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第四章　抛体运动　圆周运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
对点1.曲线运动的条件和特征
1.(2023·全国乙卷,15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
2.(多选)(2025·广东模拟)足球比赛中踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时,足球向前运动的同时还在绕轴自转(如图甲、乙所示);自上向下观察(如图丙所示)足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动,导致足球A、B两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差F,使得足球发生偏转。则(　　)
A.甲图中足球受到空气压力向左
B.甲图中足球受到空气压力向右
C.空气流速大的一侧压力大
D.空气流速小的一侧压力大
对点2.运动的合成与分解
3.(2025·湖南卷,2)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
　　　
A B C D
4.(教材改编题)质量m=2 kg的物体在光滑水平面上运动,其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图甲、乙所示,求:
(1)物体所受的合力大小;
(2)t=8 s时物体的速度大小;
(3)物体运动的轨迹表达式。
对点3.小船渡河模型
5.(2025·福建莆田三模)一小船以两种方式渡河:如图甲所示,小船航行方向垂直于河岸;如图乙所示,小船航行方向与水流方向成锐角α。已知小船在静水中航行的速度大小为v1,河水流速大小为v2,则下列说法正确的是(　　)
A.图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B.图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C.图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D.图甲和图乙中小船均做曲线运动
对点4.关联速度问题
6.(多选)(2025·河北秦皇岛模拟)如图所示,物块A放在光滑的水平地面上,竖直悬挂的小球B通过光滑的定滑轮与物块A相连,初始时,细绳与水平方向的夹角为θ,在外力的作用下,物块A向左以速度v0做匀速直线运动,则(　　)
A.初始时,小球B的速度为v0cos θ
B.小球B做减速运动
C.小球B处于超重状态
D.物块A受到的合力变化
7.(2025·湖南阶段练习)如图所示,不可伸长的刚性连杆AB、OA可绕图中A、B、O三处的转轴转动,OA杆长为L,小球A以速度v0沿逆时针方向做匀速圆周运动时,滑块B沿直线做往复运动,当连杆AB与水平方向的夹角为α,AB杆与OA杆间的夹角为β时,滑块B的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
8.如图所示,半圆柱上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆,竖直杆在外力作用下以速度v向下匀速运动,当杆、半圆柱接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时,半圆柱体的速度大小为(　　)
A. B.
C.vtan θ D.vsin θ
9.(2025·陕西咸阳期中)如图所示,从距地面高度H=3.2 m 处,将质量为1 kg 的小球以12 m/s 的初速度水平向右抛出。小球运动中受到恒定的水平向左的风力,风力的大小为5 N,空气阻力忽略不计。重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)小球落地时与抛出点的水平距离;
(2)小球落地时的速度大小;
(3)小球抛出后速度的最小值。第4讲　圆周运动
课时作业
对点1.圆周运动的运动学问题
1.(2025·河北卷,5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳,照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹,简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动,相机本次曝光时间是 s,圆弧对应的圆心角约为30°,则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A.90 B.120
C.150 D.180
【答案】 C　
【解析】 根据题意可知,塑料绳转动的角速度为ω== rad/s=5π rad/s,故该同学每分钟跳绳的圈数为n==150。
2.(多选)(2025·福建卷,5)在2025年央视春晚上,人形机器人表演了一个精彩的扭秧歌、转手绢节目。如图,机器人转动手绢,手绢绕其中心点O在一竖直面内匀速转动,O点在空间中保持不动,P、Q是固定在手绢上可视为质点的两个小饰物,与O点的距离分别为d、d,则手绢转动过程中(　　)
A.Q的线速度大小是P的倍
B.Q的角速度大小是P的倍
C.P的加速度大小是Q的倍
D.P受到的合外力方向始终指向O点
【答案】 AD
【解析】 手绢绕O点匀速转动时,手绢上各点的角速度相同,所以ωQ=ωP,故选项B错误;又rQ=rP,根据v=ωr,得vQ=vP,故选项A正确;匀速圆周运动的加速度a=ω2r,所以aQ=aP,故选项C错误;匀速圆周运动的合外力提供向心力,其方向始终指向圆心,故选项D正确。
3.(2025·山西晋中阶段练习)如图所示,半径R=0.4 m 的圆盘水平放置,绕竖直轴O′O匀速转动,在圆心O正上方h=0.8 m处固定一水平轨道PQ,转轴和水平轨道交于O′点。一质量为m的小车(可视为质点),在水平恒力F作用下(一段时间后,撤去该力),从O′点左侧x0处由静止开始沿轨道向右运动,当小车运动到O′点时,从小车上自由释放一小球,此时圆盘半径OA与x轴重合。规定经过O点水平向右为x轴正方向。不计空气阻力,g取10 m/s2。
(1)为使小球刚好落在A点,圆盘转动的角速度应为多大
(2)为使小球能落到圆盘上,求小车到达O′点的速度范围。
【答案】 (1)5πk rad/s(k=1,2,3,…)
(2)0≤v≤1 m/s
【解析】 (1)小球离开小车后,由于惯性,将以离开小车时的速度做平抛运动,
竖直方向有h=gt2,
解得t== s=0.4 s,
为使小球刚好落在A点,则应满足ωt=2πk,
解得ω==5πk rad/s(k=1,2,3,…)。
(2)小球离开小车后做平抛运动,水平方向有R=vt,
小车运动到O′点的速度v== m/s=1 m/s,
所以小球若能落到圆盘上,其在O′点的速度范围是0≤v≤1 m/s。
对点2.圆周运动的动力学问题
4.(2025·福建漳州模拟)如图所示,在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上,有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动,则(　　)
A.衣服仅受到筒壁的弹力和摩擦力的作用
B.加快脱水筒转动角速度,筒壁对衣服的摩擦力增大
C.当衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力时,衣服上的水滴将做离心运动
D.增大脱水筒的转动周期,脱水效果会更好
【答案】 C
【解析】 受力分析可知衣服受到重力、筒壁的弹力、静摩擦力,故A错误;对衣服受力分析,在竖直方向,受到重力和摩擦力,二力平衡,加快脱水筒转动角速度,衣服在竖直方向仍然保持平衡状态,故摩擦力不变,故B错误;脱水过程中,衣服做离心运动而甩向筒壁,衣服上的水滴依附的附着力是一定的,当水滴和衣服一起做高速圆周运动时,因水滴做圆周运动所需的向心力大于该附着力,水滴做离心运动,沿切线方向被甩出,故C正确;根据向心力公式F=mω2r,又有T=,化简得F=,可知周期越小,需要的向心力越大,脱水效果会更好,故D错误。
5.(2025·四川模拟)如图所示,一半径为R的光滑圆环在竖直面内,O为圆心,原长为2R的轻弹簧一端固定在圆环的最低点A,另一端连接套在圆环上的小球。圆环绕竖直直径AB以角速度ω匀速转动,小球相对圆环静止时,小球、圆心连线与直径AB的夹角θ=60°。已知小球质量为m,重力加速度大小为g。则圆环对小球作用力的大小为(　　)
A.mg B.mRω2
C.mg-mRω2 D.mg+mRω2
【答案】 D
【解析】 小球做匀速圆周运动,对其进行受力分析,如图所示,则有FNcos θ+Fcos θ=mg,FNsin θ-Fsin θ=mω2r,根据几何关系有Rsin θ=r,解得FN=mg+mRω2,故选D。
6.(多选)(2025·广东卷,8)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示。已知圆周运动半径R为 0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2。关于该小球,下列说法正确的有(　　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
【答案】 AC
【解析】 对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R,解得ω=5 rad/s,A正确;线速度大小为v=ωR=2 m/s,B错误;向心加速度大小为an=ω2R=10 m/s2,C正确;所受支持力大小为FN==
N,D错误。
7.(2025·江苏二模)竖直平面内有一L形光滑细杆,杆上套有相同的小球A、B。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴匀速转动,两小球A、B在杆上稳定时,其相对位置关系可能正确的是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
【答案】 D
【解析】 设杆与竖直方向的夹角为α,小球距离O点的高度为h,根据牛顿第二定律得=mω2htan α ,解得h=,两个小球的角速度ω相同,α越小,h越大, A、B错误;根据牛顿第二定律得=mω2r,解得r= ,两个小球的角速度ω相同,α越小,运动半径r越大,所以A球的运动半径比B球的运动半径大, C错误,D正确。
8.(多选)(2025·山东卷,10)如图所示,在无人机的某次定点投放性能测试中,目标区域是水平地面上以O点为圆心,半径为R1=5 m的圆形区域,OO′垂直于地面,无人机在离地面高度H=20 m的空中绕O′点、平行于地面做半径为R2=3 m的匀速圆周运动,A、B为圆周上的两点,∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放,为保证落点在目标区域内,无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时,相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响,物品可视为质点且落地后即静止,重力加速度大小g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.ωmax= rad/s
B.ωmax= rad/s
C.无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时,在A点释放的物品尚未落地
【答案】 BC
【解析】 物品从无人机上释放后,做平抛运动,竖直方向H=gt2,水平方向满足x=vt,而最大角速度ωmax=,要使得物品落点在目标区域内,有=R1,联立可得t=2 s,ωmax= rad/s,故A错误,B正确;无人机从A到B的时间t′== s>t,可知无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地,故C正确,D错误。
9.(2025·安徽蚌埠期末)如图甲所示,带有一白点的黑色圆盘,绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动,转速为10 r/s。现用频闪相机对其拍照,连续两次拍摄的照片如图乙、丙所示,若测得图乙、丙中白点与圆心的连线之间的夹角为120°,则频闪相机的频闪频率可能是(　　)
A.7.5 Hz B.15 Hz
C.22.5 Hz D.35 Hz
【答案】 A
【解析】 夹角120°以弧度表示为,设频闪时间为Δt,圆盘的转速为n,根据圆周运动的周期性有ωΔt=2kπ+π(k=0,1,2,3,…),根据角速度与转速的关系有ω=2πn,根据频闪频率与周期的关系有f=,解得f= Hz(k=0,1,2,3,…),若频率为7.5 Hz,解得k=1,符合要求,故A正确;结合上述,若频率为15 Hz,解得k=,不符合要求,故B错误;结合上述,若频率为22.5 Hz,解得k=,不符合要求,故C错误;结合上述,若频率为35 Hz,解得k=-,不符合要求,故D错误。
10.(2024·江西卷,14)雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。
(1)在图甲中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高,如图乙所示。圆盘匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)对转椅受力分析,转椅在竖直方向受向下的重力mg和向上的支持力FN,在水平方向受沿绳方向的绳拉力FT和沿圆周切线反方向的滑动摩擦力Ff,如图所示,
转椅在水平面内做匀速圆周运动,
由竖直方向上受力平衡有FN=mg,
水平方向有FTsin α=Ff,
FTcos α=mr1,
