　　　(多选,填字母)。
A.钩码的个数N1=N2=2,N3=5
B.钩码的个数N1=1,N2=4,N3=6
C.钩码的个数N1=N2=N3=4
D.钩码的个数N1=3,N2=4,N3=5
(2)在拆下钩码和绳子前,最重要的一个步骤是　　　　(填字母)。
A.标记结点O的位置,并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B.量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C.用量角器量出三段绳子之间的夹角
D.用天平测出钩码的质量
(3)在作图时,你认为　　　　(选填“乙”或“丙”)是正确的。
4.(2025·广东广州期末)某实验小组利用如图甲所示的实验装置来测量橡皮绳的劲度系数k。将手机悬挂在橡皮绳下,利用手机内置传感器结合软件可获得手机运动的位移。
(1)该实验小组进行了如下主要的实验步骤:
①安装实验器材,橡皮绳分别与手机和铁架台连接,手机重心和橡皮绳在同一竖直线上;
②手掌托着手机,使橡皮绳处于原长状态,打开手机软件;
③缓慢释放手机,当手机平衡时记录下手机下降的高度x0;
④在手机正下方分别悬挂不同个数的钩码,每个钩码的质量m0=50 g,缓慢释放,当钩码平衡时,依次记录下手机下降的高度x,数据记录如下表所示。
钩码数量 n/个 0 1 2 3 4
手机下降的 高度x/cm 1.50 2.01 2.51 2.99 3.50
(2)根据表格中的数据,在图乙中描点作出钩码数量与手机位移的nx图像。
(3)根据nx图像,可知不挂钩码时,橡皮绳的伸长量为x0=　　　　 cm。
(4)已知每个钩码的质量为50 g,重力加速度g取10 m/s2,由图像可以求得橡皮绳的劲度系数为　　　　 N/m,由此计算出手机的质量为　　　　 g。(结果均保留三位有效数字)
(5)某同学查阅相关资料得知当地重力加速度的值为9.78 m/s2,若考虑此因素的影响,实验测得的劲度系数结果　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
5.(2025·甘肃模拟)为了探究并验证两个互成角度的力的合成规律,两名同学分别设计了如下方案。
(1)李红同学找到三条相同的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物,还有刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子等。
实验方案:先将三条橡皮筋的一端连接成结点O,将其中两条橡皮筋的另一端分别挂在竖直墙上的两个钉子a、b上,然后将第三条橡皮筋的另一端通过细绳悬挂小重物,如图甲所示。
①本实验中,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.Oa与Ob的夹角必须为30°、60°或90°,不能为其他角
B.测量每条橡皮筋的原长
C.测量悬挂小重物后每条橡皮筋的长度
D.记录悬挂小重物后每条橡皮筋的方向
②探究结论:两个互成角度的力的合成遵循平行四边形定则。
(2)王华同学为了验证李红同学的实验结论,设计了如下实验方案:
A.用天平测得一个小物块的质量。
B.如图乙所示,两根固定的竖直杆间距为d,用长为L的不可伸长的轻绳穿过光滑轻质滑轮,滑轮下端连接小物块,轻绳两端分别固定在杆上M、N两点,在轻绳的左端连接力传感器,力传感器的重力忽略不计。
C.改变并记录小物块的质量m,记录力传感器对应的示数F,得到多组数据,已知重力加速度
为g。
①力传感器的示数F与小物块的质量m满足F=　　　　　　(用题中给出的L、d、g、m等表示),就可以验证力的平行四边形定则。
②王华同学作出Fm图像如图丙所示,则图线的斜率k=　　　　。 第5讲　小专题:动态平衡和临界极值问题
对点1.动态平衡问题
1.(2025·四川成都一模)当今社会节能环保理念深入人心,每个公民都应尽量避免使用一次性塑料袋,减少白色污染。如图甲所示为一款环保袋,既可反复使用,又美观大方。手提环保袋静止时,简化示意图如图乙所示,设环保袋所受的重力大小为G,不考虑绳带的质量,下列说法正确的是(　　)
A.绳带中的张力大于
B.绳带中的张力等于
C.若只缩短绳带长度,则绳带中的张力将减小
D.若只减小两绳扣间距,则绳带中的张力将增大
2.(多选)(2025·山西临汾三模)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人在楼上A点向上拉绳子AO,另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　　)
A.绳子AO上的拉力不断减小
B.绳子OB上的拉力不断增大
C.地面对工人的支持力不断增大
D.地面对工人的摩擦力不断增大
3.(2024·广东韶关二模)我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示,将质量为m的货物平放在手推车底板上,此时底板水平;如图乙,缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为60°。不计货物与支架及底板间的摩擦,重力加速度为g,则(　　)
A.当底板与水平面间的夹角为30°时,底板对货物的支持力大小为
B.当底板与水平面间的夹角为30°时,支架对货物的支持力大小为
C.压下把手的过程中,底板对货物的支持力一直增大
D.压下把手的过程中,支架对货物的支持力一直减小
4.(2025·江苏一模)如图所示,在水平面上固定一竖直挡板M,现用水平力F向左推楔形木块B,使球A缓慢上升,所有接触面均光滑。在此过程中(　　)
A.球A对木块B的压力始终不变
B.球A对挡板M的压力逐渐增大
C.水平外力F逐渐增大
D.水平面对木块B的支持力逐渐增大
5.(2025·河北沧州二模)如图所示,轻质弹性绳的一端固定在O点,另一端与一小球相连,带孔小球穿在一固定半圆环上,弹性绳绕过固定在半圆环顶端A点的光滑小定滑轮,OA为弹性绳原长。当小球位于半圆环底端B点时,小球与半圆环间恰好无相互作用。现对小球施加一外力F,使小球受到向右的轻微扰动缓慢向上运动,运动过程中小球与半圆环间仍无相互作用,弹性绳始终在弹性限度内且弹性绳弹力与其形变量成正比,则外力F的大小(　　)
A.先减小后增大
B.先增大后减小
C.越来越小
D.越来越大
对点2.平衡中的临界、极值问题
6.(2025·湖南郴州模拟)如图所示,三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点,A、B两端被悬挂在水平天花板上,相距为2L。现在C点上悬挂一重物,为使CD绳保持水平,在D点处施加的最小拉力的方向为(　　)
A.水平向右
B.与水平方向的夹角为60°
C.与水平方向的夹角为30°
D.竖直向下
