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第5讲　小专题:带电粒子在交变电场中的运动
课时作业
对点1.带电粒子在交变电场中的直线运动
1.(2025·北京期末)如图甲所示,平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的变化电压UAB,重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子,粒子先向A板运动,再向B板运动……,最终打在A板上。则t0可能属于的时间段是(　　)
A.TC.【答案】 C
【解析】 粒子带正电,由于粒子先向A板运动,表明粒子在t0时刻释放时所受电场力方向向左,即电场方向向左,则有UAB<0,表明t0一定在~T之间某一时刻,由于粒子最终打在A板上,则粒子在一个周期之内的总位移方向向左,根据运动的对称性可知,粒子释放开始向左做匀加速直线运动维持的时间一定大于,则t0可能属于的时间段是2.(2025·四川达州期末)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的关系图像。当t=0时,在此匀强电场中静止释放一个带电粒子,设带电粒子只受电场力的作用,则下列说法正确的是(　　)
A.0~2 s内和2~4 s内带电粒子的速度变化量相同
B.5 s末与7 s末带电粒子速度方向相反
C.12 s末比14 s末带电粒子离出发点更远
D.11~14 s内,电场力做的总功为零
【答案】 D
【解析】 带电粒子在电场中的加速度为a=,速度变化量为Δv=aΔt,0~2 s内和2~4 s内电场强度大小、方向不同,带电粒子的加速度大小、方向不同,速度变化量不相同,A错误;E-t图像与带电粒子的a-t图像规律相同,可作出带电粒子的0~14 s内的v-t图像如图所示,可知5 s末与7 s末带电粒子速度方向相同,B错误;由于v-t图像与时间轴围成的面积表示位移,可知14 s末比12 s末带电粒子离出发点更远,C错误;11 s末与14 s末粒子速度相等,根据动能定理可知11~14 s内电场力做的总功为零,D正确。
3.(2024·重庆二模)如图甲所示,在相距较远的两平行金属板中央有一个静止的带电粒子(不计重力),当两板间的电压分别如图中乙、丙、丁、戊所示时,在t=0时刻静止释放该粒子,下列说法正确的是(　　)
A.电压如图乙所示时,在0~T时间内,粒子的电势能先增加后减少
B.电压如图丙所示时,在0~时间内,粒子先做匀加速直线运动,后做匀减速直线运动
C.电压如图丁所示时,在0~时间内,粒子动量变化量为0
D.电压如图戊所示时,若粒子在T之前不能到达极板,则一直不能到达极板
【答案】 D
【解析】 加题图乙所示电压时,带电粒子由静止释放后先做匀加速直线运动,后做匀减速直线运动,即电场力先做正功后做负功,电势能先减少后增加,A错误;加题图丙所示电压时,在0~时间内,由于电压发生线性变化,故电场力发生线性变化,带电粒子先做加速度减小的加速运动,后做加速度增大的减速运动,B错误;加题图丁所示电压时,带电粒子先做加速度先增大后减小的加速运动,过了T后做加速度先增大后减小的减速运动,到T时速度减为0,之后重复前面的运动,故带电粒子一直朝同一方向运动,故在0~时间内,粒子动量变化量不为0,C错误;加题图戊所示电压时,带电粒子先做匀加速直线运动,到T后做同一加速度的匀减速直线运动,T后做反向的对称运动,T时速度减为零,之后重复前面的运动,故带电粒子做往复运动,若粒子在T之前不能到达极板,则粒子在此时速度发生变化,则一直不能到达极板,故D正确。
4.(多选)(2025·四川绵阳阶段练习)市场上出现的一种静电耳机基本原理如图甲所示,a、b为两片平行固定金属薄板,M是位于金属板之间的极薄带电振膜,将带有音频信号特征的电压加在金属板上,使带电振膜在静电力的作用下沿垂直于金属板方向振动从而发出声音。若两金属板可看作间距为d、电容为C的平行板电容器,振膜质量为m且均匀带有+q电荷,其面积与金属板相等,两板所加电压信号Uab如图乙所示,周期为T,在t=0时刻振膜从两板正中间位置由静止开始运动,振膜不碰到金属板,不计振膜受到的重力和阻力,则(　　)
A.当金属板充电至电荷量为Q时振膜的加速度为
B.一个周期内振膜沿ab方向运动的时间为
C.所加信号电压Uab中的U0最大值为
D.所加信号电压Uab中的U0最大值为
【答案】 AC
【解析】 当金属板充电至电荷量为Q时,两极板间电压U=,其间电场强度E==,则振膜加速度为a==,A正确;振膜不碰到金属板,0~内电场方向向右,可知振膜向b板做匀加速直线运动,时间为t1=,此过程的加速度大小为a1=,之后电场方向向左,振膜向b板做匀减速直线运动,加速度大小为a2=,则有a2=3a1,由于匀加速的末速度即为匀减速的初速度,可知匀减速至0经历时间是匀加速运动时间的,即匀减速至0的时间t2=×T=
T,则此过程向右运动时间T+T=,之后振膜反向运动,先向a板做加速度为a2的匀加速直线运动,经历时间为t3=T-T=T,随后振膜向a板做加速度为a2的匀减速直线运动,根据对称性可知,经历t4=T速度再一次恰好减为0,之后振膜又向b板做加速度为a2的匀加速直线运动,经历时间为t5=T-T-T=T,随后振膜向b板做加速度为a1的匀减速直线运动,该过程经历时间为t6=3×T=T,则一个周期内振膜沿ab方向运动的时间为tab=t1+t2+t5+
t6=+++=,B错误;振膜不碰到金属板,即0~振膜发生的位移要小于或等于,则有·()2+·()2≤,解得 U0≤,即所加信号电压Uab中的U0最大值为,故C正确,D错误。
对点2.带电粒子在交变电场中的偏转
5.(2025·甘肃卷,7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线),极板长度为l、间距为d,U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
【答案】 B
【解析】 离子在加速电场中被加速时,有qU1=m,在偏转电场中做类平抛运动,有l=v0t,=·t2,解得Um=U1,A错误;当U2=±Um时,离子相当于由偏转极板的中点沿极板边缘做匀速直线运动,设离子打在样品上的位置到O′点的距离为x,则有=,而L=,解得x=,B正确;在离子通过偏转极板过程中,满足y=a0t2,l=v0t,对偏转角θ有tan θ=,而a0=,qU1=m,联立解得 y=,tan θ=,可知在离子未从极板边缘射出时,若其他条件不变,减小U1可增大y、θ,即能增加样品的辐照范围,C错误;若t1时刻电场方向向上且此时射入的离子可能打在O′点上方,t2时刻射入的离子打在O′点下方,由于t1时刻所加的向上的电场的电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压,则t1时刻射入的离子的竖直位移小于t2时刻射入的离子的竖直位移,D错误。
6.(多选)(2025·辽宁模拟)如图甲所示,在矩形MNQP区域内有平行于MP的匀强电场,一电荷量为+q、质量为m的带电粒子(不计粒子所受重力)以初速度v0从M点沿MN方向进入匀强电场,经时间T0刚好从Q点射出,MN=2MP=2L。取匀强电场方向由M→P为正方向,大小为E(大小未知)。若电场的电场强度按图乙或图丙所示做周期性变化,现使该粒子在t=0时刻仍从M点以v0射入电场,下列说法正确的是(　　)
A.电场强度E0的大小为
B.若电场按图乙做周期性变化,则粒子到达NQ边界上的位置与Q相距
C.若电场按图乙做周期性变化,则粒子到达NQ边界时的速度大小为v0
D.若电场按图丙做周期性变化,则粒子到达NQ边界时的位置与Q相距
【答案】 AD
【解析】 粒子在由M到Q过程中做类平抛运动,则有2L=v0T0,L=a,根据牛顿第二定律有qE0=ma,联立解得E0=,A正确;若电场按题图乙做周期性变化,粒子沿MN方向有2L=v0T0,沿电场线方向,前做匀加速直线运动,有vy=a·,y1=a()2,~T0时间内,沿电场线方向做匀速直线运动,有y2=vy·,联立解得粒子到达NQ边界上的位置与Q相距y=L-(y1+
y2)=,此时粒子的速度大小为v==v0,B、C错误;若电场按题图丙做周期性变化,沿MN方向有2L=v0T0,沿电场线方向,前做匀加速直线运动,有y1=a()2,~T0时间内,沿电场线方向做匀减速直线运动,有y2′=vy-a()2,联立解得粒子到达NQ边界时的位置与Q相距y′=L-(y1+y2′)=,D正确。
7.(2025·辽宁期末)如图甲,在平面直角坐标系xOy的第一象限内,虚线AB上方有沿y轴负方向的匀强电场,AB与x轴负方向夹角为37°,A点在y轴上,与O点距离为d,B点在x轴上,在第二象限内有平行于y轴的平行板M、N,板间加的电压随时间变化的规律如图乙所示。在M板附近有一粒子源,不断地由静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,粒子经加速电场加速后,以垂直于y轴的方向从y轴上的A点进入第一象限。粒子在M、N间运动的时间远小于T,可以认为每个粒子在M、N间运动的时间内都是稳定的匀强电场。从t=0时刻释放的粒子进入第一象限后经电场偏转后刚好从AB的中点离开电场,不计粒子所受的重力及一切阻力,求:
(1)t=0时刻释放的粒子到达A点时速度的大小;
(2)第一象限内的匀强电场电场强度的大小;
(3)x轴上有粒子经过的区域长度。
【答案】 (1)　(2)　(3)d
【解析】 (1)设t=0时刻释放的粒子到达A点时速度的大小为v0,
根据动能定理有q=m,
解得v0=。
(2)从t=0时刻释放的粒子进入第一象限的电场偏转后刚好从AB的中点离开电场,
粒子做类平抛运动,则有x=v0t0,y=a,
又a=,
而tan 37°=,
联立解得E=。
(3)从t=0时刻释放的粒子离开电场后运动轨迹如图,其中到达接收屏的位置设为C,粒子做类平抛运动与匀速直线运动的位移关系有=,
解得xC=d;
当加速电场的电压为最大值U0时,粒子进入第一象限的最大速度为vmax=,
设粒子进入第一象限的速度为v时恰好运动到B点,则有=vt,d=at2,
联立解得v==vmax,
所以速度为vmax的粒子到达接收屏的位置为接收粒子区域的右边界,有xmax=xB=d,
即x轴上有粒子经过的区域长度为Δx=xmax-xC=d。
8.(2024·重庆模拟)如图甲所示,在水平放置的平行金属板A、B左侧有一线状粒子发射源(图中未画出),能发出宽度为d、速度相同的带正电粒子束,t=0 时刻该粒子束恰好完全水平进入平行金属板间。已知粒子束的速度v0=1×103 m/s,比荷=1×106 C/kg,两板间距为d=20 cm,板长L=4 cm,极板间加如图乙所示的交流电压。不考虑电容器的边缘效应,也不考虑击中极板的粒子对板间电压的影响,不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则粒子射出电场时的位置到B板的距离至少为(　　)
A.0.002 5 m B.0.005 m
C.0.01 m D.0.015 m
【答案】 B
【解析】粒子束在水平方向做匀速直线运动,则其射出电场所需时间为t== s=
4×10-5 s,若0时刻射入电场的粒子从靠近A板进入电场且能射出电场,由于0~2×10-5 s时间内A板带正电,B板带负电,粒子向下做类平抛运动,粒子的加速度大小为a1===
1×106× m/s2=5×107 m/s2,竖直方向的位移为y1=a1=×5×107×(2×10-5)2 m=
0.01 m;2×10-5~4×10-5 s时间内,A板带负电,B板带正电,粒子向下做类斜抛运动,粒子的加速度大小为a2===1×106× m/s2=1×108 m/s2,而类平抛运动的末速度和类斜抛运动的初速度相同,后者在竖直方向有a1t1=a2t2,解得t2=t1=1×10-5 s,在竖直方向的位移为y2=a2=×1×108×(1×10-5)2 m=0.005 m,当轨迹与B板如图所示相切时,射出电场时粒子到B板距离最小,最小距离为ymin=y2=0.005 m,故B正确,A、C、D错误。
9.(多选)(2025·湖南长沙一模)如图甲所示,竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层,左侧为正电荷离子层,右侧为负电荷离子层,两离子层内单位体积的电荷量均为ρ,厚度均为d。以正离子层左边缘上某点O为坐标原点,水平向右为正方向建立坐标轴Ox。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿x轴正方向,其大小E随x的变化关系如图乙所示;在x<0和x>2d空间内电场强度均为零。某放射性粒子源S位于x=-d的位置,放射出的电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时,电子刚好可以到达离子层分界面处,没有射入负电荷离子层。已知电子质量为m,所带电荷量为e,其中e=1.6×10-19 C,不计电子所受重力及电子间相互作用力,假设电子与离子不发生碰撞。下列说法正确的是(　　)
A.电子在离子层中做匀变速曲线运动
B.电子将从正离子层左侧边界离开
C.电子从进入离子层到离子层分界面过程电势能增加
D.刚好可以到达离子层分界面处的电子入射时θ满足cos θ=
【答案】 BD
【解析】 由于电场强度变化,电子受到的电场力会发生变化,所以电子运动加速度发生变化而做变速曲线运动,A错误;电子到达离子层分界面处受到沿x轴负方向的电场力,故电子从正离子层左侧边界离开,B正确;E-x图像面积表示电势差,则正离子层间的电势差为U=,电场力对电子做功为W=-eU=-,电势能增加ΔEp=-W=,C错误;电子到达离子层分界面处时速度vy=vsin θ,根据动能定理有-=m-mv2,解得cos θ=,
D正确。
10.(2025·陕西西安期末)某示波管简化装置由加速板P、Q、偏转板A、B及圆弧荧光屏MN组成,如图甲所示,加速电场电压为U0,A、B两板间距和板长均为l,荧光屏圆弧的半径为2l,其圆心与正方形偏转区域的中心点O恰好重合,A、B板间电压UAB随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为q、初速度为零的粒子从t=0时刻开始连续均匀地“飘入”加速电场,粒子通过偏转电场的时间远小于T,不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力。求:
(1)粒子进入偏转电场时的速度大小;
(2)在电压变化的一个周期内,能穿过偏转电场的粒子数占总粒子数的百分比(精确至0.1%);
(3)粒子从进入偏转电场到打在屏上的最长时间与最短时间之差。
【答案】 (1)　(2)66.7% (3)(-1)l
【解析】 (1)设粒子进入偏转电场时的速度大小为v0,
在加速板P、Q间,根据动能定理有qU0=m,
解得v0=。
(2)粒子通过偏转电场的时间远小于T,故在AB板间运动时电压可视作恒定。
若粒子恰好从极板右侧边缘射出时电压为U,根据类平抛运动规律有l=v0t,=at2,
粒子在偏转电场中的加速度a==,
联立解得U=2U0,
故在电压变化的一个周期内,能穿过偏转电场的粒子数占比为==66.7%。
(3)由于所有打在屏上的粒子在进入偏转电场后沿AB间中心线方向的运动相同,则该方向到达屏上的分位移之差最大时,时间差最大,该最大分位移差Δx为图中O1D,
由几何关系可知Δx=O1D=(2-)l,
则Δt==(-1)l。第2讲　电场能的性质
对点1.描述电场能的性质的物理量
1.(多选)(2025·安徽芜湖期末)关于静电场,下列说法正确的是(　　)
A.同一条电场线上的各点,电势一定不同
B.电荷只在电场力作用下沿电场线方向移动时,电势能可能增加
C.带电体在电势为零的位置处没有能量