又Ff=μFN,
解得tan α=。
(2)将转椅所受沿绳方向的绳拉力FT′正交分解到沿A1B方向和垂直于A1B方向,
沿A1B方向的分力为FT′sin θ,
垂直于A1B方向的分力为FT′cos θ,
转椅在竖直方向受向下的重力mg、向上的支持力FN′和向上的绳拉力的分力FT′cos θ,
转椅在水平方向受沿A1B方向的分力FT′sin θ和沿圆周切线反方向的滑动摩擦力Ff′,转椅在水平面内做匀速圆周运动,
由竖直方向上受力平衡有mg=FN′+FT′cos θ,
水平方向有FT′sin θsin β=Ff′,
FT′sin θcos β=mr2,
又Ff′=μFN′,
解得ω2=。第4讲　圆周运动
对点1.圆周运动的运动学问题
1.(2025·河北卷,5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳,照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹,简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动,相机本次曝光时间是 s,圆弧对应的圆心角约为30°,则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A.90 B.120 C.150 D.180
2.(多选)(2025·福建卷,5)在2025年央视春晚上,人形机器人表演了一个精彩的扭秧歌、转手绢节目。如图,机器人转动手绢,手绢绕其中心点O在一竖直面内匀速转动,O点在空间中保持不动,P、Q是固定在手绢上可视为质点的两个小饰物,与O点的距离分别为d、d,则手绢转动过程中(　　)
A.Q的线速度大小是P的倍
B.Q的角速度大小是P的倍
C.P的加速度大小是Q的倍
D.P受到的合外力方向始终指向O点
3.(2025·山西晋中阶段练习)如图所示,半径R=0.4 m 的圆盘水平放置,绕竖直轴O′O匀速转动,在圆心O正上方h=0.8 m处固定一水平轨道PQ,转轴和水平轨道交于O′点。一质量为m的小车(可视为质点),在水平恒力F作用下(一段时间后,撤去该力),从O′点左侧x0处由静止开始沿轨道向右运动,当小车运动到O′点时,从小车上自由释放一小球,此时圆盘半径OA与x轴重合。规定经过O点水平向右为x轴正方向。不计空气阻力,g取10 m/s2。
(1)为使小球刚好落在A点,圆盘转动的角速度应为多大
(2)为使小球能落到圆盘上,求小车到达O′点的速度范围。
对点2.圆周运动的动力学问题
4.(2025·福建漳州模拟)如图所示,在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上,有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动,则(　　)
A.衣服仅受到筒壁的弹力和摩擦力的作用
B.加快脱水筒转动角速度,筒壁对衣服的摩擦力增大
C.当衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力时,衣服上的水滴将做离心运动
D.增大脱水筒的转动周期,脱水效果会更好
5.(2025·四川模拟)如图所示,一半径为R的光滑圆环在竖直面内,O为圆心,原长为2R的轻弹簧一端固定在圆环的最低点A,另一端连接套在圆环上的小球。圆环绕竖直直径AB以角速度ω匀速转动,小球相对圆环静止时,小球、圆心连线与直径AB的夹角θ=60°。已知小球质量为m,重力加速度大小为g。则圆环对小球作用力的大小为(　　)
A.mg B.mRω2
C.mg-mRω2 D.mg+mRω2
6.(多选)(2025·广东卷,8)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示。已知圆周运动半径R为 0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2。关于该小球,下列说法正确的有(　　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
7.(2025·江苏二模)竖直平面内有一L形光滑细杆,杆上套有相同的小球A、B。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴匀速转动,两小球A、B在杆上稳定时,其相对位置关系可能正确的是(　　)
A　 　　B
C　 　　D
8.(多选)(2025·山东卷,10)如图所示,在无人机的某次定点投放性能测试中,目标区域是水平地面上以O点为圆心,半径为R1=5 m的圆形区域,OO′垂直于地面,无人机在离地面高度H=20 m的空中绕O′点、平行于地面做半径为R2=3 m的匀速圆周运动,A、B为圆周上的两点,
∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放,为保证落点在目标区域内,无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时,相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响,物品可视为质点且落地后即静止,重力加速度大小g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.ωmax= rad/s
B.ωmax= rad/s
C.无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时,在A点释放的物品尚未落地
9.(2025·安徽蚌埠期末)如图甲所示,带有一白点的黑色圆盘,绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动,转速为10 r/s。现用频闪相机对其拍照,连续两次拍摄的照片如图乙、丙所示,若测得图乙、丙中白点与圆心的连线之间的夹角为120°,则频闪相机的频闪频率可能是(　　)
A.7.5 Hz B.15 Hz
C.22.5 Hz D.35 Hz
10.(2024·江西卷,14)雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。
(1)在图甲中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高,如图乙所示。圆盘匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。第7讲　实验:探究向心力大小的表达式
课时作业　
1.(2025·黑龙江大庆模拟)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和转动半径r的关系实验。
(1)本实验所采用的实验探究方法与下列实验相同的是　　　　。
A.探究平抛运动的特点
B.卡文迪什扭秤测量引力常量
C.探究两个互成角度的力的合成规律
D.探究导体电阻的影响因素
(2)某同学用向心力演示器进行实验,实验情境如图甲、乙、丙所示。
①三个情境中,图　　　　(选填“甲”“乙”或“丙”)是探究向心力大小F与质量m的关系。
②在甲情境中,若左、右两钢球所受向心力的比值为4∶1,则实验中选取左右两个变速塔轮的半径之比为　　　　。
【答案】 (1)D　(2)①丙　②1∶2
【解析】 (1)探究向心力大小与物体质量、角速度和转动半径之间的关系,运用的是控制变量法,探究平抛运动的特点时,运用等效思想,A错误;卡文迪什扭秤测量引力常量,采用微小量放大法,B错误;探究两个互成角度的力的合成规律,采用等效替代法,C错误;探究导体电阻影响因素,采用控制变量法,D正确。
(2)①探究向心力大小F与物体质量m的关系时,要保证转动的半径和角速度相等,质量不同,故选题图丙。
②甲情境中,两小球的质量和转动半径相同,若两钢球所受向心力的比值为4∶1,由公式F=mω2r,可知两钢球转动的角速度之比为2∶1,由于变速塔轮边缘的线速度相等,由公式v=ωR可知,实验中选取两个变速塔轮的半径之比为1∶2。　
2.某同学利用“向心力定量探究仪”探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系,装置如图甲、乙所示,小球放在光滑的带凹槽的旋转杆上,其一端通过细绳与电子测力计相连,当小球和旋转杆被电机带动一起旋转时,控制器的显示屏显示小球质量m、转动半径r、转动角速度ω以及细绳拉力F的大小。
(1)该同学采用控制变量法,分别改变小球质量、　　　　以及转动角速度进行了三组实验,测得的实验数据如下表1、2、3所示。
　表1
小球质量/kg 0.1 0.2 0.3 0.4
转动半径/m 0.2 0.2 0.2 0.2
角速度/(rad·s-1) 4π 4π 4π 4π
向心力/N 3.15 6.29 9.45 12.61
　表2
小球质量/kg 0.2 0.2 0.2 0.2
转动半径/m 0.1 0.2 0.3 0.4
角速度/(rad·s-1) 4π 4π 4π 4π
向心力/N 3.16 6.31 9.46 12.63
　表3
小球质量/kg 0.2 0.2 0.2 0.2
转动半径/m 0.2 0.2 0.2 0.2
角速度/(rad·s-1) 2π 4π 6π 8π
向心力/N 1.57 6.29 14.14 25.16
(2)由表1的数据可得:当　　　　　　　　　　　　　一定时,小球的向心力F大小与　　　　成　　　　比。
(3)为了通过作图法更直观地呈现向心力F与角速度ω之间的关系,应绘制的图像是　 　。
A.Fω图像 B.Fω2图像
C.F 图像 D.F2ω图像
【答案】 (1)转动半径
(2)转动半径r和转动角速度ω　小球质量m　正
(3)B
【解析】 (1)探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系,由表格1、2、3可知该同学采用控制变量法,分别改变小球质量、转动半径以及转动角速度进行了三组实验。
(2)在误差允许范围内,由表1的数据可得:当小球的转动半径r和角速度ω一定时,小球的向心力F大小与小球质量m成正比。
(3)根据F=mω2r可知,为了通过作图法更直观地呈现向心力F与角速度ω之间的关系,应绘制的图像是Fω2图像,从而得到一条拟合的直线。故选B。
3.(2025·湖南二模)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式,步骤如下:
(1)用天平测出密度较大的小球的质量为m,如图乙所示,用20分度的游标卡尺测出小球的直径D=　　　　 cm。小球静止时,用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为L。
(2)在白纸上画几个不同半径的同心圆,用刻度尺测量各个圆的半径。将白纸平铺在水平桌面上,使同心圆的圆心刚好位于　　　　　　　　。让小球做圆锥摆运动,俯视观察小球,其在水平面上沿着白纸上某个半径为r的圆做圆周运动,当运动稳定时,用秒表测量小球运动10圈所用的时间t。
(3)用向心力表达式推导出Fn=　　　　　　　(用m、t、r和圆周率π表示);通过受力分析,推导出小球做圆周运动时所受合力F=　　　　　　(用m、r、D、L和重力加速度g表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长,重复(2)、(3)实验步骤,记录多组数据。
(5)比较每一组数据计算出的Fn和F的大小,在误差允许的范围内近似相等。由此向心力的表达式得到验证。
【答案】 (1)1.570　(2)静止的小球球心正下方　(3)　
【解析】 (1)游标卡尺的读数为D=29 mm-×14 mm=15.70 mm=1.570 cm。
(2)将白纸平铺在水平桌面上,使同心圆的圆心刚好位于静止的小球球心的正下方。
(3)根据向心力周期公式以及圆锥摆周期公式可得Fn=mr==,小球做圆周运动时,设悬线与竖直方向的夹角为θ,根据受力分析可知F=mgtan θ,由几何关系可知F=。
4.(2025·山东济南期末)某学习小组利用传感器探究匀速圆周运动的向心力和哪些因素有关。实验装置如图甲所示,电机的转动轴与水平圆盘的中心相连,圆盘边缘安装一竖直的遮光片,一根细绳跨过圆盘中心的定滑轮连接滑块和力传感器。实验时电机带动水平圆盘匀速转动,滑块与圆盘保持相对静止。已知遮光片的宽度为d,圆盘半径为R,滑块至圆盘中心距离为r。
(1)实验中,遮光片通过光电门的挡光时间为t,据此可计算出圆盘运动的角速度为　　　　,滑块的向心加速度为　　 　(用d、r、R、t表示)。
(2)保持滑块质量及相对圆盘位置不变,适当改变圆盘转速,多次实验并记录力传感器示数F和遮光片通过光电门的挡光时间t,作出F图线如图乙所示。重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,据此可得出滑块与圆盘间的动摩擦因数为　　　　,滑块的质量为　　　　(用a、b、d、g、R、r表示)。
【答案】 (1)　　(2)　
【解析】 (1)遮光片通过光电门的瞬时速度v=,圆盘运动的角速度为ω==,滑块不滑动时与圆盘同轴转动,角速度相等,滑块的向心加速度an=rω2=。
(2)根据向心力公式F+μmg=man,变形得F=·-μmg,图像的斜率k===,滑块质量m=,图像纵截距的绝对值a=μmg,动摩擦因数μ==·=。第2讲　抛体运动
课时作业
对点1.对平抛运动的理解及应用
1.(2024·湖北卷,3)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
【答案】 C
【解析】 青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=vt,h=gt2,解得v=x,因此水平位移越小,竖直高度越大,则对应初速度越小,即应跳到荷叶c上面,故选C。
2.(多选)(2025·辽宁沈阳二模)如图甲所示,某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球,不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区(如图乙)即可得到相应的分数。某次,该同学投掷的小球落在10分区最高点,若他想获得更高的分数,在其他条件不变的情况下,下列调整方法可行的是(　　)
