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第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
1.(2025·海南卷,7)小组用如图所示单摆测量当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d=20 mm,刻度尺测得摆线长l=79 cm,则单摆摆长L=　　　cm
(结果保留四位有效数字)。
(2)拉动小球,使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°),无初速度地释放小球,小球经过
　　　　(选填“最高”或“最低”)点时开始计时,记录小球做了30次全振动用时t=54.00 s,则单摆周期T=　　　　 s,由此可得当地重力加速度g=　　　　m/s2(π2取10,结果保留三位有效数字)。
2.(2025·广东广州期末)某同学利用单摆测当地重力加速度。
(1)下列叙述正确的是　　　　。(填字母)
A.有1 m和30 cm长度不同的同种细线,选用30 cm的细线做摆线
B.有直径为1.8 cm的塑料球和铁球,选用铁球做摆球
C.为方便改变摆长,多次实验,每次测量周期时,摆线上端可缠绕在铁架台的横杆上,悬点不必打结固定
D.当单摆经过平衡位置时开始计时,50次经过平衡位置后停止计时,用此时间除以50作为单摆振动的周期
(2)该同学采用如图甲所示的实验装置。由于没有游标卡尺,无法测小球的直径d,实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L,测得多组周期T和L的数据,作出LT2图像,如图乙所示。实验得到的LT2图线是　　　　(选填“a”“b”或“c”)。得出当地的重力加速度g=　　　　m/s2,小球的半径为　　　　cm。(π2取9.86,结果保留三位有效数字)
(3)若不考虑测量误差,计算均无误,算得的g值和真实值相比是　　　　(选填“偏大”“偏小”或“一致”)的。
3.(2025·浙江杭州二模)(1)用单摆测量重力加速度实验中,图甲所示的各项实验操作中合理的是　　　　。
A.采用如图甲a所示的悬挂方式
B.如图甲b,在小球摆到最高点时开始计时
C.如图甲c,用竖直放置的直尺和三角板测量球心到悬点间距离,作为摆长
(2)采用如图乙所示的实验装置继续探究,取一根棉线从金属戒指中穿过,两端悬于细杆上。
实验步骤如下:
①用刻度尺测得两个悬点距离为x,两悬点间棉线总长为s。
②轻敲戒指使之在垂直于纸面的竖直平面内摆动,摆角小于5°。
③记录摆动30个周期的总时间,计算周期数值。多次测量,得到周期的平均值T。
④如图丙所示,选用游标卡尺的测量爪　　　　(选填“A”或“B”)测量戒指内径。10分度游标卡尺的示数如图丁所示,那么该戒指的内径d=　　　　mm。
⑤等效摆长L为　　　　。(填字母)
A.
B.+
C.
⑥改变棉线长度,多次重复上述实验步骤。
⑦将数据绘制成T2L图像,如图戊所示,请将图中数据点进行拟合。
⑧经计算得到重力加速度的测量值为　　　　m/s2(π2取9.87,结果保留三位有效数字)。
4.(2025·江苏盐城模拟)科技文化节中,某兴趣小组利用单摆测量重力加速度,实验操作如下:
(1)使用50分度的游标卡尺测量钢球的直径,如图甲所示,钢球直径的读数为 d=　　　　 mm。
(2)将器材按图乙方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照图丙方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点时开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　　　　。(用测得的物理量表示)
(3)该小组将钢球换成沙摆,如图丁所示,薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图戊所示,当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s(忽略摆长的变化),当地重力加速度g取10 m/s2,则:
①该沙摆的摆长约为　　　　 m(结果保留两位有效数字)。
②由图戊可知薄木板做的是匀加速运动,且加速度大小约为　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
5.(2025·北京西城区模拟)某同学用图甲所示装置测定当地重力加速度。
(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些以方便测量,应使摆角大一些
(2)在某次实验中,测得单摆摆长为l,单摆完成n次全振动的时间为t,则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　　　。
(3)实验时改变摆长,测出几组摆长l和对应的周期T的数据,作出lT2图像,如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=　　　　。
②因摆球质量分布不均匀,小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响,则由①计算得到的重力加速度的测量值　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
(4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆,某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足T=2π,如图丙所示。为了检验猜想正确与否,他设计了如下实验:如图丁所示,铁架台上装一根重垂线,在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下,将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上,调节摆线的长度,使摆杆与立柱垂直,摆杆可绕着立柱自由转动,且不计其间的摩擦。如图戊所示,把铁架台底座的一侧垫高,立柱倾斜,静止时摆杆与重垂线的夹角为β,小球可等效于在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是　　　　。