D.电势处处相等的空间内一定存在匀强电场
2.(2025·贵州模拟)如图,x轴水平向右,其坐标原点O的正上方M点放有一正点电荷,A、B为x轴上的两点,各点间的距离满足=。现分别用φA、φB表示A、B两点的电势,将A、B两点的电场强度沿x轴方向和垂直于x轴方向进行分解,设x轴方向的分量分别为EAx、EBx,则下列判断正确的是(　　)
A.φA>φB,EAx=EBx
B.φA>φB,EAx>EBx
C.φA<φB,EAx>EBx
D.φA<φB,EAx3.(2025·甘肃卷,5)如图,两极板不平行的电容器与直流电源相连,极板间形成非匀强电场,实线为电场线,虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上,N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点,速度增大
D.负电荷从M点运动到P点,电场力做负功
4.(2025·江西宜春阶段练习)如图所示,光滑绝缘固定细杆与水平方向的夹角θ=30°。电荷量Q=-4×10-6 C的点电荷固定于光滑绝缘细杆端点。A、B是以点电荷Q为圆心,半径分别为r1=0.6 m和r2=0.3 m的同心圆周上的两点,同心圆周与光滑绝缘细杆相交于C点和D点。已知静电力常量k=9×109 N·m2/C2,且以无穷远处为零电势位置。现将一电荷量q=-2×10-6 C、质量m=0.2 kg的带负电小球套在杆上从C点由静止释放,g取10 m/s2。
(1)求带电小球从C点由静止释放瞬间的加速度大小。
(2)若将电荷量q1=3×10-6 C的点电荷从A点移至无穷远处,克服电场力做功0.18 J;若将电荷量q2=-4×10-6 C的试探电荷置于B点,其具有的电势能为0.48 J。则A、B两点的电势φA、φB分别是多少
(3)求带电小球下滑至D点的速度大小。(结果可保留根号)
对点2.电势差与电场强度的关系
5.(2025·河南卷,4)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
6.(多选)(2025·安徽模拟)如图所示,在匀强电场中有一个圆心为O的虚线圆,电场方向与圆所在的平面平行,A、B、C、D分别为圆上的四个点,其中AC过圆心,AC=1 m,AB=0.6 m,AD=0.8 m。现将一个电子从A点移动到B点,电场力做的功为36 eV;若将该电子从A点移动到C点,电场力做的功为100 eV。下列说法正确的是(　　)
A.取A点电势为零,则O点的电势为15 V
B.D点处的电势比B点处的电势高
C.电场强度大小为100 V/m,方向由A点指向C点
D.若将电子从A点移到D点,则其电势能减少64 eV
对点3.电场线、等势线(面)与粒子的运动轨迹问题
7.(2025·安徽合肥三模)电缆周围的电场分布对电缆的电场强度影响很大,如图所示为电缆终端周围的电场分布情况,图中虚线为等势线,实线为电场线,a、b、c三点为不同电场线和等势面的交点,其中b、c两点关于电缆对称,下列说法正确的是(　　)
A.a点的电场强度比b点的小
B.b点的电场强度和c点的相同
C.在b点由静止释放一带正电的粒子,粒子将沿等势线运动
D.将一电子由a点移至b点后电势能减小
8.(2025·广东广州三模)在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示,A、B两个带电球之间产生非匀强电场,茶叶茶梗都带正电荷,且茶叶的比荷小于茶梗的比荷,两者通过静电场便可分离,并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗从A球表面O点离开,最后落入桶底。不计空气阻力。则(　　)
A.茶叶落入右桶,茶梗落入左桶
B.M处的电场强度大于N处的电场强度
C.M处的电势低于N处的电势
D.茶梗下落过程中电势能减小
9.(多选)(2025·四川绵阳模拟)如图所示,三个点电荷分别固定在等边三角形的顶点A、B、C上,M、N、L点为三条边的中点。已知M点的电场强度方向与BC边平行,N点的电场强度方向与BC边垂直,A处点电荷的电荷量为+q,则(　　)
A.B处点电荷带负电
B.C处点电荷电荷量的绝对值小于q
C.带正电荷的试探电荷在M点的电势能比在L点的大
D.将A处点电荷沿NA连线远离BC边,N点的电势降低
10.(2025·陕晋青宁卷,15)如图,有两个电性相同且质量分别为m、4m的粒子A、B,初始时刻相距l0,粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动,此时A、B两粒子系统的电势能等于m。经时间t1粒子B到达P点,此时两粒子速度相同,同时开始给粒子B施加一恒力,方向与速度方向相同。当粒子B的速度为v0时,粒子A恰好运动至P点且速度为0,A、B粒子间距离恢复为l0,这时撤去恒力。已知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比,忽略两粒子所受重力。求:(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1;
(2)t1时间内粒子B的位移大小xB;
(3)恒力作用的时间t2。第6讲　小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
对点1.带电粒子在电场和重力场中的运动
1.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)如图所示,在竖直向上的匀强电场中,A球位于B球的正上方,质量相等的两个小球以不同初速度同时水平抛出,它们最后落在水平面上同一点,其中只有一个小球带电,不计空气阻力,两个小球均可视为质点,下列判断正确的是(　　)
A.如果A球带正电,则A球的初速度一定较小
B.如果B球带正电,则A球的初速度一定较大
C.如果A球带负电,则A球运动时间一定较长
D.如果B球带负电,则A球运动时间一定较短
2.(2025·江西九江三模)如图所示,粗糙绝缘的直杆竖直放置在等量异种电荷连线的中垂线上,直杆上有A、O、B三点,O为等量异种点电荷连线的中点,AO=BO=L。一质量为m的带负电小圆环从A点以初速度v0向B点滑动,滑到B点时速度恰好为0,重力加速度为g。关于小圆环从A运动到B的过程,下列说法正确的是(　　)
A.小圆环的电势能先减小后增大
B.小圆环的加速度先减小后增大
C.小圆环克服摩擦力做功为m+2mgL
D.小圆环运动到O点时的动能等于m
3.(多选)(2025·云南昆明三模)匀强电场中,质量为m、带电量为q(q>0)且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动,M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点,电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为 (g为重力加速度),此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为2且大于小球经过N点时的速度,不计空气阻力。若O点电势为零,下列说法正确的是(　　)
A.小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B.匀强电场的电场强度大小为
C.M点的电势为
D.小球从速度最小到速度最大的过程中,电场力做的功为2mgL
4.(2025·甘肃白银模拟)取无限远处为零电势点,真空中带电量为Q0的点电荷在与其距离为r的A点的电势φ=(其中k为静电力常量),如果A点周围有多个点电荷,则A点的电势等于这些点电荷单独存在时的电势之和。如图所示为水平放置的一均匀带电圆环,所带的总电量为+Q,圆环的半径为b,O点为圆环的圆心,取O点为坐标原点,竖直向上为正方向,建立z轴,在Oz轴上位于z=d处的P点的电场强度最大。现将质量为m、带电量为+q的小球(可视为质点)从z轴正半轴无限远处由静止释放,小球运动到P点时的速度为v,加速度恰好为零。已知静电力常量为k,空气阻力不计,重力加速度为g。求:
(1)小球的质量;
(2)小球从无限远处运动到P点的过程中重力所做的功。
对点2.电场中的力、电综合问题
5.(2025·江西赣州二模)如图甲所示,竖直放置的光滑绝缘四分之一圆形轨道两端分别与绝缘粗糙水平传送带CD和光滑绝缘的竖直轨道AB平滑相接,C点为四分之一圆形轨道的最低点,整个装置处在水平向左的匀强电场中,电场强度大小为E。一带电量为+q、质量m为0.1 kg的金属小物块(视为质点)从A位置处无初速度自由滑下,滑至底端C并冲上沿逆时针方向匀速转动且足够长的传送带。在传送带上运动的vt图像如图乙所示,以速度水平向左为正方向,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,已知E=,则(　　)
A.由A运动到B的过程中,电场力对金属小物块的功率一直增大
B.金属小物块与传送带间的动摩擦因数为
C.0~0.45 s内,金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为0.45 J
D.金属小物块在运动过程中对轨道压力的最大值为
6.(多选)(2025·安徽卷,10)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则(　　)
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小 v=
7.(2025·湖南期末)如图所示,在光滑水平轨道AB的末端处,平滑连接一个半径R=0.4 m 的光滑半圆形轨道,半圆形轨道与水平轨道相切,C点为半圆形轨道的中点,D点为半圆形轨道的最高点,A、B两点间的距离L=1.2 m,整个轨道处在电场强度水平向右、大小E=1×107 N/C的匀强电场中。用固定的弹射装置锁定一个质量m=1 kg、带电量q=+1×10-6 C的小物块(可视为质点),某时刻解除锁定,小物块运动到D点时对轨道的压力为30 N。重力加速度大小g取
10 m/s2。求:
(1)弹射装置锁定时具有的弹性势能;
(2)小物块在水平轨道AB上的落点与B点的距离;
(3)小物块在空中的最小动能。
8.(2025·湖南娄底一模)如图甲所示,虚线表示竖直平面内的匀强电场中的等势面,等势面与水平地面平行。电荷量为q、质量为m的带电小球以一定初速度沿虚线方向抛出,以抛出点为坐标原点沿竖直向下方向建立y轴,运动过程中小球能量E′随y的变化如图乙所示,其中动能和机械能随坐标y的变化关系分别如图线a、b所示,已知E0为已知量,重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.小球初速度大小v0=2
B.电场强度大小为
C.小球抛出时重力势能为E0
D.小球加速度大小为g
9.(2025·辽宁葫芦岛二模)如图所示,倾角为θ=30° 的光滑绝缘斜面底端固定有一劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧上端连接一质量为2m不带电的滑块Q而处于静止状态,整个装置处于沿斜面向下的匀强电场中,电场强度大小E=。在Q的上方x0=处由静止释放一质量为m、电荷量为+q的滑块P,运动一段时间后P与Q发生碰撞,碰撞时间极短(可忽略不计),P所带电荷量不会转移到Q。碰后P、Q一起向下运动,到达最低点后又向上弹回。已知重力加速度为g,弹簧始终处在弹性限度内,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2,弹簧振子的周期公式为T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)求碰后瞬间P、Q的共同速度;
(2)求碰后P、Q一起向下运动的最大位移;
(3)试判断P、Q碰后的运动过程中是否会分离。如果会分离,则求从释放P到P、Q第一次分离所用的时间;如果不会分离,则求从释放P到P、Q速度第二次减为零所用的时间。第2讲　电场能的性质
课时作业
对点1.描述电场能的性质的物理量
1.(多选)(2025·安徽芜湖期末)关于静电场,下列说法正确的是(　　)
A.同一条电场线上的各点,电势一定不同
B.电荷只在电场力作用下沿电场线方向移动时,电势能可能增加
C.带电体在电势为零的位置处没有能量
D.电势处处相等的空间内一定存在匀强电场
【答案】 AB
【解析】 沿电场强度方向电势减小,电场线的切线方向表示电场强度的方向,故沿电场线方向电势一定降低,所以一条电场线上的各点,电势一定不相等,A正确;电荷只在电场力的作用下从某点移动到另一点,若电场力做正功,电势能减少,若电场力做负功,电势能增加,B正确;带电体在电势为零的位置处电势能为0,但可能有机械能,C错误;电势处处相等的空间是等势体,若其内存在匀强电场,则同一条电场线上各点电势不会相等,该空间电势不会处处相等,D错误。
2.(2025·贵州模拟)如图,x轴水平向右,其坐标原点O的正上方M点放有一正点电荷,A、B为x轴上的两点,各点间的距离满足=。现分别用φA、φB表示A、B两点的电势,将A、B两点的电场强度沿x轴方向和垂直于x轴方向进行分解,设x轴方向的分量分别为EAx、EBx,则下列判断正确的是(　　)
A.φA>φB,EAx=EBx B.φA>φB,EAx>EBx
C.φA<φB,EAx>EBx D.φA<φB,EAx【答案】 A
【解析】 离正点电荷越近的地方电势越高,A点比B点离正点电荷更近,则A点电势更高,即φA>φB。设x轴正方向上某点的横坐标为x,该点与M点的距离为r,则该点与M点连线和x轴负方向的夹角为θ,由几何关系有cos θ=,正点电荷在该点产生的电场强度沿x轴方向的分量大小Ex=cos θ=,可知EAx=,EBx=,由于=,整理得=,故EAx=EBx,A正确。
3.(2025·甘肃卷,5)如图,两极板不平行的电容器与直流电源相连,极板间形成非匀强电场,实线为电场线,虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上,N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点,速度增大
D.负电荷从M点运动到P点,电场力做负功
【答案】 D
【解析】 由于上极板接电源正极,下极板接电源负极,则电场线由上到下,而沿电场线方向电势逐渐降低,可知M点所处等势面的电势比P点所处等势面电势高,即M点电势比P点的高,A错误;M点电场线分布比N点密集,可知M点电场强度比N点的大,B错误;负电荷从M点运动到P点,电场力方向的与位移方向的夹角为钝角,电场力做负功,动能减小,速度减小,C错误,D正确。
4.(2025·江西宜春阶段练习)如图所示,光滑绝缘固定细杆与水平方向的夹角θ=30°。电荷量Q=-4×10-6 C的点电荷固定于光滑绝缘细杆端点。A、B是以点电荷Q为圆心,半径分别为r1=0.6 m和r2=0.3 m的同心圆周上的两点,同心圆周与光滑绝缘细杆相交于C点和D点。已知静电力常量k=9×109 N·m2/C2,且以无穷远处为零电势位置。现将一电荷量q=
-2×10-6 C、质量m=0.2 kg的带负电小球套在杆上从C点由静止释放,g取10 m/s2。
(1)求带电小球从C点由静止释放瞬间的加速度大小。
(2)若将电荷量q1=3×10-6 C的点电荷从A点移至无穷远处,克服电场力做功0.18 J;若将电荷量q2=-4×10-6 C的试探电荷置于B点,其具有的电势能为0.48 J。则A、B两点的电势φA、φB分别是多少
(3)求带电小球下滑至D点的速度大小。(结果可保留根号)
【答案】 (1)4 m/s2
(2)-6×104 V　-1.2×105 V
(3) m/s
