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第3讲　小专题:卫星变轨问题　双星或多星模型
课时作业　　　
对点1.卫星变轨和飞船对接问题
1.(2025·北京卷,7)2024年6月,嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示,探测器在圆形轨道1上绕月球飞行,在A点变轨后进入椭圆轨道2,B为远月点。关于嫦娥六号探测器,下列说法正确的是(　　)
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期,可求出月球的质量
【答案】 A
【解析】 在轨道2上从A向B运动过程中,探测器远离月球,月球对探测器的引力做负功,根据动能定理,动能逐渐减小,A正确;探测器受到万有引力,根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=G,在轨道2上从A向B运动过程中,r增大,加速度逐渐变小,B错误;探测器在A点从轨道1变轨到轨道2需要加速,即机械能增加,所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能,C错误;探测器在轨道1上做圆周运动,有G=mr,解得M=,要求出月球的质量,除了引力常量G和轨道1的周期T,还需要知道轨道1的半径r,D错误。
2.(多选)(2025·四川遂宁模拟)北京时间2025年1月7日,我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭,成功将实践二十五号卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个多月的时间,实践二十五号抵达同步轨道,并成功给北斗卫星加注了142 kg推进剂,实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料,加注前两卫星的位置如图所示,则要想实现加注燃料,下列说法正确的是(　　)
A.实践二十五号卫星直接加速与卫星A对接即可
B.实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度
C.实践二十五号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D.实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后,实践二十五号卫星向前喷射少量减速剂即可实现分离
【答案】 BD
【解析】 实践二十五号卫星直接加速,将做离心运动,变轨到更高的轨道,不能与卫星A对接,A错误;卫星在轨道运行有=ma,可得a=,实践二十五号卫星和卫星A对接时处于同一轨道,具有相同的加速度,B正确;由于不知道实践二十五号卫星和卫星A的质量关系,所以无法比较二者所受万有引力的大小关系,C错误;实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后,实践二十五号卫星向前喷射少量减速剂,则实践二十五号卫星速度减小而将做近心运动,可实现分离,D正确。
3.(2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】 A
【解析】 在P点变轨前、后空间站都只受到地球的万有引力且不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点因反冲运动获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,即合速度变大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,在近地点时的速度更大,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误。
对点2.双星及多星模型
4.双星系统中的两颗中子星在引力作用下围绕其连线某点做圆周运动的过程中,它们之间的距离逐渐减小,最终在剧烈地碰撞中合并并释放巨大能量,同时为宇宙产生很多重元素物质。这种天体的演化过程就是宇宙中最为壮观的千新星事件。不考虑双星系统中的两颗中子星在合并前质量、半径的变化。则两颗中子星距离减小的过程中(　　)
A.它们表面的重力加速度变大
B.它们做圆周运动的半径之比变大
C.它们做圆周运动的向心加速度大小之和增大
D.它们做圆周运动的周期增大
【答案】 C
【解析】 根据万有引力与重力的关系G=mg,有g=,由于不考虑两颗中子星在合并前质量、半径的变化,所以两颗中子星表面的重力加速度不变,故A错误;由万有引力提供彼此做圆周运动的向心力有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,所以=,可知它们做圆周运动的半径之比不变,故B错误;由G=m1a1,G=m2a2,有a1+a2=G,L减小,则向心加速度大小之和增大,故C正确;T==2π,L减小,则周期减小,故D错误。
5.(2025·重庆九龙坡阶段练习)中国科学家发现了代号为TMTSJ0526的双星系统,该系统由一颗质量约为0.7MS(MS为太阳质量)的碳氧白矮星与质量约为0.3MS的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合,用望远镜在地球附近观测,发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮,已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示,图中“星等”表示亮度,实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线,虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为MS=2×1030 kg,引力常量G=6.67×
10-11 N·m2/kg2,π2≈10,下列说法正确的是(　　)
A.碳氧白矮星和热亚矮星转动的半径之比为7∶3
B.该双星系统的运转周期约为600 s
C.两星体之间的距离约为 ×108 m
D.若多年以后,两星体间的距离逐渐减小,两星体转动的角速度也将减小
【答案】 C
