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第5讲　小专题:“磁发散”和“磁聚焦”　洛伦兹力与现代科技
对点1.“磁发散”和“磁聚焦”
1.(多选)(2025·四川成都模拟)如图所示,竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向里。一长度为R的线状粒子源位于磁场左侧,磁场区域的直径MN为线状粒子源的垂直平分线,线状粒子源沿平行于直径MN的方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)的带负电粒子。所有粒子的速率均为v=,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1
B.粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C.磁场中有粒子经过的区域的面积为πR2
D.粒子动量变化量的最大值与最小值之比为2∶1
2.(多选)如图所示,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计粒子所受重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场右侧有一点(2R,R),已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴正方向,则(　　)
A.初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点
B.初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点
C.经过A点的粒子在磁场中的运动时间为
D.经过A点的粒子在磁场中的运动时间为
对点2.电场和磁场组合的应用实例
3.(2025·江苏无锡期末)如图所示为质谱仪原理示意图,带电粒子从小孔O“飘入”加速电场(初速度忽略不计),经加速后以速度v0从小孔O′进入速度选择器并恰好沿直线通过,粒子从小孔S进入磁分析器后做匀速圆周运动打在照相底片上。已知速度选择器中匀强电场的电场强度为E,磁分析器中匀强磁场的磁感应强度为B0,在底片上留下的痕迹点到狭缝S的距离为l,忽略带电粒子所受的重力及相互间作用力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.速度选择器中匀强磁场的磁感应强度为
C.带电粒子的比荷=
D.加速电场极板间的电势差U=
4.回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D形金属扁盒组成,两个D形盒正中间开有一条狭缝;两个D形盒处在匀强磁场中并接在高频交流电源上。在D1盒中心A处有粒子源,它产生并发出带电粒子,经狭缝电压加速后,进入D2盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后,垂直通过狭缝,再经狭缝电压加速;为保证粒子每次经过狭缝都被加速,设法使交流电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周期往复,速度越来越大,运动半径也越来越大,最后到达D形盒的边缘,以最大速度被引出。已知某粒子所带电荷量为q,质量为m,加速时两盒间电压大小恒为U,磁场的磁感应强度大小为B,D形盒的半径为R,设狭缝很窄,粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用力,忽略相对论效应。
(1)求交流电压的周期T;
(2)求粒子被加速后获得的最大动能Ekm;
(3)求粒子在回旋加速器中运动的总时间;
(4)若狭缝的宽度为d,考虑粒子通过狭缝的时间,粒子在回旋加速器中运动的总时间为多少
对点3.电场和磁场叠加的应用实例
5.(2025·陕西西安模拟)如图所示,一种磁流体发电机,平行金属板A、B间距为d,A、B之间有一个很强的磁场,磁感应强度大小为B,将一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负离子)以速度v喷入磁场,A、B两板间便产生电压,在A、B两板间接入电阻R,则下列说法正确的是(　　)
A.通过电阻R的电流方向为从a流向b
B.电阻R两端的电压U=
C.电阻R消耗的热功率P=
D.增大A、B两板间距d,则流过电阻R的电流会增大
6.(2025·江西南昌期中)日常带皮套的智能手机是利用磁性物质和霍尔元件等起到开关控制作用。打开皮套,磁体远离霍尔元件手机屏幕亮;合上皮套,磁体靠近霍尔元件屏幕熄灭。如图所示,一块宽度为d、长为l、厚度为h的霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子。水平向右大小为I的电流通过元件时,手机套合上,元件处于垂直于上表面、方向向上且磁感应强度大小为B的匀强磁场中,元件的前、后表面产生稳定电势差U,以此来控制屏幕熄灭。下列说法正确的是(　　)
A.前表面的电势比后表面的电势高
B.自由电子所受洛伦兹力的大小为
C.用这种霍尔元件探测某空间的磁场时,霍尔元件摆放方向对产生的电势差U无影响
D.元件内单位体积的自由电子数为
7.(多选)(2025·广西卷,10)如图,带等量正电荷q的M、N两种粒子,以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场,经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器(简称选择器)。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1、右端开口宽度为2d时,M粒子沿轴线OO′穿过选择器后,沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外的匀强磁场(偏转磁场),并最终打在探测器上;N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场,并与M粒子打在同一位置,忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用及边界效应,则(　　)
A.M粒子的质量为
B.刚进入选择器时,N粒子的速度小于M粒子的速度
C.调节选择器,使N粒子沿轴线OO′穿过选择器,此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为
D.调节选择器,使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场,打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为+
8.(2025·江苏镇江期末)如图所示,在第一象限存在垂直于xOy平面向外的磁场(图中未画出),磁感应强度大小与到O点的距离r成反比,即满足B1=(k未知),磁场分布在≤r≤L的范围内,第三象限与第四象限分别存在垂直于xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场,磁感应强度大小均为B2=。第二象限有一束质量为m、电荷量为q、速度大小为v、与x轴的距离满足≤r≤L的范围内的粒子水平向右运动,已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限,最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子所受重力及带电粒子之间的相互作用。
(1)求出B1=的表达式中k的数值;
(2)与x轴距离不同的入射粒子,在第四象限圆形磁场中运动的时间不同,求最长时间与最短时间的差值;
(3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积,并画出粒子打在屏上的范围。第5讲　小专题:“磁发散”和“磁聚焦”洛伦兹力与现代科技
课时作业
对点1.“磁发散”和“磁聚焦”
1.(多选)(2025·四川成都模拟)如图所示,竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向里。一长度为R的线状粒子源位于磁场左侧,磁场区域的直径MN为线状粒子源的垂直平分线,线状粒子源沿平行于直径MN的方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)的带负电粒子。所有粒子的速率均为v=,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1
B.粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C.磁场中有粒子经过的区域的面积为πR2
D.粒子动量变化量的最大值与最小值之比为2∶1
【答案】 AC
【解析】 粒子做圆周运动的半径r==R,所以平行于MN入射的粒子都将会聚于O点正下方的P点,如图所示,从A点入射的粒子在磁场中运动的时间最长,其转过的圆心角为,运动时间为,位移大小为R,速度变化量大小为v,从B点入射的粒子在磁场中运动的时间最短,其转过的圆心角为,运动时间为,位移大小为R,速度变化量为v。粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1,故A正确;粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为,故B错误;磁场中有粒子经过的区域如图中阴影部分所示,其面积等于扇形ABP的面积,为πR2,故C正确;粒子动量变化量的最大值与最小值之比为∶1,故D错误。
2.(多选)如图所示,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计粒子所受重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场右侧有一点(2R,R),已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴正方向,则(　　)
A.初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点
B.初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点
C.经过A点的粒子在磁场中的运动时间为
D.经过A点的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】 AC
【解析】 初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴正方向,则粒子的轨道半径r=R,由qvB=,可得粒子的轨道半径都为R;结合题意和几何关系可知,平面第一、二象限射入的粒子从磁场射出时,速度一定沿x轴正方向,设经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为α,根据几何关系有R+Rsin(α-90°)=R,解得α=120°,故A正确,B错误;该粒子在磁场中的运动时间为t=×=,故C正确,D错误。
对点2.电场和磁场组合的应用实例
3.(2025·江苏无锡期末)如图所示为质谱仪原理示意图,带电粒子从小孔O“飘入”加速电场(初速度忽略不计),经加速后以速度v0从小孔O′进入速度选择器并恰好沿直线通过,粒子从小孔S进入磁分析器后做匀速圆周运动打在照相底片上。已知速度选择器中匀强电场的电场强度为E,磁分析器中匀强磁场的磁感应强度为B0,在底片上留下的痕迹点到狭缝S的距离为l,忽略带电粒子所受的重力及相互间作用力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.速度选择器中匀强磁场的磁感应强度为
C.带电粒子的比荷=
D.加速电场极板间的电势差U=
【答案】 D
【解析】 粒子进入磁场向右偏转,由左手定则可知粒子带正电,故A错误;粒子在速度选择器中所受电场力与洛伦兹力相等,则qE=qv0B,解得B=,故B错误;粒子在磁场中运动的轨道半径为 r=l,由qv0B0=m,解得带电粒子的比荷=,故C错误;粒子在加速电场中,由动能定理得qU=m,解得加速电场极板间的电势差U=,故D正确。
4.回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D形金属扁盒组成,两个D形盒正中间开有一条狭缝;两个D形盒处在匀强磁场中并接在高频交流电源上。在D1盒中心A处有粒子源,它产生并发出带电粒子,经狭缝电压加速后,进入D2盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后,垂直通过狭缝,再经狭缝电压加速;为保证粒子每次经过狭缝都被加速,设法使交流电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周期往复,速度越来越大,运动半径也越来越大,最后到达D形盒的边缘,以最大速度被引出。已知某粒子所带电荷量为q,质量为m,加速时两盒间电压大小恒为U,磁场的磁感应强度大小为B,D形盒的半径为R,设狭缝很窄,粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用力,忽略相对论效应。
(1)求交流电压的周期T;
(2)求粒子被加速后获得的最大动能Ekm;
(3)求粒子在回旋加速器中运动的总时间;
(4)若狭缝的宽度为d,考虑粒子通过狭缝的时间,粒子在回旋加速器中运动的总时间为多少
【答案】 (1)　(2)　(3)
(4)+
【解析】 (1)为保证粒子每次经过狭缝都被加速,带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交流电压的周期(在狭缝中的时间极短忽略不计),则
qvB=m,
T=,
联立解得交流电压的周期为T=。
(2)粒子在D形盒内做圆周运动,轨迹半径达到最大时被引出,具有最大动能。设此时的速度为vm,有qvmB=,
解得vm=,
设粒子的最大动能为Ekm,则
Ekm=m=。
(3)粒子完成一次圆周运动被电场加速2次,由动能定理得2qU=Ek,
设经过n个周期,达到最大动能,则有Ekm=nEk,
粒子在D形盒磁场内运动的时间t=nT,
联立解得粒子在回旋加速器中运动的总时间为
t=。
(4)设粒子在狭缝中被加速的时间为t加,有
vm=at加,=ma,
解得t加=,
t总=t+t加=+。
对点3.电场和磁场叠加的应用实例
5.(2025·陕西西安模拟)如图所示,一种磁流体发电机,平行金属板A、B间距为d,A、B之间有一个很强的磁场,磁感应强度大小为B,将一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负离子)以速度v喷入磁场,A、B两板间便产生电压,在A、B两板间接入电阻R,则下列说法正确的是(　　)
A.通过电阻R的电流方向为从a流向b
B.电阻R两端的电压U=
C.电阻R消耗的热功率P=
D.增大A、B两板间距d,则流过电阻R的电流会增大
【答案】 D
【解析】 根据左手定则可知,带正电离子向下偏转,带负电离子向上偏转,则B板带正电,A板带负电,通过电阻R的电流方向为从b流向a,故A错误;稳定时,对离子有q=qvB,解得电动势为E电动势=Bdv,若等离子体的电阻可忽略不计,则电阻R两端的电压为U=
E电动势=Bdv,电阻R消耗的热功率为P==,故B、C错误;根据E电动势=Bdv,增大A、B两板间距d,则电动势增大,流过电阻R的电流会增大,故D正确。
6.(2025·江西南昌期中)日常带皮套的智能手机是利用磁性物质和霍尔元件等起到开关控制作用。打开皮套,磁体远离霍尔元件手机屏幕亮;合上皮套,磁体靠近霍尔元件屏幕熄灭。如图所示,一块宽度为d、长为l、厚度为h的霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子。水平向右大小为I的电流通过元件时,手机套合上,元件处于垂直于上表面、方向向上且磁感应强度大小为B的匀强磁场中,元件的前、后表面产生稳定电势差U,以此来控制屏幕熄灭。下列说法正确的是(　　)
A.前表面的电势比后表面的电势高
B.自由电子所受洛伦兹力的大小为
C.用这种霍尔元件探测某空间的磁场时,霍尔元件摆放方向对产生的电势差U无影响
D.元件内单位体积的自由电子数为
【答案】 D
【解析】 通入水平向右大小为I的电流时,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子,电子向左运动,由左手定则可得电子受洛伦兹力的作用往前表面偏转,故前表面的电势比后表面的电势低,故A错误;元件的前、后表面产生稳定电势差时,自由电子受到的洛伦兹力大小与电场力平衡,F洛=F电,即F洛=evB=e,故B错误;由evB=e,解得U=Bvd,B为垂直于上表面的磁感应强度的大小,用这种霍尔元件探测某空间的磁场时,霍尔元件摆放方向对产生的电势差U有影响,故C错误;U=Bvd,电流的微观表达式I=neSv=nedhv,解得元件内单位体积的自由电子数为n=,D正确。