【解析】 (1)带电小球在C点所受库仑力大小为F=k=0.2 N,
小球从C点释放瞬间,根据牛顿第二定律有mgsin θ-F=ma,
解得此时加速度大小为a=4 m/s2。
(2)根据电场力做功与电势差的关系有W1=q1(φA-0)=q1φA=-0.18 J,
解得φA=-6×104 V,由电势的定义式可得φB==-1.2×105 V。
(3)A、C位于同一等势面,B、D也位于同一等势面。
小球从C点运动到D点过程中,
电场力做功为WCD=qUCD=q(φC-φD)=q(φA-φB)=-0.12 J,
根据动能定理有mg(r1-r2)sin θ+WCD=mv2,
解得v= m/s。
对点2.电势差与电场强度的关系
5.(2025·河南卷,4)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、
4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是(　　)
　　　　
A B
　　　　
C D
【答案】 C
【解析】匀强电场中任意两点间的中点的电势等于这两点电势的平均值,可知a、c中点d的电势与b点电势相同,b、d的连线为该匀强电场的等势线。电场线垂直于等势线且由高电势指向低电势,故电场线沿ac方向且由a指向c,C正确。
6.(多选)(2025·安徽模拟)如图所示,在匀强电场中有一个圆心为O的虚线圆,电场方向与圆所在的平面平行,A、B、C、D分别为圆上的四个点,其中AC过圆心,AC=1 m,AB=0.6 m,AD=
0.8 m。现将一个电子从A点移动到B点,电场力做的功为36 eV;若将该电子从A点移动到C点,电场力做的功为100 eV。下列说法正确的是(　　)
A.取A点电势为零,则O点的电势为15 V
B.D点处的电势比B点处的电势高
C.电场强度大小为100 V/m,方向由A点指向C点
D.若将电子从A点移到D点,则其电势能减少64 eV
【答案】 BD
【解析】 根据公式U=可知,A、C两点的电势差为UAC=φA-φC=-100 V,取A点的电势为0,可知C点的电势为φC=100 V,则圆心O点的电势为φO=50 V,A错误;同理,A、B两点的电势差为UAB=φA-φB=-36 V,若仍取A点的电势为0,则φB=36 V,根据几何关系可知AB与CD平行且相等,在匀强电场中有UAD=UBC=-64 V,则φD=64 V,即φD>φB,B正确;若过B点作AC的垂线交于P点,如图所示,则AP=ABcos ∠BAC=AB·=0.36 m,可知A、P间电势差为UAP=UAC·=-36 V,即φP=36 V,说明BP为一条等势线,该电场的电场强度方向由C点指向A点,大小为E==100 V/m,C错误;电子从A点移到D点,电场力做功为WAD=-eUAD=
64 eV,则电子的电势能减少64 eV,D正确。
对点3.电场线、等势线(面)与粒子的运动轨迹问题
7.(2025·安徽合肥三模)电缆周围的电场分布对电缆的电场强度影响很大,如图所示为电缆终端周围的电场分布情况,图中虚线为等势线,实线为电场线,a、b、c三点为不同电场线和等势面的交点,其中b、c两点关于电缆对称,下列说法正确的是(　　)
A.a点的电场强度比b点的小
B.b点的电场强度和c点的相同
C.在b点由静止释放一带正电的粒子,粒子将沿等势线运动
D.将一电子由a点移至b点后电势能减小
【答案】 D
【解析】 a点附近电场线较 b点密集,可知a点的电场强度比b点的大,A错误;b点的电场强度和c点的大小相同,但方向不同,B错误;因电场线为曲线,则在b点由静止释放一带正电的粒子,释放时其加速度与等势线垂直,粒子不可能沿等势线运动,C错误;因b点电势高于a点,负电荷在高电势点的电势能小,则将一电子由a点移至b点后电势能减小,
D正确。
8.(2025·广东广州三模)在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示,A、B两个带电球之间产生非匀强电场,茶叶茶梗都带正电荷,且茶叶的比荷小于茶梗的比荷,两者通过静电场便可分离,并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗从A球表面O点离开,最后落入桶底。不计空气阻力。则(　　)
A.茶叶落入右桶,茶梗落入左桶
B.M处的电场强度大于N处的电场强度
C.M处的电势低于N处的电势
D.茶梗下落过程中电势能减小
【答案】 D
【解析】 根据牛顿第二定律得a=,由于茶叶、茶梗均带正电,则电场力产生的加速度方向整体向右,由于茶叶的比荷小于茶梗的比荷,则茶叶因电场力产生的加速度小于茶梗因电场力产生的加速度,即在相等时间内,茶叶的水平分位移小于茶梗的水平分位移,所以茶叶落入左桶,茶梗落入右桶,A错误;电场线分布的密集程度表示电场强弱,M处电场线分布比N处电场线稀疏一些,则M处电场强度小于N处电场强度,若过M、N分别作等势线,可知M处的电势高于N处的电势,B、C错误;茶梗下落过程中电场力做正功,则电势能减小,D正确。
9.(多选)(2025·四川绵阳模拟)如图所示,三个点电荷分别固定在等边三角形的顶点A、B、C上,M、N、L点为三条边的中点。已知M点的电场强度方向与BC边平行,N点的电场强度方向与BC边垂直,A处点电荷的电荷量为+q,则(　　)
A.B处点电荷带负电
B.C处点电荷电荷量的绝对值小于q
C.带正电荷的试探电荷在M点的电势能比在L点的大
D.将A处点电荷沿NA连线远离BC边,N点的电势降低
【答案】 BD
【解析】 由于N点合电场强度方向竖直向下,则A点电荷在N点的电场强度方向沿A→N,B、C点处的点电荷在N点的电场强度方向一定沿CB所在直线,且二者合电场强度为零,即C、B点处的点电荷为等量同种电荷。由于EM平行于BC向左,而A点的电荷在M点的电场强度沿AM方向,则C、B处点电荷在M点的合电场强度方向斜向左上,所以C、B处的点电荷均为正电荷,A错误;设C、B处的点电荷的电荷量均为Q,设三角形的边长为l,由几何关系得CM=l,AM=BM=,A点电荷在M点的电场强度竖直分量的大小为EA=k×sin 60°=,方向竖直向下,B点电荷在M点的电场强度竖直分量的大小为EB=k×sin 60°=,方向竖直向上,C点电荷在M点的电场强度竖直分量大小为EC=k×sin 30°=,方向竖直向上,而M点竖直方向电场强度为零,则有EB+EC=EA,联立解得Q=q10.(2025·陕晋青宁卷,15)如图,有两个电性相同且质量分别为m、4m的粒子A、B,初始时刻相距l0,粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动,此时A、B两粒子系统的电势能等于m。经时间t1粒子B到达P点,此时两粒子速度相同,同时开始给粒子B施加一恒力,方向与速度方向相同。当粒子B的速度为v0时,粒子A恰好运动至P点且速度为0,A、B粒子间距离恢复为l0,这时撤去恒力。已知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比,忽略两粒子所受重力。求:(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1;
(2)t1时间内粒子B的位移大小xB;
(3)恒力作用的时间t2。
【答案】 (1)v0　(2)-l0　(3)
【解析】 (1)根据动量守恒定律有mv0=(m+4m)v1,
解得v1=v0。
(2)设A、B两粒子共速时间距为l′,
根据能量守恒定律可知此时系统的电势能为
Ep′=m+m-×5m,
解得Ep′=m,
根据题意电荷间的电势能与它们间的距离成反比,则l′=l0=l0,
两者共速前的过程中系统始终动量守恒,根据动量守恒有∑mv0t1=∑mvAt1+∑4mvBt1,
即有mv0t1=mxA+4mxB,
根据位移关系可知xB+l0=xA+l′,
联立解得xB=-l0。
(3)对全过程,根据动能定理有
Fl0=×4m-m,
对全过程,根据动量定理有
Ft2=4mv0-mv0,
联立解得t2=。第6讲　小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
课时作业
对点1.带电粒子在电场和重力场中的运动
1.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)如图所示,在竖直向上的匀强电场中,A球位于B球的正上方,质量相等的两个小球以不同初速度同时水平抛出,它们最后落在水平面上同一点,其中只有一个小球带电,不计空气阻力,两个小球均可视为质点,下列判断正确的是(　　)
A.如果A球带正电,则A球的初速度一定较小
B.如果B球带正电,则A球的初速度一定较大
C.如果A球带负电,则A球运动时间一定较长
D.如果B球带负电,则A球运动时间一定较短
【答案】 A
【解析】 若A球带正电,根据类平抛规律,对A有hA=·,x=vAt1,解得vA=x,对B有hB=g,x=vBt2,解得vB=x,其中hA>hB,可知vAx,vA=x,其中hA>hB,可知两小球的初速度大小关系不能够确定,A正确,B错误。若A球带负电,则hA=·,解得t3=,对B有hB=g,解得t4=,其中hA>hB,可知两小球的运动时间大小关系不能够确定;若B球带负电,对B有hB=·,解得t5=,对A有hA=g,解得t6=,其中hA>hB,可知t52.(2025·江西九江三模)如图所示,粗糙绝缘的直杆竖直放置在等量异种电荷连线的中垂线上,直杆上有A、O、B三点,O为等量异种点电荷连线的中点,AO=BO=L。一质量为m的带负电小圆环从A点以初速度v0向B点滑动,滑到B点时速度恰好为0,重力加速度为g。关于小圆环从A运动到B的过程,下列说法正确的是(　　)
A.小圆环的电势能先减小后增大
B.小圆环的加速度先减小后增大
C.小圆环克服摩擦力做功为m+2mgL
D.小圆环运动到O点时的动能等于m
【答案】 D
【解析】 等量异种点电荷连线的中垂线是等势线,小圆环从A到B过程电场力不做功,小圆环的电势能不变,A错误;从A到B,电场强度先增大后减小,小圆环受到的电场力先增大后减小,小圆环受到的摩擦力大小为Ff=μFN=μqE,而小圆环加速度为a=,可知加速度先增大后减小,B错误;小圆环从A到B过程,根据动能定理有-mg×2L+Wf=0-m,解得摩擦力对圆环做功为Wf=2mgL-m,C错误;由对称性可知,小圆环从A到O过程和从O到B过程摩擦力做功相等,故从A到O过程有-mgL+Wf=Ek-m,解得小圆环运动到O点时的动能为Ek=m,D正确。
3.(多选)(2025·云南昆明三模)匀强电场中,质量为m、带电量为q(q>0)且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动,M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点,电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为 (g为重力加速度),此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为2且大于小球经过N点时的速度,不计空气阻力。若O点电势为零,下列说法正确的是(　　)
A.小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B.匀强电场的电场强度大小为
C.M点的电势为
D.小球从速度最小到速度最大的过程中,电场力做的功为2mgL
【答案】 BC
【解析】运动过程中小球速度最小时绳子拉力恰好为零,可知重力和电场力的合力提供向心力,此时有F合=m=mg,因重力竖直向下,可知电场力大小F电=mg,且与重力夹角为120°,则匀强电场的电场强度大小为E=,可知小球运动过程中的等效重力点如图中Q所示,A错误,B正确;连接MP,并过O点作MP的垂线,该垂线为等势线,则M、O两点的电势差为UMO=ELcos 60°=,O点电势为零,可知M点的电势为φM=,C正确;小球从速度最小到速度最大为从Q到P的过程,电场力做的功为W=qE·2Lcos 60°=mgL,D错误。
4.(2025·甘肃白银模拟)取无限远处为零电势点,真空中带电量为Q0的点电荷在与其距离为r的A点的电势φ=(其中k为静电力常量),如果A点周围有多个点电荷,则A点的电势等于这些点电荷单独存在时的电势之和。如图所示为水平放置的一均匀带电圆环,所带的总电量为+Q,圆环的半径为b,O点为圆环的圆心,取O点为坐标原点,竖直向上为正方向,建立z轴,在Oz轴上位于z=d处的P点的电场强度最大。现将质量为m、带电量为+q的小球(可视为质点)从z轴正半轴无限远处由静止释放,小球运动到P点时的速度为v,加速度恰好为零。已知静电力常量为k,空气阻力不计,重力加速度为g。求:
(1)小球的质量;
(2)小球从无限远处运动到P点的过程中重力所做的功。
【答案】 (1) (2)+
【解析】 (1)小球经过P点时的加速度为零,
有qE=mg,
解得P点的电场强度E=,
把圆环分n等份,则P点的电场强度大小为E=nEncos θ,
而En=,cos θ=,
联立解得m=。
(2)小球从无限远处运动到P点的过程中,根据动能定理有W重+W电=mv2,
而W电=qU,U=0-φP,
P点的电势φP=,
解得W重=+。
对点2.电场中的力、电综合问题
5.(2025·江西赣州二模)如图甲所示,竖直放置的光滑绝缘四分之一圆形轨道两端分别与绝缘粗糙水平传送带CD和光滑绝缘的竖直轨道AB平滑相接,C点为四分之一圆形轨道的最低点,整个装置处在水平向左的匀强电场中,电场强度大小为E。一带电量为+q、质量m为0.1 kg的金属小物块(视为质点)从A位置处无初速度自由滑下,滑至底端C并冲上沿逆时针方向匀速转动且足够长的传送带。在传送带上运动的vt图像如图乙所示,以速度水平向左为正方向,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力,不计空气阻力,重力加速度g取
10 m/s2,已知E=,则(　　)
A.由A运动到B的过程中,电场力对金属小物块的功率一直增大
B.金属小物块与传送带间的动摩擦因数为
C.0~0.45 s内,金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为0.45 J
D.金属小物块在运动过程中对轨道压力的最大值为
【答案】 B
【解析】 金属小物块由A运动到B的过程中,电场力与金属小物块的速度方向垂直,可知电场力的功率一直为零,A错误;由题图乙可知,金属小物块刚滑上传送带时的加速度大小为a= m/s2= m/s2,则有qE+μmg=ma,解得金属小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=,B正确;0~0.45 s 内,金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为Q=μmgΔx,Δx为二者之间的相对位移,由题图乙图线所围面积,可知Δx=×0.45×6 m=1.35 m,可得Q=0.9 J,C错误;电场力和重力的合力大小F==mg,金属小物块对轨道压力最大时有FN-F=m,可知FN=m+F>F=mg,即金属小物块在运动过程中对轨道最大压力大于,D错误。
6.(多选)(2025·安徽卷,10)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则(　　)
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
【答案】 ABD