【解析】 设碳氧白矮星和热亚矮星之间的距离为L,做圆周运动的半径分别为R1、R2,圆周运动周期为T,则有R1+R2=L,G=0.7MSR1=0.3MSR2;根据实验数据经最佳拟合得到的亮度变化的正弦式曲线可知,正弦曲线周期为600 s,因为亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半,所以该双星系统的运转周期约为T=1 200 s,联立解得=,两星体之间的距离为L==×108 m,A、B错误,C正确。若多年以后,两星体间的距离逐渐减小,质量和不变,则周期T减小,由ω=可知,角速度增大,D错误。
6.(多选)(2025·四川成都检测)如图所示,甲、乙、丙分别为三类星体间的关系图,轨迹圆半径都为R,中心天体质量为M,环绕天体质量均为m,已知M m,则(　　)
A.图乙、丙中环绕天体的周期之比为2∶
B.图乙中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
C.图甲中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
D.图乙、丙中环绕天体的线速度之比为 ∶2
【答案】 CD
【解析】 对题图乙有G=mR,可得T′=4π,对题图丙有G=mR,可得T″=2π,则有T′∶T″=2∶,故A错误;题图乙中的周期比题图丙中的大,故题图乙中的角速度比题图丙中的小,故B错误;对题图甲有G=mω2R,解得ω=,对题图丙有G=mω′2R,解得ω′=,由于M m,则题图甲中环绕天体的角速度大于题图丙中环绕天体的角速度,故C正确;题图乙、丙中环绕天体运动的半径相同,线速度之比为周期的反比,故线速度之比为∶2,故D正确。
7.(2025·安徽宣城阶段练习)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示,三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m,引力常量为G。
(1)计算该三星系统的运动周期T计算;
(2)若实验中观测到该三星系统的运动周期为T观测,且T观测∶T计算=1∶(N>1),为了解释T观测与T计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质,暗物质参与引力相互作用,是有质量的。我们假定一种简化模型,在以O为球心,以O到三角形顶点长为半径的球体内均匀分布着暗物质,不考虑其他暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
【答案】 (1)2πR　(2)
【解析】 (1)三星中的某一颗星受到其他两颗星的万有引力的合力为F1=2Gcos 30°,
对该星有F1=m·,
解得T计算==2πR。
(2)根据题意有T观测∶T计算=1∶,
设暗物质的质量为M,则有F1+G=m·,
该暗物质的密度ρ=,
联立解得ρ=。
8.(2025·江西新余模拟)“古有司南,今有北斗”,北斗卫星收官不仅是技术成就的里程碑,更是国家战略布局的重要节点,为全球用户提供高精度服务的同时,深刻影响国家安全与经济社会发展。已知地球质量为M,半径为R,取无穷远处的引力势能为零。质量为m的“北斗”卫星在绕地球无动力飞行时,它和地球组成的系统机械能守恒,且它们之间引力势能的表达式是Ep=
-,其中r是卫星与地心间的距离(能脱离地球引力,即表明能到达离地球无穷远处,使得Ep=0)。如图,现欲将质量为m的卫星1从近地圆轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ,轨道Ⅱ的近地点A和远地点B距地心分别为r1=R,r2=3R。另有卫星2在轨道Ⅲ上,轨道Ⅲ的半径r3=2R。C为轨道Ⅱ和轨道Ⅲ的一个交点。则下列说法正确的是(　　)
A.卫星1在轨道Ⅱ上的周期大于卫星2在轨道Ⅲ上的周期
B.卫星1从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要在近地点A一次性给它提供能量
C.卫星1和卫星2在C点的加速度大小不同
D.卫星在轨道Ⅱ上经过A 点时的速率是其在此处脱离地球引力所需速率的
【答案】 B
【解析】 由于轨道Ⅲ的半径为2R,轨道Ⅱ的半长轴为=2R,根据开普勒第三定律=k,可知卫星1在轨道Ⅱ上的周期等于卫星2在轨道Ⅲ上的周期,A错误;卫星1在轨道Ⅱ上无动力飞行,其机械能守恒,则有m+(-)=m+(-),而RvA=3RvB,联立解得vA=,卫星在轨道Ⅰ的速率为v1=,卫星1从轨道Ⅰ的A点变轨到轨道Ⅱ,根据能量守恒定律有m-m=E,联立解得E=,B正确;根据=ma,有a=,由于卫星1和卫星2在C点与地球的距离相同,卫星1和卫星2在C点的加速度大小相同,C错误;卫星在A点脱离地球引力需到达无穷远,机械能为0,则有m+(-)=0,解得v脱==vA≠vA,D错误。
9.(2025·湖北阶段练习)如图所示,一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动,已知地球半径为R,轨道A半径是3R,将飞船转移到另一个半径为6R的圆轨道B上去,若规定距地心无限远处为引力势能零势能点,飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达式为Ep=-(其中r为飞船与地心的距离)。已知地球质量为M,飞船质量为m,引力常量为G。
(1)求飞船在轨道A上的环绕速度vA。
(2)求飞船在轨道A上的机械能EA。
(3)请根据理论计算这次轨道转移需要增加的能量ΔE。
【答案】 (1)　(2)-　(3)
【解析】 (1)飞船在轨道A上运动时,根据万有引力提供向心力有G=m,
解得vA=。
(2)设飞船在轨道A上稳定运行时的机械能为EA,则有EA=EkA+EpA,
其中EkA=m=,
EpA=-,
可得EA=-。
(3)飞船在圆轨道B上有G=m,
则动能EkB=m=,
而引力势能EpB=-,
其机械能为EB=-,
可得这次轨道转移需要的能量ΔE=EB-EA=。第2讲　宇宙航行
对点1.宇宙速度
1.如图所示是三个宇宙速度的示意图,则(　　)
A.“天问二号”对绕太阳近似做匀速圆周运动的小行星“2016HO3”进行探测,其发射速度需要大于16.7 km/s
B.发射载人登月飞船时,其发射速度需要大于11.2 km/s
C.天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D.三个宇宙速度是在地球上发射不同用途探测器的三个最小发射速度
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