7.(多选)(2025·广西卷,10)如图,带等量正电荷q的M、N两种粒子,以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场,经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器(简称选择器)。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1、右端开口宽度为2d时,M粒子沿轴线OO′穿过选择器后,沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外的匀强磁场(偏转磁场),并最终打在探测器上;N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场,并与M粒子打在同一位置,忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用及边界效应,则(　　)
A.M粒子的质量为
B.刚进入选择器时,N粒子的速度小于M粒子的速度
C.调节选择器,使N粒子沿轴线OO′穿过选择器,此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为
D.调节选择器,使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场,打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为+
【答案】 AD
【解析】 对M粒子,在加速电场中,有qU=mM,在速度选择器中,有qv0MB1=qE,解得M粒子的质量mM=,A正确。因N粒子进入速度选择器后向下偏转,可知qv0NB1>qE,即v0N>v0M,B错误。设M粒子在磁场中运动的半径为R1,则qv0MB2=mM,解得R1==;设N粒子在磁场中运动的半径为R2,则2R1-2R2cos θ=d,解得R2=,又qvNB2=mN,可得vN=;由动能定理,N粒子在选择器中,-qEd=mN-
mN,在加速电场中,qU=mN,解得mN=,v0N=,则要想使得N粒子沿轴线OO′通过选择器,需满足qv0NB1′=qE′,联立解得=v0N=,C错误。若N粒子沿轴线通过选择器,则在磁场中运动的半径为R3,打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为Δx=2R1-2R3,其中R1==,R3==
,可得Δx=+,故D正确。
8.(2025·江苏镇江期末)如图所示,在第一象限存在垂直于xOy平面向外的磁场(图中未画出),磁感应强度大小与到O点的距离r成反比,即满足B1=(k未知),磁场分布在≤r≤L的范围内,第三象限与第四象限分别存在垂直于xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场,磁感应强度大小均为B2=。第二象限有一束质量为m、电荷量为q、速度大小为v、与x轴的距离满足≤r≤L的范围内的粒子水平向右运动,已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限,最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子所受重力及带电粒子之间的相互作用。
(1)求出B1=的表达式中k的数值;
(2)与x轴距离不同的入射粒子,在第四象限圆形磁场中运动的时间不同,求最长时间与最短时间的差值;
(3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积,并画出粒子打在屏上的范围。
【答案】 (1)　(2)
(3)πL2+L2　图见解析
【解析】 (1)粒子在第一象限磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,
解得R=,结合题意可知R=r,
联立可得B1==,则有k=。
(2)设在第三与第四象限磁场中做圆周运动半径为R2,同理可得R2==L,
与圆形磁场半径相同,则从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最长,则有t1==,
从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最短,则有t2=,
联立解得Δt=。
(3)在第三象限磁场内有粒子经过的区域面积
S=π+-π
=πL2+L2;
画出粒子打在屏上的范围如图所示。第6讲　小专题:带电粒子在组合场和交变电磁场中的运动
课时作业
对点1.带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)(2025·安徽合肥模拟)如图所示,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从边界上O点射入磁场,入射方向与边界成45°角。当粒子第一次运动到电场中的P点时速度大小为v0、方向与边界平行,且P点与O点水平方向相距3L,P点与边界相距L。不计粒子所受的重力,下列说法正确的是(　　)
A.粒子从O点射入磁场时的速度大小为v0
B.粒子第一次射入电场时的速度大小为2v0
C.匀强电场的电场强度大小为
D.匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】 ACD
【解析】 若粒子第一次在电场中到达最高点P,则其运动轨迹如图所示,设粒子在O点时的速度大小为v,OQ段为圆周,QP段为抛物线,根据对称性可知,粒子在Q点时的速度大小也为v,方向与x轴正方向成45°角,可得v0=vcos 45°,解得v=v0,选项A正确,B错误;在粒子从Q运动到P的过程中,由动能定理得-qE0L=m-mv2,解得E0=,选项C正确;粒子在匀强电场中由Q到P的过程中,水平方向的位移为x=v0t1,竖直方向的位移为y=t1=L,可得x=2L,又OP水平距离为3L,则OQ=L,由OQ=2rcos 45°,得粒子在OQ段做圆周运动的半径r=L,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=,解得B=,选项D正确。
2.(多选)如图,足够长的荧光屏OA的上方区域存在匀强磁场,边界MN左侧区域的磁场方向垂直于纸面向里,右侧区域的磁场方向垂直于纸面向外,两区域的磁感应强度大小均为B。光屏上方有一粒子源紧挨着O点,可沿OA方向不断射出质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子。粒子打在荧光屏上时,荧光屏相应位置会发光。已知粒子的速率可取从零到某最大值之间的各种数值,速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上,O、M之间的距离为 a,不计粒子重力及粒子间的相互作用,则(　　)
A.粒子的最大速率为
B.荧光屏上的发光长度为(2-)a
C.打中荧光屏的粒子运动时间的最小值为
D.打中荧光屏的粒子运动时间的最大值为
【答案】 AC
【解析】 速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上,其运动轨迹如图甲所示,设轨迹半径为r1,即OO1=r1;O1O2=2r1,可知圆心角∠OO1K=60°,故OO2=2r1sin 60°=2a,可解得r1=2a,由向心力公式可得qv1B=m,联立可解得v1=,此过程在磁场中的运动时间最短,MN左侧轨迹圆心角60°,右侧轨迹圆心角150°,周期公式为T=,故总时间为t1=T=,故A、C正确;当粒子的轨迹恰与MN相切时,进入右侧后恰与MA相切,在磁场中的运动时间最长,运动轨迹如图乙所示,
由几何关系得r2=a,两边轨迹合起来恰好是一个圆周,故最长时间t2=T=,垂直打到荧光屏的位置离M最远,与荧光屏相切点离M最近,两点之间距离即为光屏上的发光长度,即Δx=(r1cos 30°+r1)-r2=2a,故B、D错误。
3.(多选)(2025·山东卷,12)如图甲所示的Oxy平面内,y轴右侧被直线x=3L分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场,区域Ⅱ内充满垂直于Oxy平面的匀强磁场,电场和磁场的大小、方向均未知。t=0时刻,质量为m、电荷量为+q的粒子从O点沿x轴正向出发,在Oxy平面内运动,在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分,如图甲所示。t0时刻粒子第一次到达两区域分界面,在区域Ⅱ中运动的y-t图像为正弦曲线的一部分,如图乙所示。不计粒子所受重力。下列说法正确的是(　　)
A.区域Ⅰ内电场强度大小E=,方向沿y轴正方向
B.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的半径R=
C.区域Ⅱ内磁感应强度大小B=,方向垂直于Oxy平面向外
D.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的圆心坐标为(,0)
【答案】 AD
【解析】 由于粒子在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分,即粒子做类平抛运动,由曲线轨迹可知,正粒子受到的电场力方向竖直向上,即电场方向沿y轴正方向,设粒子初速度为v0,竖直方向有y=a,水平方向有x=v0t0,又Eq=ma,联立解得E=,进入匀强磁场时速度v==;粒子在区域Ⅱ中运动的yt图像为正弦曲线的一部分,可以判断粒子做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示,其圆心为O′,进入磁场时速度方向与竖直方向夹角为θ,则磁场方向垂直于xOy平面向外,其圆周运动的半径R=,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得B=;由于sin θ==0.6,可得θ=37°,由几何关系得OO′=3L+Rcos 37°=,粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的圆心坐标为(,0),A、D正确,B、C错误。
4.(2025·河南卷,15)如图,水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射,当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°,然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点,通过b点时其速度方向水平向右。a、b与水平虚线的距离均为h,两点之间的距离为s=3h。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小;
(2)求电场强度的大小;
(3)若粒子从a点以v0竖直向下发射,长时间来看,粒子将向左或向右漂移,求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
【答案】 (1)　(2)　(3)v0
【解析】 (1)根据题意,画出粒子的运动轨迹,如图甲所示。
由题意可知θ=60°,
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,
由几何关系有r=rcos θ+h,
解得r=2h,
由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,
解得B=。
(2)根据题意,由对称性可知,粒子射出电场时,速度大小仍为v0,方向与水平虚线的夹角为60°,由几何关系可得
AC=s-2rsin θ=3h-2h=h,
则粒子在电场中的运动时间为
t==,
沿电场方向,由牛顿第二定律有qE=ma,
由运动学公式有
-v0sin θ=v0sin θ-at,
联立解得E=。
(3)若粒子从a点以速度v0竖直向下发射,画出粒子的运动轨迹,如图乙所示。
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0,粒子在磁场中运动的半径仍为2h,由几何关系可得,粒子进入电场时速度与虚线的夹角α=60°,
结合(2)的分析可知,粒子在电场中的运动时间为
t1=,A、M间的距离为AM=h,
由几何关系可得MN=2rsin α=2h,
则AN=MN-AM=h,
粒子在磁场中的运动时间为
t2=·=,
则有t=t1+t2=,
综上所述,粒子每隔时间t向右移动 h,则漂移速度大小v==v0。
对点2.带电粒子在交变电磁场中的运动
5.(2025·重庆渝中期末)如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q,离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。若要使离子从O′垂直于N板射出磁场,则离子射入磁场时的速度v0可能为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,v0的方向应如图所示,两板之间正离子只运动一个周期(即T0)时,有r=;当两板之间正离子运动n个周期(即nT0)时,有r=(n=1,2,3,…)。由洛伦兹力提供向心力,有qv0B0=m,圆周运动周期T0=,联立求解,得正离子的速度的可能值为v0==(n=1,2,3,…)。当n=2时,v0=。故选A。
6.在xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场,变化规律如图所示,磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里,电场强度的正方向为y轴正方向。t=0时刻,一电荷量为+q、质量为m的粒子(不计重力)从坐标原点O以初速度v0沿x轴正方向入射。Bt 图像中B0=,
Et图像中E0=。求:
(1)粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小;
(2)3t0时刻粒子的坐标;
(3)0～5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
【答案】 (1)　(2)(v0t0,v0t0)
(3)v0t0+v0t0
【解析】 (1)粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得r=。
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期T==t0,在t0～2t0时间内,粒子所受合力为电场力,根据牛顿第二定律有qE0=ma,解得a=,
粒子在电场中做类平抛运动,则有
x=v0t0,
y=a=v0t0,
在2t0～3t0时间内,粒子完成了一个完整的圆周运动,即3t0时刻粒子的坐标为(v0t0,v0t0)。
(3)结合上述,作出粒子的运动轨迹,如图所示,
根据轨迹图可知
y1=2y=v0t0,
y2=2r=v0t0,
0～5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值ymax=y1+y2=v0t0+v0t0。
7.(多选)圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场(未画出),磁场边缘上的A点有一带正电粒子源,OA竖直,MN与OA平行,且与圆形边界相切于B点,在MN的右侧有范围足够大、水平向左的匀强电场,电场强度为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向进入磁场时,粒子刚好从B点离开磁场。不计粒子所受重力和粒子间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
A.圆形区域内磁场方向垂直于纸面向外
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中运动的总时间为
D.粒子在电场中运动的总时间为
【答案】 ABD
【解析】 粒子从B点离开磁场,由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向外,根据几何关系知粒子做圆周运动的半径为R,由qv0B=m,解得=,故A、B正确;粒子从B点进入电场向右做匀减速直线运动,然后向左做匀加速直线运动再次从B点进入磁场,选向左为正方向,根据动量定理得,Eqt=2mv0,则粒子在电场中运动的总时间为t==,粒子再次从B点进入磁场,经过四分之一的周期离开磁场,所以粒子在磁场中运动的总时间为t总=,故C错误,D正确。
8.(2025·山东日照模拟)如图甲所示,足够大的两平行板P、Q水平固定,间距为d,板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直于纸面向里为正方向,磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示,电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻,一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子(不计重力),以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时,可使粒子经一段时间垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、E0、v0、d为已知量。