A.投掷时球的初速度适当大些
B.投掷时球的初速度适当小些
C.投掷时球的位置向后移动少许
D.投掷时球的位置向上移动少许
【答案】 BC
【解析】 小球在空中做平抛运动,根据平抛运动规律有h=gt2,x=v0t,联立可得h=,该同学投掷的小球落在10分区最高点,若他想获得更高的分数,应使小球打在靶盘上的位置向下移动,即在其他条件不变的情况下,投掷时球的初速度适当小些、投掷时球的位置向后移动少许或投掷时球的位置向下移动少许,故B、C正确。
3.(教材改编题)如图所示,以初速度v0=12 m/s做平抛运动的物体,经过P点时速度方向与水平方向成夹角37°,经过Q点时速度方向与水平方向成夹角53°,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。求:
(1)物体经过P点时的速度大小v;
(2)P、Q两点的水平距离x和竖直距离h。
【答案】 (1)15 m/s　(2)8.4 m　8.75 m
【解析】 (1)由平抛运动的水平分速度与合速度的关系,可知物体经过P点时的速度大小与水平速度满足v=,
解得v=15 m/s。
(2)物体经过P、Q点时的竖直分速度大小分别满足vPy=v0tan 37°,vQy=v0tan 53°,
竖直方向上,物体经过P、Q两点时,有vQy=vPy+gt,
则P、Q两点的水平距离x=v0t,
竖直方向满足-=2gh,
联立解得x=8.4 m,h=8.75 m。
对点2.与斜面或圆弧面有关的平抛运动
4.(多选)(2025·广东深圳三模)高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图所示,两名运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb=1∶4沿水平方向向左飞出。不计空气阻力,则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中,下列说法正确的是(　　)
A.他们飞行的时间之比为1∶4
B.他们飞行的水平位移之比为1∶8
C.他们在空中与雪坡面的最大距离之比为1∶16
D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
【答案】 AC
【解析】 设运动员的初速度为v0时,飞行时间为t,水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y,如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动,有x=v0t,在竖直方向上做自由落体运动,有y=gt2,运动员落在斜面上,有tan θ=,联立解得t=,则知运动员飞行的时间t与v0成正比,则他们飞行的时间之比为==,故A正确;水平位移x=v0t=,运动员飞行的水平位移x与初速度的平方成正比,则他们飞行的水平位移之比为1∶16,故B错误;将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向,建立直角坐标系,在沿坡面方向做匀加速直线运动,垂直于坡面方向做匀减速直线运动,则运动员在空中与雪道坡面的最大距离为hmax=∝,所以他们在空中与雪道坡面的最大距离之比为1∶16,故C正确;落到雪坡上时,设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α,则有tan α====,则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同,故D错误。
5.(2025·河北廊坊月考)轰炸机是军用飞机之一,在某次演习中,轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹,初速度大小为v0,炸弹正好垂直击中山坡上的目标,山坡的倾角为θ=37°,如图所示,不计空气阻力,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是(　　)
A.炸弹刚落到山坡时的速度大小是v0
B.炸弹从水平投出到落到斜坡上,所用的时间是
C.炸弹从投出到落到斜坡上的位移为
D.炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半
【答案】 C
【解析】 由题意,炸弹刚落到山坡时有sin θ=,可得炸弹刚落到山坡时的速度大小v=v0,故A错误;炸弹刚落到山坡时有tan θ=,vy=gt,得炸弹从水平投出到落到斜坡上,所用的时间是t=,故B错误;设炸弹从投出到落到斜坡上的水平及竖直位移大小分别为x、y,根据平抛运动中水平方向做匀速直线运动,竖直方向做自由落体运动,有x=v0t,y=gt2,代入数据解得x=,y=,由勾股定理可知位移大小s==,故C正确;根据平抛运动推论,可知炸弹从水平投出到落在斜坡上时速度偏转角α与位移偏转角β满足tan α=2tan β,故D错误。
6.如图,水平固定的半球形碗的球心为O点,最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球,分别经过t1、t2、t3的时间落在A、B、C点,抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内,且A、C点等高,则下列说法正确的是(　　)
A.三个小球平抛运动时间的大小关系为t3B.三个小球平抛初速度的大小关系为v1=v2=v3
C.落在C点的小球,在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D.落在B点的小球,在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
【答案】 D
【解析】 竖直方向上,根据h=gt2,可得t=,可知小球竖直位移越大,运动时间越长,故三个小球平抛运动时间的大小关系为t1=t3tan 60°,则速度与水平方向夹角大于60°,故D正确。
对点3.斜抛运动
7.(2025·湖北卷,6)某网球运动员两次击球时,击球点与网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 根据题意,画出示意图,如图所示。网球水平方向上做匀速直线运动,有t=,设球网高度为h,对斜向下击出的球,竖直方向有L-h=v0sin θ·t+gt2,对斜向上击出的球,竖直方向有-h=-v0sin θ·t+gt2,联立可得tan θ=,C正确。
8.(2025·安徽宣城期末)如图所示,某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点,其中A为球抛出点,B为球运动轨迹的最高点,C为球落入篮筐的点,且A、B连线垂直于B、C连线,A、B连线与水平方向的夹角θ=53°,不计空气阻力,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为(　　)
A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9
【答案】 D
【解析】 设篮球在A点的竖直分速度为vAy,在C点的竖直分速度为vCy,篮球的水平分速度为vx,篮球从A到B过程,根据逆向思维将篮球看成从B到A的平抛运动,篮球在A点时,根据平抛运动推论可得tan θA==2tan θ=2tan 53°,根据几何关系可知B、C连线与水平方向的夹角为α=90°-θ=37°,篮球从B到C做平抛运动,篮球在C点时,根据平抛运动推论可得tan αC=
=2tan α=2tan 37°,又tAB=,tBC=,联立可得篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为===,故D正确。
9.(2025·山东临沂二模)从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2,轨迹如图所示,球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB,落在水平地面上的N点,球2刚好直接越过竖直挡板AB,也落在N点,球1与地面碰撞后水平速度保持不变,竖直速度大小不变,方向相反,忽略空气阻力,则竖直挡板AB的高度为(　　)
A.H B.H
C.H D.H
【答案】 A
【解析】 设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2,设M点到N点的水平距离为L,由平抛运动规律可知球2整个运动过程的时间t=,可得L=v2t,球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反,根据对称性可知,球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同,为H,球1在水平方向一直做匀速运动,设球1从抛出到落地时间为t1,则有L=v1×3t1,且t1=t,联立解得=,设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1,碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2,挡板AB高度为h,有=2gH,设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2,将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得=2g(H-h),则碰撞点到A点的时间为t2=,球2刚好越过挡板AB的时间为t3=,水平方向位移关系有v2t3=v1t+v1t2,联立以上解得h=H,A正确。
10.(2025·河南郑州三模)如图甲,某景观喷泉正以喷头为中心,在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出,落到水平湖面上,空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立坐标系,如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹,虚曲线为水流的包络线(与所有水流的轨迹均相切的曲线),虚曲线的方程为y=-x2+(m)。重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
A.水喷出时速度大小为3 m/s
B.水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3 s
C.水流飞行的最大水平位移为0.45 m
D.水平位移最大的水流在空中运动的时间为 s
【答案】 D
【解析】 由题可知,当x=0时,y= m,结合竖直上抛运动规律y=,联立解得v0==3 m/s,
A错误;根据y=gt2,可知最高点对应的时间最长,故有t上==0.3 s,根据抛体运动的对称性可得,水喷出后在空中飞行的最长时间为t=2t上=0.6 s,B错误;当y=0时,可得水平位移最大为-x2+=0,解得x=0.9 m,C错误;设水流抛出时,速度方向与水平方向的夹角为θ,根据运动的分解可得水平位移x=v0cos θ·T,竖直方向上则有t=,根据运动的对称性可得T=2t=,联立可得x=sin 2θ,由数学知识可知,当2θ=90°,即θ=45°时水平位移最大,故水平位移最大的水流在空中运动的时间为T=2t== s,D正确。
11.(2025·内蒙古高考适应性考试)投沙包游戏规则为:参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出,每个得分区域的宽度d=0.15 m,根据沙包停止点判定得分。如图,某同学以大小v0=5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角为53°的初速度斜向上抛出沙包,出手点与AB的水平距离L=2.7 m,距地面的高度h=1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零,水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离,最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面间的动摩擦因数μ=0.25,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力
不计。求:
(1)沙包从出手点到落地点的水平距离x;
(2)沙包与地面碰撞前后动能的比值k。
【答案】 (1)3 m　(2)20
【解析】 (1)沙包竖直方向的初速度为vy=v0sin 53°=4 m/s,
沙包在竖直方向上减速到0,然后做自由落体运动,设竖直向上为正,
则有-h=vyt-gt2,
代入数据解得t=1 s;
沙包抛出的水平初速度为vx=v0cos 53°=3 m/s,
所以从抛出到落地,沙包的水平位移为x=vxt=3 m。
(2)沙包滑行的距离为x0=L+5d-x=0.45 m,
由牛顿第二定律得沙包滑行的加速度大小a==μg=2.5 m/s2,
设滑行的初速度为v1,由运动学公式得=2ax0,
解得v1=1.5 m/s,
与地面碰撞后的动能Ek2=m=;
沙包从抛出到落地,根据动能定理有mgh=mv2-m,
解得落地瞬间的动能Ek1=mv2=,
所以k==20。第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
对点1.水平面内圆周运动的临界问题
1.(2024·江苏卷,8)如图所示是生产陶瓷的工作台,台面上掉有陶屑,与工作台一起绕OO′匀速转动,陶屑与桌面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则(　　)