7.(2025·山东临沂三模)如图所示,甲、乙两柱体的横截面分别为半径相等的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直挡板,乙的平面部分与水平面接触。若乙的质量是甲的2倍,两柱体的曲面部分和挡板均光滑,开始时两柱体截面的圆心连线沿竖直方向。现将挡板缓慢向右移动,直到圆柱甲刚要落至水平面为止,整个过程中半圆柱乙始终保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则乙与水平面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·河北廊坊期末)如图所示,倾角θ=30°的粗糙斜面体C放在水平地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,一端悬挂质量为m的物块A,另一端与斜面上质量也为m的物块B相连,滑轮与B之间的细绳平行于斜面,整个系统处于静止状态。现用始终沿水平方向的拉力F缓慢拉动A,使其绕定滑轮逆时针旋转60°,B、C始终保持静止,在此过程中(　　)
A.拉力F先增大后减小
B.斜面对物块B的摩擦力先减小后增大
C.地面对斜面体C的摩擦力增大
D.地面对斜面体C的支持力先增大后减小
9.(多选)(2025·浙江温州期末)如图所示,假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,两手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线和水平方向的夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球的质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球变形。则(　　)
A.每个手指对球的摩擦力大小均为
B.两手指间距L的取值范围为L>
C.每个手指对球的压力最小值为
D.手对球的压力增大2倍时,摩擦力也增大2倍
10.(2024·广西柳州阶段练习)如图所示,两个相同的小物块A、B(可视为质点)静止放在粗糙水平面上,两物块与水平面间的动摩擦因数相同,两根等长轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B上,另一端通过光滑铰链连接在O处,两杆之间的夹角为α。现对O施加一个竖直向上的拉力F,已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若物块A、B受到的重力大小均为G,动摩擦因数为μ,要使两物块发生滑动,F应满足什么条件
(2)若α=60°,对O施加一个竖直向下的压力F,无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动,则物块与水平面间的动摩擦因数μ应满足什么条件 第1讲　重力　弹力　摩擦力
课时作业
对点1.重力和重心
1.(2025·湖南娄底模拟)关于重力,下列说法不正确的是(　　)
A.重力的作用点叫重心,物体的重心一定在物体上
B.用线竖直悬挂的物体静止时,线的方向一定通过重心
C.无论支持面是否水平,重力的方向总是竖直向下的
D.一车荔枝(质量不变)从广东运到北京,其重力变大
【答案】 A
【解析】 重力的作用点叫重心,物体的重心不一定在物体上,如圆环的重心,故A说法错误,符合题意;重力的方向竖直向下,与支持面是否水平无关,用线竖直悬挂的物体静止时,线的方向一定通过重心,故B、C说法正确,不符合题意;重力的计算公式G=mg,一车荔枝(质量不变)从广东运到北京,g值变大,其重力变大,故D说法正确,不符合题意。
2.(2025·河南模拟)《西游记》中孙悟空的武器如意金箍棒大小可随心变化,深受读者喜爱。如图,假设金箍棒可以变到地球直径的长度,把金箍棒立在地面上,若变长的金箍棒质量分布均匀,其长度的中点在O处,那么金箍棒的重心位置(　　)
A.也在O点处
B.在O点右方,比O点更远离地球
C.在O点左方,比O点更靠近地球
D.无法确定在O点左方还是右方
【答案】 C
【解析】 因为质量分布均匀,但越靠近地面重力加速度越大,所以重心与几何中心不重合,在O点左方,比O点更靠近地球。
对点2.弹力
3.(多选)(2025·福建莆田期中)力是物理学基础的概念,下列受力情况分析正确的是(　　)
A.图甲中,由于桌子的形变,书对桌面产生向下的弹力F1
B.图乙中,小车向右压缩弹簧,小车对弹簧的弹力方向向右
C.图丙中,半圆形碗对筷子的弹力沿筷子斜向上
D.图丁中,轻绳的拉力沿着绳并指向绳收缩的方向
【答案】 BD
【解析】 题图甲中,由于书的形变,书对桌面产生向下的弹力F1,故A错误;题图乙中,小车向右压缩弹簧,弹簧对小车的弹力方向向左,小车对弹簧的弹力方向向右,故B正确;题图丙中,碗对筷子的弹力垂直于该点切线指向圆心,故C错误;题图丁中,绳的拉力沿着绳并指向绳收缩的方向,故D正确。
4.(多选)(2025·宁夏中卫期中)如图所示为一轻质弹簧的弹力随长度变化的关系图像(轻质弹簧未超过弹性限度),下列说法正确的是(　　)
A.弹簧的原长为6 cm
B.弹簧的劲度系数为100 N/m
C.弹簧两端各加4 N拉力时,弹簧的长度为8 cm
D.弹簧的长度为0.16 m时,弹力的大小为10 N
【答案】 ABD
【解析】 根据图像可知,当弹簧的长度为l0=6 cm时,弹簧的弹力为零,即弹簧的原长为6 cm,故A正确;根据图像可知,弹簧的劲度系数为k== N/m=100 N/m,故B正确;弹簧两端各加4 N拉力时,弹簧弹力为4 N,则弹簧的伸长量x==0.04 m=4 cm,弹簧的长度为l=l0+x=10 cm,故C错误;弹簧的长度为0.16 m时,弹力的大小为F1=k(l1-l0)=10 N,故D正确。
对点3.摩擦力
5.(2025·陕晋青宁卷,4)如图,质量为m的均匀钢管,一端支在粗糙水平地面上,另一端被竖直绳悬挂,处于静止状态,钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ,重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为(　　)
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
【答案】 D
【解析】 对钢管受力分析,如图所示,若钢管受到地面的摩擦力,则钢管水平方向受力不平衡,钢管不可能处于静止状态,故地面对钢管左端的摩擦力大小为零,A、B、C错误,D正确。
6.(2024·黑吉辽卷,3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”,如图,在研磨过程中,砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时,(　　)
A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
【答案】 C
【解析】 当墨条速度方向水平向左时,墨条相对于砚台向左运动,故砚台对墨条的摩擦力方向水平向右,故A错误;根据牛顿第三定律,墨条对砚台的摩擦力方向水平向左,由于砚台处于静止状态,故桌面对砚台的摩擦力方向水平向右,故B错误;由于砚台处于静止状态,水平方向桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力,故C正确;桌面对砚台的支持力大小等于砚台所受重力与墨条对砚台的压力的合力,故桌面对砚台的支持力大于墨条对砚台的压力,故D错误。
7.(2025·湖南湘潭期末)如图所示为一个免打孔伸缩晾衣杆的示意图,使用时,先调节杆的长度使其恰好与两侧的竖直墙面接触,然后打开锁紧装置保持杆长不变,最后旋转增压旋钮增加杆头与墙面间的压力,使其在晾衣物时能保持静止。下列说法正确的是(　　)