【解析】 如图所示,对两球进行受力分析,设两球间的库仑力大小为F,轨道倾角为θ,对甲球根据平衡条件有FN1cos θ=mg,F=FN1sin θ+Eq,对乙球有FN2cos θ=2mg,FN2sin θ=F+2Eq,联立解得F=4Eq,故==,同时由库仑定律有F=,解得E=,故A、B正确;若将甲、乙互换位置,假设二者仍能保持静止,同理可得对甲有FN1′cos θ=mg,FN1′sin θ=F+Eq,对乙有FN2′cos θ=2mg,FN2′sin θ+2Eq=F,联立可得F+4Eq=0,无解,即假设不成立,故C错误;若撤去甲,对乙球根据动能定理有2mg·tan θ-2Eq·=·2mv2,结合前面分析可知tan θ=,联立解得v=,故D正确。
7.(2025·湖南期末)如图所示,在光滑水平轨道AB的末端处,平滑连接一个半径R=0.4 m的光滑半圆形轨道,半圆形轨道与水平轨道相切,C点为半圆形轨道的中点,D点为半圆形轨道的最高点,A、B两点间的距离L=1.2 m,整个轨道处在电场强度水平向右、大小E=1×
107 N/C的匀强电场中。用固定的弹射装置锁定一个质量m=1 kg、带电量q=+1×10-6 C的小物块(可视为质点),某时刻解除锁定,小物块运动到D点时对轨道的压力为30 N。重力加速度大小g取10 m/s2。求:
(1)弹射装置锁定时具有的弹性势能;
(2)小物块在水平轨道AB上的落点与B点的距离;
(3)小物块在空中的最小动能。
【答案】 (1)4 J　(2)0.8 m　(3)4 J
【解析】 (1)小物块经过D点时有FN+mg=m,
代入数据解得vD=4 m/s,
设D点电势为0,则小物块在A处的电势能Ep电=EqL,从A点到D点,
根据能量守恒定律有Ep+EqL=m+2mgR,
代入数据解得Ep=4 J。
(2)小物块离开D点,在竖直方向上做自由落体运动,则2R=gt2,
在水平方向上做匀变速直线运动,其加速度a=,
则水平位移x=vDt-at2,
代入数据解得x=0.8 m。
(3)小物块在空中运动过程中,
电场力F电=Eq=10 N,
重力G=mg=10 N,
合力与水平方向的夹角θ=45°,且F合=mg,
将合力看成等效重力,那么物块在空中的运动为斜抛运动,当速度与等效重力垂直时速度最小,此时vmin=vDcos θ,
解得vmin=2 m/s,
所以最小动能Emin=m,
代入数据解得Emin=4 J。
8.(2025·湖南娄底一模)如图甲所示,虚线表示竖直平面内的匀强电场中的等势面,等势面与水平地面平行。电荷量为q、质量为m的带电小球以一定初速度沿虚线方向抛出,以抛出点为坐标原点沿竖直向下方向建立y轴,运动过程中小球能量E′随y的变化如图乙所示,其中动能和机械能随坐标y的变化关系分别如图线a、b所示,已知E0为已知量,重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.小球初速度大小v0=2
B.电场强度大小为
C.小球抛出时重力势能为E0
D.小球加速度大小为g
【答案】 B
【解析】 由题图甲可知,空间中电场线沿竖直方向;由题图乙中直线b可知,带电小球所受电场力方向竖直向上,由直线a可知重力大于电场力。小球初动能为E0,则有E0=m,可得初速度大小v0=,A错误;设电场强度大小为E,根据动能定理有(mg-qE)y0=4E0-E0,根据功能关系有-qEy0=0-4E0,联立得E=,B正确;小球抛出时机械能为4E0,动能为E0,可知初始时小球重力势能Ep0=3E0,C错误;根据牛顿第二定律,对小球有mg-qE=ma,代入数据得小球加速度大小为a=g,D错误。
9.(2025·辽宁葫芦岛二模)如图所示,倾角为θ=30°的光滑绝缘斜面底端固定有一劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧上端连接一质量为2m不带电的滑块Q而处于静止状态,整个装置处于沿斜面向下的匀强电场中,电场强度大小E=。在Q的上方x0=处由静止释放一质量为m、电荷量为+q的滑块P,运动一段时间后P与Q发生碰撞,碰撞时间极短(可忽略不计),P所带电荷量不会转移到Q。碰后P、Q一起向下运动,到达最低点后又向上弹回。已知重力加速度为g,弹簧始终处在弹性限度内,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2,弹簧振子的周期公式为T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)求碰后瞬间P、Q的共同速度;
(2)求碰后P、Q一起向下运动的最大位移;
(3)试判断P、Q碰后的运动过程中是否会分离。如果会分离,则求从释放P到P、Q第一次分离所用的时间;如果不会分离,则求从释放P到P、Q速度第二次减为零所用的时间。
【答案】 (1)g　(2)mg
(3)不会分离　(3+π)
【解析】 (1)设滑块P、Q碰撞前瞬间P的速度为v1,
根据动能定理有
(mgsin 30°+Eq)x0=m,
解得v1=3g;
设碰后瞬间P、Q的共同速度为v2,对P、Q的碰撞过程,
根据动量守恒定律有mv1=(m+2m)v2,
解得v2=v1=g。
(2)初始时刻弹簧的压缩量为x1,根据平衡条件,对Q有kx1=2mgsin θ,得x1=,
设碰后P、Q一起向下运动的最大位移为x2,
P、Q碰后瞬间到两者到达最低点的过程,
根据能量守恒定律有
(m+2m)+(m+2m)gx2sin θ+Eqx2=k-k,
解得x2=mg,
另一值(x2=-,不符合题意舍去)。
(3)P、Q分离的临界条件是二者之间弹力为零且加速度相同。假设P、Q碰后的运动过程中未分离,即P、Q上升到最高点时弹簧仍处于压缩状态,设此时弹簧的压缩量为x3,从碰后瞬间到最高点,根据能量守恒定律有
k+(m+2m)=k+(m+2m)g(x1-x3)sin θ+Eq(x1-x3),
解得x3=0,
说明假设成立,弹簧恢复到原长时到达最高点,此时P、Q速度均为零,此后做简谐运动,
振幅为A==mg,
由此可知P、Q碰撞位置距离平衡位置Δx=A-x1=;
根据振动规律,P、Q一起运动到平衡位置,
经历的时间Δt=(T为简谐运动周期),
设P释放到P、Q碰撞经历的时间为t1,根据动量定理有(mgsin θ+Eq)t1=mv1,
设P、Q碰撞到第二次速度为零经历的时间为t2,t2=T+T,
从释放P到P、Q速度第二次减为零所用的时间t=t1+t2=(3+π)。第5讲　小专题:带电粒子在交变电场中的运动
对点1.带电粒子在交变电场中的直线运动
1.(2025·北京期末)如图甲所示,平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的变化电压UAB,重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子,粒子先向A板运动,再向B板运动……,最终打在A板上。则t0可能属于的时间段是(　　)
A.TC.2.(2025·四川达州期末)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的关系图像。当t=0时,在此匀强电场中静止释放一个带电粒子,设带电粒子只受电场力的作用,则下列说法正确的是(　　)
A.0~2 s内和2~4 s内带电粒子的速度变化量相同
B.5 s末与7 s末带电粒子速度方向相反
C.12 s末比14 s末带电粒子离出发点更远
D.11~14 s内,电场力做的总功为零
3.(2024·重庆二模)如图甲所示,在相距较远的两平行金属板中央有一个静止的带电粒子(不计重力),当两板间的电压分别如图中乙、丙、丁、戊所示时,在t=0时刻静止释放该粒子,下列说法正确的是(　　)
A.电压如图乙所示时,在0~T时间内,粒子的电势能先增加后减少
B.电压如图丙所示时,在0~时间内,粒子先做匀加速直线运动,后做匀减速直线运动
C.电压如图丁所示时,在0~时间内,粒子动量变化量为0
D.电压如图戊所示时,若粒子在T之前不能到达极板,则一直不能到达极板
4.(多选)(2025·四川绵阳阶段练习)市场上出现的一种静电耳机基本原理如图甲所示,a、b为两片平行固定金属薄板,M是位于金属板之间的极薄带电振膜,将带有音频信号特征的电压加在金属板上,使带电振膜在静电力的作用下沿垂直于金属板方向振动从而发出声音。若两金属板可看作间距为d、电容为C的平行板电容器,振膜质量为m且均匀带有+q电荷,其面积与金属板相等,两板所加电压信号Uab如图乙所示,周期为T,在t=0时刻振膜从两板正中间位置由静止开始运动,振膜不碰到金属板,不计振膜受到的重力和阻力,则(　　)
A.当金属板充电至电荷量为Q时振膜的加速度为
B.一个周期内振膜沿ab方向运动的时间为
C.所加信号电压Uab中的U0最大值为
D.所加信号电压Uab中的U0最大值为
对点2.带电粒子在交变电场中的偏转
5.(2025·甘肃卷,7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线),极板长度为l、间距为d,U2t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
6.(多选)(2025·辽宁模拟)如图甲所示,在矩形MNQP区域内有平行于MP的匀强电场,一电荷量为+q、质量为m的带电粒子(不计粒子所受重力)以初速度v0从M点沿MN方向进入匀强电场,经时间T0刚好从Q点射出,MN=2MP=2L。取匀强电场方向由M→P为正方向,大小为E(大小未知)。若电场的电场强度按图乙或图丙所示做周期性变化,现使该粒子在t=0时刻仍从M点以v0射入电场,下列说法正确的是(　　)
A.电场强度E0的大小为
B.若电场按图乙做周期性变化,则粒子到达NQ边界上的位置与Q相距
C.若电场按图乙做周期性变化,则粒子到达NQ边界时的速度大小为v0
D.若电场按图丙做周期性变化,则粒子到达NQ边界时的位置与Q相距
7.(2025·辽宁期末)如图甲,在平面直角坐标系xOy的第一象限内,虚线AB上方有沿y轴负方向的匀强电场,AB与x轴负方向夹角为37°,A点在y轴上,与O点距离为d,B点在x轴上,在第二象限内有平行于y轴的平行板M、N,板间加的电压随时间变化的规律如图乙所示。在M板附近有一粒子源,不断地由静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,粒子经加速电场加速后,以垂直于y轴的方向从y轴上的A点进入第一象限。粒子在M、N间运动的时间远小于T,可以认为每个粒子在M、N间运动的时间内都是稳定的匀强电场。从t=0时刻释放的粒子进入第一象限后经电场偏转后刚好从AB的中点离开电场,不计粒子所受的重力及一切阻力,求:
(1)t=0时刻释放的粒子到达A点时速度的大小;
(2)第一象限内的匀强电场电场强度的大小;
(3)x轴上有粒子经过的区域长度。
8.(2024·重庆模拟)如图甲所示,在水平放置的平行金属板A、B左侧有一线状粒子发射源(图中未画出),能发出宽度为d、速度相同的带正电粒子束,t=0 时刻该粒子束恰好完全水平进入平行金属板间。已知粒子束的速度v0=1×103 m/s,比荷=1×106 C/kg,两板间距为d=20 cm,板长L=4 cm,极板间加如图乙所示的交流电压。不考虑电容器的边缘效应,也不考虑击中极板的粒子对板间电压的影响,不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则粒子射出电场时的位置到B板的距离至少为(　　)
A.0.002 5 m B.0.005 m
C.0.01 m D.0.015 m
9.(多选)(2025·湖南长沙一模)如图甲所示,竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层,左侧为正电荷离子层,右侧为负电荷离子层,两离子层内单位体积的电荷量均为ρ,厚度均为d。以正离子层左边缘上某点O为坐标原点,水平向右为正方向建立坐标轴Ox。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿x轴正方向,其大小E随x的变化关系如图乙所示;在x<0和x>2d空间内电场强度均为零。某放射性粒子源S位于x=-d的位置,放射出的电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时,电子刚好可以到达离子层分界面处,没有射入负电荷离子层。已知电子质量为m,所带电荷量为e,其中e=1.6×10-19 C,不计电子所受重力及电子间相互作用力,假设电子与离子不发生碰撞。下列说法正确的是(　　)
A.电子在离子层中做匀变速曲线运动
B.电子将从正离子层左侧边界离开
C.电子从进入离子层到离子层分界面过程电势能增加
D.刚好可以到达离子层分界面处的电子入射时θ满足cos θ=
10.(2025·陕西西安期末)某示波管简化装置由加速板P、Q、偏转板A、B及圆弧荧光屏MN组成,如图甲所示,加速电场电压为U0,A、B两板间距和板长均为l,荧光屏圆弧的半径为2l,其圆心与正方形偏转区域的中心点O恰好重合,A、B板间电压UAB随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为q、初速度为零的粒子从t=0时刻开始连续均匀地“飘入”加速电场,粒子通过偏转电场的时间远小于T,不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力。求:
(1)粒子进入偏转电场时的速度大小;
(2)在电压变化的一个周期内,能穿过偏转电场的粒子数占总粒子数的百分比(精确至0.1%);
(3)粒子从进入偏转电场到打在屏上的最长时间与最短时间之差。第7讲　实验:观察电容器的充、放电现象
课时作业
1.(2025·重庆渝中阶段练习)小巴同学用电流传感器和电压传感器(不考虑传感器对电路的影响)探究电容器的充放电规律,实验装置如图甲所示。有内阻不计的直流电源E,电阻箱R,电容器C,单刀双掷开关S。
(1)由电路图可知,传感器2应为　　　　(选填“电流”或“电压”)传感器。
(2)根据测到的数据,某过程中电容器两端电压U与电流I的关系图如图乙所示。该过程为
　 　　　(选填“充电”或“放电”)过程,该电源的电动势为　　　　 V。
【答案】 (1)电压　(2)充电　15
【解析】 (1)由电路图可知,传感器2与电容器并联,可知应为电压传感器。
(2)该过程中随着电流的减小,电压升高,因此该过程为充电过程,该电源的电动势为15 V。
2.(2025·四川期中)在学习电容器充放电的有关知识时,老师利用石英钟(内无电源)设计了如图甲所示的演示实验,向同学们演示了电容器充、放电的过程。石英钟作为常用的计时工具,其转动所需要的电流可不足1毫安,利用此特性,可用于判断电路中是否存在微小电流。电路中接入两只相同的石英钟A、B,S为单刀双掷开关,C为电容器,E为电源,如图乙所示。
请回答以下问题。
(1)当开关打至1时,电容器处于　　　　(选填“充电”或“放电”)过程,石英钟A沿顺时针转动直至停止。
(2)再将开关打至2时,石英钟B开始沿　 　　　(选填“顺时针”或“逆时针”)转动直至停止。
(3)与教材所给出的实验方案相比,该演示实验有哪些创新之处
(至少写一条)。
【答案】 (1)充电　(2)顺时针　(3)见解析
【解析】 (1)当开关打至1时,电容器与电源接通,则电容器处于充电状态,有充电电流经过石英钟A,电流左进右出使石英钟沿顺时针转动。
(2)将开关打至2时,电容器开始放电,电流沿顺时针经过石英钟B,也是左进右出,两个石英钟完全相同,则石英钟B也沿顺时针转动直至停止。
(3)与教材所给出的实验方案相比,该演示实验可以显示电容器充放电的电流流向。
3.(2025·甘肃模拟)某小组根据所学知识自制了一个电容器,并且做了观察其充、放电现象的实验,实验器材有:电源E(电动势为8 V)、电容器C、理想电压表、理想电流表、电流传感器、定值电阻R、电阻箱、单刀双掷开关S、导线若干。
(1)用如图甲所示的电路,将开关S接到1后:
①电压表示数　　　　。
A.先增大,后逐渐减小为零
B.逐渐增大,最终稳定在8 V