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
2.(2025·山东烟台期末)如图甲所示,一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥顶端,当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线拉力大小为FT,FT与ω2的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ,重力加速度为g,则当ω=ω2时,细线拉力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
3.(教材改编题)如图所示,半径R= m的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合,转台能以不同的角速度绕竖直轴匀速转动。一小物块随陶罐一起转动,且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为53°,已知小物块与陶罐之间动摩擦因数为μ,重力加速度g取10 m/s2,认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若小物块恰好不受摩擦力,求水平转台的角速度ω0;
(2)当转台以5 rad/s的角速度转动时,为使小物块与陶罐之间不发生相对滑动,μ应满足什么条件
对点2.竖直面内圆周运动的临界问题
4.(2025·河北保定一模)滚筒洗衣机的实物图如图所示。脱水时,滚筒绕水平轴高速匀速转动,附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法正确的是(　　)
A.水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等
B.在与转轴等高的位置,水受到的衣物附着力指向转轴
C.水在最低点更容易被甩出
D.水在最高点更容易被甩出
5.(多选)(2025·湖北十堰模拟)如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成,摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴O连接,整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上,底座内部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,底座始终保持静止。已知摆锤的质量为m,底座的质量为M,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.若摆锤的速率为,则摆锤运动到最高点时,压力传感器的示数等于Mg
B.摆锤运动到最低点时,压力传感器的示数可能小于(M+m)g
C.当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时,直杆对摆锤的弹力指向O点
D.当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时,底座所受摩擦力水平向左
6.(2025·四川期末)如图甲所示,质量为m的小球(视为质点)用轻质细线悬挂于O点,在竖直面内做圆周运动,小球以不同的角速度ω通过最高点时,细线的拉力F与其角速度的平方ω2的关系图像如图乙所示,则下列说法正确的是(　　)
A.F=0时,小球在最高点的角速度大小为a2
B.当地的重力加速度大小为mb
C.细线的长度为
D.当ω=时,F的大小为b,方向竖直向上
对点3.斜面上圆周运动的临界问题
7.(2025·广东深圳期中)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止,物体与盘面间的动摩擦因数为,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2,则以下说法不正确的是(　　)
A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时,一定始终受到三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时,ω越大时,小物体在最低点处受到的摩擦力一定越大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D.ω的最大值是1.0 rad/s
8.如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动,圆筒的半径r=1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则ω的最小值是(　　)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.5 rad/s
9.(多选)(2025·贵州黔东南模拟)如图所示,两个可视为质点的相同木块A和B放在水平转盘上,用不可伸长的轻绳相连,连线过转盘的圆心O,木块A、B与转轴中心的距离分别为L和2L,木块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。开始时,轻绳恰好伸直但无弹力,现让转盘在水平面内由静止开始绕转轴OO′做角速度ω缓慢增大的圆周运动。以下说法正确的是(　　)
A.当角速度ω增大到时,木块A将相对转盘滑动
B.当角速度ω>时,木块A相对转盘滑动
C.角速度ω在<ω<范围内增大时,轻绳的拉力增大
D.角速度ω在<ω<范围内增大时,A受到的摩擦力先减小后增大
10.(2025·海南海口期中)如图所示,水平转台上有一个质量为m的物块,用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上,细绳与竖直转轴的夹角θ=30°,此时细绳伸直但无张力,物块与转台间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块随转台由静止开始缓慢加速转动,重力加速度为g。
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时,绳上恰好有张力,求ω1的值;
(2)当水平转盘以角速度ω2=匀速转动时,求物块所受的摩擦力大小;
(3)转盘的角速度ω3为多大时,物块刚好离开转台上表面 第2讲　抛体运动
对点1.对平抛运动的理解及应用
1.(2024·湖北卷,3)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
2.(多选)(2025·辽宁沈阳二模)如图甲所示,某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球,不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区(如图乙)即可得到相应的分数。某次,该同学投掷的小球落在10分区最高点,若他想获得更高的分数,在其他条件不变的情况下,下列调整方法可行的是(　　)
A.投掷时球的初速度适当大些
B.投掷时球的初速度适当小些
C.投掷时球的位置向后移动少许
D.投掷时球的位置向上移动少许
3.(教材改编题)如图所示,以初速度v0=12 m/s做平抛运动的物体,经过P点时速度方向与水平方向成夹角37°,经过Q点时速度方向与水平方向成夹角53°,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。求:
(1)物体经过P点时的速度大小v;
(2)P、Q两点的水平距离x和竖直距离h。
对点2.与斜面或圆弧面有关的平抛运动
4.(多选)(2025·广东深圳三模)高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图所示,两名运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb=1∶4沿水平方向向左飞出。不计空气阻力,则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中,下列说法正确的是(　　)
A.他们飞行的时间之比为1∶4
B.他们飞行的水平位移之比为1∶8
C.他们在空中与雪坡面的最大距离之比为1∶16
D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
5.(2025·河北廊坊月考)轰炸机是军用飞机之一,在某次演习中,轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹,初速度大小为v0,炸弹正好垂直击中山坡上的目标,山坡的倾角为θ=37°,如图所示,不计空气阻力,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是(　　)
A.炸弹刚落到山坡时的速度大小是v0
B.炸弹从水平投出到落到斜坡上,所用的时间是
C.炸弹从投出到落到斜坡上的位移为
D.炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半
6.如图,水平固定的半球形碗的球心为O点,最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球,分别经过t1、t2、t3的时间落在A、B、C点,抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内,且A、C点等高,则下列说法正确的是(　　)
A.三个小球平抛运动时间的大小关系为 t3B.三个小球平抛初速度的大小关系为v1=v2=v3
C.落在C点的小球,在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D.落在B点的小球,在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
对点3.斜抛运动
7.(2025·湖北卷,6)某网球运动员两次击球时,击球点与网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为(　　)
A. B. C. D.
8.(2025·安徽宣城期末)如图所示,某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点,其中A为球抛出点,B为球运动轨迹的最高点,C为球落入篮筐的点,且A、B连线垂直于B、C连线,A、B连线与水平方向的夹角θ=53°,不计空气阻力,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为(　　)
A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9
9.(2025·山东临沂二模)从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2,轨迹如图所示,球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB,落在水平地面上的N点,球2刚好直接越过竖直挡板AB,也落在N点,球1与地面碰撞后水平速度保持不变,竖直速度大小不变,方向相反,忽略空气阻力,则竖直挡板AB的高度为(　　)
A.H B.H
C.H D.H
10.(2025·河南郑州三模)如图甲,某景观喷泉正以喷头为中心,在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出,落到水平湖面上,空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立坐标系,如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹,虚曲线为水流的包络线(与所有水流的轨迹均相切的曲线),虚曲线的方程为y=-x2+(m)。重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
A.水喷出时速度大小为3 m/s
B.水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3 s
C.水流飞行的最大水平位移为0.45 m
D.水平位移最大的水流在空中运动的时间为 s
11.(2025·内蒙古高考适应性考试)投沙包游戏规则为:参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出,每个得分区域的宽度d=0.15 m,根据沙包停止点判定得分。如图,某同学以大小v0=5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角为53°的初速度斜向上抛出沙包,出手点与AB的水平距离L=2.7 m,距地面的高度h=1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零,水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离,最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面间的动摩擦因数μ=0.25,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力
不计。求:
(1)沙包从出手点到落地点的水平距离x;
(2)沙包与地面碰撞前后动能的比值k。第3讲　小专题:抛体运动中的综合性问题
课时作业　
对点1.分解法处理类平抛和斜抛运动
1.(2025·重庆沙坪坝期末)如图所示,固定在水平面上的光滑斜面长a=5 m,宽b=4 m,倾角θ=30°,一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入,恰好从底端点A处射出,重力加速度g取