(1)若只加磁场且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在两板间运动的时间以及水平位移;
(2)若同时加电场和磁场,且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在两板间运动的位移大小。
【答案】 (1)　d
(2)
【解析】 (1)若只加磁场且磁感应强度B0=,根据洛伦兹力提供向心力,有qv0B0=,
解得R1=,
粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示,由图可知
R1+2R1sin θ=d,
解得θ=30°;
水平距离x=R1-2R1(1-cos θ)=d,
圆周运动的周期T1==,
运动时间t=T1=。
(2)若同时加电场和磁场,且磁感应强度
B0=,根据洛伦兹力提供向心力,有
qv0B0=,
解得R2=,
粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示,圆周运动的周期
T2==,
粒子在一个电场周期内,沿电场方向的速度变化为零,要使粒子垂直打到P板上,有
T2=nTE(n=1,2,3,…),
解得TE=(n=1,2,3,…),
粒子沿电场方向的位移大小
y=nTE=n××××TE=,
在磁场中的位移x==d,
粒子在两板间运动的位移大小
s==。第3讲　小专题:带电粒子在有界磁场中的运动　多解问题
对点1.带电粒子在有界磁场中的运动
1.(2025·北京西城二模)如图所示,圆形匀强磁场区域的圆心为O,半径为R,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场,从Q点射出,PO与OQ成60°角,不计粒子所受重力。下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R
B.带电粒子在磁场中的运动时间等于
C.若射入速度变大,粒子运动的半径变小
D.若射入速度变大,粒子在磁场中的运动时间变短
2.(2025·甘肃平凉模拟)如图所示的矩形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,一比荷为k的带负电粒子由B点射入矩形区域,速度大小为v0,速度方向与AB边的夹角θ=45°,粒子在磁场中的运动轨迹刚好与AC边相切,AB=L、BD=L,忽略粒子所受的重力。下列说法正确的是(　　)
A.磁感应强度大小为
B.粒子在磁场中运动的时间为
C.仅将粒子的速度改为,粒子在磁场中运动的轨道半径为L
D.仅将粒子的速度改为,粒子在磁场中运动的时间为
3.(2025·重庆卷,14)研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置,如图所示,水平放置的荧光屏上方有磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点,且在纸面内的同一直线上。发射管K(不计长度)位于O点正上方,仅可沿管的方向发射粒子,一端发射带正电粒子,另一端发射带负电粒子,同时发射的正、负粒子速度大小相同,方向相反,比荷均为。已知OK=3h,OM=3h,不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K水平发射的粒子在O点产生光点,求粒子的速度大小。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°,其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点,求粒子的速度大小。
(3)要使(2)问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点,可在粒子发射t时间后关闭磁场,忽略磁场变化的影响,求t。
对点2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
4.(2025·河北邢台阶段检测)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,MN的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为2B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子,所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速率可能是(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选)(2025·甘肃卷,10)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c 粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
6.(多选)(2025·福建阶段检测)如图所示,在一个直角△ACD(∠C=90°)区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),沿纸面从AC边的O点垂直于AC边以速度v射入该匀强磁场区域,已知CD=2OC=2l,∠A=θ,下列关于粒子运动的说法正确的是(　　)
A.若θ=45°,v=,则粒子从CD边射出磁场,出射点与C点的距离为l
B.若θ=45°,要使粒子从CD边射出,则最大速度为v=
C.若θ=30°,要使粒子从CD边射出,则最大速度为v=
D.若θ=30°,该粒子在磁场中运动的最长时间为
7.(2025·陕晋青宁卷,14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图甲所示,圆筒足够长。在O点有一电子源,向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子,某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图乙所示,当磁感应强度大小调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。第3讲　小专题:带电粒子在有界磁场中的运动　多解问题
课时作业
对点1.带电粒子在有界磁场中的运动
1.(2025·北京西城二模)如图所示,圆形匀强磁场区域的圆心为O,半径为R,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场,从Q点射出,PO与OQ成60°角,不计粒子所受重力。下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R
B.带电粒子在磁场中的运动时间等于
C.若射入速度变大,粒子运动的半径变小
D.若射入速度变大,粒子在磁场中的运动时间变短
【答案】 D
【解析】 粒子运动轨迹如图所示,根据几何关系可得=tan 30°,解得粒子运动半径为r=R;根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,粒子运动周期为T=,联立可得T=,带电粒子在磁场中的运动时间为t=T=,A、B错误。根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得r=,可知射入速度变大,粒子运动的半径变大,C错误。粒子在磁场中的运动周期T=,粒子在磁场中的运动时间t=T,如果只增大粒子的入射速度v,周期不变。根据r=可知,如果只增大粒子的入射速度v,则偏转半径变大,由几何关系可知偏转角变小,则粒子在磁场中的运动时间变短,D正确。
2.(2025·甘肃平凉模拟)如图所示的矩形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,一比荷为k的带负电粒子由B点射入矩形区域,速度大小为v0,速度方向与AB边的夹角θ=45°,粒子在磁场中的运动轨迹刚好与AC边相切,AB=L、BD=L,忽略粒子所受的重力。下列说法正确的是(　　)
A.磁感应强度大小为
B.粒子在磁场中运动的时间为
C.仅将粒子的速度改为,粒子在磁场中运动的轨道半径为L
D.仅将粒子的速度改为,粒子在磁场中运动的时间为
【答案】 B
【解析】 由题意作出粒子的运动轨迹,如图中1所示,由几何关系得α=45°,设粒子的轨道半径为R,则有AB=R-Rcos α=L,解得R=L,粒子在磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得B=,A错误;粒子的运动周期为T==,设EO与FO的夹角为β,则有Rsin α+Rsin β=BD,解得β=30°,粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为α+β=75°,所以粒子在磁场中运动的时间为t=T,解得t=,B正确;仅将粒子的速度改为,则粒子的轨道半径R′=,解得R′=,作出粒子的运动轨迹,如图中2所示,粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为90°,又粒子的运动周期为T′=,则有T′=,粒子在磁场中运动的时间为t′=T′=,C、D错误。
3.(2025·重庆卷,14)研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置,如图所示,水平放置的荧光屏上方有磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点,且在纸面内的同一直线上。发射管K(不计长度)位于O点正上方,仅可沿管的方向发射粒子,一端发射带正电粒子,另一端发射带负电粒子,同时发射的正、负粒子速度大小相同,方向相反,比荷均为。已知OK=3h,OM=3h,不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K水平发射的粒子在O点产生光点,求粒子的速度大小。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°,其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点,求粒子的速度大小。
(3)要使(2)问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点,可在粒子发射t时间后关闭磁场,忽略磁场变化的影响,求t。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)由题意知,粒子水平发射后做匀速圆周运动,要在O点产生光点,其运动半径
r=,
运动过程中,由洛伦兹力提供向心力有qvB=,
联立解得v==。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°,其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点,则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆,且在N点相切,如图甲。由于K从水平方向逆时针旋转60°,则θ=30°,根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为r1=2h,根据洛伦兹力提供向心力可知
qv1B=,
解得v1==。
(3)由题意,带正电粒子恰好在M点产生光点,则关闭磁场时粒子速度恰好指向M,过M点作带正电粒子轨迹的切线,切点为P,如图乙。根据前面可知ON=h,
所以NM=2h,
由于O′N=r1=2h,
且O′N⊥NM,
根据几何关系可知
∠NO′M=∠PO′M=60°,
而∠KO′N=120°,
所以α=120°,
粒子在磁场中运动的周期T=,
对应的圆心角α=120°,
所以t=T=·=。
对点2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
4.(2025·河北邢台阶段检测)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,MN的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为2B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子,所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速率可能是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设粒子在MN的右上方和MN的左下方做圆周运动的半径分别为r1和r2,由洛伦兹力提供向心力,有qv·2B=m,qvB=m,得r1=,r2=;如图所示,粒子通过b点分为两种情况:第一种情况,粒子经过MN右上方的次数比经过MN左下方的次数多一次,最简情况如图中轨迹Ⅰ所示,设经过MN右上方的次数为n,则有n·2r1cos 30°+(n-1)·2r2cos 30°=
L(其中n=1,2,…),联立得v=(n=1,2,…);第二种情况,粒子经过MN右上方的次数和经过MN左下方的次数相等,最简情况如图中轨迹Ⅱ所示,设其次数均为n,则有n·2(r1+r2)cos 30°=L(其中n=1,2,…),联立得v=(n=1,2,…)。若是第一种情况,则v=,,
……若是第二种情况,则v=,,……
5.(多选)(2025·甘肃卷,10)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c 粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
【答案】 BD
【解析】 对a粒子,运动轨迹如图甲所示,该粒子恰好到达磁场外边界后返回,然后沿磁场内边界径向做匀速直线运动,再做对称的匀速圆周运动而回到A点,根据a粒子受洛伦兹力提供向心力,有qvaB=,可得Ra=R0,设外圆半径为R′,根据几何知识,a粒子在磁场中做一次圆周运动转过的角度为270°,则R′=R0+R0,A错误;a粒子返回A点所用的最短时间tmin为第一次回到A点的时间,a粒子做匀速圆周运动的周期T==,在磁场中运动的时间t1=·T=,匀速直线运动的时间t2==,故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin=t1+t2=,B正确;b、c粒子运动轨迹分别如图乙、丙所示,因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周,由于b、c带正电且比荷均为,所以两粒子做圆周运动的周期相同,故所用的最短时间之比为1∶1,C错误;对c粒子,由几何关系有R′-R0=2Rc,得Rc=R0,由洛伦兹力提供向心力有 qvcB=,得vc=va,D正确。
6.(多选)(2025·福建阶段检测)如图所示,在一个直角△ACD(∠C=90°)区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),沿纸面从AC边的O点垂直于AC边以速度v射入该匀强磁场区域,已知CD=2OC=2l,
∠A=θ,下列关于粒子运动的说法正确的是(　　)
A.若θ=45°,v=,则粒子从CD边射出磁场,出射点与C点的距离为l
B.若θ=45°,要使粒子从CD边射出,则最大速度为v=
C.若θ=30°,要使粒子从CD边射出,则最大速度为v=
D.若θ=30°,该粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】 AC
【解析】 若θ=45°,根据洛伦兹力提供向心力,可知qvB=,解得r=l,根据几何关系可知,粒子一定从距C点为l的位置离开磁场,A正确;根据洛伦兹力提供向心力,可知v=,因此半径越大,速度越大,如图甲所示,根据几何关系可知,粒子轨迹与AD边相切时对应的速度最大,由几何关系可知,最大半径满足(rm+l)sin 45°=rm,解得rm=(1+)l,又qvB=,最大速度为v=,B错误;若θ=30°,如图乙所示,由几何关系可知,最大半径满足rm′2=(2l)2+,又qvB=,解得最大速度为v=,C正确;粒子运行周期为T=,根据几何关系可知,粒子在磁场中运动的最大圆心角为180°,最长时间为,D错误。
7.(2025·陕晋青宁卷,14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图甲所示,圆筒足够长。在O点有一电子源,向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子,某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图乙所示,当磁感应强度大小调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】 (1)　(2)2π2R2
【解析】 (1)当磁场的磁感应强度为B0时,电子刚好不会落到筒壁上,电子以速度v0垂直于轴线方向射出,电子在磁场中做匀速圆周运动,轨迹恰好与圆筒壁相切,运动半径为R0=,