②电流表的示数　　　　。
A.一直稳定在某一数值
B.从某一数值开始逐渐减小到零
C.逐渐增大为某一数值
(2)将图甲电路换成图乙所示电路,开关S先接1,电容器充电完毕后,再把开关S改接2,通过电流传感器得到电容器放电的I-t图像,如图丙所示。
①根据图丙可估算出电容器开始放电时所带的电荷量q=　　　　 C(结果保留两位有效数字)。
②使用图乙电路时仅把电阻箱的阻值R调大一些,重复上述实验,下列图像中的实线和虚线分别表示改变R前后放电过程的I-t曲线,最接近实际情况的是　　　　。
　　　
A B
　　　
C D
【答案】 (1)①B　②B　(2)①3.4×10-2　②A
【解析】 (1)随着电容器的不断充电,电路中的充电电流在减小,电容器所带电荷量Q逐渐增大,两极板间电压逐渐增大,当充电结束电路稳定后,电流为0,此时电容器两极板间电压等于电源的电动势8 V。可知电压表示数逐渐增大后稳定在8 V,电流表的示数从某一数值开始逐渐减小到零。
(2)①根据电流的定义式I=可得q=It,故I-t图线与坐标轴围成的面积表示电荷量,题图丙中图线与坐标轴所围面积约为17格,则电荷量q=It=3.4×10-2 C。
②仅把电阻箱的阻值R调大一些,电容器放电的最大电流变小,但因开关接1时,电容器两端的最大电压不变,仍等于电源的电动势,即电容器稳定时电荷量不变,则放电时间变长,A正确。
4.(2024·海南卷,15)用如图甲所示的电路观察电容器的充放电现象,实验器材有电源E、电容器C、电压表、电流表、电流传感器、计算机、定值电阻R、单刀双掷开关S1、开关S2、导线若干。
(1)闭合开关S2,将S1接1,电压表示数增大,最后稳定在12.3 V。在此过程中,电流表的示数
　　　　(填选项标号)。
A.一直稳定在某一数值
B.先增大,后逐渐减小为零
C.先增大,后稳定在某一非零数值
(2)先后断开开关S2、S1,将电流表更换成电流传感器,再将S1接2,此时通过定值电阻R的电流方向为　　　　(选填“a→b”或“b→a”),通过传感器将电流信息传入计算机,画出电流随时间变化的I-t图像,如图乙,t=2 s时I=1.10 mA,图中M、N区域面积比为8∶7,可求出R=　　　　 kΩ(结果保留两位有效数字)。
【答案】 (1)B　(2)a→b　5.2
【解析】 (1)由题图甲可知,当闭合开关S2,将S1接1时,电源为电容器充电,电流表示数先从0增大到某一数值,随着电容器的不断充电,电路中的充电电流逐渐减小,当电容器充满电后,电路相当于断路,电流为零,B正确。
(2)由题图甲可知,当闭合开关S2,将S1接1时,电容器的上极板与电源正极相连,电容器充电结束后上极板带正电,当将S1接2时,电容器放电,此时通过定值电阻R的电流方向为a→b;电容器开始放电前两端电压为12.3 V,由题图乙可知,当t=2 s 时,电路中的电流I=1.10 mA,可知此时电容器两端的电压为U2=IR,可得0~2 s内的放电量为Q1=ΔU·C=
(12.3-1.10×10-3×R)×C,2 s 后到放电结束放电量为Q2=ΔU′·C=1.10×10-3×R×C,已知题图乙中M、N区域面积比为8∶7,则=,解得R≈5.2 kΩ。
5.(2025·山东潍坊阶段检测)工业生产中经常会用到需要避光储存的绝缘液体原料,为了方便测量其深度,某同学设计了如图甲所示装置。在储存液体原料的桶的外侧底部,放置一个与桶底形状相同、面积为S的金属板,桶内有一面积为S的轻质金属箔板,漂浮在液体表面上。圆桶由绝缘材料制成,桶壁厚度可忽略不计,使用时需要进行如下操作:
(1)将开关接“1”接线柱,电容器充满电后,将开关接“2”接线柱,电流传感器记录下电流随时间的变化关系如图乙。可知电容器充满电后的电荷量Q=　　　　 C。
(2)再将开关接“1”接线柱,电容器充满电后,将开关接“3”接线柱,电压传感器的示数为U。可根据U的大小得出液体的深度h;改变深度h,电压传感器示数随之改变。根据所学知识判断电压传感器示数和液体的深度呈　　　　(选填“线性”或“非线性”)关系。
(3)工作过程中电荷量会有一定的损失,将导致深度的测量结果　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)。
【答案】 (1)3.5×10-3　(2)线性　(3)偏小
【解析】 (1)I-t图像与坐标轴围成的面积表示电荷量,一小格的电荷量为q=0.25 mA×1 s=
2.5×10-4 C,题图乙中总共约14小格,所以电容器充满电的电荷量为Q=14q=3.5×10-3 C。
(2)根据C=,C=,联立得U=·h,可知电压传感器示数和液体的深度呈线性关系。
(3)工作过程中电荷量会有一定的损失,则极板间电压随之减小,将导致深度的测量结果
偏小。第3讲　小专题:电场中的功能关系和图像问题
课时作业
对点1.电场中的功能关系
1.(2025·辽宁大连期中)一带负电小球在从空中的a点运动到b点的过程中,受重力、空气阻力和电场力作用,重力对小球做功3.5 J,小球克服空气阻力做功0.5 J,电场力对小球做功1 J,则下列说法正确的是(　　)
A.小球在a点的重力势能比在b点的小3.5 J
B.小球在a点的机械能比在b点的大0.5 J
C.小球在a点的电势能比在b点的大1 J
D.小球在a点的动能比在b点的大4 J
【答案】 C
【解析】 小球由a点运动到b点的过程中,重力对小球做功3.5 J,则重力势能减少3.5 J,即小球在a点的重力势能比在b点的大3.5 J,A错误;电场力做功1 J,则电势能减少1 J,所以小球在a点的电势能比在b点的大1 J,C正确;合外力做功为3.5 J+1 J-0.5 J=4 J,根据动能定理可知动能增加4 J,所以小球在a点的动能比在b点的小4 J,D错误;除重力以外的力做功为1 J-0.5 J=0.5 J,故机械能增加了0.5 J,所以小球在a点的机械能比在b点的小0.5 J,故B错误。
2.(多选)(2025·甘肃模拟)如图所示,绝缘水平地面上固定有一带正电小球A,小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮,绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m,电荷量均为q,重力加速度大小为g,静电力常量为k,两小球均可视为点电荷,拉力F=mg时,小球B对地面恰好无压力,然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到小球A的正上方,下列说法正确的是(　　)
A.小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为
B.小球B被拉动后,受到小球A的库仑力逐渐减小
C.小球B被拉动后,电场力对小球B先做正功后做负功
D.把小球B拉到小球A正上方的过程中,拉力对小球B做的功为
【答案】 AD
【解析】 设小球A到定滑轮的距离为H,A、B间的距离为L,小球B恰好离开地面时,静电力F电=k,由平衡条件可知F2=(mg)2+,解得L=,A正确;设小球B被拉动后,两球间距离为l,小球B一直处于平衡状态,则小球B所受力的矢量三角形与位置三角形相似,有=,解得l3=,即移动过程中,两球之间的距离l保持不变,其大小l=L,即小球B在以A为圆心的圆周上运动,受到的库仑力大小不变,电场力对小球B不做功,选项B、C错误;由功能关系可知,拉力对小球B做的功等于小球B重力势能的增加量,W=mgL=
,D正确。
3.(2025·黑龙江阶段练习)有一电荷量q=-2×10-6 C的点电荷,从电场中的A点移动到B点时,静电力做功6×10-4 J,从B点移动到C点时克服静电力做功8×10-4 J。(重力忽略不计)
(1)求电势差UAB、UBC的大小;
(2)若以C点为零电势点,求B点的电势和点电荷在B点的电势能;
(3)将该点电荷放在C点,由静止释放后,求它到达A点时动能的大小。
【答案】 (1)-300 V　400 V
(2)400 V　-8×10-4 J　(3)2×10-4 J
【解析】 (1)电荷由A点移动到B点,静电力做正功,有WAB=qUAB,
解得UAB== V=-300 V,
电荷从B点移动到C点时克服静电力做功,即静电力做负功,同理得
UBC== V=400 V。
(2)由于UBC=φB-φC,若φC=0,可得φB=400 V,
则EpB=qφB=(-2×10-6)×400 J=-8×10-4 J。
(3)A、C两点电势差为
UAC=φA-φC=φA-φB+φB-φC=UAB+UBC=100 V,
所以UCA=-UAC=-100 V,
根据动能定理有EkA=qUCA,
代入数值得EkA=2×10-4 J。
对点2 静电场中的图像问题
4.(2025·安徽淮北二模)如图甲所示,两个等量点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上,其连线的中垂线上有a、b、c三点。一个质量为50 g,电荷量大小为5×10-3 C的带正电小球(可视为质点),从a点由静止释放,经过b、c两点,小球运动的v-t图像如图乙所示,其经过b点时对应的图线切线斜率最大,则下列分析正确的是(　　)
A.b、c两点间电势差Ubc=12 V
B.沿中垂线由a点到c点电势逐渐升高
C.由a点运动到c点的过程中,小球的电势能先增大后减小
D.b点为中垂线上电场强度最大的点,且电场强度E=25 V/m
【答案】 D
【解析】 从b到c,由动能定理有qUbc=m-m,解得Ubc=120 V,A错误;由题图乙可知,从a点到c点小球速度一直增大,电场力一直做正功,又因小球带正电,故沿中垂线由a点到c点电势逐渐降低,小球的电势能逐渐减小,B、C错误;由题图乙可知,b点对应的图线切线斜率最大,即在b点时加速度最大,由qE=ma,知b点为中垂线上电场强度最大的点,且电场强度E=25 V/m,D正确。
5.(2025·山东枣庄三模)光伏发电是发展清洁能源、实现碳排放双控目的的重要途径。光伏电站的核心部件由半导体材料制成,一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示,取O点的电势为零,则该电场中N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为(　　)
　　　
A B
　　　
C D
【答案】 C
【解析】 由E-x图像可知从N点到P点电场强度先增大后减小且方向不变,而E==,则电势φ随位置x变化的图像的斜率表示电场强度,可知φ-x图像的斜率从N点到P点先变大后变小。O点电场强度最大,则φ-x图像在O点的斜率最大,只有C中图像符合。C正确。
6.(2025·黑龙江大庆模拟)长为L的绝缘轻细线一端连接质量为m、电荷量为q的带正电小球,另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点,整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场,带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动,俯视图如图甲所示,PQ为轨迹圆的一条直径。以P点为起始点,小球运动过程中的电势能Ep与小球运动的路程s之间的关系如图乙所示,其中Ep0>0。下列说法正确的是(　　)
A.小球做匀速圆周运动
B.从P点到Q点电场力对小球不做功
C.小球运动过程中速度的最小值为
D.小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
【答案】 C
【解析】 由题图乙可知,当小球运动弧长为时,即转过的角度θ=π=120°时电势能最大,则圆周上电势能最大的位置即为该点,电场方向如图所示,小球所受的电场力沿运动轨迹切线方向的分力大小时刻变化,即小球做非匀速圆周运动,A错误;小球转过角度为的位置所在的直径与电场方向垂直,即图中虚线AOB为等势线。可知小球转过的过程中UPA=φP-
φA=-=-=-,电场强度的大小E==,根据对称性有φQ-φO=φO-φP,则φQ=2φO=2φA,从P点到Q点电场力对小球做功WPQ=(φP-φQ)q=-φQq=-2φAq=-2q·=
-Ep0,B错误;带电小球在运动到πL的位置取得速度的最小值,此时电场力提供小球做圆周运动的向心力,即Eq=m,解得vmin=,C正确;小球运动过程中电势能最小时速度最大,所受细线拉力最大,此时处于弧长为πL的位置,根据动能定理有Eq·2L=m-
m,在该点处合外力提供向心力,即FT-Eq=m,解得FT=,D错误。
7.(多选)(2025·四川达州二模)空间中有竖直向上的匀强电场,一质量为m、带电荷量为q的微粒在竖直平面内运动,其电势能和重力势能随时间的变化如图所示,则该微粒(　　)
A.一定带正电
B.0~3 s内电场力做的功为9 J
C.运动过程中动能增加
D.0~3 s内除电场力和重力外所受其他力对微粒做的功为-12 J
【答案】 BD
【解析】 带电微粒重力势能减少,说明微粒竖直方向上向下运动,而电势能减少,即电场力做正功,因电场竖直向上,则微粒所受电场力竖直向下,所以微粒带负电,A错误;0~3 s内电势能减少9 J,所以电场力做的功为9 J,B正确;因电场力和重力都是恒力,且电势能和重力势能都随时间均匀变化,所以微粒在相等的时间内位移相等,即微粒做匀速直线运动,动能不变,C错误;0~3 s内电势能减少9 J,重力势能减少3 J,总共减少了12 J,因动能不变,所以减少的电势能和重力势能用于克服除电场力和重力外的其他力做功,即除电场力和重力外的其他力对微粒做功为-12 J,故D正确。
8.(2025·江苏苏州三模)如图甲所示,两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着水平塑料圆盘边缘,小球A固定不动(图中未画出)。小球B绕圆盘边缘从θ=0沿逆时针缓慢移动,测量圆盘中心O处的电场强度,得到沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像(如图乙)和沿y方向的电场强度Ey随θ变化的图像(如图丙)。下列说法正确的是(　　)
A.小球A带负电荷,小球B带正电荷
B.小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C.小球B绕圆盘旋转一周过程中,盘中心O处的电场强度先增大后减小
D.小球B绕圆盘旋转一周过程中,盘中心O处的电场强度最小值为0
【答案】 B
【解析】 由题图乙、丙可知,当θ=时,小球B在O点正上方,且Ex=0,Ey=-6 V/m,则说明小球A一定在y轴上固定;当θ=0时有Ex1=-4 V/m,小球B在O点正右侧,而水平方向的电场强度方向为x轴负向,则说明小球B为正电荷,此时Ey1=-2 V/m,说明竖直方向的电场强度方向为y轴负向,若小球A在O点正上方固定,则小球A带正电荷,若小球A在O点正下方固定,则小球A带负电荷,所以小球A的带电性质不能确定,A错误;由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘,所以到O点的距离r相同,综合θ=0时,Ex1=-4 V/m、Ey1=-2 V/m,根据E=,可得QA∶QB=1∶2,B正确;圆盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的电场强度的矢量和,小球B从θ=0转到2π的过程中,EA和EB在O点处大小均不变,当θ=时,二者方向相同,O处的合电场强度最大;当θ=时,二者方向相反,O处的合电场强度最小;所以小球B转动一周过程中,中心O处的合电场强度先增大后减小再增大,其最小值为E=EA+EB=(-2+4) V/m=2 V/m,故C、D错误。