3.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　)
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
4.(多选)(2025·河南期末)理论分析表明,天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸。当某种天体的第二宇宙速度至少为光速c时,这种天体就成为黑洞,如图所示。若某黑洞的质量为M,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为 c
B.该黑洞的最大半径为
C.由题中已知量可以求出该黑洞的最大密度
D.如果某天体绕该黑洞做线速度为v、角速度为ω的匀速圆周运动,则有M=
对点2.卫星运动参量的分析
5.(2025·内蒙古乌兰察布二模)太空电梯固定于地球赤道上某地,一航天员全身固定在电梯中的座椅上,电梯匀速升空到达距地面高度为同步卫星轨道高度的1.5倍处(上升过程中每一点可视为随太空电梯一起做的匀速圆周运动),则电梯匀速上升过程中,座椅对航天员的作用力F随电梯上升时间t变化的Ft图像可能正确的是(　　)
A B C D
6.(多选)(2025·吉林期末)如图所示,2025年6月14日,我国成功将电磁监测卫星“张衡一号”02星发射升空。该卫星能够克服地面观测的许多局限性,提供更全面和准确的地震监测数据。卫星在椭圆轨道上运行,地球视为球体,则该卫星在轨道上运行过程中(　　)
A.卫星在近地点时加速度最大
B.从近地点到远地点,卫星的速度逐渐减小
C.从近地点到远地点,卫星的机械能减少
D.从近地点到远地点,卫星的重力势能不变
7.(2025·贵州毕节一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图。设地球半径为R,地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1,加速度大小为a1;近地卫星的轨道半径近似为R,运行速度大小为v2,加速度大小为a2;地球静止卫星的轨道半径为r,运行速度大小为v3,加速度大小为a3。下列选项正确的是(　　)
A.=1 B.=
C.= D.=
8.(2025·贵州贵阳期末)如图,北斗系统主要由离地面高度为6R的同步卫星(R为地球半径)和离地面高度为3R的中圆轨道卫星组成,两轨道均看作圆轨道,忽略地球自转。下列说法正确的是(　　)
A.这两种卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B.中圆轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为7∶4
C.通过地面控制可以将北斗静止卫星定点于贵阳正上方
D.中圆轨道卫星与同步卫星的角速度大小之比约为7∶8
9.(2025·河北唐山模拟)如图甲,某行星外围有一圈厚度为d的发光带,R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群,发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示(图线中v0为已知量)。引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该行星的第一宇宙速度为v0
B.该行星的第一宇宙速度为2v0
C.该行星表面的重力加速度g=
D.该行星的质量M=GR
10.(多选)(2025·河北石家庄阶段练习)嫦娥探月工程的巨大成功把拉格朗日点引入人们视野。拉格朗日点是指在大天体、小天体和探测器组成的系统中,探测器可以和小天体同步转动的位置。其中拉格朗日点3由于未被开发利用,较少被人关注。在地月系统中,拉格朗日点3(以下称作L3)位于与月亮相对的一侧,探测器在这里可以和月亮地球一起同步绕地月质心做匀速圆周运动,如图所示。图中O点为地球球心,O′点为地月质心,虚线为过月心以O为圆心的圆,实线为过月心以O′为圆心的圆。若月球绕地心转动,周期为T1;月球绕地月质心转动,周期为T2,则(　　)
A.T1=T2
B.T1>T2
C.L3一定位于A点外侧
D.L3可能位于AB之间
11.(2023·北京卷,20)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质,主要分布在半径为R的球体内,球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M,可认为均匀分布,球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动,恒星到星系中心的距离为r,引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零,利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识,求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(3)科学家根据实测数据,得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像,如图所示,根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变,科学家预言螺旋星系周围(r>R)存在一种特殊物质,称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用,并遵循万有引力定律,求r=nR内暗物质的质量M′。第1讲　行星的运动　万有引力与相对论
课时作业　
对点1.开普勒行星运动定律
1.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】 D
【解析】 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T行==6 年,A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律F=可知,小行星受太阳引力增大,B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,C错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,D正确。