A.sin β图像
B.cos β图像
C.tan β图像第2讲　机械波
课时作业
对点1.机械波的形成与传播　波的图像
1.(多选)(2025·重庆卷,8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动,水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置,某时刻第1圈实线的半径为r,第3圈实线的半径为9r,如图所示,则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过,浮筒将在最低点
【答案】 AD
【解析】 根据题意,某时刻第1圈实线的半径为r,第3圈实线的半径为9r,可得波长λ==
4r,A正确;该波的波速为v=λf=4rf,B错误;根据某时刻第1圈实线的半径为r=λ,可得此时浮筒处于平衡位置,由于波向外传播,根据同侧法可知,此时浮筒处于平衡位置向下振动,故再经过=T,浮筒将在最低点,故C错误,D正确。
2.(2025·云南卷,7)如图所示,均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻,波源开始振动产生简谐横波,并以相同波速分别向左、右两侧传播,P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示,则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时,波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时,平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
【答案】 D
【解析】 根据波形图可知λ=4 m,T=2.5 s-1.5 s,可得T=2 s,故波速为v==2 m/s,A错误;设波源的平衡位置与P点的距离为x0,根据左侧 t=1.5 s时的波形可知=1.5 s,解得x0=
1 m,B错误;根据左侧实线波形结合同侧法可知波源刚开始的振动方向向下,由于t=1.0 s=
T,故可知此时波源处于平衡位置且向上运动,C错误;由于x0=1 m,可知波源的平衡位置与Q点距离为x1=3 m,故波传到P、Q两点的时间分别为t0==0.5 s,t1==1.5 s,故t=5.5 s时,平衡位置在P、Q处的两质点已经振动的时间分别为t0′=5.5 s-0.5 s=T,t1′=5.5 s-1.5 s=2T,由于波源刚开始向下振动,故t=5.5 s时,P处质点处于平衡位置向上振动,Q处质点处于平衡位置向下振动,故此时平衡位置在P、Q处的两质点位移相同,D正确。
对点2.振动图像与波的图像的综合应用
3.(多选)(2025·贵州黔南模拟)一列简谐横波沿x轴传播,图甲是t=0.3 s时刻的波形图,图乙是介质中位于x=1 m处的质点的振动图像,则该列波在t=1.2 s时刻的波形图可能是(　　)
　　　　
A B
　　　　
C D
【答案】 AB
【解析】 由题图乙知,该波周期T=0.4 s,t=1.2 s时,即题图甲经历时间Δt=0.9 s=2T,则波形向右或向左平移2λ,与向右或向左平移λ的波形相同,故A、B正确,C、D错误。
4.(2025·广东佛山二模)均匀介质中有向x轴负方向传播的机械波,如图所示为t=0时的波形图,P为波源位置,已知t=0.4 s时,位于x轴上0.2 m处的质点Q第一次振动到达波谷。
(1)求该机械波的波速大小;
(2)写出P点的振动方程;
(3)求0~1.0 s内原点O处质点的振动路程。
【答案】 (1)2 m/s　(2)y=-10sin 5πt cm (3)60 cm
【解析】 (1)由题图及题意可知,位于x轴上0.2 m处的质点Q第一次振动到达波谷时,机械波需要向左传播x1=1.0 m-0.2 m=0.8 m,
用时t=0.4 s,
则该机械波的波速大小为v== m/s=2 m/s。
(2)机械波向x轴负方向传播,根据同侧法可知,t=0时,P离开平衡位置向下振动,
设P点的振动方程为y=-Asin t,
由题图可知该波波长为λ=1.6 m-0.8 m=0.8 m,
该波周期为T== s=0.4 s,
由题图知A=10 cm,
则P点的振动方程为y=-10sin 5πt cm。
(3)机械波传播到原点O处所用时间为t1== s=0.4 s,
则0~1.0 s内原点O处质点的振动时间为Δt=1.0 s-0.4 s=0.6 s=1.5T,
则0~1.0 s,O处质点的振动路程为s=1.5×4A=60 cm。
对点3.波传播的周期性与多解性
5.(多选)图甲为某同学利用跳绳模拟战绳训练,将绳子一端固定在杆上,用手上下甩动另一端。图乙为绳上P、Q两质点的振动图像,P、Q两质点平衡位置相距5 m。波由P向Q传播。下列说法正确的是(　　)
A.增大甩动的频率,波在绳子上传播速度不变
B.t=0.5 s时,P、Q两质点振动方向相反
C.波长可能为4 m
D.波速可能为 m/s
【答案】 AC
【解析】 机械波的传播速度只与介质有关,与振源振动频率无关,增大甩动的频率,波在绳子上传播速度不变,A正确;根据振动图像可知,t=0.5 s时,P、Q两质点振动方向相同,均沿x轴正向,B错误;结合振动图像可知xPQ=5 m=λ+nλ(n=0,1,2,3,…),整理得λ= m(n=0,1,2,
3,…),当n=1时,波长为4 m,C正确;由题图可知周期T=0.6 s,则波速v== m/s(n=0,1,
2,3,…),可知波速v= m/s时,n值为非正整数,D错误。
6.(2025·北京西城阶段检测)如图所示,实线是一列正弦波在某一时刻的波形曲线。经1 s后,其波形如图中虚线所示。
(1)若该波的周期T大于1 s,且向左传播,求波的传播速度和周期。
(2)若该波向右传播,求波的传播速度和周期。