10 m/s2。则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的加速度为10 m/s2
B.小球从B运动到A所用时间为2 s
C.小球从B点水平射入时的速度为2 m/s
D.若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入,则恰能从底端A点离开斜面
【答案】 C
【解析】 依据题意,初速度与合力方向垂直,且合力大小恒定,则小球做匀变速曲线运动,再根据牛顿第二定律得,小球的加速度为g′==gsin θ=10× m/s2=5 m/s2,故A错误;根据a=g′t2,有t== s= s,根据b=v0t,有v0== m/s=2 m/s,故B错误,C正确;若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入,因水平位移不变,则下落的时间会减小,则小球不能从底端A点离开斜面,故D错误。
2.(2025·山东济南模拟)如图所示,一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直,抛出点和落水点之间的距离L=9.8 m,g取10 m/s2,不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为(　　)
A.1.2 s B.1.3 s C.1.4 s D.1.5 s
【答案】 C
【解析】 以垂直于v0方向为x轴,以v0方向为y轴建立平面直角坐标系,设y轴与竖直方向成θ角,将重力加速度g分解为gx=gsin θ,gy=-gcos θ,如图所示,
则有0-v0=-gcos θ·t,y=,x=gsin θ·t2=,L==,联立解得t==1.4 s,故选C。
对点2.抛体中的多物体问题
3.(2025·四川宜宾三模)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中,同时启动了多个喷水口进行灭火。有靠在一起的甲、乙两支高压水枪,它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示,已知两曲线所在竖直面平行,忽略空气阻力,则(　　)
A.甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B.乙水枪喷出的水初速度较大
C.乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D.甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
【答案】 B
【解析】 设喷出水的初速度v0与水平方向夹角为θ,到达最高点过程,斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动,利用逆向思维有=2gh,解得v0=,根据题图可知,竖直方向高度相等,甲喷出水的初速度与水平方向夹角大一些,则乙水枪喷出的水初速度较大,故A错误,B正确;斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动,利用逆向思维有h=g,解得t0=,根据对称性可知,上升与下降时间相等,即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等,故C错误;斜抛运动水平方向做匀速直线运动,则水在最高点的速度vx=v0cos θ,结合上述可知,甲喷水速度小于乙喷水速度,甲喷出水的初速度与水平方向夹角大一些,则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小,故D错误。
4.(多选)(2025·湖南衡阳模拟)如图所示,从距地面5 m高处的塔上,同时从同一位置抛出两小球(均可视为质点),初速度大小都为2 m/s,A球初速度方向水平向右,B球初速度方向与水平方向成60°角斜向右上,忽略空气阻力,重力加速度大小为10 m/s2,则(　　)
A.在A落地前,A、B不可能在空中相遇
B.在A落地前,A、B间的距离不会超过 m
C.B比A滞后 s落地
D.A、B从抛出至落地的过程,A的水平位移大于B的水平位移
【答案】 AD
【解析】 A、B同时从同一位置抛出,由于A在水平方向的速度大于B在水平方向的速度,故在A落地前,A、B不可能在空中相遇,A正确;由题意得A落地瞬间A、B间距离最大,A下落时间为tA==1 s,A的水平位移为xA=v0tA=2 m,在A下落的时间内,B下落的高度为hB=
-v0sin 60°·tA+g=(5-) m,B的水平位移为xB=v0cos 60°·tA=1 m,则A落地瞬间B到地面的距离为h′= m,A、B间的水平距离为Δx=1 m,故A、B间的最大距离为d==2 m,B错误;B在竖直方向有h=-v0sin 60°·tB+g,解得tB= s,则B比A晚落地的时间为Δt= s-1 s≠ s,C错误;B从抛出至落地过程的水平位移x=v0cos 60°·tB= m2 m,D正确。
对点3.平抛运动中的临界问题
5.(2025·山东开学考试)如图所示,一物体在风机口水平抛出,运动时只受重力G和竖直向上的恒定升力F,且F=G。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在网罩N点,MN间的竖直高度为h,M与右壁水平间距为L,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.若增大初速度v0,物体将撞击右壁,且初速度越大,物体撞击右壁速度越大
D.若h足够大,当初速度v0=时,物体撞击右壁时速度最小
【答案】 D
【解析】 根据牛顿第二定律G-F=ma,解得a=,该物体做类平抛运动,则h=at2,解得从M运动到N的时间为t=,故A错误;M与N之间的水平距离x=v0t=v0,故B错误;物体撞击右壁时,物体运动的时间为t′=,物体竖直方向的速度为vy=at′=,物体撞击右壁速度v=
=,根据几何关系可知,当=,即当初速度v0=时,物体撞击右壁速度最小,故若增大初速度v0,物体将撞击右壁,初速度越大,物体撞击右壁速度不一定越大,故C错误,D正确。
6.(2025·云南曲靖三模)中国的面食文化博大精深,种类繁多,其中“山西刀削面”堪称天下一绝,传统的操作手法是一手托面一手拿刀,直接将面削到开水锅里。如图所示,小面片刚被削离时距开水锅的高度为L,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L,若将削出的小面片的运动视为平抛运动,且小面片都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于小面片的描述正确的是(　　)
A.空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大
B.掉落位置不相同的小面片,从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同
C.落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0,则【答案】 A
【解析】 面片飞行过程中水平方向做匀速直线运动,若先飞出的面片初速度较大,则空中相邻两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大,故A正确;掉落位置不相同的小面片,下落高度相同,由h=gt2可知,下落的时间相等,由Δv=gt可知,从抛出到落水前瞬间速度的变化量相等,故B错误;由h=gt2可知,下落时间为t=,水平位移的范围为L7.(2025·湖南湘潭阶段检测)如图所示,奥运会步枪射击项目中,运动员沿水平方向对准靶的中心射击,设子弹能击中靶,枪口到靶心的距离为l,所用靶的直径为d,重力加速度为g,求:
(1)子弹飞出枪膛的速度v0的最小值;
(2)子弹击中靶时速度偏向角正切值的最大值。
【答案】 (1)l　(2)
【解析】 (1)以最小速度v0射出时,水平方向l=v0t,
子弹击中靶的下边缘,竖直方向有=gt2,
联立解得v0=l。
(2)子弹打到靶的下边缘时速度偏向角θ最大,竖直方向的速度vy==,
速度偏向角正切值的最大值tan θ==。
8.(2025·山东泰安模拟)如图所示,在丢沙包游戏中,某名参与者将沙包从A点沿平行于接收斜面的方向抛出,恰好垂直穿过斜面上的孔洞中心B点。已知AB两点间距离为5 m,沙包可看作质点,忽略空气阻力,重力加速度大小取10 m/s2。则沙包在AB两点间运动的时间为(　　)
A.0.6 s B.1.0 s C.1.2 s D.1.5 s
【答案】 B
【解析】 设沙包的初速度大小为v0,斜面的倾角为θ,沙包在AB两点间运动的时间为t,将重力加速度沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解,如图所示,
则沙包的运动可分解为两个分运动:平行于斜面方向的初速度大小为v0、加速度大小为
gsin θ的匀减速直线运动,垂直于斜面方向的初速度为零、加速度大小为gcos θ的匀加速直线运动。沙包通过B点时的速度垂直于斜面,则有v0-gsin θ·t=0,沙包沿斜面方向和垂直于斜面方向的位移大小分别为x=t,y=gcos θ·t2,AB两点间距离为l=5 m,则有x2+y2=l2,联立解得t=1 s,故选B。
9.(多选)(2025·贵州遵义期末)如图所示,在竖直面内固定一半圆形容器,圆心为O,半径为R。在圆心O处分别水平向左和向右抛出一个可视为质点的小球,两小球落在圆弧上时速度方向相互垂直。已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.两小球的初速度大小可能都为
B.两小球的初速度大小可能都为
C.从抛出到落在圆弧上,两小球的运动时间可能不相等
D.从抛出到落在圆弧上,两小球的运动时间一定相等
【答案】 AC
【解析】 若两小球的初速度大小相等,如图,根据平抛运动推论,速度偏转角的正切值等于位移偏转角正切值的两倍,两小球落在圆弧上时速度方向相互垂直,有tan θ=tan 45°=,sin θ=
,cos θ=,联立得v0=,故A正确,B错误;若v1、v2不相等,速度偏转角不相等,但总能有两小球落在圆弧上时速度方向相互垂直的速度值,故两小球的运动时间可能不相等,故C正确,D错误。
10.滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图,AO段为助滑道和起跳区,OB段为倾角α=30°的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑,到达起跳点O时,借助设备和技巧,以与水平方向成θ=30°角(起跳角)的方向起跳,最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以 20 m/s 的速率起跳,轨迹如图乙所示,不计一切阻力,g取10 m/s2。求:
(1)运动员在空中运动的最高点与起跳台O的距离;
(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小;
(3)OC的距离。
【答案】 (1)5 m　(2)20 m/s　(3)80 m
【解析】 (1)从O点起跳的水平速度vx=v0cos 30°=10 m/s,
竖直速度vy=v0sin 30°=10 m/s,
运动员到达空中最高点时竖直速度减为零,则所用时间t==1 s,
水平位移x=vxt=10 m,
竖直位移y==5 m,
运动员在空中运动的最高点与起跳点O的距离s==5 m。
(2)垂直于着陆坡面方向的初速度vy′=v0sin 60°=10 m/s,
平行着陆坡面的速度vx′=v0cos 60°=10 m/s,
垂直着陆坡面的加速度大小ay=gcos 30°=5 m/s2,
平行着陆坡面的加速度大小ax=gsin 30°=5 m/s2,
设经时间t1离着陆坡面最远,t1==2 s,
此时速度大小为v=vx′+axt1=20 m/s。
(3)设OC的距离为L,
平行着陆坡面方向运动员做匀加速直线运动,
有L=vx′t2+ax,
又t2=2t1,解得L=80 m。第6讲　实验:探究平抛运动的特点
1.(2025·浙江杭州期中)在“探究平抛运动的特点”实验中:
(1)如图甲,用横挡条卡住平抛小球,用铅笔标注小球最高点,确定平抛运动的轨迹,坐标原点应选在斜槽末端时的　　　　。
A.球心　　B.球的上端　　C.球的下端
(2)如图乙,利用图甲装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片,由照片可判断实验操作中的错误是　　　　。
A.释放小球时初速度不为0
B.释放小球的初始位置不同
C.斜槽末端切线不水平
(3)在本实验中要求小球多次从斜槽上同一位置由静止释放的理由是
　。
2.(2025·广西南宁期末)某同学利用手机的连拍照相功能研究平抛运动,实验步骤如下:
a.用刻度尺测出每块砖的高度d和长度L;
b.将小球平行于竖直墙面水平向右抛出,利用连拍照相功能拍摄不同时刻小球位置,得到小球的运动轨迹如图所示,不计小球所受阻力,重力加速度为g。
(1)O点　　　　(选填“是”或“不是”)抛出点。
(2)小球平抛的水平初速度v0=　　　　。
(3)小球在位置B的竖直分速度大小vBy=　　　　。
3.(2025·安徽一模)小明同学预习“实验:探究平抛运动的特点”这一内容时,在家里就地取材设计了实验。如图甲所示,在高度为80.0 cm的水平桌面上用长木板做成一个斜面,使小球从斜面上某一位置滚下,滚过桌边后小球做平抛运动。当地重力加速度为9.8 m/s2。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　。(多选)
A.实验时应保持桌面水平
B.应使用体积小、质量大的小球
C.必须保证长木板与桌面的材料相同