A.杆头与墙面间的压力越大,杆头与墙面间的摩擦力就越大
B.所晾衣物的质量越大,杆头与墙面间的摩擦力就越大
C.在湿衣物晾干的过程中,杆头与墙面间的摩擦力保持不变
D.为了能晾更大质量的衣物,可增加杆头与墙面的接触面积
【答案】 B
【解析】 以晾衣杆与衣物为整体,受力分析可知,两边杆头与墙面间的静摩擦力等于晾衣杆与衣物所受的总重力,即Ff=(m衣物+m晾衣杆)g,故杆头与墙面间的压力越大,杆头与墙面间的摩擦力不变,所晾衣物的质量越大,杆头与墙面间的摩擦力就越大,故A错误,B正确;在湿衣物晾干的过程中,晾衣杆与衣物所受的总重力减小,杆头与墙面间的摩擦力减小,故C错误;为了能晾更大质量的衣物,可增加杆头与墙面的粗糙程度或增大杆头与墙面间的压力,以增大杆头与墙面间的最大静摩擦力,增加杆头与墙面的接触面积不能够增大杆头与墙面间的最大静摩擦力,故D错误。
8.(2025·四川成都三模)图甲为答题卡扫描仪,其内部结构如图乙所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F,摩擦滚轮顺时针转动,摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描,直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m,摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8,各答题卡间的动摩擦因数μ′范围为0.4≤μ′≤0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作,正压力F的最大取值范围为(　　)
A.mgB.mgC.mgD.mg【答案】 A
【解析】 要使扫描仪正常工作,每次只能带动顶部答题卡,需满足滚轮对顶部答题卡的摩擦力大于顶部与下方答题卡间的最大静摩擦力,则由平衡条件及摩擦力的计算公式可得μF>μ′(F+mg),由题知μ=0.8,令μ′=0.5(取最大值保证所有μ′情况),解得F>mg;同时第二张答题卡不能动,需满足第一张答题卡对第二张答题卡的滑动摩擦力小于或等于第三张答题卡对第二张答题卡的最大静摩擦力,即0.5(F+mg)≤0.4(F+2mg),解得F≤3mg,综上可得mg9.某同学制作的“互”字形木制模型如图所示。模型的上下两部分质量均为0.5m。用细线连接两部分。当细线都绷紧时,整个模型可以竖直静止在水平地面上。则(　　)
A.模型下部分受到三个力的作用
B.地面受到模型的压力为0.5mg
C.细线ab的拉力小于细线cd的拉力
D.细线ab和cd对模型上半部分的力均向下
【答案】 C
【解析】 模型下部分受到重力、地面的支持力、细线ab的拉力、细线cd的拉力四个力的作用,故A错误;对整个模型受力分析,受总重力mg、地面的支持力,二力平衡,根据牛顿第三定律,整个模型对地面的压力大小为mg,故B错误;模型上部分受三个力的作用,重力0.5mg、细线ab对a点向下的拉力F1、细线cd对d点向上的拉力F2,它们的关系为F2=0.5mg+F1,故C正确,D错误。
10.如图所示,一质量不计的弹簧原长为10 cm,一端固定于质量m=2 kg的物体上,另一端施加一水平拉力F。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.2。(设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,g取10 m/s2)
(1)当弹簧拉长至12 cm时,物体恰好匀速运动,弹簧的劲度系数为多大
(2)若将弹簧拉长至11 cm,物体受到的摩擦力大小为多少
(3)若将弹簧拉长至13 cm,物体受到的摩擦力大小为多少
【答案】 (1)200 N/m　(2)2 N　(3)4 N
【解析】 (1)物体匀速运动时,有k(l-l0)=μmg,
解得k=200 N/m。
(2)弹簧拉长至11 cm时的弹力为
F1=k(l1-l0)=200×(0.11-0.10) N=2 N,
最大静摩擦力可看作等于滑动摩擦力,
Ffm=0.2×2×10 N=4 N,
弹力小于最大静摩擦力,物体静止,故所受静摩擦力大小Ff1=F1=2 N。
(3)弹簧拉长至13 cm时的弹力为
F2=k(l2-l0)=200×(0.13-0.10) N=6 N,
物体将运动,此时所受到的滑动摩擦力大小为
Ff2=μmg=0.2×2×10 N=4 N。
11.(2025·山东青岛期中)如图所示,原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的两轻质弹簧竖直悬挂在天花板上,两弹簧之间有一质量为m的物体,最下端挂着质量为2m的另一物体,整个装置处于静止状态。
(1)求这时两弹簧的总长度;
(2)若用一平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起,直到两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和,求这时平板对下面物体的弹力大小。
【答案】 (1)L1+L2++
(2)+2mg
【解析】 (1)设劲度系数为k1的轻质弹簧的伸长量为x1,对整体,根据胡克定律有
(m+2m)g=k1x1,
设劲度系数为k2的轻质弹簧的伸长量为x2,对下面的物体,根据胡克定律有
2mg=k2x2,
这时两个弹簧的总长度为
L=L1+L2+x1+x2,
联立可得L=L1+L2++。
(2)用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起,直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时,设此时下面的弹簧被压缩x,上面的弹簧被拉伸x,以质量为m的物体为研究对象,根据平衡关系有(k1+k2)x=mg,
以质量为2m的物体为研究对象,设平板对质量为2m的物体的支持力为FN,根据平衡关系有
FN=k2x+2mg,
联立可得FN=+2mg。第5讲　小专题:动态平衡和临界极值问题
课时作业
对点1.动态平衡问题
1.(2025·四川成都一模)当今社会节能环保理念深入人心,每个公民都应尽量避免使用一次性塑料袋,减少白色污染。如图甲所示为一款环保袋,既可反复使用,又美观大方。手提环保袋静止时,简化示意图如图乙所示,设环保袋所受的重力大小为G,不考虑绳带的质量,下列说法正确的是(　　)
A.绳带中的张力大于
B.绳带中的张力等于
C.若只缩短绳带长度,则绳带中的张力将减小
D.若只减小两绳扣间距,则绳带中的张力将增大
【答案】 A
【解析】 对环保袋的受力分析如图所示,可知绳带中的张力FT=>,故A正确,B错误;绳带长度缩短时,α增大,cos α减小,绳带中的张力增大,故C错误;减小两绳扣间距,α减小,cos α增大,绳带中的张力减小,故D错误。
2.(多选)(2025·山西临汾三模)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人在楼上A点向上拉绳子AO,另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　　)
A.绳子AO上的拉力不断减小
B.绳子OB上的拉力不断增大