(3)若该波的传播速度为0.54 m/s,分析说明该波向何方向传播。
【答案】 (1)0.06 m/s　4 s
(2)(0.24n+0.18) m/s(n=0,1,2,…)
s(n=0,1,2,…)
(3)见解析
【解析】 (1)若该波的周期T大于1 s,且向左传播,则该波在1 s内向左传播λ,由题图可知λ=0.24 m,波的传播速度为v== m/s=0.06 m/s,
该波的周期为T=4 s。
(2)若该波向右传播,则该波在1 s内向右传播(n+)λ,
波的传播速度为
v== m/s
=(0.24n+0.18) m/s(n=0,1,2,…),
该波的周期T满足(n+)T=1 s,
解得T= s(n=0,1,2,…)。
(3)若该波的传播速度为0.54 m/s,则该波在1 s内传播的距离为0.54 m=2λ,
所以该波向左传播。
对点4.波的干涉、衍射和多普勒效应
7.(2023·广东卷,4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s,若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波,下列说法正确的是(　　)
A.两列声波相遇时一定会发生干涉
B.声波由水中传播到空气中,波长会改变
C.该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D.探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
【答案】 B
【解析】 两列声波发生干涉的条件是频率相等、相位差恒定、振动方向相同,所以两列声波相遇时不一定发生干涉,故A错误;声波由水中传播到空气中时,声波的波速发生变化,波长会发生改变,故B正确;根据波长的计算公式可得λ== m=1×10-3 m,当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射,故C错误;根据多普勒效应可知,探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关,故D错误。
8.(2024·江西卷,6)如图甲所示,利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中,入射波为连续的正弦信号,探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号,分别如图乙、丙所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d,下列选项正确的是(　　)
A.振动减弱;d=4.725 mm
B.振动加强;d=4.725 mm
C.振动减弱;d=9.45 mm
D.振动加强;d=9.45 mm
【答案】 A
【解析】 根据反射信号图像可知,超声波的传播周期为T=2×10-7 s,又波速v=6 300 m/s,则超声波在机翼材料中的波长λ=vT=1.26×10-3 m,结合题图乙、丙可知,两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt=1.5×10-6 s,故两个反射信号的路程差2d=vΔt=9.45×10-3 m=λ,故两个反射信号在探头处振动减弱,且d=4.725×10-3 m=4.725 mm。
9.(多选)(2025·湖南卷,7)如图,A(0,0)、B(4,0)、C(0,3)在xy平面内,两波源分别置于A、B两点。t=0时,两波源从平衡位置起振,起振方向相同且垂直于xy平面,频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波,波分别沿AC、BC方向传播,波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时,C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时,C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时,C处质点速度为0
【答案】 AD
【解析】 两横波的波长均为λ==4 m,故A正确;两列波传到C处所需时间分别为t1=
s=0.3 s,t2= s=0.5 s,T==0.4 s,故t=0.4 s时,A处波已传到C处且振动了T,B处波还没有传到C处,故C处质点处于正向或负向最大位移处,加速度最大,速度为0,故B、C错误;由以上分析可知t=0.6 s时两列波都已传播到C处,C处质点到两波源的距离差Δx=
5 m-3 m=2 m=λ,故C处为振动减弱点,由于两列波振幅相同,故C处位移始终为0,速度为0,故D正确。
10.平静的湖面上漂浮着如图甲所示的浮子,现有距离小于3 m的A、B两个浮子。一条大鱼在两浮子连线的延长线上某位置翻起频率稳定的波浪。当水波传播到A浮子时的波形图和从该时刻开始的A、B浮子的振动图像分别如图乙、丙所示,求:
(1)该水波传播的速度大小;
(2)A、B两浮子间水平距离的可能值。
【答案】 (1)1.25 m/s
(2)0.25 m　1.25 m　2.25 m
【解析】 (1)由题图乙、丙可知波长和周期分别为
λ=1.0 m,T=0.8 s,
则水波传播速度为
v==1.25 m/s。
(2)由于A浮子振动时B浮子已经在波峰,故B浮子先振动,
从B传到A经历的时间为t=+nT(n=0,1,2,…),
由于A、B两个浮子距离小于3 m,
则n=0时,t0=0.2 s,A、B距离为s0=vt0=0.25 m;
n=1时,t1=1.0 s,A、B距离为s1=vt1=1.25 m;
n=2时,t2=1.8 s,A、B距离为s2=vt2=2.25 m,
故A、B两浮子间的距离可能为0.25 m、1.25 m、2.25 m。第2讲　机械波
对点1.机械波的形成与传播　波的图像