(2)为了记录小球的落点痕迹,小明依次将白纸和复写纸固定在竖直墙上,再把桌子搬到墙壁附近。从斜面上某处无初速度释放小球,使其飞离桌面时的速度与墙壁垂直,小球与墙壁碰撞后在白纸上留下落点痕迹。改变桌子与墙壁的距离(每次沿垂直于墙壁方向移动10.0 cm),重复实验,白纸上将留下一系列落点痕迹,挑选有4个连续落点痕迹的白纸,如图乙所示。根据测量的数据,可得小球离开桌面时的速度大小为　　　　　 m/s,打到B点时的速度大小为
　　　　 m/s。(结果均保留一位小数)
4.(2023·浙江6月选考卷,16)在“探究平抛运动的特点”实验中
(1)用图甲装置进行探究,下列说法正确的是　　　　。
A.只能探究平抛运动水平分运动的特点
B.需改变小锤击打的力度,多次重复实验
C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点
(2)用图乙装置进行实验,下列说法正确的是　　　　。
A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平
B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动
C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下
(3)用图丙装置进行实验,竖直挡板上附有复写纸和白纸,可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端,钢球从斜槽上P点静止滚下,撞击挡板留下点迹0,将挡板依次水平向右移动x,重复实验,挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点,竖直向下建立坐标轴y,各点迹坐标值分别为y1、y2、y3、y4。测得钢球直径为d,则钢球平抛初速度v0为　　　　。
A.( x+)
B.(x+)
C.(3x-)
D.(4x-)
5.(2025·云南昆明一模)实验小组根据平抛运动的规律,设计不同实验方案测量小球做平抛运动的初速度大小。
(1)他们利用如图甲所示的实验装置,用“描迹法”测量小球做平抛运动的初速度大小。
①该小组正确实验后,在方格纸上记录了小球在不同时刻的位置如图乙中a、b、c所示,建立如图乙所示的平面直角坐标系,y轴沿竖直方向,方格纸每一小格的边长为L,a、b、c三点的坐标分别为a(2L,2L)、b(4L,3L)、c(8L,8L)。小球从a点到b点所用时间为t1,从b点到c点所用时间为t2,则=　　　　;在小球轨迹上取一个点d(图中未画出),使得小球从b点到d点和从d点到c点的运动时间相等,则d点的纵坐标为　　　　。
②若L=2.45 cm,当地重力加速度的大小为9.8 m/s2,则小球做平抛运动的初速度大小为v0=
　　　　 m/s。(结果保留两位有效数字)
(2)该实验小组又设计一个新的方案,如图丙所示。O点处有一点光源,O点正前方d处竖直放置一块毛玻璃,将小球从O点垂直于毛玻璃水平抛出,在毛玻璃后方观察到小球在毛玻璃上的投影点P,利用频闪相机记录小球在毛玻璃上的投影点P的位置。可得到P沿毛玻璃下降的高度h随小球运动时间t变化的关系如图丁所示,若该图像斜率为k,重力加速度为g,则小球做平抛运动的初速度大小为　　　　。(用k、d和g表示) 第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
课时作业
对点1.曲线运动的条件和特征
1.(2023·全国乙卷,15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
【答案】 D
【解析】 小车做曲线运动,所受合力指向曲线的凹侧,故A、B错误;小车沿轨道从左向右运动,动能一直增加,故合力与运动方向的夹角为锐角,C错误,D正确。
2.(多选)(2025·广东模拟)踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时,足球向前运动的同时还在绕轴自转(如图甲、乙所示);自上向下观察(如图丙所示)足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动,导致足球A、B两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差F,使得足球发生偏转。则(　　)
A.甲图中足球受到空气压力向左
B.甲图中足球受到空气压力向右
C.空气流速大的一侧压力大
D.空气流速小的一侧压力大
【答案】 BD
【解析】 题图甲中足球受到空气的压力而绕过“人墙”转弯进入球门,根据曲线运动的特点,可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧,根据题图甲中足球的运动轨迹可判断,足球受到的空气压力向右,A错误,B正确;踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差F,压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转,由题图丙可知,压力差F指向空气流速大的一侧,即空气流速大的一侧压力小,空气流速小的一侧压力大,C错误,D正确。
对点2.运动的合成与分解
3.(2025·湖南卷,2)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
　　　
A　 B 　C　 D
【答案】 C
【解析】 根据题意可知,物块沿斜面向上做匀减速直线运动,设初速度为v0,加速度大小为a,斜面倾角为θ,物块在水平方向上做匀减速直线运动,初速度大小为v0x=v0cos θ,加速度大小为ax=acos θ,则有-=-2axx,整理可得vx=,可知,vxx图像为类似抛物线的一部分,故A、B错误;物块在竖直方向上做匀减速直线运动,初速度大小为v0y=v0sin θ,加速度大小为ay=asin θ,则有-=-2ayy,整理可得vy=,可知,vyy图像为类似抛物线的一部分,故C正确,D错误。
4.(教材改编题)质量m=2 kg的物体在光滑水平面上运动,其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图甲、乙所示,求:
(1)物体所受的合力大小;
(2)t=8 s时物体的速度大小;
(3)物体运动的轨迹表达式。
【答案】 (1)1 N　(2)5 m/s　(3)y=(m)
【解析】 (1)物体在x方向的加速度大小ax=0,
在y方向的加速度大小
ay==0.5 m/s2,
故合加速度为a=ay=0.5 m/s2,
根据牛顿第二定律得F合=ma=1 N。
(2)t=8 s时,物体在x、y方向上的速度分别为
vx=vx0=3 m/s,vy=ayt=4 m/s,
所以此时物体的速度大小为
v==5 m/s。
(3)由x=vxt,y=ayt2,
vx=3 m/s,
ay=0.5 m/s2,
联立可得y=(m)。
对点3.小船渡河模型
5.(2025·福建莆田三模)一小船以两种方式渡河:如图甲所示,小船航行方向垂直于河岸;如图乙所示,小船航行方向与水流方向成锐角α。已知小船在静水中航行的速度大小为v1,河水流速大小为v2,则下列说法正确的是(　　)
A.图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B.图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C.图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D.图甲和图乙中小船均做曲线运动
【答案】 A
【解析】 由于题图甲中比题图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度大,所以题图甲中比题图乙中小船渡河的时间短,A正确;根据运动的合成法则,题图甲中比题图乙中小船渡河的合速度小,因题图甲中合速度与河岸的夹角较大,则合位移也小,B、C错误;题图甲和题图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动,可知合运动也是匀速运动,即两船均做匀速直线运动,
D错误。
对点4.关联速度问题
6.(多选)(2025·河北秦皇岛模拟)如图所示,物块A放在光滑的水平地面上,竖直悬挂的小球B通过光滑的定滑轮与物块A相连,初始时,细绳与水平方向的夹角为θ,在外力的作用下,物块A向左以速度v0做匀速直线运动,则(　　)
A.初始时,小球B的速度为v0cos θ
B.小球B做减速运动
C.小球B处于超重状态
D.物块A受到的合力变化
【答案】 AC
【解析】 将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向两个分速度,B的速度大小等于A沿绳子方向的分速度,则初始时,小球B的速度大小为vB=v0cos θ,由于A向左以速度v0做匀速直线运动,θ逐渐减小,则vB逐渐增大,小球B做加速运动,B的加速度方向向上,处于超重状态,故A、C正确,B错误;A向左以速度v0做匀速直线运动,可知物块A受到的合力为零,保持不变,故D错误。
7.(2025·湖南阶段练习)如图所示,不可伸长的刚性连杆AB、OA可绕图中A、B、O三处的转轴转动,OA杆长为L,小球A以速度v0沿逆时针方向做匀速圆周运动时,滑块B沿直线做往复运动,当连杆AB与水平方向的夹角为α,AB杆与OA杆间的夹角为β时,滑块B的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 如图所示,小球A和滑块B沿杆方向的分速度相等,则有v0cos θ=vcos α,其中
cos θ=cos (β-90°)=sin β,解得滑块B的速度大小为v=,故D正确。
8.如图所示,半圆柱上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆,竖直杆在外力作用下以速度v向下匀速运动,当杆、半圆柱接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时,半圆柱体的速度大小为(　　)
A. B.
C.vtan θ D.vsin θ
【答案】 A
【解析】 竖直杆相对于半圆柱的速度方向沿切线向下,将竖直杆的速度进行分解,如图所示,由图可知tan θ=,可得v1=,可知半圆柱的速度大小为,A正确。
9.(2025·陕西咸阳期中)如图所示,从距地面高度H=3.2 m处,将质量为1 kg的小球以12 m/s 的初速度水平向右抛出。小球运动中受到恒定的水平向左的风力,风力的大小为5 N,空气阻力忽略不计。重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)小球落地时与抛出点的水平距离;
(2)小球落地时的速度大小;
(3)小球抛出后速度的最小值。
【答案】 (1)8 m　(2)8 m/s　(3) m/s
【解析】 (1)小球抛出后受重力、水平向左恒定的风力,沿竖直方向和水平方向分解,
小球竖直方向做自由落体运动,有
H=gt2,
解得t=0.8 s,
水平方向加速度
ax==5 m/s2,
小球落地时与抛出点的水平距离
x=v0t-axt2,
解得x=8 m。
(2)小球落地时竖直方向速度
vy=gt=8 m/s,
小球落地时水平方向速度
vx=v0-axt=8 m/s,
小球落地时速度大小
v==8 m/s。
(3)设小球在空中运动经时间t0时速度最小,竖直方向速度vy=gt0,
水平方向速度vx=v0-axt0,
小球实际速度大小
v==,
当t0== s时速度最小,
由于t0= svmin= m/s。第3讲　小专题:抛体运动中的综合性问题
对点1.分解法处理类平抛和斜抛运动
1.(2025·重庆沙坪坝期末)如图所示,固定在水平面上的光滑斜面长a=5 m,宽b=4 m,倾角θ=30°,一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入,恰好从底端点A处射出,重力加速度g取
10 m/s2。则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的加速度为10 m/s2
B.小球从B运动到A所用时间为2 s
C.小球从B点水平射入时的速度为2 m/s
D.若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入,则恰能从底端A点离开斜面
2.(2025·山东济南模拟)如图所示,一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直,抛出点和落水点之间的距离L=9.8 m,g取10 m/s2,不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为(　　)
A.1.2 s B.1.3 s
C.1.4 s D.1.5 s
对点2.抛体中的多物体问题
3.(2025·四川宜宾三模)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中,同时启动了多个喷水口进行灭火。有靠在一起的甲、乙两支高压水枪,它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示,已知两曲线所在竖直面平行,忽略空气阻力,则(　　)
A.甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B.乙水枪喷出的水初速度较大
C.乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D.甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
4.(多选)(2025·湖南衡阳模拟)如图所示,从距地面5 m高处的塔上,同时从同一位置抛出两小球(均可视为质点),初速度大小都为2 m/s,A球初速度方向水平向右,B球初速度方向与水平方向成60°角斜向右上,忽略空气阻力,重力加速度大小为10 m/s2,则(　　)
A.在A落地前,A、B不可能在空中相遇
B.在A落地前,A、B间的距离不会超过 m
C.B比A滞后 s落地
D.A、B从抛出至落地的过程,A的水平位移大于B的水平位移