C.地面对工人的支持力不断增大
D.地面对工人的摩擦力不断增大
【答案】 BD
【解析】 对室外机受力分析,受绳子AO的拉力F1、绳子OB的拉力F2和自身重力mg而平衡,室外机受力如图甲所示。
将这三个力构成矢量三角形,如图乙所示。由图乙可知,地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳过程中,β不变,α逐渐增大,F1、F2均增大,故A错误,B正确;β不变,绳子的拉力F2增大,则绳子的拉力F2在竖直方向的分力增大,对地面上的工人,由平衡条件易得地面对工人的支持力不断变小,绳子的拉力F2在水平方向的分力增大,可知地面对工人的摩擦力不断增大,故C错误,D正确。
3.(2024·广东韶关二模)我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示,将质量为m的货物平放在手推车底板上,此时底板水平;如图乙,缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为60°。不计货物与支架及底板间的摩擦,重力加速度为g,则(　　)
A.当底板与水平面间的夹角为30°时,底板对货物的支持力大小为
B.当底板与水平面间的夹角为30°时,支架对货物的支持力大小为
C.压下把手的过程中,底板对货物的支持力一直增大
D.压下把手的过程中,支架对货物的支持力一直减小
【答案】 A
【解析】 当底板与水平面间的夹角为30°时,对货物受力分析如图1所示,由平衡条件可得FN1cos 60°=FN2cos 30°,FN1sin 60°+FN2sin 30°=mg,解得底板对货物的支持力大小FN1=,支架对货物的支持力大小FN2=,A正确,B错误;压下把手的过程中,货物的受力情况如图2所示,可知底板对货物的支持力一直减小,支架对货物的支持力一直增大,C、D错误。
4.(2025·江苏一模)如图所示,在水平面上固定一竖直挡板M,现用水平力F向左推楔形木块B,使球A缓慢上升,所有接触面均光滑。在此过程中(　　)
A.球A对木块B的压力始终不变
B.球A对挡板M的压力逐渐增大
C.水平外力F逐渐增大
D.水平面对木块B的支持力逐渐增大
【答案】 A
【解析】 设楔形木块B的倾角为θ,根据题意,对球A受力分析,受重力GA、挡板M的弹力FN1、木块B的支持力FN2,如图甲所示,由平衡条件可得FN2cos θ=GA,FN1=GAtan θ,由题可知,球A缓慢上升,但θ不变,则木块B的支持力FN2、挡板M的弹力FN1均不变,由牛顿第三定律可知,球A对木块B的压力和球A对挡板M的压力始终不变,故A正确,B错误;
对A、B整体受力分析,如图乙,由平衡条件可得FN=G总,F=FN1,结合题意可知,G总和FN1均不变,则水平面对木块B的支持力FN不变、水平外力F不变,故C、D错误。
5.(2025·河北沧州二模)如图所示,轻质弹性绳的一端固定在O点,另一端与一小球相连,带孔小球穿在一固定半圆环上,弹性绳绕过固定在半圆环顶端A点的光滑小定滑轮,OA为弹性绳原长。当小球位于半圆环底端B点时,小球与半圆环间恰好无相互作用。现对小球施加一外力F,使小球受到向右的轻微扰动缓慢向上运动,运动过程中小球与半圆环间仍无相互作用,弹性绳始终在弹性限度内且弹性绳弹力与其形变量成正比,则外力F的大小(　　)
A.先减小后增大 B.先增大后减小
C.越来越小 D.越来越大
【答案】 D
【解析】 当小球位于半圆环底端B点时,小球与半圆环间恰好无相互作用,所以小球在B点时重力和弹力平衡,有mg=k·2R,在上移到C点时,受力如图,设弹性绳与竖直方向的夹角为θ,则F弹=k·LAC=k·2Rcos θ=mgcos θ,方向沿AC,根据三角形定则可知,外力F必沿BC方向,大小F=mgsin θ,在上移过程中θ变大,则F越来越大,故D正确,A、B、C错误。
对点2.平衡中的临界、极值问题
6.(2025·湖南郴州模拟)如图所示,三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点,A、B两端被悬挂在水平天花板上,相距为2L。现在C点上悬挂一重物,为使CD绳保持水平,在D点处施加的最小拉力的方向为(　　)
A.水平向右
B.与水平方向的夹角为60°
C.与水平方向的夹角为30°
D.竖直向下
【答案】 C
【解析】 要使CD水平,各轻绳均应绷紧,则AC与水平方向的夹角(锐角)为60°。设结点C受力平衡,受力分析如图所示,D点受轻绳CD的拉力大小等于FT,方向向左。要使CD水平,D点两轻绳的拉力与外界拉力的合力应为零,则轻绳CD对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1及另一分力F2,由几何关系可知,当力F2与BD垂直时,F2最小,施加的外力与F2反向,此时与水平方向的夹角为30°。
7.(2025·山东临沂三模)如图所示,甲、乙两柱体的横截面分别为半径相等的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直挡板,乙的平面部分与水平面接触。若乙的质量是甲的2倍,两柱体的曲面部分和挡板均光滑,开始时两柱体截面的圆心连线沿竖直方向。现将挡板缓慢向右移动,直到圆柱甲刚要落至水平面为止,整个过程中半圆柱乙始终保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则乙与水平面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 分析可知,当摩擦力最大时半圆柱乙刚好不动,此时对应的动摩擦因数μ最小,且刚好达到最大静摩擦力,设甲的质量为m,地面对乙的支持力、摩擦力分别为FN、Ff,挡板给甲的力为F板,整体分析可知有FN=3mg,Ff=F板,设O1O2连线与水平方向夹角为θ,对甲,由平衡条件得F板=,故可得Ff=,可知θ越小,Ff越大,由几何关系可知,θ最小为30°,又因为Ff=μFN,联立解得动摩擦因数的最小值μ=。
8.(2025·河北廊坊期末)如图所示,倾角θ=30°的粗糙斜面体C放在水平地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,一端悬挂质量为m的物块A,另一端与斜面上质量也为m的物块B相连,滑轮与B之间的细绳平行于斜面,整个系统处于静止状态。现用始终沿水平方向的拉力F缓慢拉动A,使其绕定滑轮逆时针旋转60°,B、C始终保持静止,在此过程中(　　)
A.拉力F先增大后减小
B.斜面对物块B的摩擦力先减小后增大
C.地面对斜面体C的摩擦力增大
D.地面对斜面体C的支持力先增大后减小
【答案】 C
【解析】 设右侧细绳与竖直方向的夹角为α,则F=mgtan α,细绳的拉力FT=,当α角增加到60°过程中,F变大,细绳的拉力FT从mg逐渐变大到2mg;对物块B分析可知,开始时FT=
mgsin 30°+Ff,则在FT从mg逐渐变大到2mg过程中,斜面对B的摩擦力逐渐增大,A、B错误。对两物块和斜面体的整体分析可知,水平方向,地面对斜面体C的摩擦力Ff′=F,则随着F增加,地面对斜面体C的摩擦力逐渐变大;竖直方向FN=2mg+Mg,则地面对C的支持力不变,C正确,D错误。