1.(多选)(2025·重庆卷,8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动,水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置,某时刻第1圈实线的半径为r,第3圈实线的半径为9r,如图所示,则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过,浮筒将在最低点
2.(2025·云南卷,7)如图所示,均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻,波源开始振动产生简谐横波,并以相同波速分别向左、右两侧传播,P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示,则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时,波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时,平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
对点2.振动图像与波的图像的综合应用
3.(多选)(2025·贵州黔南模拟)一列简谐横波沿x轴传播,图甲是t=0.3 s时刻的波形图,图乙是介质中位于x=1 m处的质点的振动图像,则该列波在t=1.2 s时刻的波形图可能是(　　)
A　 　B
C　 　D
4.(2025·广东佛山二模)均匀介质中有向x轴负方向传播的机械波,如图所示为t=0时的波形图,P为波源位置,已知t=0.4 s时,位于x轴上0.2 m处的质点Q第一次振动到达波谷。
(1)求该机械波的波速大小;
(2)写出P点的振动方程;
(3)求0~1.0 s内原点O处质点的振动路程。
对点3.波传播的周期性与多解性
5.(多选)图甲为某同学利用跳绳模拟战绳训练,将绳子一端固定在杆上,用手上下甩动另一端。图乙为绳上P、Q两质点的振动图像,P、Q两质点平衡位置相距5 m。波由P向Q传播。下列说法正确的是(　　)
A.增大甩动的频率,波在绳子上传播速度不变
B.t=0.5 s时,P、Q两质点振动方向相反
C.波长可能为4 m
D.波速可能为 m/s
6.(2025·北京西城阶段检测)如图所示,实线是一列正弦波在某一时刻的波形曲线。经1 s 后,其波形如图中虚线所示。
(1)若该波的周期T大于1 s,且向左传播,求波的传播速度和周期。
(2)若该波向右传播,求波的传播速度和周期。
(3)若该波的传播速度为0.54 m/s,分析说明该波向何方向传播。
对点4.波的干涉、衍射和多普勒效应
7.(2023·广东卷,4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s,若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波,下列说法正确的是(　　)
A.两列声波相遇时一定会发生干涉
B.声波由水中传播到空气中,波长会改变
C.该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D.探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
8.(2024·江西卷,6)如图甲所示,利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中,入射波为连续的正弦信号,探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号,分别如图乙、丙所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d,下列选项正确的是(　　)
A.振动减弱;d=4.725 mm
B.振动加强;d=4.725 mm
C.振动减弱;d=9.45 mm
D.振动加强;d=9.45 mm
9.(多选)(2025·湖南卷,7)如图,A(0,0)、B(4,0)、C(0,3)在xy平面内,两波源分别置于A、B两点。t=0时,两波源从平衡位置起振,起振方向相同且垂直于xy平面,频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波,波分别沿AC、BC方向传播,波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时,C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时,C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时,C处质点速度为0
10.平静的湖面上漂浮着如图甲所示的浮子,现有距离小于3 m的A、B两个浮子。一条大鱼在两浮子连线的延长线上某位置翻起频率稳定的波浪。当水波传播到A浮子时的波形图和从该时刻开始的A、B浮子的振动图像分别如图乙、丙所示,求:
(1)该水波传播的速度大小;
(2)A、B两浮子间水平距离的可能值。第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
课时作业
1.(2025·海南卷,7)小组用如图所示单摆测量当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d=20 mm,刻度尺测得摆线长l=79 cm,则单摆摆长L=　　cm
(结果保留四位有效数字)。
(2)拉动小球,使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°),无初速度地释放小球,小球经过
　　　　(选填“最高”或“最低”)点时开始计时,记录小球做了30次全振动用时t=54.00 s,则单摆周期T=　　　　s,由此可得当地重力加速度g= m/s2(π2取10,结果保留三位有效数字)。
【答案】 (1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
【解析】 (1)单摆的摆长为L=l+=80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差,需小球经过最低点时开始计时;单摆周期T== s=1.8 s,根据单摆周期公式T=2π,可得g=,代入数据解得g=9.88 m/s2。