根据洛伦兹力提供向心力可得ev0B0=,
联立解得=。
(2)磁感应强度调整为后,将电子的速度方向沿垂直于轴线和平行轴线方向进行分解,分别设为vx、vy,电子将在垂直于轴线方向上做匀速圆周运动,平行轴线方向上做匀速直线运动,电子击中筒壁上距离粒子源最远的点时,其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切,则运动半径仍为R0=,
根据洛伦兹力提供向心力可得evx=,
联立解得vx=,
由射出到相切,根据几何关系知,所用时间为
t=,
解得t=,
根据速度的合成与分解可知
vy==v0,
平行轴线方向运动的距离y=vyt=R,
结合对称性可知,被电子击中的面积
S=2×2πRy=2π2R2。第2讲　磁场对运动电荷(带电体)的作用
对点1.洛伦兹力
1.(2025·广东广州期末)如图,①②③④各图中匀强磁场的磁感应强度均为B,带电粒子的速率均为v,电荷量均为q。以F1、F2、F3、F4依次表示四图中带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的大小,则(　　)
A.F1=F2 B.F3=F4
C.F2=F3 D.F2=F4
2.(2025·江苏苏州期中)初速度为v0的电子,沿平行于通电长直导线的方向射出,直导线中电流方向与电子初速度方向如图所示,则(　　)
A.电子将向左偏转
B.电子将向右偏转
C.电子所受洛伦兹力变大
D.电子所受洛伦兹力大小不变
对点2.带电体在磁场中的运动
3.(多选)(2025·安徽合肥二模)如图所示,带负电的小球由静止释放,一段时间后进入垂直于纸面向里的匀强磁场中。不计空气阻力。关于小球在磁场中运动的过程,下列说法正确的是(　　)
A.小球做圆周运动
B.洛伦兹力对小球不做功
C.小球的速度保持不变
D.小球的机械能保持不变
4.(多选)(2025·吉林模拟)如图甲,水平粗糙绝缘地面上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的物块沿水平地面以速度v0从左侧垂直进入磁场,物块进入磁场后始终未离开地面,其动能与时间的Ekt关系图像如图乙所示,图像中z点为曲线切线斜率绝对值最大的位置。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.物块所受摩擦力逐渐增大
B.物块所受摩擦力逐渐减小
C.图中z点对应的速度大小为
D.图中z点对应的速度大小为
5.(2025·山东济宁期中)如图所示,质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下,整个装置处于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变,物块运动过程中始终没有与半圆槽分离,物块第一次经过半圆槽最低点时对半圆槽的压力是自身所受重力大小的2倍,重力加速度大小为g,则物块第二次经过半圆槽最低点时对半圆槽的压力为(　　)
A.4mg B.5mg C.6mg D.7mg
对点3.带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
6.(多选)(2025·广东佛山二模)如图甲,地磁场对带电的粒子有阻挡作用。图乙是赤道周围的磁场分布情况,磁场垂直于纸面向里,认为该厚度内的磁场大小均匀。三个射向地球的宇宙粒子1、2、3运动情况如图乙所示,三个粒子的动能大小相等,粒子3沿着直线射向地球,则有(　　)
A.粒子3带正电
B.粒子2带正电
C.若粒子1、2电荷量大小相等,则粒子1的质量较小
D.若粒子1、2质量相同,则粒子2的电荷量较大
7.(2025·安徽合肥模拟)利用云室可以知道带电粒子的性质,如图所示,云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带正电的粒子静止在磁场中,该粒子在A点分裂成粒子a和b,a、b在磁场中的径迹是两个内切圆,相同时间内的径迹长度之比la∶lb=1∶2,半径之比ra∶rb=1∶2,不计重力及粒子间的相互作用,则(　　)
A.粒子a和b可能均带正电荷
B.粒子a、b的质量之比ma∶mb=1∶1
C.在相等的时间内,a、b两粒子速度的变化量大小相等
D.在相等的时间内,a、b两粒子所受洛伦兹力的冲量大小相等
8.(2025·湖北黄冈二模)用如图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现,有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论:在空间存在平行于x轴的匀强磁场,由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场的电子的运动轨迹为螺旋线,其轴线平行于x轴,直径为D,螺距为Δx,则下列说法正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向
B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度,则直径D、螺距Δx均增大
C.若仅增大α角(α≤90°),则直径D增大,而螺距Δx将减小,且当α=90°时“轨迹”为闭合的整圆
D.若仅减小电子入射的初速度v0,则直径D、螺距Δx均增大
9.(2025·内蒙古高考适应性考试)如图甲,在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy,空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x轴正方向照射,垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y随时间t的变化曲线如图乙所示,则(　　)
A.磁感应强度大小为
B.投影的速度最大值为
C.2t0~3t0时间内,投影做匀速直线运动
D.3t0~4t0时间内,投影的位移大小为y0
10.(2025·江苏泰州二模)如图所示,竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环,直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处,另一端连接一个可视为质点的带正电的小环,小环刚好套在大环上,整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中,将小环从A点由静止释放,已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则(　　)
A.小环不可能滑到C点
B.刚释放时,小环的加速度为g
C.弹簧原长时,小环的速度最大
D.小环滑到D点时的速度与其质量无关
11.(2025·北京卷,18)北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分,它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动,且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为q0的粒子的速度方向与磁场方向垂直,推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q,粒子1的速度方向与磁场方向垂直,粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内,粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为θ,粒子2运动的距离为d。求:
①粒子1与粒子2的速度大小之比v1∶v2;
②粒子2的动量大小p2。第十一章　磁　场
第1讲　磁场　磁场对电流的作用
对点1.安培定则和磁场的叠加
1.(2025·湖北卷,4)如图所示,在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,放置一通电圆线圈,圆心为O点,线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有M和N两点,它们到O点的距离相等。已知M点的总磁感应强度大小为零,则N点的总磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B C.2B D.3B
2.(2024·贵州卷,5)如图,两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内,导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流I1、I2,且I1>I2,则当导线框中通有顺时针方向的电流时,导线框所受安培力的合力方向(　　)
A.竖直向上 B.竖直向下
C.水平向左 D.水平向右
对点2.安培力的分析与计算
3.(2025·河北沧州二模)图甲,把一不计重力的通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方;图乙是电磁轨道炮的工作原理图,平行导轨水平放置于沿竖直方向的匀强磁场中,可导电金属架和炮弹垂直放在导轨上;图丙,当电流方向相同时,两条通电导线之间也有作用力;图丁是通电直导线置于匀强磁场中,通电导线电流方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里。下列说法正确的是(　　)
A.图甲中,通电直导线受到安培力,且左端向里、右端向外
B.图乙中,闭合开关,金属架和炮弹一起水平向右运动,磁场方向应竖直向上
C.图丙中,当电流方向相同时,导线相互排斥,相互作用是通过磁场发生的
D.图丁中,通电直导线受到安培力且方向向上
4.(2025·江苏模拟)如图甲所示,一段对应圆心角为60°的圆弧形导线,通以电流I。若导线所在平面与纸面平行,匀强磁场方向垂直于纸面向里,导线所受安培力的大小为F1;如图乙所示,若磁感应强度大小不变,方向改为平行于纸面沿半径ON向右,导线所受安培力的大小为F2,则为(　　)
A.2∶ B.∶1
C.∶2 D.1∶1
5.(多选)(2025·内蒙古期中)如图所示,粗细均匀的正五边形abcde处于方向垂直于五边形abcde(纸面)向里的匀强磁场中,a、e两端与电源连接,已知ae边由合金材料甲制成,ab、bc、cd、de边由另一种金属材料乙制成,甲和乙的电阻率之比为3∶2。闭合开关S,下列说法正确的是(　　)
A.ae支路和上面的支路受到的安培力方向相同
B.ae支路和上面的支路受到的安培力方向不在一条直线上
C.ae支路和上面的支路受到的安培力大小之比为4∶3
D.ae支路和上面的支路受到的安培力大小之比为8∶3
对点3.安培力作用下的平衡和加速问题
6.(2025·甘肃期末)通电直导线ab的质量为m、长为l,用两根细线把导线水平吊起,导线中的电流为I,方向如图所示。在竖直方向加一个方向向上的匀强磁场,导线处于平衡时细线与竖直方向成θ=37°角,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g,则(　　)
A.磁感应强度大小为
B.导线所受拉力大小为mg
C.若增大磁感应强度,则导线静止时细线与竖直方向的夹角将变大
D.若改变磁感应强度,导线静止时细线与竖直方向的夹角仍为θ,则磁感应强度的最小值为
7.(2025·山东聊城二模)如图所示,空间中存在一匀强磁场(图中未画出,大小、方向未知),两条平行金属导轨间距l=1 m,与水平面成倾角θ=37°固定,在两导轨上同一高度处各有一绝缘竖直短杆。将质量m=0.5 kg 的金属棒AB置于短杆处,金属棒与金属导轨间的动摩擦因数μ=0.5。现将两导轨与恒流电源相连接,金属棒中电流大小为I=3 A,重力加速度g取10 m/s2,取
sin 37°=0.6。要使金属棒沿导轨向上以a=2 m/s2 的加速度做匀加速直线运动,则磁感应强度的最小值为(　　)
A. T B. T
C.1 T D.2 T
8.(2024·重庆卷,13)小明设计了如图所示的方案,探究金属杆在磁场中的运动情况,质量分别为2m、m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连,形成闭合回路,两根导线的间距和P、Q的长度均为L,仅在Q的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动,P、Q始终保持水平,不计空气阻力、摩擦和导线质量,忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g,当P匀速下降时,求:
(1)P所受单根导线拉力的大小;
(2)Q中电流的大小。
9.(多选)(2025·河南卷,9)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是(　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic10.(2025·陕西榆林二模)如图所示,间距l=0.50 m 的两平行金属导轨固定在与水平面夹角θ=30° 的绝缘斜面上,金属导轨的顶端接有电动势E=9.0 V、内阻r=1.0 Ω的直流电源,导轨所在空间中存在方向垂直于斜面向上、大小可以调节的匀强磁场。现把一个质量m=0.10 kg的导体棒ab放在金属导轨上,导体棒与金属导轨垂直且接触良好,导体棒恰好能在此位置保持静止状态。已知导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=3.5 Ω,金属导轨电阻可以忽略,重力加速度g取10 m/s2,可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求通过导体棒的电流I的大小和导体棒的电功率P;
(2)若导轨光滑,求匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(3)若导体棒与导轨的动摩擦因数μ=,为使导体棒静止不动,磁感应强度B的大小需要满足什么条件 第1讲　磁场　磁场对电流的作用
课时作业
对点1.安培定则和磁场的叠加
1.(2025·湖北卷,4)如图所示,在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,放置一通电圆线圈,圆心为O点,线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有M和N两点,它们到O点的距离相等。已知M点的总磁感应强度大小为零,则N点的总磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B C.2B D.3B
【答案】 A
【解析】 已知M点的总磁感应强度大小为零,根据右手螺旋定则和矢量叠加可知,线圈在M点产生的磁场与匀强磁场等大反向,根据对称性和矢量叠加可知,N点和M点总磁感应强度相同,均为零,A正确。
2.(2024·贵州卷,5)如图,两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内,导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流I1、I2,且I1>I2,则当导线框中通有顺时针方向的电流时,导线框所受安培力的合力方向(　　)
A.竖直向上 B.竖直向下
C.水平向左 D.水平向右
【答案】 C
【解析】 由题意知,I1>I2,且导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等,由电流的磁效应可知,线框左半部分竖直边所在位置的磁场强于右半部分竖直边所在位置的磁场,又同向电流相互吸引,所以整个线框竖直边所受安培力的合力水平向左,而导线框中上、下两边对应位置的磁场强弱相同,电流方向相反,故上下两边所受安培力合力为零,故整个线框所受安培力水平向左,C正确,A、B、D错误。
对点2.安培力的分析与计算
3.(2025·河北沧州二模)图甲,把一不计重力的通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方;图乙是电磁轨道炮的工作原理图,平行导轨水平放置于沿竖直方向的匀强磁场中,可导电金属架和炮弹垂直放在导轨上;图丙,当电流方向相同时,两条通电导线之间也有作用力;图丁是通电直导线置于匀强磁场中,通电导线电流方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里。下列说法正确的是(　　)
A.图甲中,通电直导线受到安培力,且左端向里、右端向外
B.图乙中,闭合开关,金属架和炮弹一起水平向右运动,磁场方向应竖直向上
C.图丙中,当电流方向相同时,导线相互排斥,相互作用是通过磁场发生的
D.图丁中,通电直导线受到安培力且方向向上
【答案】 B
【解析】 题图甲中,根据左手定则,通电直导线受到安培力,且左端向外、右端向里,A错误;题图乙中,闭合开关瞬间,金属架和炮弹一起水平向右运动,需受向右的安培力,根据左手定则可知,磁场方向应竖直向上,B正确;题图丙中,当电流方向相同时,导线相互靠近,说明通电导线相互吸引,C错误;题图丁中,通电直导线受到安培力且方向向下,D错误。