9.(多选)(2025·浙江温州期末)如图所示,假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,两手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线和水平方向的夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球的质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球变形。则(　　)
A.每个手指对球的摩擦力大小均为
B.两手指间距L的取值范围为L>
C.每个手指对球的压力最小值为
D.手对球的压力增大2倍时,摩擦力也增大2倍
【答案】 BC
【解析】 对球受力分析,如图,竖直方向有Ffcos θ=F压sin θ+mg,则Ffcos θ>mg,所以Ff>,故A错误;由Ff≤μF压,有F压sin θ+mg≤μF压cos θ,即F压≥,故C正确;因为
F压sin θ+mg≤μF压cos θ,所以F压sin θ<μF压cos θ,可得μ>tan θ,则cos θ>,又cos θ=,所以>,即L>,故B正确;当球受到手的静摩擦力时,Ff≠μF压,手对球的压力增大2倍时,摩擦力不增大2倍,故D错误。
10.(2024·广西柳州阶段练习)如图所示,两个相同的小物块A、B(可视为质点)静止放在粗糙水平面上,两物块与水平面间的动摩擦因数相同,两根等长轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B上,另一端通过光滑铰链连接在O处,两杆之间的夹角为α。现对O施加一个竖直向上的拉力F,已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若物块A、B受到的重力大小均为G,动摩擦因数为μ,要使两物块发生滑动,F应满足什么条件
(2)若α=60°,对O施加一个竖直向下的压力F,无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动,则物块与水平面间的动摩擦因数μ应满足什么条件
【答案】 (1)F>　(2)μ≥
【解析】 (1)把拉力F按作用效果分解,对物块A受力分析,如图甲所示,
则F=2F2cos ,
可得F2=;
若物块A刚好要相对滑动,水平方向
F2sin =Ff1,
竖直方向FN1+F2cos =G,
又Ff1=μFN1,
解得F=,
要使两物块发生滑动,
F应满足F>。
(2)把压力F按作用效果分解,对物块A受力分析,如图乙所示,
则F=2F2cos ,
要使A不发生相对滑动,对A,
水平方向F2sin =Ff2,
竖直方向FN2=G+F2cos ,
又Ff2≤Ffmax=μFN2,
解得μ≥,
当F→∞时,μ≥tan =。
所以无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动,则物块与水平面间的动摩擦因数应满足μ≥。第6讲　实验:探究弹簧弹力与形变量的关系 探究两个互成角度的力的合成规律
课时作业
1.(2025·湖南怀化期中)用如图甲所示的装置,探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.弹簧被拉伸时,不能超出它的弹性限度
B.用刻度尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
C.用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力,应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
D.可得出弹簧弹力与弹簧长度成正比
(2)未挂钩码时,弹簧原长放大如图甲所示,可读得弹簧原长L0=　　　　 cm。
(3)由图乙可得B弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。
(4)若要制作一个精确度较高的弹簧测力计,应选　　　　(选填“A”或“B”)弹簧。
【答案】 (1)AC　(2)7.00　(3)10　(4)B
【解析】 (1)弹簧被拉伸时,不能超出它的弹性限度,选项A正确;用刻度尺测得弹簧的长度减去原长即为弹簧的伸长量,选项B错误;用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力,应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态,选项C正确;可得出弹簧弹力与弹簧形变量成正比,选项D错误。
(2)刻度尺最小刻度为0.1 cm,弹簧原长L0=7.00 cm。
(3)F-x图像的斜率表示弹簧的劲度系数,由题图乙可得B弹簧的劲度系数为k== N/m=
10 N/m。
(4)若要制作一个精确度较高的弹簧测力计,在相同拉力下弹簧的形变量应比较大,故应选劲度系数较小的弹簧,即选择B弹簧。
2.(2024·海南卷,14)为验证两个互成角度的力的合成规律,某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材,按照如下实验步骤完成实验。
Ⅰ.用图钉将白纸固定在水平木板上;
Ⅱ.如图甲、乙、丙所示,橡皮条的一端固定在木板上的G点,另一端连接轻质小圆环,将两细线系在小圆环上,细线另一端系在弹簧测力计上,用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置,并标记圆环的圆心位置为O点,拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点,大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N;改用一个弹簧测力计拉动小圆环,使其圆心到O点,在拉力F的方向上标记P3点,拉力的大小为F=5.60 N。
请回答下列问题。
(1)在图丙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′。
(2)比较F和F′,写出可能产生误差的两点原因:
　 。
【答案】 见解析
【解析】 (1)已知F1=3.60 N,F2=2.90 N,F=5.60 N,根据题图丙给出的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F′,如图所示。
(2)根据作出的图示可知,F和F′不完全重合,产生误差的原因可能是没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行或者读数时没有正视弹簧测力计的刻度。
3.(2025·湖北二模)某同学利用如图甲所示的装置来探究两个互成角度的力的合成规律:在竖直木板上铺有白纸,固定两个光滑的滑轮A和B,将绳子打一个结点O,每个钩码所受的重力相等,当系统达到平衡时,根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3,回答下列问题。
(1)改变钩码个数,实验可能完成的是　　　　(多选,填字母)。
A.钩码的个数N1=N2=2,N3=5
B.钩码的个数N1=1,N2=4,N3=6
C.钩码的个数N1=N2=N3=4
D.钩码的个数N1=3,N2=4,N3=5
(2)在拆下钩码和绳子前,最重要的一个步骤是　　　　(填字母)。