2.(2025·广东广州期末)某同学利用单摆测当地重力加速度。
(1)下列叙述正确的是　　　　。(填字母)
A.有1 m和30 cm长度不同的同种细线,选用30 cm的细线做摆线
B.有直径为1.8 cm的塑料球和铁球,选用铁球做摆球
C.为方便改变摆长,多次实验,每次测量周期时,摆线上端可缠绕在铁架台的横杆上,悬点不必打结固定
D.当单摆经过平衡位置时开始计时,50次经过平衡位置后停止计时,用此时间除以50作为单摆振动的周期
(2)该同学采用如图甲所示的实验装置。由于没有游标卡尺,无法测小球的直径d,实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L,测得多组周期T和L的数据,作出L-T2图像,如图乙所示。实验得到的L-T2图线是　　 　　(选填“a”“b”或“c”)。得出当地的重力加速度g=　　　 　m/s2,小球的半径为　　 　　cm。(π2取9.86,结果保留三位有效数字)
(3)若不考虑测量误差,计算均无误,算得的g值和真实值相比是　　　　(选填“偏大”“偏小”或“一致”)的。
【答案】 (1)B　(2)c　9.86　0.600　(3)一致
【解析】 (1)摆线长度应适当长一些,故选用1 m的细线做摆线,A错误;摆球尽量质量大些、体积小些,故选用铁球做摆球,B正确;每次测量周期时,摆线上端可缠绕在铁架台的横杆上,悬点必须打结固定,保证摆长不变,C错误;当单摆经过平衡位置时开始计时,50次经过平衡位置后停止计时,相邻两次经过平衡位置的时间是半个周期,故用此时间除以25作为单摆振动的周期,D错误。
(2)根据单摆周期公式T=2π,解得L=T2+,则L-T2图像斜率k==0.25,截距b=,可知图像c符合实际,即d=1.2 cm,小球半径r=0.600 cm,g=4π2k=9.86 m/s2。
(3)图线c测量摆长虽然不准确,但不影响L-T2图像的斜率,故g的测量值与真实值一致。
3.(2025·浙江杭州二模)(1)用单摆测量重力加速度实验中,图甲所示的各项实验操作中合理的是　　　　。
A.采用如图甲a所示的悬挂方式
B.如图甲b,在小球摆到最高点时开始计时
C.如图甲c,用竖直放置的直尺和三角板测量球心到悬点间距离,作为摆长
(2)采用如图乙所示的实验装置继续探究,取一根棉线从金属戒指中穿过,两端悬于细杆上。
实验步骤如下:
①用刻度尺测得两个悬点距离为x,两悬点间棉线总长为s。
②轻敲戒指使之在垂直于纸面的竖直平面内摆动,摆角小于5°。
③记录摆动30个周期的总时间,计算周期数值。多次测量,得到周期的平均值T。
④如图丙所示,选用游标卡尺的测量爪　　　　(选填“A”或“B”)测量戒指内径。10分度游标卡尺的示数如图丁所示,那么该戒指的内径d=　　　　mm。
⑤等效摆长L为　　　　。(填字母)
A.
B.+
C.
⑥改变棉线长度,多次重复上述实验步骤。
⑦将数据绘制成T2-L图像,如图戊所示,请将图中数据点进行拟合。
⑧经计算得到重力加速度的测量值为　　　　m/s2(π2取9.87,结果保留三位有效数字)。
【答案】 (1)C (2)④B　16.0　⑤C　⑦图见解析　⑧9.87
【解析】 (1)为防止实验过程摆长发生变化,单摆上端悬点应固定,A错误;应在小球摆到最低点时开始计时,B错误;应用竖直放置的直尺和三角板测量球心到悬点间距离作为摆长,
C正确。
(2)选用游标卡尺的测量爪B测量戒指内径,10分度游标卡尺的分度值为0.1 mm,该戒指的内径d=16 mm +0×0.1 mm=16.0 mm,等效摆长 L=+=,故选C。拟合图线如图所示。
根据单摆周期公式有T=2π,变形得T2=L,根据图像斜率可知k== s2/m,解得g=9.87 m/s2。
4.(2025·江苏盐城模拟)科技文化节中,某兴趣小组利用单摆测量重力加速度,实验操作
如下:
(1)使用50分度的游标卡尺测量钢球的直径,如图甲所示,钢球直径的读数为d=
　　　　 mm。
(2)将器材按图乙方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照图丙方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点时开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　 　　　。(用测得的物理量表示)
(3)该小组将钢球换成沙摆,如图丁所示,薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图戊所示,当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s(忽略摆长的变化),当地重力加速度g取10 m/s2,则:
①该沙摆的摆长约为　　　　 m(结果保留两位有效数字)。
②由图戊可知薄木板做的是匀加速运动,且加速度大小约为　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
【答案】 (1)13.36　(2)
(3)①1.0　②3.1×10-2
【解析】 (1)50分度的游标卡尺分度值为0.02 mm,则钢球直径的读数为d=13 mm+18×
0.02 mm=13.36 mm。
(2)由题意可知单摆的摆长为L=l+,钢球第1次经过最低点时开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则单摆的周期为T==,由单摆的周期公式有T=2π,可得重力加速度为g=。
(3)①当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s,则单摆周期T= s=2 s,根据T=2π,解得L=1.0 m。
②根据Δx=a()2,解得加速度大小a=×10-2 m/s2=3.1×10-2 m/s2。
5.(2025·北京西城区模拟)某同学用图甲所示装置测定当地重力加速度。
(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些以方便测量,应使摆角大一些