9.(多选)(2025·江西模拟)在图甲的直角坐标系中,x轴上固定两点电荷M、N,距坐标原点O均为L,y轴上有P1、P2、P3三点,其纵坐标值分别为L、L、-L。y轴上各点电场强度E随y变化的关系如图乙所示,图中0~L的阴影部分面积为a,0~L的阴影部分面积为b。一个质量为m、电荷量为-q的带负电粒子,由P1点静止释放,仅在电场力作用下,将沿y轴负方向运动,则(　　)
A.M、N是等量正电荷
B.带电粒子在P1、P2两点处的加速度大小之比为3∶2
C.带电粒子运动到P3位置时动能为q(b+a)
D.带电粒子运动过程中最大速度为
【答案】 AD
【解析】 由于电荷量为-q的带负电粒子,由P1点静止释放,仅在电场力作用下,沿y轴负方向运动,到达O点前受到引力作用,所以两点电荷M、N带等量正电荷,A正确;设点电荷带电量为Q,对带负电粒子,根据牛顿第二定律,结合几何关系有2k×=ma,代入数值可知带电粒子在P1、P2两点处的加速度大小之比不是3∶2,B错误;题图乙中图线所围面积表示电势差,所以带电粒子运动到P3位置时,电场力做功为W=q(b-a),即粒子运动到P3时动能为q(b-a),C错误;粒子运动到O点时图线所围面积最大,即最大速度在O点,则有qb=m,解得最大速度为vmax=,D正确。
10.(2025·陕西西安三模)如果一矩形ABCD以MN为边界对称分成左右两个边长均为d的正方形,MN的中点为O,两正方形内均存在匀强电场,左侧正方形内电场方向水平向左,右侧正方形内电场方向水平向右,两匀强电场的电场强度大小相等。MN为一条等势线,其电势为φ0(φ0>0),AD和BC的电势均为零。一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子从AM的中点垂直于电场以某一速度射入左侧电场,当粒子第二次经过MN边界时,恰好从N点离开,不计粒子所受重力。
(1)求粒子在电场中的加速度大小a;
(2)求该带电粒子垂直于电场射入左侧电场的速度大小v;
(3)若将该粒子置于O点,给粒子另一速度使之沿水平方向做往复运动,且运动过程中动能和电势能之和恒为Z,求该粒子运动过程中与O点的最远距离x和粒子在水平方向做往复运动的周期T。
【答案】 (1)　(2)
(3)(1+)d　
【解析】 (1)在左侧(或右侧)正方形电场中,左右边界间电势差U=φ0,可知电场强度大小E=,粒子在电场中的加速度大小a=,
解得a=。
(2)粒子第二次经过MN时到达N处,由类平抛运动有d=vt,d=at2,
解得v=。
(3)该粒子运动过程中距离O点最远(x处)时速度为零,粒子在距离O点x处的电势能
Epx=-qφx=Z,解得φx=-,
根据匀强电场电场强度与电势差的关系得=,
解得x=(1+)d;
由于动能和电势能之和恒为Z,设粒子在O点的速度为v0,
则有-qφ0+m=Z,
则v0=,
又有v0=a·,
解得T=。第3讲　小专题:电场中的功能关系和图像问题
对点1.电场中的功能关系
1.(2025·辽宁大连期中)一带负电小球在从空中的a点运动到b点的过程中,受重力、空气阻力和电场力作用,重力对小球做功3.5 J,小球克服空气阻力做功0.5 J,电场力对小球做功1 J,则下列说法正确的是(　　)
A.小球在a点的重力势能比在b点的小3.5 J
B.小球在a点的机械能比在b点的大0.5 J
C.小球在a点的电势能比在b点的大1 J
D.小球在a点的动能比在b点的大4 J
2.(多选)(2025·甘肃模拟)如图所示,绝缘水平地面上固定有一带正电小球A,小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮,绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m,电荷量均为q,重力加速度大小为g,静电力常量为k,两小球均可视为点电荷,拉力F=mg时,小球B对地面恰好无压力,然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到小球A的正上方,下列说法正确的是(　　)
A.小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为
B.小球B被拉动后,受到小球A的库仑力逐渐减小
C.小球B被拉动后,电场力对小球B先做正功后做负功
D.把小球B拉到小球A正上方的过程中,拉力对小球B做的功为
3.(2025·黑龙江阶段练习)有一电荷量q=-2×10-6 C的点电荷,从电场中的A点移动到B点时,静电力做功6×10-4 J,从B点移动到C点时克服静电力做功8×10-4 J。(重力忽略不计)
(1)求电势差UAB、UBC的大小;
(2)若以C点为零电势点,求B点的电势和点电荷在B点的电势能;
(3)将该点电荷放在C点,由静止释放后,求它到达A点时动能的大小。
对点2.静电场中的图像问题
4.(2025·安徽淮北二模)如图甲所示,两个等量点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上,其连线的中垂线上有a、b、c三点。一个质量为50 g,电荷量大小为5×10-3 C的带正电小球(可视为质点),从a点由静止释放,经过b、c两点,小球运动的vt图像如图乙所示,其经过b点时对应的图线切线斜率最大,则下列分析正确的是(　　)
A.b、c两点间电势差Ubc=12 V
B.沿中垂线由a点到c点电势逐渐升高
C.由a点运动到c点的过程中,小球的电势能先增大后减小
D.b点为中垂线上电场强度最大的点,且电场强度E=25 V/m
5.(2025·山东枣庄三模)光伏发电是发展清洁能源、实现碳排放双控目的的重要途径。光伏电站的核心部件由半导体材料制成,一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示,取O点的电势为零,则该电场中N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为(　　)
A　 　　B
C　　 　D
6.(2025·黑龙江大庆模拟)长为L的绝缘轻细线一端连接质量为m、电荷量为q的带正电小球,另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点,整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场,带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动,俯视图如图甲所示,PQ为轨迹圆的一条直径。以P点为起始点,小球运动过程中的电势能Ep与小球运动的路程s之间的关系如图乙所示,其中Ep0>0。下列说法正确的是(　　)
A.小球做匀速圆周运动
B.从P点到Q点电场力对小球不做功
C.小球运动过程中速度的最小值为
D.小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
7.(多选)(2025·四川达州二模)空间中有竖直向上的匀强电场,一质量为m、带电荷量为q的微粒在竖直平面内运动,其电势能和重力势能随时间的变化如图所示,则该微粒(　　)
A.一定带正电
B.0~3 s内电场力做的功为9 J
C.运动过程中动能增加
D.0~3 s内除电场力和重力外所受其他力对微粒做的功为-12 J
8.(2025·江苏苏州三模)如图甲所示,两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着水平塑料圆盘边缘,小球A固定不动(图中未画出)。小球B绕圆盘边缘从θ=0沿逆时针缓慢移动,测量圆盘中心O处的电场强度,得到沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像(如图乙)和沿y方向的电场强度Ey随θ变化的图像(如图丙)。下列说法正确的是(　　)
A.小球A带负电荷,小球B带正电荷
B.小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C.小球B绕圆盘旋转一周过程中,盘中心O处的电场强度先增大后减小
D.小球B绕圆盘旋转一周过程中,盘中心O处的电场强度最小值为0
9.(多选)(2025·江西模拟)在图甲的直角坐标系中,x轴上固定两点电荷M、N,距坐标原点O均为L,y轴上有P1、P2、P3三点,其纵坐标值分别为L、L、-L。y轴上各点电场强度E随y变化的关系如图乙所示,图中0~L的阴影部分面积为a,0~L的阴影部分面积为b。一个质量为m、电荷量为-q的带负电粒子,由P1点静止释放,仅在电场力作用下,将沿y轴负方向运动,则(　　)
A.M、N是等量正电荷
B.带电粒子在P1、P2两点处的加速度大小之比为3∶2
C.带电粒子运动到P3位置时动能为q(b+a)
D.带电粒子运动过程中最大速度为
10.(2025·陕西西安三模)如果一矩形ABCD以MN为边界对称分成左右两个边长均为d的正方形,MN的中点为O,两正方形内均存在匀强电场,左侧正方形内电场方向水平向左,右侧正方形内电场方向水平向右,两匀强电场的电场强度大小相等。MN为一条等势线,其电势为φ0(φ0>0),AD和BC的电势均为零。一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子从AM的中点垂直于电场以某一速度射入左侧电场,当粒子第二次经过MN边界时,恰好从N点离开,不计粒子所受重力。
(1)求粒子在电场中的加速度大小a;
(2)求该带电粒子垂直于电场射入左侧电场的速度大小v;
(3)若将该粒子置于O点,给粒子另一速度使之沿水平方向做往复运动,且运动过程中动能和电势能之和恒为Z,求该粒子运动过程中与O点的最远距离x和粒子在水平方向做往复运动的周期T。第1讲　电场力的性质
课时作业
对点1.静电现象、库仑定律及其应用
1.(2025·辽宁二模)静电现象在自然界普遍存在,在生产生活中也时常会发生静电现象。人们可让静电服务于生产生活,但也需对其进行防护,做到趋利避害。下列关于静电现象的说法正确的是(　　)
A.静电除尘的原理是静电屏蔽
B.避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷稀疏、附近空间电场较弱的特点
C.为了安全,加油站工作人员工作时间须穿绝缘性能良好的化纤服装
D.印刷车间的空气应保证适当潮湿,以便导走纸页间相互摩擦产生的静电
【答案】 D
【解析】 静电除尘的原理是带电粒子受到电场力作用,A错误;避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷密集、附近空间电场较强的特点,B错误;化纤服装容易摩擦起电,在加油站这种易燃易爆环境中,产生的静电可能引发危险,所以加油站工作人员不应穿绝缘性能良好的化纤服装,而应穿不易产生静电的服装,C错误;印刷车间中,纸张间摩擦产生大量静电,空气需保持一定湿度,以便及时导走静电,D正确。
2.(多选)(2025·云南昆明期末)如图所示,正点电荷a固定,一带负电的试探电荷b与a距离为r,现让b获得一大小为v0的速度后开始运动,只考虑a对b的库仑力作用,则b开始运动的一段时间内,其速度大小v随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
　　　　
A B
　　　　
C D
【答案】 AD
【解析】 若试探电荷b获得与a、b连线垂直的速度,且a、b间的库仑力恰好提供向心力,则试探电荷b将绕a做匀速圆周运动,即试探电荷b的速度大小不变,A正确;若试探电荷b远离电荷a,则a、b间的库仑力使b做加速度减小的减速运动,则试探电荷b的速度减小,则v-t图像的斜率减小,B错误,D正确;同理,若试探电荷b靠近电荷a,试探电荷b的加速度将增大,速度增大,则v-t图像的斜率增大,C错误。
3.(2025·辽宁阜新阶段练习)A、B为两个电荷量都是Q的点电荷,相距为L,A、B连线的中点为O。现将电荷量为q的点电荷C放置在A、B连线的中垂线上到O点的距离为x的位置,如图甲所示。已知静电力常量为k。
(1)求此时点电荷C所受的静电力大小F1。
(2)若A所带的电荷量变为-Q,其他条件都不变,如图乙所示,此时点电荷C所受的静电力大小F2为多少
(3)为使F2大于F1,L和x的大小应满足什么关系
【答案】 (1) (2)　(3)L>2x
【解析】 (1)设点电荷C为正电荷,其所受静电力如图甲所示,其中
AC=,则FA=FB==,
利用三角形相似有∶x=FA∶,
解得F1=,同理,若C为负电荷,结论相同。
(2)若A的电荷量为-Q,设点电荷C为正电荷,则点电荷C所受静电力如图乙所示,
所以FA′=FB′==,
同理有∶=FB′∶,
解得F2=,同理,若C为负电荷,结论相同。
(3)要使F2大于F1,应满足>,
可得L>2x。
对点2.对电场强度的理解和计算
4.(2025·安徽芜湖二模)如图所示,A、B、C为一直角三角形的三个顶点,带电量绝对值分别为q1和q2的两个点电荷分别固定在A、B两点,在C点电场强度的大小为E1,方向与AB连线平行,AB连线中点D点电场强度大小为E2,∠A为30°。则下列关系正确的是(　　)
A.q1∶q2=8∶1,E1∶E2=∶12
B.q1∶q2=8∶1,E1∶E2=3∶12
C.q1∶q2=4∶1,E1∶E2=3∶20
D.q1∶q2=4∶1,E1∶E2=∶12
【答案】 A
【解析】 由于在C点电场强度方向与AB连线平行,可知q1和q2为异种电荷,设BC长度为d,则q1和q2在C点产生的电场强度大小分别为EA=、EB=,由几何关系可知sin 30°=,联立解得=,由电场叠加原理可知,在C点电场强度的大小为E1=EAcos 30°,而在D点电场强度的大小为E2=+,解得=,A正确。
5.(多选)(教材改编题)如图所示,电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中B点的电场强度为0,静电力常量为k,则A点的电场强度(　　)
A.方向水平向左 B.大小为0
C.大小为 D.大小为
【答案】 AC
【解析】 正点电荷在B点产生的电场强度大小E=k,方向向左,由于题图中B点的电场强度为0,则带电薄板与正点电荷在B点产生的电场强度等大反向,故带电薄板在B点产生的电场强度大小E′=E=k,方向向右,再根据对称性可知,带电薄板在A点产生的电场强度方向向左,大小为E′=k,因此,A点的电场强度大小为EA=k+k,解得EA=k,A、C
正确。
对点3.对电场线的理解和应用
6.(2025·湖北武汉期末)如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线,下列说法正确的是(　　)
A.甲带负电,乙带正电
B.甲的电荷量小于乙的电荷量
C.P点的电场强度大于Q点的电场强度
D.在P点由静止释放一个带正电的粒子,仅在静电力的作用下,粒子会沿电场线运动到
Q点
【答案】 C
【解析】 电场线从甲电荷出发,部分终止于乙电荷,所以甲带正电,乙带负电,而甲附近电场线比乙附近电场线密,可知甲的电荷量大于乙的电荷量,A、B错误;由于P点处的电场线比Q点处密集,所以P点的电场强度大于Q点的电场强度,C正确;P点和Q点在同一条电场线上且电场线为曲线,由静止释放的带正电粒子仅在静电力作用下加速度方向时刻改变,则不可能沿电场线运动,D错误。
7.(多选)(2025·海南期中)如图所示,在电荷量为q的等量异种点电荷形成的电场中,O是两点电荷连线的中点,E、F是两点电荷连线中垂线上关于O对称的两点,B、C和A、D也关于O点对称,点电荷+q与B点和A点的距离均为r,BO=OC=r,则(　　)
A.B、C两点电场强度大小相同,方向不同
B.A、D两点电场强度大小相同,方向相同
C.E、O、F三点比较,O点电场强度最大,E、F两点电场强度不相同
D.B、O、C三点比较,O点电场强度最小,大小为,方向从O指向C
【答案】 BD