A.标记结点O的位置,并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B.量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C.用量角器量出三段绳子之间的夹角
D.用天平测出钩码的质量
(3)在作图时,你认为　　　　(选填“乙”或“丙”)是正确的。
【答案】 (1)CD　(2)A　(3)乙
【解析】 (1)实验中的分力与合力的关系必须满足|F1-F2|≤F3≤F1+F2,C、D正确。
(2)在拆下钩码和绳子前,最重要的一个步骤是标记结点O的位置,并记录OA、OB、OC三段绳子的方向,从而确定三个力的大小和方向。故选A。
(3)F3的方向一定竖直向下,由于测量误差,F1和F2的合力方向可能偏离竖直方向,所以乙是正确的。
4.(2025·广东广州期末)某实验小组利用如图甲所示的实验装置来测量橡皮绳的劲度系数k。将手机悬挂在橡皮绳下,利用手机内置传感器结合软件可获得手机运动的位移。
(1)该实验小组进行了如下主要的实验步骤:
①安装实验器材,橡皮绳分别与手机和铁架台连接,手机重心和橡皮绳在同一竖直线上;
②手掌托着手机,使橡皮绳处于原长状态,打开手机软件;
③缓慢释放手机,当手机平衡时记录下手机下降的高度x0;
④在手机正下方分别悬挂不同个数的钩码,每个钩码的质量m0=50 g,缓慢释放,当钩码平衡时,依次记录下手机下降的高度x,数据记录如下表所示。
钩码数量n/个 0 1 2 3 4
手机下降的 高度x/cm 1.50 2.01 2.51 2.99 3.50
(2)根据表格中的数据,在图乙中描点作出钩码数量与手机位移的n-x图像。
(3)根据n-x图像,可知不挂钩码时,橡皮绳的伸长量为x0=　　　　 cm。
(4)已知每个钩码的质量为50 g,重力加速度g取10 m/s2,由图像可以求得橡皮绳的劲度系数为
　　　 N/m,由此计算出手机的质量为　　　　 g。(结果均保留三位有效数字)
(5)某同学查阅相关资料得知当地重力加速度的值为9.78 m/s2,若考虑此因素的影响,实验测得的劲度系数结果　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
【答案】 (2)图见解析　(3)1.50　(4)100　0.150
(5)大于
【解析】 (2)将表格中的数据在题图乙中描点,作出钩码数量与手机位移的nx图像如图所示。
(3)当手机平衡时记录下手机下降的高度x0,根据胡克定律与平衡条件有mg=kx0,悬挂钩码平衡时,记录下手机下降的高度x,根据胡克定律与平衡条件有mg+nm0g=kx,解得n=x-,将坐标(1.50 cm,0)代入上式解得x0=1.50 cm。
(4)结合上述有= m-1,解得k=100 N/m,由于mg=kx0,结合上述解得m=0.150 kg。
(5)结合上述,劲度系数是根据图像的斜率求解,即有=k0,解得k=k0m0g,由于当地重力加速度的值为9.78 m/s2,而实验中重力加速度取10 m/s2,可知,实验测得的劲度系数结果大于真实值。
5.(2025·甘肃模拟)为了探究并验证两个互成角度的力的合成规律,两名同学分别设计了如下方案。
(1)李红同学找到三条相同的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物,还有刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子等。
实验方案:先将三条橡皮筋的一端连接成结点O,将其中两条橡皮筋的另一端分别挂在竖直墙上的两个钉子a、b上,然后将第三条橡皮筋的另一端通过细绳悬挂小重物,如图甲所示。
①本实验中,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.Oa与Ob的夹角必须为30°、60°或90°,不能为其他角
B.测量每条橡皮筋的原长
C.测量悬挂小重物后每条橡皮筋的长度
D.记录悬挂小重物后每条橡皮筋的方向
②探究结论:两个互成角度的力的合成遵循平行四边形定则。
(2)王华同学为了验证李红同学的实验结论,设计了如下实验方案:
A.用天平测得一个小物块的质量。
B.如图乙所示,两根固定的竖直杆间距为d,用长为L的不可伸长的轻绳穿过光滑轻质滑轮,滑轮下端连接小物块,轻绳两端分别固定在杆上M、N两点,在轻绳的左端连接力传感器,力传感器的重力忽略不计。
C.改变并记录小物块的质量m,记录力传感器对应的示数F,得到多组数据,已知重力加速度
为g。
①力传感器的示数F与小物块的质量m满足F=　　　　　　(用题中给出的L、d、g、m等表示),就可以验证力的平行四边形定则。
②王华同学作出F-m图像如图丙所示,则图线的斜率k=　　　　。
【答案】 (1)①BCD
(2)①m　②
【解析】 (1)探究两个互成角度的力的合成规律,要利用同一个作用点,分别作出三个力的图示,以挂在两个钉子a、b上的两条橡皮筋的拉力的图示作出平行四边形,用两个力所夹对角线的长度和方向与第三条橡皮筋的拉力的图示对比分析,找出其规律。故完成本实验必须的操作有:不挂小重物时测量每条橡皮筋的原长,悬挂小重物后记录结点O的位置,因为三条相同的橡皮筋都遵循胡克定律,故不需要测量每条橡皮筋的弹力大小,而是测量悬挂小重物后每条橡皮筋的长度,并且记录每条橡皮筋的方向,本实验要验证的是一个普遍规律,因此Oa与Ob的角度不必为30°、60°或90°,可以是其他角度,故A错误,B、C、D正确。
(2)①设绳与竖直方向的夹角为θ,根据几何关系有sin θ=,则cos θ=,根据平衡条件有2Fcos θ=mg,解得F=m。
②根据F=m,可知F-m图像中图线的斜率k=。第2讲　小专题:摩擦力的综合分析
对点1.摩擦力的计算
1.(2025·广东模拟)图甲是一种榫卯连接构件,相互连接的两部分P、Q如图乙所示。图甲中构件Q固定在水平地面上,若榫、卯接触面间的动摩擦因数均为μ,各接触面间的弹力大小均为FN,滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等,要用大小为F的力沿P的轴线OO′将P从Q中拉出,则F的大小至少为(　　)
A.6μFN B.4μFN C.2μFN D.μFN
2.(2024·山东卷,2)如图所示,国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)(2025·四川成都期中)如图所示,一质量为m的物块用水平轻质细线连接,细线绕过光滑定滑轮后其下悬挂一质量为m0的物体,物块放在水平传送带上,水平传送带以v2的速度顺时针匀速转动,物块以初速度v1向右运动,传送带与物块间的动摩擦因数为μ。关于物块所受的摩擦力Ff,下列说法正确的是(　　)
A.若v1B.若v1>v2,则Ff=μmg,方向向左
C.若v1=v2,且物块保持匀速运动,则Ff=0
D.若v1=v2,且物块保持匀速运动,则Ff=m0g,方向向左
4.(2025·河北衡水阶段练习)如图所示,物体A的质量mA=1 kg,物体B的质量mB=2 kg,物体A、物体B、水平面之间的动摩擦因数均为0.5,轻绳和滑轮间的摩擦不计,A、B处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:(g取10 N/kg)