2.(多选)(2025·甘肃庆阳期中)行星探索的仪器中有一种常用的飞掠器,其特点为飞掠器的椭圆轨道的近地点几乎与行星表面某点相切。如图所示,设某飞掠器运动过程中处于某位置P时速度为v,方向和行星连线夹角θ=30°,此时到行星中心O的距离为20R。已知行星质量为M,半径为R,引力常量为G,引力势能的表达式为Ep=-(其中r为物体到天体中心的距离,m为物体质量)。飞掠器运动过程中仅受行星的引力,则下列说法正确的是(　　)
A.飞掠器的最大速度为vm=10v
B.飞掠器的最大速度为vm=20v
C.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
D.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
【答案】 AC
【解析】 设取一段极短时间Δt,在P点和近地点,根据开普勒第二定律有R·vmΔt=
·20R·vΔtsin 30°,解得飞掠器的最大速度为vm=10v,A正确,B错误;根据机械能守恒定律有mv2+(-)=m+(-),解得v=,C正确,D错误。
3.(2025·河北石家庄模拟)某颗彗星绕太阳运动的轨道为椭圆,平均周期约为p年,近日点的速率为v1,近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道,据此可知该彗星在远日点的速率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设彗星轨道的半长轴为a,地球的轨道半径为R,彗星周期T1=p年=pT地,对地球和彗星根据开普勒第三定律有=,解得=,近日点到太阳距离为a1=qR,若远日点到太阳距离为a2,则a=,即a2=2a-a1=R(2-q),代入v1a1=v2a2得v2=,D正确。
对点2.万有引力定律
4.(2025·山东威海期中)卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动,卫星速率二次方的倒数与轨道高度的关系图像如图所示,已知图线的纵截距为b,斜率为k,则地球表面附近的重力加速度为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 根据牛顿第二定律得G=m,又因为mg=G,解得=h+,根据题意得=k,=b,解得g=。A正确。
5.(2025·贵州贵阳二模)考虑到地球自转的影响,下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是(　　)
A B
C D
【答案】 D
【解析】 若在P点处有一小物体随地球转动,所受万有引力指向地心,其作用提供向心力和产生重力,而向心力指向地轴,根据平行四边形定则,重力方向即重力加速度g的方向在PO连线的左下方。D正确。
6.(2025·北京期中)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G。若假设在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔(挖出的物质运走至无穷远处),空腔与天体表面相切,如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心,空腔内Q点与球心O′的距离为,Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
【答案】 D
【解析】 由于质量分布均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零,则处于Q处的质点所受万有引力的等效示意图如图所示。
而球体质量m′=ρ·πr3,又密度ρ处处相等,则球体的质量与半径的三次方成正比。设O′Q距离为b,OQ距离为a,大球(虚线Ⅰ)对Q点物体的引力为F1=G,小球(虚线Ⅱ)对Q点的引力为F2=G,可知Q处质点受力为F′=F1-F2=(a-b),而a-b=,联立得F′=G,D正确。
对点3.天体的质量和密度的估算
7.(2025·陕晋青宁卷,2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统,实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动,轨道半径约3 750 km,轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2,根据以上数据可推算出火星的(　　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
【答案】 A
【解析】 轨道器绕火星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,可得G=mr,题中已知的物理量有轨道半径r,轨道周期T,引力常量G,可据此推算出火星的质量,故A正确;若想推算出火星的体积和逃逸速度,则还需要知道火星的半径R,故B、C错误;轨道周期不等于火星的自转周期,不能通过所提供的物理量推算出火星的自转周期,故D错误。
8.在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
A.k3()2 B.k3()2
C.()2 D.()2
【答案】 D
【解析】 设月球绕地球运动的轨道半径为r1,地球绕太阳运动的轨道半径为r2,根据G=m()2r,可得G=m月()2r1,=m地()2r2,其中==,ρ=,联立可得=()2,故选D。
9.如图所示,某星球水平地面上,固定放置一个直角三角形斜面AB,斜面的倾角θ=30°,顶点A高 h=10 m。将小球从A点以速度v0=10 m/s水平抛出,恰好落在B点,已知该星球半径R=
3 000 km,引力常量G=6.67×/kg2,求:
(1)小球的飞行时间;
(2)该星球表面的重力加速度;
(3)该星球的平均密度。
【答案】 (1) s　(2) m/s2　(3)8×103 kg/m3
【解析】 (1)水平方向有x=v0t,tan θ=,
解得t= s。
(2)竖直方向有h=gt2,解得g= m/s2。
(3)根据万有引力定律可得=mg,
星球密度ρ==,
解得ρ=8×103 kg/m3。
10.(多选)(2025·湖南岳阳二模)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星,“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示,O为地心。卫星a、b相对地球的张角分别为θa、θb(θb图中未标出),已知b到O的距离是地球半径的n1倍,a到O的距离是地球半径的n2倍,卫星a和卫星b的角速度分别为ωa、ωb,且均绕地球同向运行。在运行过程中由于地球的遮挡,卫星b会进入卫星a通信的盲区,卫星间的通信信号视为沿直线传播,信号传输时间可忽略。下列分析正确的是(　　)