4.(2025·江苏模拟)如图甲所示,一段对应圆心角为60°的圆弧形导线,通以电流I。若导线所在平面与纸面平行,匀强磁场方向垂直于纸面向里,导线所受安培力的大小为F1;如图乙所示,若磁感应强度大小不变,方向改为平行于纸面沿半径ON向右,导线所受安培力的大小为F2,则为(　　)
A.2∶ B.∶1
C.∶2 D.1∶1
【答案】 A
【解析】 当磁场方向垂直于纸面向里时,设弧半径为R,通电导线的有效长度如图甲中MN所示,根据安培力的定义,结合几何关系,可得导线所受安培力大小为F1=BIR;当磁场方向水平向右时,通电导线的有效长度如图乙中MQ所示,根据安培力的定义,结合几何关系,可得导线所受安培力大小为F2=BIRsin 60°=BIR;所以==,故B、C、D错误,A正确。
5.(多选)(2025·内蒙古期中)如图所示,粗细均匀的正五边形abcde处于方向垂直于五边形abcde(纸面)向里的匀强磁场中,a、e两端与电源连接,已知ae边由合金材料甲制成,ab、bc、cd、de边由另一种金属材料乙制成,甲和乙的电阻率之比为3∶2。闭合开关S,下列说法正确的是(　　)
A.ae支路和上面的支路受到的安培力方向相同
B.ae支路和上面的支路受到的安培力方向不在一条直线上
C.ae支路和上面的支路受到的安培力大小之比为4∶3
D.ae支路和上面的支路受到的安培力大小之比为8∶3
【答案】 AD
【解析】 根据左手定则可知,ae支路受安培力方向向上;上面的支路等效于ae支路的长度和电流方向,可知上面支路受到的安培力方向也向上,选项A正确,B错误;ae支路和上面支路的电阻之比==,两支路电压相等,可知电流之比为8∶3,根据F=IlB,两支路等效长度相等,可知受到的安培力大小之比为8∶3,选项C错误,D正确。
对点3.安培力作用下的平衡和加速问题
6.(2025·甘肃期末)通电直导线ab的质量为m、长为l,用两根细线把导线水平吊起,导线中的电流为I,方向如图所示。在竖直方向加一个方向向上的匀强磁场,导线处于平衡时细线与竖直方向成θ=37°角,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g,则(　　)
A.磁感应强度大小为
B.导线所受拉力大小为mg
C.若增大磁感应强度,则导线静止时细线与竖直方向的夹角将变大
D.若改变磁感应强度,导线静止时细线与竖直方向的夹角仍为θ,则磁感应强度的最小值为
【答案】 C
【解析】 对导线受力分析,如图所示,根据平衡条件可得FA=mgtan θ=IlB,FT=,解得B=,FT=mg,A、B错误;由上述分析可知tan θ=,若增大磁感应强度,安培力增大,则细线与竖直方向的夹角将增大,C正确;当安培力与拉力方向垂直时,安培力最小,磁感应强度最小,则IlBmin=mgsin θ,所以Bmin=,D错误。
7.(2025·山东聊城二模)如图所示,空间中存在一匀强磁场(图中未画出,大小、方向未知),两条平行金属导轨间距l=1 m,与水平面成倾角θ=37°固定,在两导轨上同一高度处各有一绝缘竖直短杆。将质量m=0.5 kg的金属棒AB置于短杆处,金属棒与金属导轨间的动摩擦因数μ=0.5。现将两导轨与恒流电源相连接,金属棒中电流大小为I=3 A,重力加速度g取
10 m/s2,取sin 37°=0.6。要使金属棒沿导轨向上以a=2 m/s2的加速度做匀加速直线运动,则磁感应强度的最小值为(　　)
A. T B. T C.1 T D.2 T
【答案】 A
【解析】 对金属棒受力分析,如图所示,根据牛顿第二定律可得Fcos α-mgsin θ-Ff=ma,
FN+Fsin α=mgcos θ,Ff=μFN,联立可得F= N,
由此可知Fmin=IlBmin= N= N,所以Bmin= T,A正确。
8.(2024·重庆卷,13)小明设计了如图所示的方案,探究金属杆在磁场中的运动情况,质量分别为2m、m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连,形成闭合回路,两根导线的间距和P、Q的长度均为L,仅在Q的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动,P、Q始终保持水平,不计空气阻力、摩擦和导线质量,忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g,当P匀速下降时,求:
(1)P所受单根导线拉力的大小;
(2)Q中电流的大小。
【答案】 (1)mg　(2)
【解析】 (1)由题意可知,P处于动态平衡,所受合力为0,设单根导线的拉力大小为FT,对P有2FT=2mg,
解得FT=mg。
(2)设Q所受安培力大小为F,对P、Q整体受力分析有mg+F=2mg,
又F=ILB,解得I=。
9.(多选)(2025·河南卷,9)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是(　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic【答案】 BC
【解析】 若Ic沿顺时针方向,Id=0,由左手定则可知线圈c受到的安培力向右,则表明a的方向向左,A错误;若Id沿顺时针方向,Ic=0,由左手定则可知线圈d受到的安培力向上,则表明a的方向向下,B正确;若a的方向沿左偏上30°,则a左>a上,故线圈c受到的安培力向右,Ic沿顺时针方向,线圈d受到的安培力向下,Id沿逆时针方向,由牛顿第二定律可知F右>F下,则Ic>Id,C正确;若a的方向沿右偏上30°,则a右>a上,故线圈c受到的安培力向左,Ic沿逆时针方向,线圈d受到的安培力向下,Id沿逆时针方向,由牛顿第二定律可知F左>F下,则Ic>Id,D错误。
10.(2025·陕西榆林二模)如图所示,间距l=0.50 m 的两平行金属导轨固定在与水平面夹角θ=30° 的绝缘斜面上,金属导轨的顶端接有电动势E=9.0 V、内阻r=1.0 Ω的直流电源,导轨所在空间中存在方向垂直于斜面向上、大小可以调节的匀强磁场。现把一个质量m=0.10 kg的导体棒ab放在金属导轨上,导体棒与金属导轨垂直且接触良好,导体棒恰好能在此位置保持静止状态。已知导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=3.5 Ω,金属导轨电阻可以忽略,重力加速度g取10 m/s2,可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求通过导体棒的电流I的大小和导体棒的电功率P;
(2)若导轨光滑,求匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(3)若导体棒与导轨的动摩擦因数μ=,为使导体棒静止不动,磁感应强度B的大小需要满足什么条件
【答案】 (1)2 A　14 W　(2)0.50 T
(3)0.30 T≤B≤0.70 T
【解析】 (1)根据闭合电路的欧姆定律有
E=I(r+R),
解得导体棒的电流I=2 A,
导体棒的电功率
P=I2R=14 W。
(2)导体棒处于静止状态,根据平衡条件,沿斜面方向,有mgsin θ=F安,
安培力的大小
F安=IlB,
解得磁场的磁感应强度
B=0.50 T。
(3)根据平衡条件,垂直于斜面方向,有
FN=mgcos θ,
导体棒受到的最大静摩擦力
Ffmax=μFN=μmgcos θ。
当摩擦力最大并沿斜面向上时,导体棒所受的安培力最小,沿斜面方向有
mgsin θ=Ffmax+F安min,
最小安培力的大小
F安min=IlBmin,
联立并代入数据,解得磁感应强度的最小值
Bmin=0.30 T;
当摩擦力最大并沿斜面向下时,导体棒所受的安培力最大,沿斜面方向有
mgsin θ+Ffmax=F安max,
最大安培力的大小
F安max=IlBmax,
联立并代入数据,解得磁感应强度的最大值
Bmax=0.70 T,
综上,磁感应强度应满足的条件是
0.30 T≤B≤0.70 T。第4讲　小专题:“动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
对点1.“平移圆”模型
1.如图所示,在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场区域,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为,方向垂直于xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·江西南昌模拟)如图,直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),AC边长为l,∠B为,一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直于AC边射入,射入的粒子恰好不从AB边射出,已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0,在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0,则下列说法不正确的是(　　)
A.磁感应强度大小为
B.粒子运动的轨迹半径为l
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子在磁场中扫过的面积为l2
对点2.“旋转圆”模型
3.(2025·广东佛山二模)如图所示,边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场,ad边中点处O有一粒子源,向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子,ab边恰好没有电子射出,已知电子质量为m,电荷量为e,则(　　)
A.bc边有电子射出
B.磁感应强度大小为
C.从ad边射出的电子在磁场中运动的最长时间为
D.从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数之比为5∶1
4.(多选)(2025·福建莆田二模)如图,在xOy平面内y≥0 区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在x=-a处放置一平行于y轴的足够长的挡板。O点处的粒子源在xOy平面第一象限0~90°范围内发射大量质量为m、电荷量为q(q>0)、速度大小相等的粒子,所有粒子恰好都能打在挡板上,并立即被挡板吸收。不计粒子所受重力和粒子间相互作用,下列说法正确的是(　　)
A.粒子的速度大小为v=
B.粒子在磁场中运动的最短时间为
C.沿不同方向射出的粒子在磁场中运动的时间可能相同
D.一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上y=1.5a处
对点3.“放缩圆”模型
5.(多选)(2025·陕西安康模拟)如图所示,边长为L的正方形abcd内(包括边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度为B,有三个相同的带电粒子分别从a点沿ac方向以不同速度大小射入匀强磁场,甲粒子的速度大小为v,从ab边中点离开磁场,乙粒子从b点离开磁场,丙粒子从bc边上某点垂直于bc边离开磁场。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用,则下列判断正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.粒子的比荷为
C.三个粒子在磁场内运动时间之比t甲∶t乙∶t丙=1∶2∶4
D.三个粒子在磁场内运动速率之比v甲∶v乙∶v丙=1∶2∶4
6.(2025·重庆月考)如图所示,某种质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从cd边的中点O沿纸面以与Od成30°角的方向射入边长为a的正方形bcde边界内的匀强磁场区域,已知匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里,不计粒子所受的重力以及粒子间的相互作用。
(1)若粒子速度为v=,求粒子在磁场中运动的时间t;
(2)若要粒子全部从be边射出,求粒子速度v的范围。
7.如图所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计粒子所受重力及带电粒子之间的相互作用,则v1∶v2为(　　)
A.∶1 B.∶
C.1∶ D.∶
8.(2025·河南阶段检测)如图所示,真空区域内有一足够大的荧光屏PQ,其左侧有一无限大的匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。S为一粒子源,可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为k,S与荧光屏的距离为,不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用。求:
(1)粒子与S的最远距离;
(2)粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间;
(3)荧光屏的发光长度。第6讲　小专题:带电粒子在组合场和交变电磁场中的运动
对点1.带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)(2025·安徽合肥模拟)如图所示,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从边界上O点射入磁场,入射方向与边界成45°角。当粒子第一次运动到电场中的P点时速度大小为v0、方向与边界平行,且P点与O点水平方向相距3L,P点与边界相距L。不计粒子所受的重力,下列说法正确的是(　　)
A.粒子从O点射入磁场时的速度大小为v0
B.粒子第一次射入电场时的速度大小为2v0
C.匀强电场的电场强度大小为
D.匀强磁场的磁感应强度大小为
2.(多选)如图,足够长的荧光屏OA的上方区域存在匀强磁场,边界MN左侧区域的磁场方向垂直于纸面向里,右侧区域的磁场方向垂直于纸面向外,两区域的磁感应强度大小均为B。光屏上方有一粒子源紧挨着O点,可沿OA方向不断射出质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子。粒子打在荧光屏上时,荧光屏相应位置会发光。已知粒子的速率可取从零到某最大值之间的各种数值,速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上,O、M之间的距离为a,不计粒子重力及粒子间的相互作用,则(　　)
A.粒子的最大速率为
B.荧光屏上的发光长度为(2-)a
C.打中荧光屏的粒子运动时间的最小值为
D.打中荧光屏的粒子运动时间的最大值为
3.(多选)(2025·山东卷,12)如图甲所示的Oxy平面内,y轴右侧被直线x=3L分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场,区域Ⅱ内充满垂直于Oxy平面的匀强磁场,电场和磁场的大小、方向均未知。t=0时刻,质量为m、电荷量为+q的粒子从O点沿x轴正向出发,在Oxy平面内运动,在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分,如图甲所示。t0时刻粒子第一次到达两区域分界面,在区域Ⅱ中运动的yt图像为正弦曲线的一部分,如图乙所示。不计粒子所受重力。下列说法正确的是(　　)
A.区域Ⅰ内电场强度大小E=,方向沿y轴正方向
B.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的半径R=
C.区域Ⅱ内磁感应强度大小B=,方向垂直于Oxy平面向外
D.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的圆心坐标为(,0)
4.(2025·河南卷,15)如图,水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射,当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°,然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点,通过b点时其速度方向水平向右。a、b与水平虚线的距离均为h,两点之间的距离为s=3h。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小;
(2)求电场强度的大小;
(3)若粒子从a点以v0竖直向下发射,长时间来看,粒子将向左或向右漂移,求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
对点2.带电粒子在交变电磁场中的运动
5.(2025·重庆渝中期末)如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q,离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。若要使离子从O′垂直于N板射出磁场,则离子射入磁场时的速度v0可能为(　　)