(2)在某次实验中,测得单摆摆长为l,单摆完成n次全振动的时间为t,则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　。
(3)实验时改变摆长,测出几组摆长l和对应的周期T的数据,作出l-T2图像,如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=　　　　。
②因摆球质量分布不均匀,小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响,则由①计算得到的重力加速度的测量值　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
(4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆,某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足T=2π,
如图丙所示。为了检验猜想正确与否,他设计了如下实验:如图丁所示,铁架台上装一根重垂线,在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下,将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上,调节摆线的长度,使摆杆与立柱垂直,摆杆可绕着立柱自由转动,且不计其间的摩擦。如图戊所示,把铁架台底座的一侧垫高,立柱倾斜,静止时摆杆与重垂线的夹角为β,小球可等效于在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是　　　　。
A.-sin β图像
B.-cos β图像
C.-tan β图像
【答案】 (1)AB　(2)
(3)①　②等于　(4)B
【解析】 (1)为减小实验误差,摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的,摆球尽量选择密度大的,即质量大些、体积小些的,A、B正确;应使摆角小于5°,才可看作理想单摆,C错误。
(2)在某次实验中,测得单摆摆长为l、单摆完成n次全振动的时间为t,则周期为T=,根据单摆周期公式T=2π,解得g=。
(3)①根据单摆周期公式T=2π,变形有l=T2,根据图像的斜率可知k==,解得g=。
②因摆球质量分布不均匀,小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响,则图像的斜率不变,测量值等于真实值。
(4)根据题图可知等效重力加速度为a=gcos β,根据单摆周期公式T=2π,变形可知=,则应作- cos β图像,故B正确,A、C错误。第八章　机械振动与机械波
第1讲　机械振动
对点1.简谐运动的基本特征
1.(2025·广东茂名模拟)如图所示,平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后,在竖直方向上做简谐运动,周期为T,振幅为A。已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,下列说法正确的是(　　)
A.在t=时,浮子的加速度最大,方向竖直向下
B.在t=时,浮子的位移最大,速度方向竖直向下
C.在t=时,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上
D.浮子的振幅越大,其振动周期就越大
2.(多选)(2025·湖北卷,9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
对点2.简谐运动的图像和表达式
3.(2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
4.(2025·河南郑州模拟)甲、乙两个物体做简谐运动的方程分别为x甲=A甲sin (t+φ甲)、x乙=
A乙sin (t+φ乙)。下列说法正确的是(　　)
A.内,甲的路程一定为2A甲,内,乙的路程一定为A乙
B.经过任意的时间,乙的动能均不变
C.若A甲=A乙,甲、乙两物体的机械能相等
D.若φ甲<φ乙,则一定有T甲对点3.单摆及其周期公式
5.(2025·天津二模)如图所示的是两个单摆的振动图像,纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法正确的是(　　)
A.t=4 s时,两单摆的回复力最大
B.乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同
C.甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4
D.甲摆球位移随时间变化的关系式为x=2sin (t+) cm
6.(2025·浙江湖州二模)如图甲,小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放,球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示,若弧长AB远小于半径,则(　　)
A.小球运动的周期为0.2π s
B.光滑球面的半径为0.1 m
C.小球的质量为0.05 kg
D.小球的最大速度约为0.10 m/s
对点4.受迫振动和共振
7.(多选)(2025·辽宁沈阳期中)如图所示为手搓蔬菜大棚“阻尼器”示意图,通过编织袋装土并悬挂,可有效抵抗强阵风,确保大棚稳定。强阵风来袭时,大棚出现晃动,“阻尼器”开始减振工作。下列说法正确的是(　　)
A.“阻尼器”做的是自由振动
B.“阻尼器”质量越小效果越好
C.强阵风的破坏力除和风力大小有关外,还和频率有关
D.强阵风的频率等于“阻尼器”固有频率时“阻尼器”振幅最大
8.(教材改编题)图甲为共振筛基本结构图,由四根弹簧和一个电动偏心轮组成,当偏心轮每转一周,就给筛子一个周期性变化的驱动力。若增大电压,可使偏心轮转速提高;增加筛子质量,可增大筛子固有周期。图乙是该共振筛的共振曲线。现在某电压下偏心轮的转速是54 r/min,下列说法正确的是(　　)