A.a、b受到地球的万有引力大小一定不相等
B.a、b的周期之比为
C.a、b每次信号中断的时间间隔为
D.a、b每次信号中断的时间间隔为
【答案】 BD
【解析】 由于卫星a、b的轨道半径不同,且质量也不同,根据万有引力定律F=G,可知它们受到地球的引力大小可能相等,故A错误;根据开普勒第三定律有=,则卫星a、b的周期之比为=,故B正确;以a为参考,b的角速度为ωb-ωa,b在通信盲区对应的角度为θb+θa,所以a、b每次信号中断的时间间隔为Δt=,故C错误,D正确。
11.(2025·江苏期末)2024年6月4日,嫦娥六号完成世界首次月球背面采样,采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ,再进入椭圆轨道Ⅱ,在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接,图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R,嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行周期为T,Q点离月球表面的高度为h,引力常量为G。求:
(1)月球的质量M;
(2)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。
【答案】 (1)　(2)(1+)
【解析】 (1)嫦娥六号在近月轨道运动,根据万有引力提供向心力有=,
解得M=。
(2)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点在椭圆轨道运动,在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ,根据开普勒第三定律有=,
其中a=,
解得T椭=T(1+),
则在轨道Ⅱ第一次由P到Q的时间为t==(1+)。第3讲　小专题:卫星变轨问题　双星或多星模型
对点1.卫星变轨和飞船对接问题
1.(2025·北京卷,7)2024年6月,嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示,探测器在圆形轨道1上绕月球飞行,在A点变轨后进入椭圆轨道2,B为远月点。关于嫦娥六号探测器,下列说法正确的是(　　)
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期,可求出月球的质量
2.(多选)(2025·四川遂宁模拟)北京时间2025年1月7日,我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭,成功将实践二十五号卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个多月的时间,实践二十五号抵达同步轨道,并成功给北斗卫星加注了142 kg推进剂,实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料,加注前两卫星的位置如图所示,则要想实现加注燃料,下列说法正确的是(　　)
A.实践二十五号卫星直接加速与卫星A对接即可
B.实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度
C.实践二十五号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D.实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后,实践二十五号卫星向前喷射少量减速剂即可实现分离
3.(2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
对点2.双星及多星模型
4.双星系统中的两颗中子星在引力作用下围绕其连线某点做圆周运动的过程中,它们之间的距离逐渐减小,最终在剧烈地碰撞中合并并释放巨大能量,同时为宇宙产生很多重元素物质。这种天体的演化过程就是宇宙中最为壮观的千新星事件。不考虑双星系统中的两颗中子星在合并前质量、半径的变化。则两颗中子星距离减小的过程中(　　)
A.它们表面的重力加速度变大
B.它们做圆周运动的半径之比变大
C.它们做圆周运动的向心加速度大小之和增大
D.它们做圆周运动的周期增大
5.(2025·重庆九龙坡阶段练习)中国科学家发现了代号为TMTSJ0526的双星系统,该系统由一颗质量约为0.7MS(MS为太阳质量)的碳氧白矮星与质量约为0.3MS的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合,用望远镜在地球附近观测,发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮,已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示,图中“星等”表示亮度,实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线,虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为MS=2×1030 kg,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,
π2≈10,下列说法正确的是(　　)
A.碳氧白矮星和热亚矮星转动的半径之比为7∶3
B.该双星系统的运转周期约为600 s
C.两星体之间的距离约为 ×108 m
D.若多年以后,两星体间的距离逐渐减小,两星体转动的角速度也将减小
6.(多选)(2025·四川成都检测)如图所示,甲、乙、丙分别为三类星体间的关系图,若轨迹圆半径都为R,中心天体质量为M,环绕天体质量均为m,已知M m,则(　　)
A.图乙、丙中环绕天体的周期之比为2∶
B.图乙中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
C.图甲中环绕天体的角速度大于图丙中环绕天体的角速度
D.图乙、丙中环绕天体的线速度之比为 ∶2