(1)如图1,轻绳跨过光滑定滑轮一端与A水平相连,另一端与物体C竖直相连,C处于静止状态,物体C的最大质量是多少
(2)如图2,物体A用轻绳与墙壁水平相连,另一轻绳跨过光滑定滑轮一端与物体B水平相连,另一端与物体D竖直相连,D处于静止状态,物体D的最大质量是多少
对点2.摩擦力的突变问题
5.如图所示,质量为10 kg 的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端,弹簧的拉力为5 N时,物体A与小车均处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动,则(　　)
A.物体A相对小车向右运动
B.物体A受到的摩擦力减小
C.物体A受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的弹簧的拉力增大
6.(多选)(2025·河南开学考试)如图甲所示,在一块足够长的长木板上,放置一个质量m=1.0 kg的小物块。现以木板的下端为轴,缓慢抬起另一端,直至竖直位置,小物块所受摩擦力Ff随木板倾角θ变化的图像如图乙所示,已知重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,sin 53°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
A.在此过程中物块与木板间的最大静摩擦力为6 N
B.在此过程中物块与木板间的最大静摩擦力为4 N
C.物块与木板间的动摩擦因数为0.5
D.物块与木板间的动摩擦因数为0.3
7.如图所示,物块A、木板B的质量均为m=10 kg,不计A的大小,木板B长L=2 m,开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0=4 m/s 从B的最左端开始运动,已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2=0.1。g取10 m/s2,则木板B由开始运动到静止,物块A所受的摩擦力随时间变化的图像正确的是(选v0的方向为正方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
　　
A B
　　
C D
8.(2025·湖南常德一模)如图,质量分别为mA、mB的两滑块紧贴但不粘连地放在粗糙的水平地面上,滑块B与滑块A接触的那一面固定一个力传感器(质量不计)。两滑块与地面间的动摩擦因数均为μ,从t=0时起,对A施加一个水平向右的外力F,且F=kt(k>0),滑块与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列选项中力传感器测得A、B之间的弹力FN与时间的函数关系图像正确的是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
9.长方形木板放置在水平地面上,在长方形木板的上方有一条状竖直挡板,挡板的两端固定于水平地面上,挡板与木板不接触。现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度v运动,同时长方形木板以大小相等的速度向左运动,木板的运动方向与竖直挡板垂直,已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2,物块的质量为m,重力加速度大小为g。下列关于物块所受摩擦力的说法正确的是(　　)
A.竖直挡板对物块的摩擦力大小为0
B.竖直挡板对物块的摩擦力大小为μ1μ2mg
C.只增大木板向左运动的速度,竖直挡板对物块的摩擦力将变小
D.只增大物块沿挡板运动的速度,木板对物块的摩擦力将增大
10.如图所示,一本大字典置于桌面上,一张A4纸(质量和厚度均可忽略不计)夹在字典最深处。假设字典的质量分布均匀,同一页纸上的压力分布也均匀,字典总质量M=3 kg,宽L=20 cm,高H=6 cm,A4纸上、下表面与书页之间的动摩擦因数均为μ1=0.5,字典与桌面之间的动摩擦因数为μ2,各接触面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,水平向右拉动A4纸,当A4纸上方部分字典的高度h为4 cm时,字典恰好能被拖动。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求A4纸受到的字典对它的正压力大小;
(2)求字典与桌面之间的动摩擦因数μ2;
(3)若将A4纸夹在字典最深处,A4纸上方部分字典的高度h为3 cm,用水平向右的拉力F将A4纸从字典中匀速抽出,当A4纸抽出位移为x时,分别写出A4纸受到的压力FN、拉力F与A4纸位移x的函数表达式。(在抽出A4纸的过程中,只有与A4纸上方重叠部分的字典才对A4纸有压力)第二章　相互作用——力
第1讲　重力　弹力　摩擦力
对点1.重力和重心
1.(2025·湖南娄底模拟)关于重力,下列说法不正确的是(　　)
A.重力的作用点叫重心,物体的重心一定在物体上
B.用线竖直悬挂的物体静止时,线的方向一定通过重心
C.无论支持面是否水平,重力的方向总是竖直向下的
D.一车荔枝(质量不变)从广东运到北京,其重力变大
2.(2025·河南模拟)《西游记》中孙悟空的武器如意金箍棒大小可随心变化,深受读者喜爱。如图,假设金箍棒可以变到地球直径的长度,把金箍棒立在地面上,若变长的金箍棒质量分布均匀,其长度的中点在O处,那么金箍棒的重心位置(　　)
A.也在O点处
B.在O点右方,比O点更远离地球
C.在O点左方,比O点更靠近地球
D.无法确定在O点左方还是右方
对点2.弹力
3.(多选)(2025·福建莆田期中)力是物理学基础的概念,下列受力情况分析正确的是(　　)
A.图甲中,由于桌子的形变,书对桌面产生向下的弹力F1
B.图乙中,小车向右压缩弹簧,小车对弹簧的弹力方向向右
C.图丙中,半圆形碗对筷子的弹力沿筷子斜向上
D.图丁中,轻绳的拉力沿着绳并指向绳收缩的方向
4.(多选)(2025·宁夏中卫期中)如图所示为一轻质弹簧的弹力随长度变化的关系图像(轻质弹簧未超过弹性限度),下列说法正确的是(　　)
A.弹簧的原长为6 cm
B.弹簧的劲度系数为100 N/m
C.弹簧两端各加4 N拉力时,弹簧的长度为8 cm
D.弹簧的长度为0.16 m时,弹力的大小为10 N
对点3.摩擦力
5.(2025·陕晋青宁卷,4)如图,质量为m的均匀钢管,一端支在粗糙水平地面上,另一端被竖直绳悬挂,处于静止状态,钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ,重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为(　　)
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
6.(2024·黑吉辽卷,3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”,如图,在研磨过程中,砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时,(　　)
A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