对点3.平抛运动中的临界问题
5.(2025·山东开学考试)如图所示,一物体在风机口水平抛出,运动时只受重力G和竖直向上的恒定升力F,且F=G。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在网罩N点,MN间的竖直高度为h,M与右壁水平间距为L,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.若增大初速度v0,物体将撞击右壁,且初速度越大,物体撞击右壁速度越大
D.若h足够大,当初速度v0=时,物体撞击右壁时速度最小
6.(2025·云南曲靖三模)中国的面食文化博大精深,种类繁多,其中“山西刀削面”堪称天下一绝,传统的操作手法是一手托面一手拿刀,直接将面削到开水锅里。如图所示,小面片刚被削离时距开水锅的高度为L,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L,若将削出的小面片的运动视为平抛运动,且小面片都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于小面片的描述正确的是(　　)
A.空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大
B.掉落位置不相同的小面片,从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同
C.落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0,则7.(2025·湖南湘潭阶段检测)如图所示,奥运会步枪射击项目中,运动员沿水平方向对准靶的中心射击,设子弹能击中靶,枪口到靶心的距离为l,所用靶的直径为d,重力加速度为g,求:
(1)子弹飞出枪膛的速度v0的最小值;
(2)子弹击中靶时速度偏向角正切值的最大值。
8.(2025·山东泰安模拟)如图所示,在丢沙包游戏中,某名参与者将沙包从A点沿平行于接收斜面的方向抛出,恰好垂直穿过斜面上的孔洞中心B点。已知AB两点间距离为5 m,沙包可看作质点,忽略空气阻力,重力加速度大小取10 m/s2。则沙包在AB两点间运动的时间为(　　)
A.0.6 s B.1.0 s
C.1.2 s D.1.5 s
9.(多选)(2025·贵州遵义期末)如图所示,在竖直面内固定一半圆形容器,圆心为O,半径为R。在圆心O处分别水平向左和向右抛出一个可视为质点的小球,两小球落在圆弧上时速度方向相互垂直。已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.两小球的初速度大小可能都为
B.两小球的初速度大小可能都为
C.从抛出到落在圆弧上,两小球的运动时间可能不相等
D.从抛出到落在圆弧上,两小球的运动时间一定相等
10.滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图,AO段为助滑道和起跳区,OB段为倾角α=30°的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑,到达起跳点O时,借助设备和技巧,以与水平方向成θ=30°角(起跳角)的方向起跳,最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以20 m/s的速率起跳,轨迹如图乙所示,不计一切阻力,g取10 m/s2。求:
(1)运动员在空中运动的最高点与起跳台O的距离;
(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小;
(3)OC的距离。第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
课时作业　
对点1.水平面内圆周运动的临界问题
1.(2024·江苏卷,8)如图所示是生产陶瓷的工作台,台面上掉有陶屑,与工作台一起绕OO′匀速转动,陶屑与桌面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则(　　)
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
【答案】 D
【解析】 同一工作台角速度相同,恰好滑动时最大静摩擦力完全提供向心力,根据牛顿第二定律有μmg=mω2r,解得恰好不滑动时的半径为r=,与质量无关,以此半径画圆,处于此圆以外的陶屑会被甩出去,D正确,A、B、C错误。
2.(2025·山东烟台期末)如图甲所示,一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥顶端,当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线拉力大小为FT,FT与ω2的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ,重力加速度为g,则当ω=ω2时,细线拉力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题意,当角速度为0时,小球受重力、支持力和绳的拉力,且有FT0=mgcos θ,当角速度等于ω1时,小球恰好只受重力和绳的拉力,则mgtan θ=mlsin θ,当角速度等于ω2时,小球只受重力和绳的拉力,且绳与竖直方向的夹角变大,则FTsin α=mlsin α,联立可得FT=
,故B正确。
3.(教材改编题)如图所示,半径R= m的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合,转台能以不同的角速度绕竖直轴匀速转动。一小物块随陶罐一起转动,且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为53°,已知小物块与陶罐之间动摩擦因数为μ,重力加速度g取10 m/s2,认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若小物块恰好不受摩擦力,求水平转台的角速度ω0;
(2)当转台以5 rad/s的角速度转动时,为使小物块与陶罐之间不发生相对滑动,μ应满足什么条件
【答案】 (1)5 rad/s　(2)μ≥
【解析】 (1)若小物块恰好不受摩擦力,物块仅受到重力与指向球心的弹力,根据牛顿第二定律有mgtan θ=mRsin θ,
代入数据解得水平转台的角速度大小为ω0=5 rad/s。
(2)当转台以5 rad/s>5 rad/s的角速度转动时,摩擦力方向沿切线向下,对小物块进行受力分析,如图所示,
根据牛顿第二定律得FNsin θ+Ffcos θ=mRsin θω2,
根据平衡条件得FNcos θ=Ffsin θ+mg,
其中Ff=μFN,
代入数据解得μ=,
为使小物块与陶罐之间不发生相对滑动,μ应满足μ≥。
对点2.竖直面内圆周运动的临界问题
4.(2025·河北保定一模)滚筒洗衣机的实物图如图所示。脱水时,滚筒绕水平轴高速匀速转动,附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法正确的是(　　)
A.水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等
B.在与转轴等高的位置,水受到的衣物附着力指向转轴
C.水在最低点更容易被甩出
D.水在最高点更容易被甩出
【答案】 C
【解析】 滚筒洗衣机的脱水筒匀速旋转,衣服在最高点和最低点时附着在潮湿衣服上的水的重力和衣服与水之间的附着力的合力提供向心力,在最高点F1+mg=,在最低点F2-mg=,可得F2>F1,所以在最低点时,所需要的附着力更大,更容易被甩出,故A、D错误,C正确;在与转轴等高的位置,水的重力和衣物附着力的合力提供向心力,向心力方向指向转轴,由于重力向下,所以衣物附着力不指向转轴,故B错误。
5.(多选)(2025·湖北十堰模拟)如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成,摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴O连接,整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上,底座内部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,底座始终保持静止。已知摆锤的质量为m,底座的质量为M,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.若摆锤的速率为,则摆锤运动到最高点时,压力传感器的示数等于Mg
B.摆锤运动到最低点时,压力传感器的示数可能小于(M+m)g
C.当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时,直杆对摆锤的弹力指向O点
D.当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时,底座所受摩擦力水平向左
【答案】 AD
【解析】 若摆锤的速率为,摆锤运动到最高点时,直杆上无弹力,而底座保持静止,压力传感器的示数等于Mg,故A正确;摆锤运动到最低点时,摆锤处于超重状态,压力传感器的示数一定大于(M+m)g,故B错误;当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时,直杆对摆锤弹力的竖直分力与摆锤的重力mg平衡,水平分力提供向心力,直杆对摆锤的弹力斜向左上,则直杆对底座的弹力斜向右下,而底座保持静止,所以底座所受摩擦力水平向左,故C错误,D正确。
6.(2025·四川期末)如图甲所示,质量为m的小球(视为质点)用轻质细线悬挂于O点,在竖直面内做圆周运动,小球以不同的角速度ω通过最高点时,细线的拉力F与其角速度的平方ω2的关系图像如图乙所示,则下列说法正确的是(　　)
A.F=0时,小球在最高点的角速度大小为a2
B.当地的重力加速度大小为mb
C.细线的长度为
D.当ω=时,F的大小为b,方向竖直向上
【答案】 C
【解析】 由题图乙可知,当细线的拉力刚好为0时,ω2=a,解得小球的角速度ω=,此角速度为小球能通过最高点的最小角速度,角速度不可能等于,故A、D错误;在最高点,由牛顿第二定律与向心力公式可得F+mg=mrω2,即F=-mg+mrω2,纵截距-b=-mg,解得g=,故B错误;斜率=mr,解得细线的长度为r=,故C正确。
对点3.斜面上圆周运动的临界问题
7.(2025·广东深圳期中)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止,物体与盘面间的动摩擦因数为,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2,则以下说法不正确的是(　　)
A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时,一定始终受到三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时,ω越大时,小物体在最低点处受到的摩擦力一定越大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D.ω的最大值是1.0 rad/s
【答案】 A
【解析】 当物体在最高点时,可能只受到重力与支持力2个力的作用,合力提供向心力,故A说法错误;在最低点,根据牛顿第二定律有Ff-mgsin 30°=mrω2,可知ω越大时,小物体在最低点处受到的摩擦力Ff越大,故B说法正确;当物体在最高点时,摩擦力的方向可能沿斜面向上,也可能沿斜面向下,即可能指向圆心,也可能背离圆心,故C说法正确;当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,转盘的角速度最大,由μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2r,解得ω=1.0 rad/s,故D说法正确。
8.如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动,圆筒的半径r=1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则ω的最小值是(　　)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.5 rad/s
【答案】 C
【解析】 对小物体受力分析如图所示,由牛顿第二定律有mgcos 60°+FN=mω2r,
Ff=mgsin 60°≤μFN,解得ω≥ rad/s,故C正确。
9.(多选)(2025·贵州黔东南模拟)如图所示,两个可视为质点的相同木块A和B放在水平转盘上,用不可伸长的轻绳相连,连线过转盘的圆心O,木块A、B与转轴中心的距离分别为L和2L,木块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。开始时,轻绳恰好伸直但无弹力,现让转盘在水平面内由静止开始绕转轴OO′做角速度ω缓慢增大的圆周运动。以下说法正确的是(　　)
A.当角速度ω增大到时,木块A将相对转盘滑动
B.当角速度ω>时,木块A相对转盘滑动
C.角速度ω在<ω<范围内增大时,轻绳的拉力增大
D.角速度ω在<ω<范围内增大时,A受到的摩擦力先减小后增大
【答案】 BCD
【解析】 当角速度ω较小时,A、B两木块都靠摩擦力提供向心力,由Ff=mrω2可知,B木块的摩擦力先达到最大值,此时μmg=2mL,解得ω1=,若角速度大于ω1,对A有F+FfA=mLω2,
对B有F+μmg=2mLω2,得FfA=μmg-mLω2,当角速度等于时,FfA=0,故A错误。随着角速度增大,FfA先减小然后反向增大,设当角速度增大到ω2时,A相对于转盘即将滑动,A木块的摩擦力达到最大,方向背离圆心。对木块A,F-μmg=mL,对木块B,F+μmg=2mL,联立解得ω2=,故B正确。角速度在<ω<的范围内,随着角速度的增大,轻绳的拉力增大,A、B均相对于转盘静止,B受到的摩擦力不变,而A受到的摩擦力先减小后增大,故C、D正确。