7.(2025·安徽宣城阶段练习)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示,三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m,引力常量为G。
(1)计算该三星系统的运动周期T计算;
(2)若实验中观测到该三星系统的运动周期为T观测,且T观测∶T计算=1∶(N>1),为了解释T观测与T计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质,暗物质参与引力相互作用,是有质量的。我们假定一种简化模型,在以O为球心,以O到三角形顶点长为半径的球体内均匀分布着暗物质,不考虑其他暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
8.(2025·江西新余模拟)“古有司南,今有北斗”,北斗卫星收官不仅是技术成就的里程碑,更是国家战略布局的重要节点,为全球用户提供高精度服务的同时,深刻影响国家安全与经济社会发展。已知地球质量为M,半径为R,取无穷远处的引力势能为零。质量为m的“北斗”卫星在绕地球无动力飞行时,它和地球组成的系统机械能守恒,且它们之间引力势能的表达式是Ep=-,其中r是卫星与地心间的距离(能脱离地球引力,即表明能到达离地球无穷远处,使得Ep=0)。如图,现欲将质量为m的卫星1从近地圆轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ,轨道Ⅱ的近地点A和远地点B距地心分别为r1=R,r2=3R。另有卫星2在轨道Ⅲ上,轨道Ⅲ的半径r3=2R。C为轨道Ⅱ和轨道Ⅲ的一个交点。则下列说法正确的是(　　)
A.卫星1在轨道Ⅱ上的周期大于卫星2在轨道Ⅲ上的周期
B.卫星1从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要在近地点A一次性给它提供能量
C.卫星1和卫星2在C点的加速度大小不同
D.卫星在轨道Ⅱ上经过A 点时的速率是其在此处脱离地球引力所需速率的
9.(2025·湖北阶段练习)如图所示,一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动,已知地球半径为R,轨道A半径是3R,将飞船转移到另一个半径为6R的圆轨道B上去,若规定距地心无限远处为引力势能零势能点,飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达式为Ep=-(其中r为飞船与地心的距离)。已知地球质量为M,飞船质量为m,引力常量为G。
(1)求飞船在轨道A上的环绕速度vA。
(2)求飞船在轨道A上的机械能EA。
(3)请根据理论计算这次轨道转移需要增加的能量ΔE。第五章　万有引力与宇宙航行
第1讲　行星的运动　万有引力与相对论
对点1.开普勒行星运动定律
1.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
2.(多选)(2025·甘肃庆阳期中)行星探索的仪器中有一种常用的飞掠器,其特点为飞掠器的椭圆轨道的近地点几乎与行星表面某点相切。如图所示,设某飞掠器运动过程中处于某位置P时速度为v,方向和行星连线夹角θ=30°,此时到行星中心O的距离为20R。已知行星质量为M,半径为R,引力常量为G,引力势能的表达式为Ep=-(其中r为物体到天体中心的距离,m为物体质量)。飞掠器运动过程中仅受行星的引力,则下列说法正确的是(　　)
A.飞掠器的最大速度为vm=10v
B.飞掠器的最大速度为vm=20v
C.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
D.为使飞掠器不与行星相撞,则飞掠器在P处的速度应不小于
3.(2025·河北石家庄模拟)某颗彗星绕太阳运动的轨道为椭圆,平均周期约为p年,近日点的速率为v1,近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道,据此可知该彗星在远日点的速率为(　　)
A. B.
C. D.
对点2.万有引力定律
4.(2025·山东威海期中)卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动,卫星速率二次方的倒数与轨道高度的关系图像如图所示,已知图线的纵截距为b,斜率为k,则地球表面附近的重力加速度为(　　)
A. B. C. D.
5.(2025·贵州贵阳二模)考虑到地球自转的影响,下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是(　　)
A B
C D
6.(2025·北京期中)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G。若假设在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔(挖出的物质运走至无穷远处),空腔与天体表面相切,如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心,空腔内Q点与球心O′的距离为,Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
对点3.天体的质量和密度的估算
7.(2025·陕晋青宁卷,2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统,实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动,轨道半径约3 750 km,轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2,根据以上数据可推算出火星的(　　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
8.在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
A.k3() 2 B.k3()2
C.()2 D.()2
9.如图所示,某星球水平地面上,固定放置一个直角三角形斜面AB,斜面的倾角θ=30°,顶点A高 h=10 m。将小球从A点以速度v0=10 m/s水平抛出,恰好落在B点,已知该星球半径R=
3 000 km,引力常量G=6.67×/kg2,求:
(1)小球的飞行时间;
(2)该星球表面的重力加速度;