A.质量不变时,增大电压,图中振幅的峰值会往右移
B.电压不变,适当增加共振筛的质量,可以增大其振幅
C.质量不变时,适当减小电压,可以增大共振筛的振幅
D.突然断电,共振筛不会立即停下来,频率立即变为0.8 Hz
9.(多选)(2025·河北卷,9)如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两侧,细绳与斜面平行。此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开。弹簧始终在弹性限度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
10.(2025·湖南开学考试)如图所示,质量均为m=2 kg、可视为质点的滑块M、N用劲度系数为k=200 N/m的轻弹簧相连,静止放置在倾角为θ=37° 的光滑斜面上,N下端与垂直于斜面的挡板P接触;现将质量为M=4 kg的物体Q在斜面上M的上方某点由静止释放,Q和M碰撞后立即粘为一体,此后做简谐运动。运动过程中,滑块N恰好不离开挡板,弹簧始终在弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)M、Q整体做简谐运动的振幅;
(2)M、Q碰撞后瞬间的速度大小;
(3)Q在斜面上由静止释放的位置与M最初位置间的距离。第1讲　机械振动
课时作业
对点1.简谐运动的基本特征
1.(2025·广东茂名模拟)如图所示,平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后,在竖直方向上做简谐运动,周期为T,振幅为A。已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,下列说法正确的是(　　)
A.在t=时,浮子的加速度最大,方向竖直向下
B.在t=时,浮子的位移最大,速度方向竖直向下
C.在t=时,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上
D.浮子的振幅越大,其振动周期就越大
【答案】 C
【解析】 已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,可知在t=时,浮子处于下方最大位移处,则浮子的加速度最大,方向竖直向上,故A错误;在t=或t=时,浮子处于平衡位置向上运动,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上,B错误,C正确;简谐运动的周期与振幅无关,D错误。
2.(多选)(2025·湖北卷,9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
【答案】 AD
【解析】 如果小球a不动而小球b单独振动,则小球b做简谐运动,简谐运动的平衡位置处合力为零,即小球b初始时刻位置,可知小球b的振幅为l,B错误;小球a发生运动的临界条件为弹簧对小球a向上的弹力大于小球a受到的重力,此时对小球a有kx0=mg,对小球b有kx0+mg=ma,由简谐运动的对称性可知,向下拉到最低点松手释放时,小球b的加速度也为a,则有kl=ma,解得l=,即当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动,A、D正确,C错误。
对点2.简谐运动的图像和表达式
3.(2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
【答案】 D
【解析】 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,由牛顿第二定律得弹簧弹力大小F=mg,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正,则手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,T=0.8 s,ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=
4sin 2.5πt m/s2,D正确。
4.(2025·河南郑州模拟)甲、乙两个物体做简谐运动的方程分别为x甲=A甲sin (t+φ甲)、
x乙=A乙sin (t+φ乙)。下列说法正确的是(　　)
A.内,甲的路程一定为2A甲,内,乙的路程一定为A乙
B.经过任意的时间,乙的动能均不变
C.若A甲=A乙,甲、乙两物体的机械能相等
D.若φ甲<φ乙,则一定有T甲【答案】 B
【解析】 内,甲的路程一定为2A甲,内,乙的路程不一定为A乙,要看计时时刻乙所处的位置,A错误;经过任意的时间,初、末位置一定相对于平衡位置对称,速度等大反向,动能不变,B正确;若A甲=A乙,由于甲、乙质量未知,机械能大小未知,C错误;φ甲、φ乙分别表示两简谐运动方程的初相,无法判断两者周期的大小,D错误。
对点3.单摆及其周期公式
5.(2025·天津二模)如图所示的是两个单摆的振动图像,纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法正确的是(　　)
A.t=4 s时,两单摆的回复力最大
B.乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同
C.甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4
D.甲摆球位移随时间变化的关系式为x=2sin (t+) cm
【答案】 C
【解析】 t=4 s时,两单摆均处于平衡位置,该位置的回复力为零,A错误;根据x-t图像切线斜率表示速度可知,乙摆球在第1 s末和第3 s末速度大小相等、方向相反,B错误;由单摆的周期公式T=2π,得l=,甲、乙两个摆的摆长之比为==,C正确;由题图可知,甲摆的振幅为2 cm,周期为4 s,且零时刻位于平衡位置并开始向上运动,故甲摆球位移随时间变化的关系式为x=2sin t cm,D错误。