【解析】 两个等量异种点电荷形成电场的电场线,如图所示,由对称性可知,B、C两点电场强度大小和方向都相同,A错误;根据电场分布对称性可知,A、D两点电场强度大小相等,方向相同,B正确;根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小和电场的叠加原理可知E、O、F三点比较,O点电场强度最大,E、F两点电场强度相同,C错误;B、O、C三点比较,O点电场强度最小,大小为E=2×=,方向从O指向C,D正确。
8.(2025·四川绵阳二模)如图所示,在光滑绝缘水平面上,固定有电荷量分别为+2Q和-Q的可看作点电荷的两相同金属球A、B,间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置,自由释放另一电荷量为+q的相同的金属球C,释放瞬间加速度为a1;将A、B接触静电平衡后放回原处,再从相同位置自由释放C,释放瞬间加速度为a2。则(　　)
A.a1、a2的方向均水平向右
B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于
D.a1与a2大小之比等于
【答案】 C
【解析】 根据库仑定律,可知在A、B接触前,B、C的吸引力大于A、C的排斥力,所以a1的方向水平向左,则有k-k=ma1;在A、B接触后,二者所带电荷量均为+0.5Q,C受到向右的排斥力,则a2的方向水平向右,有k+k=ma2。联立解得,a1与a2大小之比为=,C正确。
9.(多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
【答案】 AD
【解析】 由题意可知,各点电荷的电荷量可表示为如图甲所示,将五个点电荷等效成图乙,五个点电荷与O点距离均为R,设E0=,则O点电场强度大小为E=2×2E0cos 54°+
2E0cos 18°,可得E=2(2cos 54°+cos 18°),方向沿x轴负方向,故选AD。
10.(2025·河南阶段练习)如图所示,用长为L的绝缘细线将质量为m的带电小球A悬挂在O点,在悬点O的正下方固定一个带电小球B,A、B在同一水平线上,小球A静止时细线与竖直方向的夹角θ=37°,两个小球带电量相同,均可视为点电荷,静电力常量为k,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求细线上拉力大小;
(2)求小球A的电荷量;
(3)若小球A的带电量减半,使小球A绕B在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角仍为θ=37°,求小球A做圆周运动的角速度大小。
【答案】 (1)mg　(2)　(3)
【解析】 (1)根据力的平衡条件,对小球A有FT=,
代入数据得细线的拉力FT=mg。
(2)根据几何关系
LAB=Lsin θ=L,
根据库仑定律得
F库=k=,
又由平衡条件知
F库=mgtan θ=mg,
联立解得q=。
(3)小球A做圆周运动时,细线拉力大小仍为FT=mg,
根据牛顿第二定律有
FTsin θ-k=mLABω2,
解得ω=。第4讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
对点1.电容器　平行板电容器的动态分析
1.(多选)(2025·山西晋城期末)如图所示,真空中水平放置的平行板电容器的两极板与电压恒定的电源相连,下极板接地(电势为0),极板间的P点固定一带负电的点电荷(电荷量不变),把上极板缓慢向下平移少许后,下列说法正确的是(　　)
A.电容器所带的电荷量增大
B.点电荷受到的电场力减小
C.P点的电势升高
D.点电荷的电势能减小
2.(2025·黑吉辽内蒙古卷,4)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
A　　 　B
C　　 　　D
对点2.带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
3.(2025·福建期末)如图所示,三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔,小孔分别位于O、M、P点,由O点静止释放的电子恰好能运动到P点,现将C板向左平移到P′点,则由O点静止释放的电子(　　)
A.运动到P点返回
B.运动到P和P′点之间返回
C.运动到P′点返回
D.穿过P′点后继续运动
4.(2025·湖南怀化三模)如图所示,ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面,等势面与水平方向的夹角θ=37°,一带正电小球经过等势面A上的a点时,速度方向水平,小球沿直线运动,经过等势面D上的d点时速度恰好为零,已知小球质量为m=0.05 kg,带电荷量q=0.05 C,ad间的距离为0.15 m,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=,cos 37°=,则下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为7.5 N/C
B.小球在a点的速度大小为1.5 m/s
C.A和B两等势面的电势差UAB=0.375 V
D.若小球从d点沿da方向水平射入,则小球的运动轨迹为曲线
5.(多选)(2025·吉林阶级练习)如图所示,A、B为水平放置的两平行正对金属板,在板中央分别开有小孔M、N。小孔对平行板之间的电场无影响,其中R为滑动变阻器,电源内阻不可忽略。闭合开关S,待电路稳定后,将一带负电的可视为质点的小球从小孔M、N正上方的P点由静止释放,小球恰好能运动至小孔N处,每次都将小球从P点由静止释放,忽略板外电场对小球运动的影响,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.若仅将A板上移少许,则带电小球将无法运动至B板的小孔N处
B.若仅将B板上移少许,则带电小球将无法运动至B板的小孔N处
C.若仅将R的滑片上移,则带电小球能从B板的小孔N处穿出
D.若仅将R的滑片下移,则带电小球能从B板的小孔N处穿出
对点3.带电粒子在电场中的偏转
6.(2025·重庆卷,5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动,如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场,N为QP的中点。模拟动画显示,带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N点,K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用,则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
7.(2025·四川模拟)如图所示,足够大的空间内存在与水平方向成θ=37°角的匀强电场,一不可伸长的绝缘轻绳,一端系于O点(距水平地面足够高),另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球(可视为质点),当小球处于静止状态时,轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置(轻绳刚好拉直)静止释放,小球运动到O点正下方时,轻绳碰到P点(OP小于绳长)的刀片而断裂,最终小球落在水平地面上。已知重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6。下列说法正确的是(　　)
A.电场强度的大小为
B.小球在整个过程中受到的合力为变力
C.轻绳断裂前后瞬间小球速度大小不变
D.轻绳断裂后,小球做平抛运动
8.(2025·陕西期末)如图所示,在A点以速度v0=6 m/s水平向左抛出一个质量m=1 kg、电荷量q=+0.01 C的小球,小球抛出后进入左侧水平向右的匀强电场。经过一段时间,小球返回到A点正下方7.2 m的B点,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求匀强电场的电场强度E的大小。
(2)小球从A点到B点的运动过程中,抛出后多长时间速度有最小值,最小值为多少
9.(多选)(2025·河南期中)如图所示,两块水平放置的平行金属板M、N,下极板N接地。现将其与理想二极管串联,与静电计并联,初始电容器所带电荷量为零。R0为定值电阻,R1和R2为电阻箱,闭合开关S稳定后,一带电油滴恰好静止于两板间的P点,则下列说法正确的是(　　)
A.断开开关S,M板稍微上移,静电计指针偏角变大
B.断开开关S,N板稍微下移,带电油滴的电势能增大
C.保持开关S闭合,增大R1阻值,带电油滴仍然静止不动
D.保持开关S闭合,增大R2阻值,平行板电容器的带电荷量减小
10.(2025·甘肃庆阳三模)某种质谱仪可以对气体分子进行分析。如图所示,在真空状态下,脉冲阀P喷出微量气体,经激光照射产生不同价位的n价正离子,自A板小孔进入A、B平行板间的加速电场,从B板小孔射出后沿半径为R的半圆弧轨迹通过电场方向指向圆心的静电分析器,再沿中线方向进入C、D平行板间的偏转电场区,能通过偏转电场的离子可被移动的探测器接收。已知元电荷电荷量为e,所有离子质量均为m,A、B板间电压为U0,C、D极板的长度为L。不计离子所受重力及进入A板时的初速度。
(1)求出价位n=1的正离子从B板小孔射出时的速度大小。
(2)为使各种价位的正离子均能进入C、D偏转电场,静电分析器中心线圆弧上的电场强度E0是多大
(3)若要使各个价位的所有离子均能被探测器接收,求出C、D板间的偏转电压U1的大小与C、D板间的距离d满足的关系式。第九章　静电场
第1讲　电场力的性质
对点1.静电现象、库仑定律及其应用
1.(2025·辽宁二模)静电现象在自然界普遍存在,在生产生活中也时常会发生静电现象。人们可让静电服务于生产生活,但也需对其进行防护,做到趋利避害。下列关于静电现象的说法正确的是(　　)
A.静电除尘的原理是静电屏蔽
B.避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷稀疏、附近空间电场较弱的特点
C.为了安全,加油站工作人员工作时间须穿绝缘性能良好的化纤服装
D.印刷车间的空气应保证适当潮湿,以便导走纸页间相互摩擦产生的静电
2.(多选)(2025·云南昆明期末)如图所示,正点电荷a固定,一带负电的试探电荷b与a距离为r,现让b获得一大小为v0的速度后开始运动,只考虑a对b的库仑力作用,则b开始运动的一段时间内,其速度大小v随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
3.(2025·辽宁阜新阶段练习)A、B为两个电荷量都是Q的点电荷,相距为L,A、B连线的中点为O。现将电荷量为q的点电荷C放置在A、B连线的中垂线上到O点的距离为x的位置,如图甲所示。已知静电力常量为k。
(1)求此时点电荷C所受的静电力大小F1。
(2)若A所带的电荷量变为-Q,其他条件都不变,如图乙所示,此时点电荷C所受的静电力大小F2为多少
(3)为使F2大于F1,L和x的大小应满足什么关系
对点2.对电场强度的理解和计算
4.(2025·安徽芜湖二模)如图所示,A、B、C为一直角三角形的三个顶点,带电量绝对值分别为q1和q2的两个点电荷分别固定在A、B两点,在C点电场强度的大小为E1,方向与AB连线平行,AB连线中点D点电场强度大小为E2,∠A为30°。则下列关系正确的是(　　)
A.q1∶q2=8∶1,E1∶E2=∶12
B.q1∶q2=8∶1,E1∶E2=3∶12
C.q1∶q2=4∶1,E1∶E2=3∶20
D.q1∶q2=4∶1,E1∶E2=∶12
5.(多选)(教材改编题)如图所示,电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中B点的电场强度为0,静电力常量为k,则A点的电场强度(　　)
A.方向水平向左 B.大小为0
C.大小为 D.大小为
对点3.对电场线的理解和应用
6.(2025·湖北武汉期末)如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线,下列说法正确的是(　　)
A.甲带负电,乙带正电
B.甲的电荷量小于乙的电荷量
C.P点的电场强度大于Q点的电场强度
D.在P点由静止释放一个带正电的粒子,仅在静电力的作用下,粒子会沿电场线运动到Q点
7.(多选)(2025·海南期中)如图所示,在电荷量为q的等量异种点电荷形成的电场中,O是两点电荷连线的中点,E、F是两点电荷连线中垂线上关于O对称的两点,B、C和A、D也关于O点对称,点电荷+q与B点和A点的距离均为r,BO=OC=r,则(　　)
A.B、C两点电场强度大小相同,方向不同
B.A、D两点电场强度大小相同,方向相同
C.E、O、F三点比较,O点电场强度最大,E、F两点电场强度不相同
D.B、O、C三点比较,O点电场强度最小,大小为,方向从O指向C
8.(2025·四川绵阳二模)如图所示,在光滑绝缘水平面上,固定有电荷量分别为+2Q和-Q的可看作点电荷的两相同金属球A、B,间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置,自由释放另一电荷量为+q的相同的金属球C,释放瞬间加速度为a1;将A、B接触静电平衡后放回原处,再从相同位置自由释放C,释放瞬间加速度为a2。则(　　)
A.a1、a2的方向均水平向右
B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于
D.a1与a2大小之比等于
9.(多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
10.(2025·河南阶段练习)如图所示,用长为L的绝缘细线将质量为m的带电小球A悬挂在O点,在悬点O的正下方固定一个带电小球B,A、B在同一水平线上,小球A静止时细线与竖直方向的夹角θ=37°,两个小球带电量相同,均可视为点电荷,静电力常量为k,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求细线上拉力大小;
(2)求小球A的电荷量;
(3)若小球A的带电量减半,使小球A绕B在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角仍为θ=37°,求小球A做圆周运动的角速度大小。第4讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
课时作业
对点1.电容器　平行板电容器的动态分析
1.(多选)(2025·山西晋城期末)如图所示,真空中水平放置的平行板电容器的两极板与电压恒定的电源相连,下极板接地(电势为0),极板间的P点固定一带负电的点电荷(电荷量不变),把上极板缓慢向下平移少许后,下列说法正确的是(　　)
A.电容器所带的电荷量增大
B.点电荷受到的电场力减小
C.P点的电势升高
D.点电荷的电势能减小
【答案】 ACD
【解析】 根据平行板电容器电容的决定式和定义式有C==,当上极板向下平移后两极板间距减小,C变大,但U不变,所以Q增大,两极板间的电场强度E增大,点电荷受到的电场力变大,A正确,B错误;因为P点所在位置到下极板的距离不变,由U=Ed可知P点与下极板之间的电势差变大,且下极板的电势为零,所以P点所在位置的电势升高,C正确;点电荷的电势能Ep=φq,由于点电荷带负电,因此点电荷的电势能减小,D正确。
2.(2025·黑吉辽内蒙古卷,4)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