(3)该星球的平均密度。
10.(多选)(2025·湖南岳阳二模)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星,“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示,O为地心。卫星a、b相对地球的张角分别为θa、θb(θb图中未标出),已知b到O的距离是地球半径的n1倍,a到O的距离是地球半径的n2倍,卫星a和卫星b的角速度分别为ωa、ωb,且均绕地球同向运行。在运行过程中由于地球的遮挡,卫星b会进入卫星a通信的盲区,卫星间的通信信号视为沿直线传播,信号传输时间可忽略。下列分析正确的是(　　)
A.a、b受到地球的万有引力大小一定不相等
B.a、b的周期之比为
C.a、b每次信号中断的时间间隔为
D.a、b每次信号中断的时间间隔为
11.(2025·江苏期末)2024年6月4日,嫦娥六号完成世界首次月球背面采样,采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ,再进入椭圆轨道Ⅱ,在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接,图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R,嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行周期为T,Q点离月球表面的高度为h,引力常量为G。求:
(1)月球的质量M;
(2)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。第2讲　宇宙航行
课时作业　　
对点1.宇宙速度
1.如图所示是三个宇宙速度的示意图,则(　　)
A.“天问二号”对绕太阳近似做匀速圆周运动的小行星“2016HO3”进行探测,其发射速度需要大于16.7 km/s
B.发射载人登月飞船时,其发射速度需要大于11.2 km/s
C.天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D.三个宇宙速度是在地球上发射不同用途探测器的三个最小发射速度
【答案】 D
【解析】 “天问二号”对“2016HO3”小行星进行探测,没有脱离太阳系,发射速度需要小于
16.7 km/s,A错误;载人登月飞船发射过程并未脱离地球,其发射速度需要小于11.2 km/s,B错误;天宫空间站绕地球做近似圆周运动,运动速度小于7.9 km/s,C错误;三个宇宙速度对应于在地球上发射绕地球的卫星、脱离地球束缚的卫星和脱离太阳系的卫星的最小发射速度,
D正确。
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力有=m,解得v=,若v=,小星球做匀速圆周运动,A正确;若,小星球将脱离恒星引力束缚,做曲线运动,不可能与恒星相撞,D错误。
3.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　)
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
【答案】 C
【解析】 由万有引力提供向心力得G=m,解得v===,
所以 ===,故选C。
4.(多选)(2025·河南期末)理论分析表明,天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的 倍。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸。当某种天体的第二宇宙速度至少为光速c时,这种天体就成为黑洞,如图所示。若某黑洞的质量为M,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为 c
B.该黑洞的最大半径为
C.由题中已知量可以求出该黑洞的最大密度
D.如果某天体绕该黑洞做线速度为v、角速度为ω的匀速圆周运动,则有M=
【答案】 BD
【解析】 黑洞的第二宇宙速度v2至少为光速c,可知v2=v1,则第一宇宙速度v1至少为c,A错误;设绕黑洞运动的天体的质量为m,根据万有引力提供向心力有G=m,可得黑洞的半径最大为R=,而半径最大时密度最小,则可以求解出黑洞的最小密度,B正确,C错误;如果某天体绕该黑洞做线速度为v、角速度为ω的匀速圆周运动,则轨道半径为r=,根据万有引力提供向心力有G=m,则有M=,D正确。
对点2.卫星运动参量的分析
5.(2025·内蒙古乌兰察布二模)太空电梯固定于地球赤道上某地,一航天员全身固定在电梯中的座椅上,电梯匀速升空到达距地面高度为同步卫星轨道高度的1.5倍处(上升过程中每一点可视为随太空电梯一起做的匀速圆周运动),则电梯匀速上升过程中,座椅对航天员的作用力F随电梯上升时间t变化的Ft图像可能正确的是(　　)
A B C D
【答案】 D
【解析】 当高度小于同步卫星轨道高度时,根据圆周运动的规律,对航天员有-F=
mω2(vt+R),解得航天员受到的支持力为F=-mω2(vt+R),随着时间的增大,作用力减小,且为非线性关系;当高度等于同步卫星轨道高度时,此处万有引力等于航天员做圆周运动的向心力,有=mω2(vt+R),则作用力为0;当高度大于同步卫星轨道高度时,由+F压=
mω2(vt+R),可得F压=mω2(vt+R)-,力的方向发生变化,且随着时间的增大,作用力随时间非线性增大。D正确。
6.(多选)(2025·吉林期末)如图所示,2025年6月14日,我国成功将电磁监测卫星“张衡一号”02星发射升空。该卫星能够克服地面观测的许多局限性,提供更全面和准确的地震监测数据。卫星在椭圆轨道上运行,地球视为球体,则该卫星在轨道上运行过程中(　　)
A.卫星在近地点时加速度最大
B.从近地点到远地点,卫星的速度逐渐减小
C.从近地点到远地点,卫星的机械能减少
D.从近地点到远地点,卫星的重力势能不变
【答案】 AB
【解析】 对卫星有=ma,解得a=,由于卫星在近地点到地心距离r最小,故加速度最大,A正确;根据开普勒第二定律可知,从近地点到远地点,卫星速度逐渐减小,B正确;卫星在椭圆轨道运行,只有地球引力做功,机械能守恒,C错误;从近地点到远地点,卫星高度升高,重力势能增大,D错误。