A. B.
C. D.
6.在xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场,变化规律如图所示,磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里,电场强度的正方向为y轴正方向。t=0时刻,一电荷量为+q、质量为m的粒子(不计重力)从坐标原点O以初速度v0沿x轴正方向入射。Bt 图像中B0=,Et图像中E0=。求:
(1)粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小;
(2)3t0时刻粒子的坐标;
(3)0~5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
7.(多选)圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场(未画出),磁场边缘上的A点有一带正电粒子源,OA竖直,MN与OA平行,且与圆形边界相切于B点,在MN的右侧有范围足够大、水平向左的匀强电场,电场强度为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向进入磁场时,粒子刚好从B点离开磁场。不计粒子所受重力和粒子间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
A.圆形区域内磁场方向垂直于纸面向外
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中运动的总时间为
D.粒子在电场中运动的总时间为
8.(2025·山东日照模拟)如图甲所示,足够大的两平行板P、Q水平固定,间距为d,板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直于纸面向里为正方向,磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示,电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻,一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子(不计重力),以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时,可使粒子经一段时间垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、E0、v0、d为已知量。
(1)若只加磁场且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在两板间运动的时间以及水平位移;
(2)若同时加电场和磁场,且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在两板间运动的位移大小。第8讲　小专题:“配速法”的应用　带电粒子在空间电磁场中的运动
课时作业
对点1.“配速法”的应用
1.(2025·河北石家庄阶段检测)如图所示,已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动,同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的,该轨迹称为滚轮线(也称为摆线)。如图乙所示,空间存在水平方向(垂直于纸面向里)的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场,小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g,则小球运动过程中的最大速度为(　　)
A. 　　　　B.+
C.+v0 　　　　D.+
【答案】 B
【解析】 根据配速法,把初速度v0分解为向右的速度v1和斜向左上方的速度v2,且有qv1B=mg,v2=,则小球运动过程中的最大速度为vm=v1+v2=+。
2.(2025·江西南昌二模)在竖直平面内有xOy坐标系,空间存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场,磁感应强度为B,电场强度为E,一电荷量为q的带正电粒子(重力忽略不计)从坐标原点以速度v0=沿x轴正方向开始运动,其轨迹可能为下列图像中的(　　)
A　　 　　B
C　　 　　D
【答案】 A
【解析】 开始时,粒子所受的合力大小F合=qE-qv0B=,方向竖直向下,则最初粒子的运动轨迹向下弯曲,取qE=qv1B,解得v1=>v0,则粒子实际的运动可看作以v1=向右的匀速直线运动和从O点出发的以v2=v1-v0=的逆时针方向的匀速圆周运动的合运动,由运动的合成和周期性知,粒子运动轨迹为周期性的摆线形状,故A正确,B、C、D错误。
3.(2025·福建福州三模)在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy,第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场,第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小均相等;y>0的区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,y<0的区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电荷量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动,速度大小为v0,方向与x轴负方向夹角为45°,重力加速度为g。求:
(1)电场强度的大小和磁感应强度的大小;
(2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标;
(3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。
【答案】 (1)　　(2)　(0,-)　(3)2v0
【解析】 (1)根据受力平衡条件,微粒带正电,有
mg=qE,q·v0B=,
解得E=,B=。
(2)微粒进入第三象限后,由受力分析,重力和电场力平衡,故微粒受洛伦兹力做匀速圆周运动,设微粒运动半径为R,由几何关系可得圆心角θ=90°=,
微粒在第三象限内运动的时间t=T,
根据洛伦兹力提供向心力有
q·v0B=m,
周期为T==,
联立解得t=,
微粒离开第三象限时在竖直方向移动的距离为
d=R=,
微粒离开第三象限时的位置坐标为(0,-)。
(3)微粒进入第四象限后速度方向与y轴负方向夹角为45°,根据运动的合成与分解,可以把速度分解到x、y方向,分速度分别为
vx=v0sin 45°=v0,vy=v0sin 45°=v0,
根据受力分析qvxB=mg,微粒运动可分解为水平方向速度大小为vx的匀速直线运动和速度大小为vy的匀速圆周运动。
当vx与vy同向时合速度最大,最大速度为
v=vx+vy=2v0。
对点2.带电粒子在空间电磁场中的运动
4.(多选)(2025·广东深圳二模)如图所示,在三维坐标系Oxyz中,z<0的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场Ⅰ,磁感应强度大小为B0,在z>0的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场Ⅱ,磁感应强度大小为B0。一带正电的粒子从M(a,0,-a)点以速度v0沿y轴正方向射出,恰好做直线运动。现撤去电场,继续发射该带电粒子,带电粒子恰好垂直xOy平面进入z>0空间。不计粒子所受重力,下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为B0v0
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子第二次经过xOy平面的位置坐标为(a,0,-a)
D.粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为3a
【答案】 AD
【解析】 撤去电场前,粒子恰好做直线运动,则有qv0B0=qE,解得E=v0B0,故A正确;撤去电场,继续发射该带电粒子,带电粒子恰好垂直于xOy平面进入z>0空间,可知,粒子做半径为a的匀速圆周运动,则有qv0B0=m,解得带电粒子的比荷为=,故B错误;结合上述分析可知,带电粒子第一次经过xOy平面的位置坐标为(a,a,0),进入z>0空间后,磁场变为B0,则粒子做圆周运动的半径为2a,且向x轴负方向偏转,则第二次经过xOy平面的位置坐标为(-3a,a,0),故C错误;结合上述分析可知,粒子再次进入z<0的空间做圆周运动,沿y轴正方向移动2a后第三次经过xOy平面,此位置坐标为(-3a,3a,0),则粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为d==3a,故D正确。
5.(2025·山东青岛期中)如图所示,Oxyz坐标系内有一棱长为2L的立方体空间OADC-
O1A1D1C1,立方体空间内及边界附近存在沿y轴正方向的匀强电场和匀强磁场(图中未画出),M、P、K和N分别是AD、AA1、A1D1和O1C1的中点。从M点向K点射出的速率为v、质量为m、电荷量为q的带电微粒恰能通过P点。不计空气阻力,已知重力加速度为g。
(1)求该区域的匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B;
(2)若该微粒在M点沿MN方向以速度v射入该区域,求微粒离开立方体空间时的位置坐标;
(3)仅将电场反向,大小不变,若该微粒从M点沿MD方向以速度v= 射入该区域,求微粒离开立方体空间时的位置坐标。
【答案】 (1)　　(2)(L,2L-,0)
(3)(,0,L+L)
【解析】 (1)由题意知微粒做圆周运动,有mg=qE,
所以E=,
根据qvB=m,
所以B=。
(2)将速度分解为沿x轴正方向和y轴负方向,均为v;水平方向做匀速圆周运动,其半径仍为L,运动周期,则运动时间为t=,
y轴负方向做匀速运动,sy=vt=,
因此微粒射出坐标为(L,2L-,0)。
(3)将电场反向,y轴方向上有qE+mg=ma,
解得a=2g,
根据2L=at2,
可得t=,
圆周运动周期
T==,
微粒运动周期,
如图为俯视图,S点即为射出底面的点,其坐标为(,0,L+L)。
6.(多选)在地面上方空间存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场,与竖直方向的匀强电场(图中未画出),一电荷量为+q、质量为m的带电粒子(重力不计),以水平初速度v0水平向右射出,运动轨迹如图。已知电场强度大小为E=,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.电场方向竖直向上
B.带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
C.带电粒子水平射出时的加速度大小为
D.带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为
【答案】 BD
【解析】 由运动轨迹可知,带电粒子只有受竖直向下的电场力,最低点线速度最大,向心力最小,偏转半径最大,才符合题意,则电场方向竖直向下,故A错误;将带电粒子的速度分解为一个水平向左、大小v1=的分速度和一个水平向右、大小v2=v0的分速度,由于F1=qv0B=qE(与电场力平衡),则带电粒子的运动可以看成是以速率v1向左的匀速直线运动和以速率v2的匀速圆周运动的合运动,故带电粒子在运动轨迹的最低点时的速度大小v=v1+v2=2v0,故B正确;由牛顿第二定律可得,带电粒子水平射出时的加速度大小为a===,故C错误;由于洛伦兹力不做功,带电粒子从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程有m+qEh=mv2,又有v=2v0,解得h=,故D正确。
7.(2025·湖南常德三模)三维直角坐标系的Oxy平面与水平面平行,空间存在与z轴平行的周期性变化的匀强磁场和匀强电场(图中没有画出),磁场和电场随时间变化规律分别如图甲和乙所示,规定沿z轴正方向为匀强磁场和匀强电场的正方向,不考虑磁场和电场变化而产生的感生电磁场的影响。在t=0时刻,一个质量为m、带电荷量为+q的小球,以速度v0从坐标原点O点沿y轴正方向开始运动,小球恰好沿圆周运动,已知重力加速度为g,图中t0已知,B0=,而E0未知。求:
(1)E0的大小,画出0～2t0时间内小球的运动轨迹;
(2)3t0时刻小球的位置坐标;
(3)20t0时刻小球在z轴的位置坐标。
【答案】 (1)　见解析图1
(2)(,-v0t0,-g)　(3)-90g
【解析】 (1)0～t0时间内,小球在xOy平面内做匀速圆周运动,有qE0=mg,得E0=,
小球做圆周运动的周期T==2t0,
得t0=,
t0～2t0时间内,小球做匀速直线运动,L=v0t0,
轨迹如图1所示。
(2)0～t0时间内小球做圆周运动,运动半径为r,
r==,t0～2t0时间内,小球做匀速直线运动,L=v0t0,2t0～3t0时间内,小球在水平面内做匀速圆周运动,正好运动半周,竖直方向上做自由落体运动,下落距离d=g,
运动轨迹如图2所示,
可知3t0时,对小球位置坐标(x,y,z)有
x=4r=,
y=-L=-v0t0,
z=-d=-g,
即(,-v0t0,-g)。
(3)小球在水平面内运动具有周期性,4t0时小球恰好沿x轴正向平移了4r,
20t0时x20=20r,y20=0,小球在竖直方向上,
第一个2t0内不运动,竖直位移d1=0,
第二个2t0做加速运动,竖直位移
d2=g=2g,
第三个2t0再匀速运动
d3=(g×2t0)×2t0=4g,
由图3所示vz-t图像意义可知公差为Δd=2g,
20t0时刻小球在z轴上的坐标为
z20=-(d1+d2+…+d10)
=-(0+2+4+…+18)g
=-90g。第8讲　小专题:“配速法”的应用　带电粒子在空间电磁场中的运动
对点1.“配速法”的应用
1.(2025·河北石家庄阶段检测)如图所示,已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动,同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的,该轨迹称为滚轮线(也称为摆线)。如图乙所示,空间存在水平方向(垂直于纸面向里)的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场,小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g,则小球运动过程中的最大速度为(　　)
A.
B.+
C.+v0
D.+
2.(2025·江西南昌二模)在竖直平面内有xOy坐标系,空间存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场,磁感应强度为B,电场强度为E,一电荷量为q的带正电粒子(重力忽略不计)从坐标原点以速度v0=沿x轴正方向开始运动,其轨迹可能为下列图像中的(　　)
A　　 　　B
C　　　 　D
3.(2025·福建福州三模)在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy,第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场,第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小均相等;y>0的区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,y<0的区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电荷量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动,速度大小为v0,方向与x轴负方向夹角为45°,重力加速度为g。求:
(1)电场强度的大小和磁感应强度的大小;
(2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标;
(3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。
对点2.带电粒子在空间电磁场中的运动
4.(多选)(2025·广东深圳二模)如图所示,在三维坐标系Oxyz中,z<0的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场Ⅰ,磁感应强度大小为B0,在z>0的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场Ⅱ,磁感应强度大小为B0。一带正电的粒子从M(a,0,-a)点以速度v0沿y轴正方向射出,恰好做直线运动。现撤去电场,继续发射该带电粒子,带电粒子恰好垂直xOy平面进入z>0空间。不计粒子所受重力,下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为B0v0
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子第二次经过xOy平面的位置坐标为(a,0,-a)
D.粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为3a
5.(2025·山东青岛期中)如图所示,Oxyz坐标系内有一棱长为2L的立方体空间OADCO1A1D1C1,立方体空间内及边界附近存在沿y轴正方向的匀强电场和匀强磁场(图中未画出),M、P、K和N分别是AD、AA1、A1D1和O1C1的中点。从M点向K点射出的速率为v、质量为m、电荷量为q的带电微粒恰能通过P点。不计空气阻力,已知重力加速度为g。
(1)求该区域的匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B;
(2)若该微粒在M点沿MN方向以速度v射入该区域,求微粒离开立方体空间时的位置坐标;
(3)仅将电场反向,大小不变,若该微粒从M点沿MD方向以速度v= 射入该区域,求微粒离开立方体空间时的位置坐标。
6.(多选)在地面上方空间存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场,与竖直方向的匀强电场(图中未画出),一电荷量为+q、质量为m的带电粒子(重力不计),以水平初速度v0水平向右射出,运动轨迹如图。已知电场强度大小为E=,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.电场方向竖直向上