6.(2025·浙江湖州二模)如图甲,小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放,球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示,若弧长AB远小于半径,则(　　)
A.小球运动的周期为0.2π s
B.光滑球面的半径为0.1 m
C.小球的质量为0.05 kg
D.小球的最大速度约为0.10 m/s
【答案】 C
【解析】 小球在一个周期内两次经过最低点,根据题图乙可知,小球的运动周期为0.4π s,A错误;小球在光滑球面上做简谐运动,根据周期公式T=2π,式中l可等效为光滑球面的半径R,代入数据得R=l=0.4 m,B错误;设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为θ,小球到达最低点时速度的最大值为v,则在最高点有
mgcos θ=F1,在最低点有F2-mg=m,从最高点到最低点,由动能定理有mgR(1-cos θ)=mv2,其中F1=0.495 N,F2=0.510 N,联立解得m=0.05 kg,v= m/s,C正确,D错误。
对点4.受迫振动和共振
7.(多选)(2025·辽宁沈阳期中)如图所示为手搓蔬菜大棚“阻尼器”示意图,通过编织袋装土并悬挂,可有效抵抗强阵风,确保大棚稳定。强阵风来袭时,大棚出现晃动,“阻尼器”开始减振工作。下列说法正确的是(　　)
A.“阻尼器”做的是自由振动
B.“阻尼器”质量越小效果越好
C.强阵风的破坏力除和风力大小有关外,还和频率有关
D.强阵风的频率等于“阻尼器”固有频率时“阻尼器”振幅最大
【答案】 CD
【解析】 “阻尼器”在强风作用下发生受迫振动,质量较大的“阻尼器”能更有效地吸收和消耗强风的能量,效果更好,A、B错误;强阵风的破坏力除和风力大小有关外,还和频率有关,当强阵风的频率等于“阻尼器”固有频率时,“阻尼器”振幅最大,即发生了共振,C、D正确。
8.(教材改编题)图甲为共振筛基本结构图,由四根弹簧和一个电动偏心轮组成,当偏心轮每转一周,就给筛子一个周期性变化的驱动力。若增大电压,可使偏心轮转速提高;增加筛子质量,可增大筛子固有周期。图乙是该共振筛的共振曲线。现在某电压下偏心轮的转速是54 r/min,下列说法正确的是(　　)
A.质量不变时,增大电压,图中振幅的峰值会往右移
B.电压不变,适当增加共振筛的质量,可以增大其振幅
C.质量不变时,适当减小电压,可以增大共振筛的振幅
D.突然断电,共振筛不会立即停下来,频率立即变为0.8 Hz
【答案】 C
【解析】 现在某电压下偏心轮的转速是54 r/min,偏心轮振动的频率为f= Hz=0.9 Hz,突然断电,共振筛不会立即停下来,频率不会立即变为0.8 Hz,仍为0.9 Hz,D错误;由共振曲线可知,共振筛的固有频率为0.8 Hz,质量不变时,增大电压,共振筛的固有频率不变,题图中振幅的峰值不会移动,A错误;电压不变,适当增加共振筛的质量,则共振筛的固有周期增大,固有频率减小,使得固有频率与驱动力频率的差值变大,共振筛的振幅减小,B错误;质量不变时,适当减小电压,会减小偏心轮转速,驱动力频率减小,使得固有频率与驱动力频率的差值变小,共振筛的振幅增大,C正确。
9.(多选)(2025·河北卷,9)如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两侧,细绳与斜面平行。此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开。弹簧始终在弹性限度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
【答案】 AC　
【解析】 对左侧小物块,设沿斜面向下的位移为x,则有FT+kx-mgsin θ=ma,此时,对右侧小物块,有mgsin θ+kx-FT=ma,联立可得kx=ma,则左侧小物块受到的合力F=ma=kx,方向与位移方向相反,故其做简谐运动,A正确;根据以上分析,可得FT=mgsin θ,细绳拉力保持不变,B错误;同理可知,右侧小物块也做简谐运动,所以其在最高位置和最低位置的加速度大小相等,C正确;弹簧振子振动周期T周=2π,与斜面倾角无关,D错误。
10.(2025·湖南开学考试)如图所示,质量均为m=2 kg、可视为质点的滑块M、N用劲度系数为k=200 N/m的轻弹簧相连,静止放置在倾角为θ=37° 的光滑斜面上,N下端与垂直于斜面的挡板P接触;现将质量为M=4 kg的物体Q在斜面上M的上方某点由静止释放,Q和M碰撞后立即粘为一体,此后做简谐运动。运动过程中,滑块N恰好不离开挡板,弹簧始终在弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)M、Q整体做简谐运动的振幅;
(2)M、Q碰撞后瞬间的速度大小;
(3)Q在斜面上由静止释放的位置与M最初位置间的距离。
【答案】 (1)0.24 m　(2)1.2 m/s　(3)0.27 m
【解析】 (1)弹簧弹力等于M、Q整体所受的重力沿斜面的分力时处于平衡状态,有
kx0=(M+m)gsin θ,
可知,平衡位置时弹簧的形变量为x0==0.18 m,
弹簧处于压缩状态;
运动过程中,滑块N恰好不能离开挡板,则有mgsin θ=kx,
故弹簧应伸长到最大位移处,此时形变量x==0.06 m,
此时弹簧处于伸长状态;
故简谐运动的振幅为A=x0+x=0.24 m。
(2)Q与M碰撞之前,对弹簧有mgsin θ=kx1,
解得x1=0.06 m,
此时弹簧处于压缩状态。
从物体Q与滑块M刚碰后到滑块N恰好不离开挡板的过程,根据能量守恒定律有
(M+m)g(x+x1)sin θ=(M+m)v2,
解得v=1.2 m/s。
(3)物体Q与滑块M碰撞过程,根据动量守恒定律有
(M+m)v=Mv0,
解得v0=1.8 m/s,
物体Q下滑的过程有
Mglsin θ=M,
解得l=0.27 m。

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