7.(2025·贵州毕节一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图。设地球半径为R,地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1,加速度大小为a1;近地卫星的轨道半径近似为R,运行速度大小为v2,加速度大小为a2;地球静止卫星的轨道半径为r,运行速度大小为v3,加速度大小为a3。下列选项正确的是(　　)
A.=1 B.=
C.= D.=
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得=m=ma,可得v=,a=,则有==,=,故B正确,D错误;地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等,根据v=ωr,a=ω2r,可得=,=,则有=,故A、C错误。
8.(2025·贵州贵阳期末)如图,北斗系统主要由离地面高度为6R的同步卫星(R为地球半径)和离地面高度为3R的中圆轨道卫星组成,两轨道均看作圆轨道,忽略地球自转。下列说法正确的是(　　)
A.这两种卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B.中圆轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为7∶4
C.通过地面控制可以将北斗静止卫星定点于贵阳正上方
D.中圆轨道卫星与同步卫星的角速度大小之比约为7∶8
【答案】 D
【解析】 速度v=7.9 km/s是卫星绕地球表面运动的速度,是在地面发射卫星的最小速度,也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度,此时的轨道半径为地球的半径,由v=可知,速度v与轨道半径r的平方根成反比,则这两种卫星的速度都小于7.9 km/s,A错误;中圆轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为==,由于卫星的质量未知,动能无法比较,B错误;静止卫星只能定点于赤道的正上方,C错误;根据=mω2r,得ω=,则两卫星角速度之比为ω1∶ω2=7∶8,D正确。
9.(2025·河北唐山模拟)如图甲,某行星外围有一圈厚度为d的发光带,R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群,发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示(图线中v0为已知量)。引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该行星的第一宇宙速度为v0
B.该行星的第一宇宙速度为2v0
C.该行星表面的重力加速度g=
D.该行星的质量M=GR
【答案】 A
【解析】 若该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群,根据万有引力提供向心力有G=m,化简可得v2=GM·,可知v2图像的斜率k=GM==R,即该行星的质量为M=,D错误;在行星表面有G=mg,解得该行星表面的重力加速度g==,C错误;该行星的第一宇宙速度等于在行星表面绕行星做匀速圆周运动的线速度,则有=m,即该行星的第一宇宙速度为v==v0,A正确,B错误。
10.(多选)(2025·河北石家庄阶段练习)嫦娥探月工程的巨大成功把拉格朗日点引入人们视野。拉格朗日点是指在大天体、小天体和探测器组成的系统中,探测器可以和小天体同步转动的位置。其中拉格朗日点3由于未被开发利用,较少被人关注。在地月系统中,拉格朗日点3(以下称作L3)位于与月亮相对的一侧,探测器在这里可以和月亮地球一起同步绕地月质心做匀速圆周运动,如图所示。图中O点为地球球心,O′点为地月质心,虚线为过月心以O为圆心的圆,实线为过月心以O′为圆心的圆。若月球绕地心转动,周期为T1;月球绕地月质心转动,周期为T2,则(　　)
A.T1=T2
B.T1>T2
C.L3一定位于A点外侧
D.L3可能位于AB之间
【答案】 BD
【解析】 月球绕地月质心转动,月球轨道半径变小而引力不变,故周期变小,A错误,B正确。探测器在A点时若绕地心转动,轨道半径与地、月距离相同但同时受到地球和月球引力,将比月球转得快而二者不同步,因此L3应在A点外侧;可实际轨道圆心在O′点,探测器轨道半径较大,转动未必快于月球,故L3可能位于AB之间,C错误,D正确。
11.(2023·北京卷,20)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质,主要分布在半径为R的球体内,球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M,可认为均匀分布,球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动,恒星到星系中心的距离为r,引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零,利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识,求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系;
(3)科学家根据实测数据,得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像,如图所示,根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变,科学家预言螺旋星系周围(r>R)存在一种特殊物质,称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用,并遵循万有引力定律,求r=nR内暗物质的质量M′。
【答案】 (1)v=　(2)v=r (3)(n-1)M
【解析】 (1)由题知,r>R区域的恒星绕星系中心做匀速圆周运动,则由万有引力提供向心力有G=m,解得v=(r>R)。
(2)在r≤R区域,球体内物质质量M0=·πr3=,
同理,由万有引力提供向心力有G=m,
解得v=r(r≤R)。
(3)设在r>R范围内的恒星速度大小为v0,由图像可知v0近似等于轨道半径为R的恒星对应的线速度大小,由(2)的结论可得v0=,可把r=nR内的暗物质看作处在星系中心的等质量的质点,则对处于r=nR处的恒星,所需的向心力等于星系物质和暗物质对其万有引力之和,
即+=m,解得M′=(n-1)M。

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