B.带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
C.带电粒子水平射出时的加速度大小为
D.带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为
7.(2025·湖南常德三模)三维直角坐标系的Oxy平面与水平面平行,空间存在与z轴平行的周期性变化的匀强磁场和匀强电场(图中没有画出),磁场和电场随时间变化规律分别如图甲和乙所示,规定沿z轴正方向为匀强磁场和匀强电场的正方向,不考虑磁场和电场变化而产生的感生电磁场的影响。在t=0时刻,一个质量为m、带电荷量为+q的小球,以速度v0从坐标原点O点沿y轴正方向开始运动,小球恰好沿圆周运动,已知重力加速度为g,图中t0已知,B0=,而E0未知。求:
(1)E0的大小,画出0~2t0时间内小球的运动轨迹;
(2)3t0时刻小球的位置坐标;
(3)20t0时刻小球在z轴的位置坐标。第7讲　小专题:带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选)(2025·山东模拟)如图所示,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以某一速度射入电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场叠加的区域。粒子还受到阻力F阻=-kv 作用(k为已知常数,v为粒子的瞬时速度)。已知粒子在该区域恰好做直线运动。不计粒子所受重力,则该粒子(　　)
A.一定做匀速直线运动
B.入射速度的大小一定为
C.入射速度的方向可以与纸面不平行
D.入射速度的方向与电场方向的夹角α一定满足tan α=
2.(多选)(2024·安徽卷,10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电荷量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则(　　)
A.油滴a带负电,所带电荷量为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
3.(2025·重庆九龙坡二模)如图所示,空间存在范围足够大、相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场强度方向水平向右,磁感应强度方向垂直于纸面向里。建立竖直平面内的直角坐标系xOy,x轴与电场方向平行。一电荷量为+q、质量为m的微粒从坐标原点出发,以与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中,恰好做直线运动,当微粒运动到坐标值为(a,a)的P点时,电场方向突然变为竖直向上(强弱不变),微粒继续运动一段时间后,正好垂直击中y轴上的某点。仅考虑微粒在第一象限内的运动情况,重力加速度为g。求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)微粒在复合场中的运动时间。
4.为粗略了解等离子体在托卡马克核聚变实验装置环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子所受重力,则(　　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小不变
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子做匀变速直线运动
5.(多选)(2023·江苏卷,16改编)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子入射速度在0A.电场强度E=Bv0
B.若电子入射速度为,运动到速度为时位置的纵坐标为y1=
C.若电子入射速度为,最大运动速度为1.75v0
D.能到达y2=位置的电子的百分比为80%
6.(2025·贵州卷)如图所示,x轴水平向右,z轴竖直向上,y轴垂直于纸面向里(图中未画出),在xOz平面有竖直向上的匀强电场E,在z=z0的平面下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场B1,z=z0的平面上方有垂直于纸面向里的匀强磁场B2(未知)。有一带正电的粒子,质量为m,从坐标原点O出发,沿x轴正方向以速度v射出后做圆周运动,其中z0=,B1=,P点坐标(,0,0)。已知重力加速度为g,粒子电荷量为q。
(1)求电场强度E的大小及该粒子第一次经过z=z0平面时的位置对应的x坐标值;
(2)当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点的时间最短时,求B2的大小;
(3)若将电场E改成沿y轴正方向,粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度v射出,求粒子的轨迹方程。第4讲　小专题:“动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
课时作业
对点1.“平移圆”模型
1.如图所示,在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场区域,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为,方向垂直于xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B=m,解得r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=,要使圆心角α最大,则最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D′点射入,从x轴上的E′点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm=,解得αm=,最长时间为tm=·,解得tm=,故C正确。
2.(2025·江西南昌模拟)如图,直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),AC边长为l,∠B为,一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直于AC边射入,射入的粒子恰好不从AB边射出,已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0,在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0,则下列说法不正确的是(　　)
A.磁感应强度大小为
B.粒子运动的轨迹半径为l
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子在磁场中扫过的面积为l2
【答案】 B
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直于BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是,由T=,可得=×=t0,解得磁感应强度大小B=,故A说法正确;设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ,则有T=2t0,又由=t0,可得θ=,画出该粒子的运动轨迹如图所示。
设轨迹半径为R,由几何知识得+Rcos 30°=l,可得粒子运动的轨迹半径R=l,B说法错误;粒子射入磁场的速度大小为v==,C说法正确;射入的粒子恰好不从AB边射出,粒子在磁场中扫过的面积为S=+R·Rcos 30°=l2,故D说法正确。
对点2.“旋转圆”模型
3.(2025·广东佛山二模)如图所示,边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场,ad边中点处O有一粒子源,向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子,ab边恰好没有电子射出,已知电子质量为m,电荷量为e,则(　　)
A.bc边有电子射出
B.磁感应强度大小为
C.从ad边射出的电子在磁场中运动的最长时间为
D.从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数之比为5∶1
【答案】 D
【解析】 ab边恰好没有电子射出,轨迹如图甲所示(轨迹1),根据洛伦兹力提供向心力有ev0B=m,r=,得B=,由于电子射入的速度大小不变,方向改变,则轨迹半径不变,根据旋转圆模型可知,bc边没有电子射出,A、B错误;从ad边射出的电子在磁场中运动时间最长时的轨迹如图乙所示,
根据几何关系可知,圆心角θ=60°,所以最长时间为t=T=·=,C错误;由以上分析可知,当粒子恰好经过d点时,其入射速度方向与ad边的夹角为30°,所以从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数之比为=,D正确。
4.(多选)(2025·福建莆田二模)如图,在xOy平面内y≥0区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在x=-a处放置一平行于y轴的足够长的挡板。O点处的粒子源在xOy平面第一象限0～90°范围内发射大量质量为m、电荷量为q(q>0)、速度大小相等的粒子,所有粒子恰好都能打在挡板上,并立即被挡板吸收。不计粒子所受重力和粒子间相互作用,下列说法正确的是(　　)
A.粒子的速度大小为v=
B.粒子在磁场中运动的最短时间为
C.沿不同方向射出的粒子在磁场中运动的时间可能相同
D.一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上y=1.5a处
【答案】 AD
【解析】 如图所示,所有粒子恰好都能打在挡板上,则粒子运动的半径r=a,由qvB=m,可得v=,A正确;由轨迹可知,粒子在磁场中运动的圆心角为时,运动时间最短,由周期T=,得最短时间tmin=,B错误;粒子射出的方向不同则轨迹不同,对应的圆心角不同,即运动时间不同,C错误;打到挡板上的最远点坐标为y=a,1.5a在a～a之间,则一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上的该点,D正确。
对点3.“放缩圆”模型
5.(多选)(2025·陕西安康模拟)如图所示,边长为L的正方形abcd内(包括边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度为B,有三个相同的带电粒子分别从a点沿ac方向以不同速度大小射入匀强磁场,甲粒子的速度大小为v,从ab边中点离开磁场,乙粒子从b点离开磁场,丙粒子从bc边上某点垂直于bc边离开磁场。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用,则下列判断正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.粒子的比荷为
C.三个粒子在磁场内运动时间之比t甲∶t乙∶t丙=1∶2∶4
D.三个粒子在磁场内运动速率之比v甲∶v乙∶v丙=1∶2∶4
【答案】 AD
【解析】 由题意可知粒子逆时针运动,如图所示,由左手定则可判定粒子带正电,A正确;甲粒子从ab边中点离开磁场,由几何关系可知r=L,根据qvB=m,得=,B错误;甲、乙、丙粒子在磁场内偏转角度分别为90°、90°、45°,粒子运动周期相同,根据t=T,粒子在磁场中运动时间之比为2∶2∶1,C错误;由几何关系可知,三个粒子的运动半径之比为1∶2∶4,根据qvB=m,得v=,可得v甲∶v乙∶v丙=1∶2∶4,D正确。
6.(2025·重庆月考)如图所示,某种质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从cd边的中点O沿纸面以与Od成30°角的方向射入边长为a的正方形bcde边界内的匀强磁场区域,已知匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里,不计粒子所受的重力以及粒子间的相互作用。
(1)若粒子速度为v=,求粒子在磁场中运动的时间t;
(2)若要粒子全部从be边射出,求粒子速度v的范围。
【答案】 (1)　(2)≤v≤
【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,qvB=,
代入数据解得r=,
如图所示,
当粒子轨迹与bc边界相切时,如图中③所示,设此时的轨道半径为r3,由几何关系得
r3+r3sin 30°=,
解得r3=,
因为r根据对称性得轨迹的圆心角为300°,运动时间为
t=T=×=。
(2)粒子不从de边射出的临界条件是粒子运动轨迹与de边相切,如图中①所示,设此时粒子轨道半径为r1,由几何关系得r1-=r1sin 30°,
解得r1=a,
洛伦兹力提供向心力,有qv1B=,
解得v1=;
粒子恰好从be边射出的临界条件是粒子运动轨迹与be边相切,如图中②所示,设此时粒子轨道半径为r2,由几何关系得r2+r2cos 30°=a,
解得r2=(4-2)a,
洛伦兹力提供向心力,有
qv2B=,
解得v2=,
要使粒子全部从be边射出,速度需满足
≤v≤。
7.如图所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计粒子所受重力及带电粒子之间的相互作用,则v1∶v2为(　　)
A.∶1 B.∶
C.1∶ D.∶
【答案】 C
【解析】 当粒子的速度为v1时,粒子出射点分布在六分之一圆周上,则粒子能到达的最远位置为图甲所示的A点,设粒子的运动半径为r1,磁场区域圆的半径为R,则满足2r1==R;当粒子的速度为v2时,粒子能到达的最远位置为C点,设粒子的运动半径为r2,同理可得2r2==R,即=,由qvB=,得v=,可得=,C正确。
8.(2025·河南阶段检测)如图所示,真空区域内有一足够大的荧光屏PQ,其左侧有一无限大的匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。S为一粒子源,可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为k,S与荧光屏的距离为,不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用。求:
(1)粒子与S的最远距离;
(2)粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间;
(3)荧光屏的发光长度。
【答案】 (1)　(2)　　(3)
【解析】 (1)设S与荧光屏的距离为d,带负电的粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得r=,
粒子与S的最远距离L=2r=。
(2)画出粒子的运动轨迹,如图所示,
由几何关系可知,轨迹圆的圆心为图中O1点时,轨迹圆的圆心角最小,为60°,又T=,
解得T==,负粒子到达荧光屏的最短时间为tmin=T,解得tmin=;
同理,由几何关系可知,轨迹圆的圆心为图中O2点时,粒子到达荧光屏时轨迹圆的圆心角最大,为270°,粒子到达荧光屏的最长时间tmax=T,
解得tmax=。
(3)由几何关系可知,轨迹圆的圆心为O3时,负粒子到达荧光屏下方最远处,由几何关系可得x1=r;
同理,轨迹圆圆心为O4时,负粒子到达荧光屏上方最远处,由几何关系可得x2=r,
则荧光屏的发光长度l=x1+x2,
解得l=。第2讲　磁场对运动电荷(带电体)的作用
课时作业
对点1.洛伦兹力
1.(2025·广东广州期末)如图,①②③④各图中匀强磁场的磁感应强度均为B,带电粒子的速率均为v,电荷量均为q。以F1、F2、F3、F4依次表示四图中带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的大小,则(　　)
A.F1=F2 B.F3=F4
C.F2=F3 D.F2=F4
【答案】 B
【解析】 由题图可知洛伦兹力的大小分别为F1=qvB,F2=qvBcos 30°=qvB,F3=qvB,
F4=qvB,洛伦兹力的大小关系为F1=F3=F4>F2,故A、C、D错误,B正确。
2.(2025·江苏苏州期中)初速度为v0的电子,沿平行于通电长直导线的方向射出,直导线中电流方向与电子初速度方向如图所示,则(　　)
A.电子将向左偏转
B.电子将向右偏转
C.电子所受洛伦兹力变大
D.电子所受洛伦兹力大小不变
【答案】 B
【解析】 根据安培定则判断导线右侧的磁场方向垂直于纸面向里,根据左手定则判断运动电子所受洛伦兹力方向向右,所以电子将向右偏转,A错误,B正确;洛伦兹力不做功,电子的速率不变,根据F=qvB,B变小,F变小,C、D错误。
对点2.带电体在磁场中的运动
3.(多选)(2025·安徽合肥二模)如图所示,带负电的小球由静止释放,一段时间后进入垂直于纸面向里的匀强磁场中。不计空气阻力。关于小球在磁场中运动的过程,下列说法正确的是(　　)
A.小球做圆周运动
B.洛伦兹力对小球不做功
C.小球的速度保持不变
D.小球的机械能保持不变
【答案】 BD
【解析】 带负电的小球由静止释放,一段时间后进入垂直于纸面向里的匀强磁场中,所以小球受重力和洛伦兹力作用,速度方向与合力方向夹角不是90°,小球做曲线运动,A错误;洛伦兹力方向与速度方向垂直,洛伦兹力对小球不做功,重力作用下,小球机械能保持不变,B、D正确;小球在重力与洛伦兹力作用下,速度发生变化,C错误。
4.(多选)(2025·吉林模拟)如图甲,水平粗糙绝缘地面上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的物块沿水平地面以速度v0从左侧垂直进入磁场,物块进入磁场后始终未离开地面,其动能与时间的Ek-t关系图像如图乙所示,图像中z点为曲线切线斜率绝对值最大的位置。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.物块所受摩擦力逐渐增大
B.物块所受摩擦力逐渐减小
C.图中z点对应的速度大小为
D.图中z点对应的速度大小为
【答案】 AD