10.(2025·海南海口期中)如图所示,水平转台上有一个质量为m的物块,用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上,细绳与竖直转轴的夹角θ=30°,此时细绳伸直但无张力,物块与转台间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块随转台由静止开始缓慢加速转动,重力加速度为g。
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时,绳上恰好有张力,求ω1的值;
(2)当水平转盘以角速度ω2=匀速转动时,求物块所受的摩擦力大小;
(3)转盘的角速度ω3为多大时,物块刚好离开转台上表面
【答案】 (1)　(2)mg　(3)
【解析】 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时,绳上恰好有张力,则由牛顿第二定律有
μmg=mlsin θ,解得ω1=。
(2)当水平转盘以角速度ω2=<ω1匀速转动时,细绳无张力,此时物块所受的摩擦力大小
Ff=mlsin θ=mg。
(3)物块刚好离开转台上表面时,由牛顿第二定律有mgtan 30°=mlsin 30°,
解得ω3=。第7讲　实验:探究向心力大小的表达式
1.(2025·黑龙江大庆模拟)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和转动半径r的关系实验。
(1)本实验所采用的实验探究方法与下列实验相同的是　　　　。
A.探究平抛运动的特点
B.卡文迪什扭秤测量引力常量
C.探究两个互成角度的力的合成规律
D.探究导体电阻的影响因素
(2)某同学用向心力演示器进行实验,实验情境如图甲、乙、丙所示。
①三个情境中,图　　　　(选填“甲”“乙”或“丙”)是探究向心力大小F与质量m的关系。
②在甲情境中,若左、右两钢球所受向心力的比值为4∶1,则实验中选取左右两个变速塔轮的半径之比为　　　　。
2.某同学利用“向心力定量探究仪”探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系,装置如图甲、乙所示,小球放在光滑的带凹槽的旋转杆上,其一端通过细绳与电子测力计相连,当小球和旋转杆被电机带动一起旋转时,控制器的显示屏显示小球质量m、转动半径r、转动角速度ω以及细绳拉力F的大小。
(1)该同学采用控制变量法,分别改变小球质量、　　　　以及转动角速度进行了三组实验,测得的实验数据如下表1、2、3所示。
　表1
小球质量/kg 0.1 0.2 0.3 0.4
转动半径/m 0.2 0.2 0.2 0.2
角速度/(rad·s-1) 4π 4π 4π 4π
向心力/N 3.15 6.29 9.45 12.61
　表2
小球质量/kg 0.2 0.2 0.2 0.2
转动半径/m 0.1 0.2 0.3 0.4
角速度/(rad·s-1) 4π 4π 4π 4π
向心力/N 3.16 6.31 9.46 12.63
　表3
小球质量/kg 0.2 0.2 0.2 0.2
转动半径/m 0.2 0.2 0.2 0.2
角速度/(rad·s-1) 2π 4π 6π 8π
向心力/N 1.57 6.29 14.14 25.16
(2)由表1的数据可得:当　　　　　　　　　 一定时,小球的向心力F大小与
　　　　成　　　　比。
(3)为了通过作图法更直观地呈现向心力F与角速度ω之间的关系,应绘制的图像是
　　　　。
A.Fω图像
B.Fω2图像
C.F 图像
D.F2ω图像
3.(2025·湖南二模)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式,步骤如下:
(1)用天平测出密度较大的小球的质量为m,如图乙所示,用20分度的游标卡尺测出小球的直径D=　　　　 cm。小球静止时,用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为L。
(2)在白纸上画几个不同半径的同心圆,用刻度尺测量各个圆的半径。将白纸平铺在水平桌面上,使同心圆的圆心刚好位于　　　　　　　　　　。让小球做圆锥摆运动,俯视观察小球,其在水平面上沿着白纸上某个半径为r的圆做圆周运动,当运动稳定时,用秒表测量小球运动10圈所用的时间t。
(3)用向心力表达式推导出Fn=　　　　　　　　(用m、t、r和圆周率π表示);通过受力分析,推导出小球做圆周运动时所受合力F=　　　　　　(用m、r、D、L和重力加速度g表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长,重复(2)、(3)实验步骤,记录多组数据。
(5)比较每一组数据计算出的Fn和F的大小,在误差允许的范围内近似相等。由此向心力的表达式得到验证。
4.(2025·山东济南期末)某学习小组利用传感器探究匀速圆周运动的向心力和哪些因素有关。实验装置如图甲所示,电机的转动轴与水平圆盘的中心相连,圆盘边缘安装一竖直的遮光片,一根细绳跨过圆盘中心的定滑轮连接滑块和力传感器。实验时电机带动水平圆盘匀速转动,滑块与圆盘保持相对静止。已知遮光片的宽度为d,圆盘半径为R,滑块至圆盘中心距离为r。
(1)实验中,遮光片通过光电门的挡光时间为t,据此可计算出圆盘运动的角速度为　　　　,滑块的向心加速度为　　　　(用d、r、R、t表示)。
(2)保持滑块质量及相对圆盘位置不变,适当改变圆盘转速,多次实验并记录力传感器示数F和遮光片通过光电门的挡光时间t,作出F图线如图乙所示。重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,据此可得出滑块与圆盘间的动摩擦因数为　　　　,滑块的质量为　　　 　(用a、b、d、g、R、r表示)。 第6讲　实验:探究平抛运动的特点
课时作业　
1.(2025·浙江杭州期中)在“探究平抛运动的特点”实验中:
(1)如图甲,用横挡条卡住平抛小球,用铅笔标注小球最高点,确定平抛运动的轨迹,坐标原点应选在斜槽末端时的　　　　。
A.球心　　　B.球的上端　　　C.球的下端
(2)如图乙,利用图甲装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片,由照片可判断实验操作中的错误是　　　　。
A.释放小球时初速度不为0
B.释放小球的初始位置不同
C.斜槽末端切线不水平
(3)在本实验中要求小球多次从斜槽上同一位置由静止释放的理由是　 。
【答案】 (1)B　(2)C (3)确保多次运动的轨迹相同
【解析】 (1)题干中指出用铅笔标注小球的最高点作为小球轨迹的记录点,坐标原点应选小球在斜槽末端时的上端,故B正确,A、C错误。
(2)由题图乙可知斜槽末端不水平,才会导致小球做斜抛运动,故C正确,A、B错误。
(3)在本实验中要求小球多次从斜槽上同一位置由静止释放的理由是确保多次运动的轨迹
相同。
2.(2025·广西南宁期末)某同学利用手机的连拍照相功能研究平抛运动,实验步骤如下:
a.用刻度尺测出每块砖的高度d和长度L;
b.将小球平行于竖直墙面水平向右抛出,利用连拍照相功能拍摄不同时刻小球位置,得到小球的运动轨迹如图所示,不计小球所受阻力,重力加速度为g。
(1)O点　　　　(选填“是”或“不是”)抛出点。
(2)小球平抛的水平初速度v0=　　　　。
(3)小球在位置B的竖直分速度大小vBy=　　　　。
【答案】 (1)不是　(2)L　(3)
【解析】 (1)因为初速度为零的匀加速直线运动中,相等时间内的位移比为1∶3∶5,而竖直方向上相等时间内的位移比为1∶2∶3,故O点不是抛出点。
(2)设频闪照片的时间间隔为T,根据匀变速直线运动的规律可得Δy=aT2,即d=gT2,在水平方向上有L=v0T,联立可得v0=L。
(3)在竖直方向上,小球做匀加速直线运动,则中间时刻的瞬时速度等于这段距离竖直方向的平均速度,则B点的竖直分速度大小为vBy==。
3.(2025·安徽一模)小明同学预习“实验:探究平抛运动的特点”这一内容时,在家里就地取材设计了实验。如图甲所示,在高度为80.0 cm的水平桌面上用长木板做成一个斜面,使小球从斜面上某一位置滚下,滚过桌边后小球做平抛运动。当地重力加速度为9.8 m/s2。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　。(多选)
A.实验时应保持桌面水平
B.应使用体积小、质量大的小球
C.必须保证长木板与桌面的材料相同
(2)为了记录小球的落点痕迹,小明依次将白纸和复写纸固定在竖直墙上,再把桌子搬到墙壁附近。从斜面上某处无初速度释放小球,使其飞离桌面时的速度与墙壁垂直,小球与墙壁碰撞后在白纸上留下落点痕迹。改变桌子与墙壁的距离(每次沿垂直于墙壁方向移动10.0 cm),重复实验,白纸上将留下一系列落点痕迹,挑选有4个连续落点痕迹的白纸,如图乙所示。根据测量的数据,可得小球离开桌面时的速度大小为　　 　　　 m/s,打到B点时的速度大小为
　　　　 m/s。(结果均保留一位小数)
【答案】 (1)AB　(2)1.0　1.4
【解析】 (1)为保证小球做平抛运动,初速度沿水平方向,则应保持桌面水平,故A正确;为减小阻力对小球的影响,应使用体积小、质量大的小球,故B正确;实验中不需要保证长木板与桌面的材料相同,故C错误。
(2)小球在竖直方向上做自由落体运动,根据匀变速直线运动规律有yBC-yAB=gT2,解得点迹间的时间间隔为T== s=0.1 s,在水平方向做匀速直线运动,则小球离开桌面的速度大小v0== m/s=1.0 m/s,打到B点时的竖直方向速度分量大小为vy==
cm/s=1.0 m/s,则打到B点时的速度大小为vB== m/s=
m/s=1.4 m/s。
4.(2023·浙江6月选考卷,16)在“探究平抛运动的特点”实验中
(1)用图甲装置进行探究,下列说法正确的是　　　　。
A.只能探究平抛运动水平分运动的特点
B.需改变小锤击打的力度,多次重复实验
C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点
(2)用图乙装置进行实验,下列说法正确的是　　　　。
A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平
B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动
C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下
(3)用图丙装置进行实验,竖直挡板上附有复写纸和白纸,可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端,钢球从斜槽上P点静止滚下,撞击挡板留下点迹0,将挡板依次水平向右移动x,重复实验,挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点,竖直向下建立坐标轴y,各点迹坐标值分别为y1、y2、y3、y4。测得钢球直径为d,则钢球平抛初速度v0为　　　　。
A.(x+) B.(x+)
C.(3x-) D.(4x-)
【答案】 (1)B　(2)C　(3)D
【解析】 (1)用题图甲所示的实验装置,只能探究平抛运动竖直分运动的特点,故A、C错误;在实验过程中,需要改变小锤击打的力度,多次重复实验,故B正确。
(2)为了保证小钢球做平抛运动,需要斜槽末端水平,为了保证小钢球抛出时速度相等,每一次小钢球需要静止从同一位置释放,斜槽轨道不需要光滑,故A错误,C正确;上下调节挡板N时不必每次等间距移动,故B错误。
(3)根据竖直方向y1=gt2,水平方向x-=v0t,联立可得v0=(x-),故A错误;根据竖直方向Δy=y2-2y1=gt2,水平方向Δx=2x-x=v0t,联立可得v0=x,故B错误;根据竖直方向y4=gt2,水平方向4x-=v0t,联立可得v0=(4x-),故C错误,D正确。
5.(2025·云南昆明一模)实验小组根据平抛运动的规律,设计不同实验方案测量小球做平抛运动的初速度大小。
(1)他们利用如图甲所示的实验装置,用“描迹法”测量小球做平抛运动的初速度大小。
①该小组正确实验后,在方格纸上记录了小球在不同时刻的位置如图乙中a、b、c所示,建立如图乙所示的平面直角坐标系,y轴沿竖直方向,方格纸每一小格的边长为L,a、b、c三点的坐标分别为a(2L,2L)、b(4L,3L)、c(8L,8L)。小球从a点到b点所用时间为t1,从b点到c点所用时间为t2,则=　　　　;在小球轨迹上取一个点d(图中未画出),使得小球从b点到d点和从d点到c点的运动时间相等,则d点的纵坐标为　　　　。
②若L=2.45 cm,当地重力加速度的大小为9.8 m/s2,则小球做平抛运动的初速度大小为v0=
　　　　 m/s。(结果保留两位有效数字)
(2)该实验小组又设计一个新的方案,如图丙所示。O点处有一点光源,O点正前方d处竖直放置一块毛玻璃,将小球从O点垂直于毛玻璃水平抛出,在毛玻璃后方观察到小球在毛玻璃上的投影点P,利用频闪相机记录小球在毛玻璃上的投影点P的位置。可得到P沿毛玻璃下降的高度h随小球运动时间t变化的关系如图丁所示,若该图像斜率为k,重力加速度为g,则小球做平抛运动的初速度大小为　　　　。(用k、d和g表示)
【答案】 (1)①2　5L　②0.98　(2)
【解析】 (1)由题图乙可知=,根据水平方向做匀速直线运动可知x=v0t,则=2,根据水平方向做匀速直线运动可知相邻两点的水平距离相等,竖直方向满足Δy=ycd-ybd=ybd-yab,设d点的纵坐标为yd,则8L-yd-(yd-3L)=(yd-3L)-L,解得yd=5L,竖直方向有Δy=gT2,水平方向有v0=,解得v0=0.98 m/s。
(2)根据平抛运动规律有d=v0t,h=gt2,解得h=t,则斜率为k=,解得v0=。

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