　　　　
A B
　　　　
C D
【答案】 D
【解析】 根据公式Q=CU和电容的决定式C=,可得U=·d,根据题意,F较小时易被压缩,电容器与电源断开后Q不变,随着F增大,d减小得越来越慢,结合图像可知,D正确。
对点2.带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
3.(2025·福建期末)如图所示,三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔,小孔分别位于O、M、P点,由O点静止释放的电子恰好能运动到P点,现将C板向左平移到P′点,则由O点静止释放的电子(　　)
A.运动到P点返回
B.运动到P和P′点之间返回
C.运动到P′点返回
D.穿过P′点后继续运动
【答案】 D
【解析】 由O点静止释放的电子恰好能运动到P点,表明电子在薄板A、B之间做加速运动,电场力做正功,电场方向向左,在薄板B、C之间做减速运动,电场力做负功,电场方向向右,到达P点时速度恰好为0,根据动能定理有-eUOM-eUMP=0,解得UMP=-UOM=UMO,当C板向左平移到P′点,B、C间距减小,由电容的决定式C=知,电容增大,由C=、电荷量Q不变知B、C之间电压减小,则有UMP=UMO>UMP′,结合上述有-eUOM-eUMP′>0,可知电子减速运动到P′的速度不等于0,即电子穿过P′点后继续向右运动。故选D。
4.(2025·湖南怀化三模)如图所示,ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面,等势面与水平方向的夹角θ=37°,一带正电小球经过等势面A上的a点时,速度方向水平,小球沿直线运动,经过等势面D上的d点时速度恰好为零,已知小球质量为m=0.05 kg,带电量q=0.05 C,ad间的距离为0.15 m,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=,cos 37°=,则下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为7.5 N/C
B.小球在a点的速度大小为1.5 m/s
C.A和B两等势面的电势差UAB=0.375 V
D.若小球从d点沿da方向水平射入,则小球的运动轨迹为曲线
【答案】 B
【解析】 小球由a到d,电场力做负功,其受力如图所示,根据运动规律有qEcos θ=mg,
mgtan θ=ma,2ax=,代入数据解得E=12.5 N/C,v0=1.5 m/s,A错误,B正确;小球在运动过程中,根据动能定理有3UABq=0-m,解得UAB=-0.375 V,C错误;若小球从d点水平射入,小球受力不变,其合力水平向左,小球做匀加速直线运动,D错误。
5.(多选)(2025·吉林阶级练习)如图所示,A、B为水平放置的两平行正对金属板,在板中央分别开有小孔M、N。小孔对平行板之间的电场无影响,其中R为滑动变阻器,电源内阻不可忽略。闭合开关S,待电路稳定后,将一带负电的可视为质点的小球从小孔M、N正上方的P点由静止释放,小球恰好能运动至小孔N处,每次都将小球从P点由静止释放,忽略板外电场对小球运动的影响,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.若仅将A板上移少许,则带电小球将无法运动至B板的小孔N处
B.若仅将B板上移少许,则带电小球将无法运动至B板的小孔N处
C.若仅将R的滑片上移,则带电小球能从B板的小孔N处穿出
D.若仅将R的滑片下移,则带电小球能从B板的小孔N处穿出
【答案】 BC
【解析】 小球从小孔M、N正上方的P点由静止释放,小球恰好能运动至小孔N处,由动能定理知mgh-qU=0,则有mgh=qU,由于开关闭合,电容器两极板的电压不变,所以若仅将A板上移少许,则带电小球仍将恰好运动至B板的小孔N处,故A错误;若仅将B板上移少许,则h减小,带电小球将无法运动至B板的小孔N处,故B正确;若仅将R的滑片上移,R两端的电压减小,则带电小球能从B板的小孔N处穿出,故C正确;若仅将R的滑片下移,R两端的电压增大,则带电小球不能到达B板的小孔N处,故D错误。
对点3.带电粒子在电场中的偏转
6.(2025·重庆卷,5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动,如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场,N为QP的中点。模拟动画显示,带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N点,K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用,则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
【答案】 D　
【解析】 根据题意可知,带电粒子在电场中做类平抛运动,带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场,沿题图中所示轨迹同时到达M、N点,可知运动时间相等,由题图可知,沿初速度方向位移之比为2∶1,则初速度之比为2∶1,沿电场方向的位移大小相等,由y=at2可知,粒子运动的加速度大小相等,由牛顿第二定律有qE=ma,可得=,可知带电粒子具有相同比荷,A错误;带电粒子运动过程中,电场力均做正功,电势能均随时间逐渐减小,B错误;沿电场方向,由公式vy=at可知,到达M、N的竖直分速度大小相等,由于初速度之比为2∶1,则到达M、N的速度大小不相等,C错误;由题图可知,带电粒子a、b到达K的水平位移相等,由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1,则所用时间之比为1∶2,D正确。
7.(2025·四川模拟)如图所示,足够大的空间内存在与水平方向成θ=37°角的匀强电场,一不可伸长的绝缘轻绳,一端系于O点(距水平地面足够高),另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球(可视为质点),当小球处于静止状态时,轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置(轻绳刚好拉直)静止释放,小球运动到O点正下方时,轻绳碰到P点(OP小于绳长)的刀片而断裂,最终小球落在水平地面上。已知重力加速度大小为g,取sin 37°=
0.6。下列说法正确的是(　　)
A.电场强度的大小为
B.小球在整个过程中受到的合力为变力
C.轻绳断裂前后瞬间小球速度大小不变
D.轻绳断裂后,小球做平抛运动
【答案】 C
【解析】 当小球处于静止状态时,小球受力如图1所示,根据平衡条件有Eq=mgsin θ,解得E=,A错误;由于小球受重力和电场力的合力FGE=mgcos θ=mg,小球运动到O点正下方时,小球受力如图2所示,从静止到运动至O点正下方的过程中做圆周运动,受到的合力为变力,而轻绳断裂后合力不变,B错误;轻绳与刀片接触前后瞬间,无外力对小球做功,则小球速度大小不变,C正确;轻绳断裂后,小球速度方向水平向左,合力恒定且方向斜向右下,小球做类斜抛运动,D错误。
8.(2025·陕西期末)如图所示,在A点以速度v0=6 m/s水平向左抛出一个质量m=1 kg、电荷量q=+0.01 C的小球,小球抛出后进入左侧水平向右的匀强电场。经过一段时间,小球返回到A点正下方7.2 m的B点,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求匀强电场的电场强度E的大小。
(2)小球从A点到B点的运动过程中,抛出后多长时间速度有最小值,最小值为多少
【答案】 (1)1 000 N/C　(2)0.3 s　3 m/s
【解析】 (1)小球在竖直方向上只受重力作用而做自由落体运动,则有y=gt2,水平方向上做匀变速直线运动,则有ax=,qE=max,
联立解得E=1 000 N/C。
(2)将电场力和重力的合力看作小球运动的等效重力,有(mg)2+(qE)2=(ma)2,
解得a=10 m/s2,方向与水平方向成45°角斜向右下方;
将运动初速度v0沿着合加速度a方向(y′方向)和垂直于合加速度a方向(x′方向)分解,
当沿y′方向的速度变为0时所用的时间t′=,解得t′=0.3 s,此时小球速度最小,
其值为vmin=v0cos 45°=3 m/s。
9.(多选)(2025·河南期中)如图所示,两块水平放置的平行金属板M、N,下极板N接地。现将其与理想二极管串联,与静电计并联,初始电容器所带电荷量为零。R0为定值电阻,R1和R2为电阻箱,闭合开关S稳定后,一带电油滴恰好静止于两板间的P点,则下列说法正确的是(　　)
A.断开开关S,M板稍微上移,静电计指针偏角变大
B.断开开关S,N板稍微下移,带电油滴的电势能增大
C.保持开关S闭合,增大R1阻值,带电油滴仍然静止不动
D.保持开关S闭合,增大R2阻值,平行板电容器的带电荷量减小
【答案】 AC
【解析】 断开开关S,电荷量保持不变,M板稍微上移,间距d变大,根据公式C=,C=,可知板间电压U变大,所以静电计指针偏角变大,A正确;断开开关S,N板下移时,由A项分析结合公式E=,可得E=,说明极板间电场强度与d的变化无关,dPN变大,则P点与下极板间电势差U′=EdPN变大,而N板的电势为零,所以P点电势降低,且为负值,其绝对值变大,由于N板为正极板,可知油滴带正电,根据Ep=qφ,可知N板稍微下移,带电油滴的电势能降低,B错误;保持开关S闭合,电容器两板间电压等于电阻R0两端的电压,当增大R1的阻值时,R0两端的电压减小,电容器两板间电压降低,根据C=,可知电容器将会放电,因为二极管的单向导电性,电容器的电荷量不能减少,所以电荷量不变,则板间场强不变,油滴仍然静止不动,C正确;保持开关S闭合,当增大R2的阻值时,电容器两板间电压与R2的阻值无关,则电容器的带电荷量保持不变,D错误。
10.(2025·甘肃庆阳三模)某种质谱仪可以对气体分子进行分析。如图所示,在真空状态下,脉冲阀P喷出微量气体,经激光照射产生不同价位的n价正离子,自A板小孔进入A、B平行板间的加速电场,从B板小孔射出后沿半径为R的半圆弧轨迹通过电场方向指向圆心的静电分析器,再沿中线方向进入C、D平行板间的偏转电场区,能通过偏转电场的离子可被移动的探测器接收。已知元电荷电荷量为e,所有离子质量均为m,A、B板间电压为U0,C、D极板的长度为L。不计离子所受重力及进入A板时的初速度。
(1)求出价位n=1的正离子从B板小孔射出时的速度大小。
(2)为使各种价位的正离子均能进入C、D偏转电场,静电分析器中心线圆弧上的电场强度E0是多大
(3)若要使各个价位的所有离子均能被探测器接收,求出C、D板间的偏转电压U1的大小与C、D板间的距离d满足的关系式。
【答案】 (1)　(2)　(3)U1≤
【解析】 (1)对价位n=1的正离子,通过加速电场A、B过程中,根据动能定理有eU0=mv2,
解得v=。
(2)对价位n的正离子通过A、B加速电场有neU0=mv′2,
使离子能够沿静电分析器中心圆弧轨道进入C、D偏转电场,根据牛顿第二定律有
neE0=,联立解得E0=。
(3)n价离子在偏转电场中做类平抛运动,根据位移公式可知L=v′t,y=at2,
根据牛顿第二定律可知a=,
n价离子能从C、D板左侧离开时应满足y≤,
又有neU0=mv′2,
可解得U1≤。第7讲　实验:观察电容器的充、放电现象
1.(2025·重庆渝中阶段练习)小巴同学用电流传感器和电压传感器(不考虑传感器对电路的影响)探究电容器的充放电规律,实验装置如图甲所示。有内阻不计的直流电源E,电阻箱R,电容器C,单刀双掷开关S。
(1)由电路图可知,传感器2应为　　　　(选填“电流”或“电压”)传感器。
(2)根据测到的数据,某过程中电容器两端电压U与电流I的关系图如图乙所示。该过程为
　　　　(选填“充电”或“放电”)过程,该电源的电动势为　　　　 V。
2.(2025·四川期中)在学习电容器充放电的有关知识时,老师利用石英钟(内无电源)设计了如图甲所示的演示实验,向同学们演示了电容器充、放电的过程。石英钟作为常用的计时工具,其转动所需要的电流可不足1毫安,利用此特性,可用于判断电路中是否存在微小电流。电路中接入两只相同的石英钟A、B,S为单刀双掷开关,C为电容器,E为电源,如图乙所示。
请回答以下问题。
(1)当开关打至1时,电容器处于　　　　(选填“充电”或“放电”)过程,石英钟A沿顺时针转动直至停止。
(2)再将开关打至2时,石英钟B开始沿　　　　(选填“顺时针”或“逆时针”)转动直至停止。
(3)与教材所给出的实验方案相比,该演示实验有哪些创新之处
(至少写一条)。
3.(2025·甘肃模拟)某小组根据所学知识自制了一个电容器,并且做了观察其充、放电现象的实验,实验器材有:电源E(电动势为8 V)、电容器C、理想电压表、理想电流表、电流传感器、定值电阻R、电阻箱、单刀双掷开关S、导线若干。
(1)用如图甲所示的电路,将开关S接到1后:
①电压表示数　　　　。
A.先增大,后逐渐减小为零
B.逐渐增大,最终稳定在8 V
②电流表的示数　　　　。
A.一直稳定在某一数值
B.从某一数值开始逐渐减小到零
C.逐渐增大为某一数值
(2)将图甲电路换成图乙所示电路,开关S先接1,电容器充电完毕后,再把开关S改接2,通过电流传感器得到电容器放电的It图像,如图丙所示。
①根据图丙可估算出电容器开始放电时所带的电荷量q=　　 　　 C(结果保留两位有效数字)。
②使用图乙电路时仅把电阻箱的阻值R调大一些,重复上述实验,下列图像中的实线和虚线分别表示改变R前后放电过程的It 曲线,最接近实际情况的是　　　　。
A　　 　B
C　　　 D
4.(2024·海南卷,15)用如图甲所示的电路观察电容器的充放电现象,实验器材有电源E、电容器C、电压表、电流表、电流传感器、计算机、定值电阻R、单刀双掷开关S1、开关S2、导线若干。
(1)闭合开关S2,将S1接1,电压表示数增大,最后稳定在12.3 V。在此过程中,电流表的示数
　　　　(填选项标号)。
A.一直稳定在某一数值
B.先增大,后逐渐减小为零
C.先增大,后稳定在某一非零数值
(2)先后断开开关S2、S1,将电流表更换成电流传感器,再将S1接2,此时通过定值电阻R的电流方向为　　　　(选填“a→b”或“b→a”),通过传感器将电流信息传入计算机,画出电流随时间变化的It图像,如图乙,t=2 s时I=1.10 mA,图中M、N区域面积比为8∶7,可求出R=　　　　 kΩ(结果保留两位有效数字)。
5.(2025·山东潍坊阶段检测)工业生产中经常会用到需要避光储存的绝缘液体原料,为了方便测量其深度,某同学设计了如图甲所示装置。在储存液体原料的桶的外侧底部,放置一个与桶底形状相同、面积为S的金属板,桶内有一面积为S的轻质金属箔板,漂浮在液体表面上。圆桶由绝缘材料制成,桶壁厚度可忽略不计,使用时需要进行如下操作:
(1)将开关接“1”接线柱,电容器充满电后,将开关接“2”接线柱,电流传感器记录下电流随时间的变化关系如图乙。可知电容器充满电后的电荷量Q=　　　　 C。
(2)再将开关接“1”接线柱,电容器充满电后,将开关接“3”接线柱,电压传感器的示数为U。可根据U的大小得出液体的深度h;改变深度h,电压传感器示数随之改变。根据所学知识判断电压传感器示数和液体的深度呈　　　　(选填“线性”或“非线性”)关系。
(3)工作过程中电荷量会有一定的损失,将导致深度的测量结果　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)。

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