【解析】 物块所受摩擦力大小为Ff=μ(mg-qvB),随着速度的减小,摩擦力增大,A正确,B错误;曲线切线斜率大小为k==·=Fv,物块所受合力大小为F=μ(mg-qvB),解得k=(mg-qvB)qvB,当mg-qvB=qvB时,k有最大值,解得v=,C错误,D正确。
5.(2025·山东济宁期中)如图所示,质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下,整个装置处于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变,物块运动过程中始终没有与半圆槽分离,物块第一次经过半圆槽最低点时对半圆槽的压力是自身所受重力大小的2倍,重力加速度大小为g,则物块第二次经过半圆槽最低点时对半圆槽的压力为(　　)
A.4mg B.5mg C.6mg D.7mg
【答案】 A
【解析】 物块运动过程中只有重力做功,根据机械能守恒定律可知,物块到达半圆槽最低点时速度最大且不变,由mgR=m,解得vmax=,物块第一次经过半圆槽最低点时对半圆槽的压力F1=2mg,由牛顿第三定律得F1=F1′,此时物块受到向上的洛伦兹力,F1′+qvmaxB-mg=,物块在半圆槽内做往复运动,物块第二次经过半圆槽最低点时,此时物块受到向下的洛伦兹力,F2′-mg-qvmaxB=,联立解得F2′=4mg,由牛顿第三定律得F2=4mg,A正确。
对点3.带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
6.(多选)(2025·广东佛山二模)如图甲,地磁场对带电的粒子有阻挡作用。图乙是赤道周围的磁场分布情况,磁场垂直于纸面向里,认为该厚度内的磁场大小均匀。三个射向地球的宇宙粒子1、2、3运动情况如图乙所示,三个粒子的动能大小相等,粒子3沿着直线射向地球,则有(　　)
A.粒子3带正电
B.粒子2带正电
C.若粒子1、2电荷量大小相等,则粒子1的质量较小
D.若粒子1、2质量相同,则粒子2的电荷量较大
【答案】 BD
【解析】 根据左手定则可知,粒子1应带负电,粒子2带正电,而粒子3不带电,A错误,B正确;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,所以三个粒子的动能大小为Ek=,由于三个粒子动能大小相等,若粒子1、2电荷量大小相等,而粒子1的半径大于粒子2的半径,则粒子1的质量较大,若粒子1、2质量相同,则粒子2的电荷量较大,C错误,D正确。
7.(2025·安徽合肥模拟)利用云室可以知道带电粒子的性质,如图所示,云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带正电的粒子静止在磁场中,该粒子在A点分裂成粒子a和b,a、b在磁场中的径迹是两个内切圆,相同时间内的径迹长度之比la∶lb=1∶2,半径之比ra∶rb=1∶2,不计重力及粒子间的相互作用,则(　　)
A.粒子a和b可能均带正电荷
B.粒子a、b的质量之比ma∶mb=1∶1
C.在相等的时间内,a、b两粒子速度的变化量大小相等
D.在相等的时间内,a、b两粒子所受洛伦兹力的冲量大小相等
【答案】 D
【解析】 由于a、b两粒子的轨迹为内切圆,两粒子一定带异种电荷,根据动量守恒定律可知,分裂后两粒子动量等大反向,mava=mbvb,由v=,所以=,得到ma∶mb=2∶1,A、B错误;由于T=,则周期相等,在相等的时间内,速度的偏转角相等,速度大小不同,故速度的变化量大小不等,C错误;在相等的时间内,a、b两粒子受洛伦兹力的冲量等于各自动量的变化量,根据两粒子动量守恒,可知两粒子的动量变化量大小相等,故洛伦兹力的冲量大小相等,D正确。
8.(2025·湖北黄冈二模)用如图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现,有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论:在空间存在平行于x轴的匀强磁场,由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场的电子的运动轨迹为螺旋线,其轴线平行于x轴,直径为D,螺距为Δx,则下列说法正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向
B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度,则直径D、螺距Δx均增大
C.若仅增大α角(α≤90°),则直径D增大,而螺距Δx将减小,且当α=90°时“轨迹”为闭合的
整圆
D.若仅减小电子入射的初速度v0,则直径D、螺距Δx均增大
【答案】 C
【解析】 将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解,沿x轴方向速度与磁场方向平行,做匀速直线运动且x=v0cos α·t,沿y轴方向,速度与磁场方向垂直,洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动,由左手定则可知,磁场方向沿x轴正方向,A错误;根据evB=m,T=,且v=
v0sin α,解得T=,得Δx=vxT=,D=2R=,所以,若仅增大磁感应强度B,则D、Δx均减小,B错误;若仅增大α,则D增大,而Δx减小,且α=90°时Δx=0,C正确;由上述可知,若v0减小,则D、Δx均减小,D错误。
9.(2025·内蒙古高考适应性考试)如图甲,在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy,空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x轴正方向照射,垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y随时间t的变化曲线如图乙所示,则(　　)
A.磁感应强度大小为
B.投影的速度最大值为
C.2t0～3t0时间内,投影做匀速直线运动
D.3t0～4t0时间内,投影的位移大小为y0
【答案】 D
【解析】 由题图乙知,T=6t0=,得B=,故A错误;2R=4y0,得R=2y0=,得v=,故B错误;yt图像的斜率大小表示速度大小,故C错误;3t0～4t0时间内,小球运动个圆周,位移为R=2y0,则投影的位移大小为2y0cos 60°=y0,故D正确。
10.(2025·江苏泰州二模)如图所示,竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环,直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处,另一端连接一个可视为质点的带正电的小环,小环刚好套在大环上,整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中,将小环从A点由静止释放,已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则(　　)
A.小环不可能滑到C点
B.刚释放时,小环的加速度为g
C.弹簧原长时,小环的速度最大
D.小环滑到D点时的速度与其质量无关
【答案】 D
【解析】 小环下滑过程中只有重力和弹簧弹力做功,洛伦兹力不做功,由对称性可知,小环从A点由静止释放可以滑到C点,选项A错误;刚释放时,竖直方向小环受向下的重力和弹力向下的分力作用,可知小环的加速度大于g,选项B错误;小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等,可知在A点时弹簧压缩,在D点时弹簧伸长,弹簧在原长时小环在A、D之间的某位置,此时弹力为零,但小环所受合力不可能为零,加速度不可能为零,即小环的速度不可能最大,选项C错误;小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等,则弹性势能相等,从A到D由能量关系可知mgR=m,可得vD=,即小环滑到D点时的速度与其质量无关,选项D正确。
11.(2025·北京卷,18)北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分,它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动,且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为q0的粒子的速度方向与磁场方向垂直,推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q,粒子1的速度方向与磁场方向垂直,粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内,粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为θ,粒子2运动的距离为d。求:
①粒子1与粒子2的速度大小之比v1∶v2;
②粒子2的动量大小p2。
【答案】 (1)T=　(2)①θR∶d　②
【解析】 (1)粒子速度方向与磁场垂直,则粒子做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有q0vB=m,而圆周运动的周期T=,
联立解得T=。
(2)①粒子1做圆周运动,线速度v1=ωR=R,
粒子2做匀速直线运动,速度v2=,
解得速度大小之比=,
即v1∶v2=θR∶d。
②对粒子1,由洛伦兹力提供向心力有
qv1B=m,可得m=,
粒子2的动量
p2=mv2=·v2==。第7讲　小专题:带电粒子在叠加场中的运动
课时作业
1.(多选)(2025·山东模拟)如图所示,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以某一速度射入电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场叠加的区域。粒子还受到阻力F阻=-kv作用(k为已知常数,v为粒子的瞬时速度)。已知粒子在该区域恰好做直线运动。不计粒子所受重力,则该粒子(　　)
A.一定做匀速直线运动
B.入射速度的大小一定为
C.入射速度的方向可以与纸面不平行
D.入射速度的方向与电场方向的夹角α一定满足tan α=
【答案】 AD
【解析】 假设粒子做变速直线运动,在与速度垂直方向上的洛伦兹力大小就会改变,受力不能保持平衡,速度方向就会发生改变,不能维持直线运动,故粒子一定做匀速直线运动,故A正确;根据平衡条件有(qE)2=(kv)2+(qvB)2,解得粒子入射速度的大小为v=,故B错误;若速度方向与纸面不平行,速度在垂直于纸面方向上有分速度,粒子在垂直于纸面方向受到阻力F阻y=-kvy,做减速运动,与粒子一定做匀速直线运动相矛盾,故C错误;根据几何关系可知tan α==,故D正确。
2.(多选)(2024·安徽卷,10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电荷量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则(　　)
A.油滴a带负电,所带电荷量为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
【答案】 ABD
【解析】 油滴a在纸面内做圆周运动,故重力与静电力平衡,可知油滴带负电,有mg=qE,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,则3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,得mv=·v1+·v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴受到的静电力和重力仍然平衡,分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知,小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确。
3.(2025·重庆九龙坡二模)如图所示,空间存在范围足够大、相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场强度方向水平向右,磁感应强度方向垂直于纸面向里。建立竖直平面内的直角坐标系xOy,x轴与电场方向平行。一电荷量为+q、质量为m的微粒从坐标原点出发,以与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中,恰好做直线运动,当微粒运动到坐标值为(a,a)的P点时,电场方向突然变为竖直向上(强弱不变),微粒继续运动一段时间后,正好垂直击中y轴上的某点。仅考虑微粒在第一象限内的运动情况,重力加速度为g。求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)微粒在复合场中的运动时间。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)微粒从O到P,三力平衡,重力与电场力大小相等,且满足qE=mg,
解得E=。
(2)电场方向变为竖直向上后,电场力与重力等大反向,洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力,由牛顿第二定律有qvB=mg=m,
其中轨迹半径r=a,
解得v=,
B=。
(3)微粒做直线运动的时间t1==,
做圆周运动的时间t2==,
故总时间t=t1+t2=。
4.为粗略了解等离子体在托卡马克核聚变实验装置环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子所受重力,则(　　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小不变
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子做匀变速直线运动
【答案】 B
【解析】 根据功率的计算公式P=Fvcos θ,可知电场力的瞬时功率为P=qEv1,故A错误。由于v1与磁场B平行,v2与磁场B垂直,根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B,根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动,沿水平方向做匀加速运动,则v1增大,v2大小不变,所以离子受到的洛伦兹力大小不变,的值不断变大;该离子受到的电场力不变,洛伦兹力大小不变,方向总是与电场方向垂直,所以该离子做曲线运动,故B正确,C、D错误。
5.(多选)(2023·江苏卷,16改编)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子入射速度在0A.电场强度E=Bv0
B.若电子入射速度为,运动到速度为时位置的纵坐标为y1=
C.若电子入射速度为,最大运动速度为1.75v0
D.能到达y2=位置的电子的百分比为80%
【答案】 AC
【解析】 根据题意,入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动,竖直方向受力平衡,有eE=ev0B,解得E=v0B,故A正确;电子在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场的复合场中,由于洛伦兹力不做功,若电子入射速度为,则电子受到的电场力大于洛伦兹力,电子向上偏转,根据动能定理有eEy1=m(v0)2-m(v0)2,解得y1=,故B错误;若电子入射速度为,由于电子在最高点与最低点所受的合力大小相等,则在最高点有F合=evmB-eE,在最低点有F合=eE-eB,联立解得vm=-=1.75v0,故C正确;设电子以速度v射入时能到达y2=位置,对该位置电子进行分析,根据动能定理有eEy2=m-mv2,由C选项中有vm=-v,联立解得v=v0,可知能到达y2=位置的电子的百分比为90%,故D错误。
6.(2025·贵州卷)如图所示,x轴水平向右,z轴竖直向上,y轴垂直于纸面向里(图中未画出),在xOz平面有竖直向上的匀强电场E,在z=z0的平面下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场B1,z=z0的平面上方有垂直于纸面向里的匀强磁场B2(未知)。有一带正电的粒子,质量为m,从坐标原点O出发,沿x轴正方向以速度v射出后做圆周运动,其中z0=,B1=,P点坐标(,0,0)。已知重力加速度为g,粒子电荷量为q。
(1)求电场强度E的大小及该粒子第一次经过z=z0平面时的位置对应的x坐标值;
(2)当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点的时间最短时,求B2的大小;
(3)若将电场E改成沿y轴正方向,粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度v射出,求粒子的轨迹方程。
【答案】 (1)　　(2)　(3)y=
【解析】 (1)由题意可知,粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动,可以判断粒子受到的电场力与重力平衡,则mg=qE,
解得E=;
粒子做匀速圆周运动,圆周运动轨迹如图甲所示,由洛伦兹力提供向心力得
qvB1=m,
解得粒子运动的轨道半径R1=,
根据圆周运动轨迹,由几何关系得
x2+(R1-z0)2=,
代入数据解得x=。
(2)粒子做匀速圆周运动,可能的运动轨迹如图乙所示,
设粒子进入B2磁场中速度方向与磁场分界面成θ角,由几何关系可得cos(90°-θ)=,
可解得θ=53°。
设粒子在B2磁场中运动的轨道半径为R2,根据圆周运动轨迹可知粒子运动到P点应满足
n(2R1sin θ-2R2sin θ)=,
当n取最小值时,运动时间最短。
所以当n=3时,运动时间最短,代入R1的值解得R2=,
根据qvB=m,联立可得B2=3B1=,
当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点的时间最短时,B2的大小为。
(3)若将电场方向改为沿y轴正方向,由受力分析,粒子受到沿z轴正方向的洛伦兹力、沿z轴负方向的重力、沿y轴正方向的电场力,
根据B1=,
解得粒子受到的洛伦兹力大小为F洛=mg,
正好与重力相平衡,所以粒子在y轴正方向做匀加速直线运动,有y=at2,
由牛顿第二定律有qE=ma,
粒子在x轴正方向做匀速直线运动,有x=vt,
联立解得轨迹方程y=。

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