7.(2025·湖南湘潭期末)如图所示为一个免打孔伸缩晾衣杆的示意图,使用时,先调节杆的长度使其恰好与两侧的竖直墙面接触,然后打开锁紧装置保持杆长不变,最后旋转增压旋钮增加杆头与墙面间的压力,使其在晾衣物时能保持静止。下列说法正确的是(　　)
A.杆头与墙面间的压力越大,杆头与墙面间的摩擦力就越大
B.所晾衣物的质量越大,杆头与墙面间的摩擦力就越大
C.在湿衣物晾干的过程中,杆头与墙面间的摩擦力保持不变
D.为了能晾更大质量的衣物,可增加杆头与墙面的接触面积
8.(2025·四川成都三模)图甲为答题卡扫描仪,其内部结构如图乙所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F,摩擦滚轮顺时针转动,摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描,直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m,摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8,各答题卡间的动摩擦因数μ′范围为0.4≤μ′≤0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作,正压力F的最大取值范围为(　　)
A.mgC.mg9.某同学制作的“互”字形木制模型如图所示。模型的上下两部分质量均为0.5m。用细线连接两部分。当细线都绷紧时,整个模型可以竖直静止在水平地面上。则(　　)
A.模型下部分受到三个力的作用
B.地面受到模型的压力为0.5mg
C.细线ab的拉力小于细线cd的拉力
D.细线ab和cd对模型上半部分的力均向下
10.如图所示,一质量不计的弹簧原长为10 cm,一端固定于质量m=2 kg的物体上,另一端施加一水平拉力F。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.2。(设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,g取10 m/s2)
(1)当弹簧拉长至12 cm时,物体恰好匀速运动,弹簧的劲度系数为多大
(2)若将弹簧拉长至11 cm,物体受到的摩擦力大小为多少
(3)若将弹簧拉长至13 cm,物体受到的摩擦力大小为多少
11.(2025·山东青岛期中)如图所示,原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的两轻质弹簧竖直悬挂在天花板上,两弹簧之间有一质量为m的物体,最下端挂着质量为2m的另一物体,整个装置处于静止状态。
(1)求这时两弹簧的总长度;
(2)若用一平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起,直到两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和,求这时平板对下面物体的弹力大小。第4讲　牛顿第三定律　共点力的平衡
对点1.牛顿第三定律
1.(2025·湖南娄底模拟)一人用手推水平地面上的汽车但未推动。下列说法正确的是(　　)
A.人对汽车的推力和汽车对人的力是一对平衡力
B.汽车受到的重力和地面对汽车的支持力是一对作用力与反作用力
C.人对汽车的推力和地面对汽车的摩擦力是一对平衡力
D.地面对汽车的支持力和汽车对地面的压力是一对平衡力
2.(多选)(2025·重庆期中)如图所示为某高山滑雪运动员在倾斜赛道上沿直线下滑时的情景,下列说法正确的是(　　)
A.赛道对滑雪板的摩擦力方向沿赛道斜向下
B.赛道对滑雪板的摩擦力方向沿赛道斜向上
C.滑雪板受到的摩擦力与赛道受到的摩擦力是一对平衡力
D.滑雪板受到的摩擦力与赛道受到的摩擦力是一对作用力与反作用力
对点2.受力分析
3.(2025·重庆模拟)如图所示,一艘船静止在水面上,其粗糙外壁面与竖直方向夹角为θ,一可视为质点的机器人通过磁铁吸附在外壁上并与船保持静止,磁力垂直于壁面,则该机器人受力个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2025·贵州黔东南一模)平衡术对人的观察能力和动手能力要求较高,极其锻炼人的耐心。小强同学在海边堆放了一些石块,如图所示,石块A、B的接触面水平,不计空气的作用力,下列说法正确的是(　　)
A.最上面的石块D一定只受两个力作用
B.心形石块E一定不受摩擦力作用
C.石块C可能受到6个力的作用
D.石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上
对点3.共点力的平衡
5.(2025·广东模拟)有一挂在架子上的双层晾衣篮,上、下篮子完全相同且保持水平,每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成,两篮通过四根等长的轻绳分别与钢圈的四等分点相连,上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图所示,则上、下各一根绳中的张力大小之比为(　　)
A.1∶1 B.2∶1 C.5∶2 D.5∶4
6.(多选)(2025·福建阶段练习)如图所示,用三根轻绳a、b、c将质量均为m的两个灯笼1、2悬挂起来。两灯笼静止时,轻绳a与竖直方向的夹角为30°,轻绳c水平,三根轻绳能承受的最大拉力均相等,重力加速度为g,则(　　)
A.轻绳a中的拉力大小为mg
B.轻绳c中的拉力大小为mg
C.轻绳b中的拉力大小为mg
D.若增大m,轻绳a最先被拉断
7.(2025·四川乐山三模)如图所示,一半径为R、质量为3m的半球放在水平地面上,O点是球心,在O点正上方 R处固定一钉子A,长度为R的轻质细绳一端拴在A上,另一端连接质量为m的光滑小球(可视为质点),整个系统处于静止状态。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.细绳对小球的拉力为mg
B.半球对小球的支持力为mg
C.地面对半球的支持力为4mg
D.地面对半球的摩擦力为零
8.(2025·陕西西安模拟)如图所示,有40个质量相等的小球(可视为质点),将它们用长度相等的轻绳依次连接,再将两端固定在天花板上,静止时,连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为30°,已知每个小球的重力均为1 N,则第15个小球与第16个小球之间轻绳的张力大小为(　　)
A.14 N B.28 N
C.35 N D.45 N
9.(2025·辽宁开学考试)如图所示,物块A放置于水平桌面上,轻绳DO与轻质弹簧的左端及轻绳CO的上端连接于O点,弹簧中轴线沿水平方向,轻绳DO、DE与竖直方向夹角θ相等,均为53°,整个系统均处于静止状态,不计绳与滑轮间的摩擦。已知物块A和B的质量分别为m1=5 kg,m2=1.5 kg,人的质量为m3=50 kg,弹簧的伸长量为4 cm,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)物块A与桌面间的动摩擦因数的最小值;
(3)地面对人的支持力大小。

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