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贵州省贵阳市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．下列各数，能使不等式成立的x的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：不等式 的解集是所有大于2的数．
A、，代入不等式得 ，不成立，故选项A不符合题意．
B、，代入不等式得 ，不成立，故选项B不符合题意．
C、，代入不等式得 ，不成立，故选项C不符合题意．
D/，代入不等式得 ，成立，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集是，判断各选项的数值是否满足条件即可
2．图是AI应用的Logo，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、选项中的图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题考查中心对称图形， 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． ，
3．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（　　）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解∶如图，，，
∴，，
∴，
∴，
∵长的边线为南北向，
∴长的边线方向为东西方向，
故答案为∶A．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，方向问题，先由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据为南北向，即可得出答案．
4．分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题得：，，
∴，符合题意，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查分式值为0的条件：分式的值为0即分子为0且分母不为0，由此列式计算即可．
5．如图，在等边三角形中，D，E分别是边的中点．若，则的周长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶∵在等边三角形中，，
∴，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴的周长为，
故答案为∶C．
【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和三角形中位线定理，由等边三角形的性质得，根据D，E分别是边的中点可得，是的中位线得，从而可求的周长．
6．如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解∶如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为∶C．
【分析】 本题考查了多边形内角与外角，正方形的性质，由四边形是正方形可得，再进出五边形的内角和，用五边形的内角和减去三个直角即可．
7．学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话．
根据以上对话，用不等式描述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据小星的描述可得，
根据小红的描述可得，
即若，则，
故答案为：B．
【分析】本题考查了不等式的性质： 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此解答即可．
8．如图，在中，，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：，的平分线交于点E，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：B．
【分析】本题 考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，由g平分s可求出，由s可得 ，由得出．
9．如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解∶根据题意，得，
∴，
故答案为∶A．
【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，根据图②是由4个相同的长方形和一个正方形组成的， 用含有a、b的代数式表示图②中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案．
10．在平面直角坐标系中，一次函数和正比例函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为，
∴关于x的一元一次不等式的解集是，
故答案为：D．
【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知两条直线的交点坐标为，再确定 正比例函数图象在直线y=kx+3的下方所对应的自变量的范围即可．
二、填空题
11．因式分解：x2-1=　 　.
【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．如图，在中，，垂直平分．则的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质和三角形的周长， 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，再由三角形周长定义得，再代入数据计算即可．
13．化简分式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的约分
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查 分式的约分，先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可得到结果．
14．如图，在等边三角形中，，D是上一动点，以为对角线作，则对角线的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设交于点O，过O作于G；
∵四边形是平行四边形，
∴点O是的中点，；
当最短时，最短，此时两点重合；
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
即的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】 考查等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、垂线段最短等知识，过O作于G；由平行四边形的性质得点O是的中点，，当最短时，最短，此时两点重合，求出、，可得的最小值，从而求出的最小值．
三、解答题
15．
（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：．
（2）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务，
·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步
任务一：小红的解答从第 ▲ 步开始出现错误，这一步的错误原因是 ▲ ；
任务二：请写出正确的解答过程．
【答案】（1）解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示．
∴原不等式组解集为．
（2）解：任务一：三，括号前面是负号去括号没变号；
任务二：
．
【知识点】分式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组．熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来；
（2）任务一，第三步去括号时，最后一项应该改变符合；
任务二，先利用乘法的分配律计算，再约分，然后去括号后合并同类项即可．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
（1）将先向左平移4个单位再向上平移4个单位得到，画出；
（2）将绕原点O逆时针旋转后得到，画出．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如上图所示．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）先确定平移后点r的对应点，再顺次连接即可得；
（2）先确定平移后点r的对应点，再顺次连接即可得 ．
17．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：平分，．
．
，
．
；
（2）解：，
．
，且，
．
．
，
．
，
∴．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由角平分线性质定理可得，依据可证明，可得；
（2）求出，根据证明，得到，，由得到，进而可求四边形的面积．
18．某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？
（2）现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？
【答案】（1）解：设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是．
由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是．
（2）解：设A型机器人有m台，则B型机器人有台．
由题意得：，
解不等式得：．
公司至少安排A型机器人5台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 本题主要考查可化为一元一次方程的分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确找出题中的数量关系，列出方程和不等式是解答本题的关键．
（1）设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是，根据A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同列方程，再解方程并检验可得答案；
（2）设A型机器人有m台，则B型机器人有台，根据“ 运送不少于的货物 ”可列不等式，解出m范围可得答案．
19．如图，在中，，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，．
在中，，．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：在中，
∵，，
由勾股定理，得．
由（1）得．
在中，
∵，，
由勾股定理，得．
∴．
答：的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 本题考查平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）由，可得，由s可得，根据证明可得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由勾股定理求出，，根据可得结论．
20．如图①为某商场内的一块长为，宽为的长方形空地，商场计划在这块空地上停放同一型号购物车．如图②为一辆购物车和叠放在一起的购物车示意图．试探究整齐叠放的购物车总长与购物车数量的关系，下表是测得的一些数据．
购物车数量/辆 1 2 3 4 5 …
购物车总长/m 1 …
请结合相关信息完成以下任务
任务一：设叠放在一起的购物车的总长为，购物车的数量为x辆，请求出y与x的函数关系式；
任务二：若测得购物车宽度为，商场停放购物车的方式为横放或竖放两种，请问该块空地最多能停放多少辆购物车？（每列购物车之间间隙忽略不计，且购物车不能超出该空地）
【答案】解：任务一：因为每增加一辆购物车，购物车总长增加，所以购物车的总长是购物车数量x（辆）的一次函数．
设y与x的函数关系式为：，
当；当，将它们分别代入关系式得：
，
解得
与x的函数关系式为：（，x为整数）．
任务二：情况一：当购物车停放方式为竖放时，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
为正整数，
最多取17．
∴停放的车辆数为：（辆）．
情况二：当购物车停放方式为横放时，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
为正整数，
最多取4．
∴停放的车辆数为：（辆）．
综上所述，该空地最多能停放68辆购物车．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；列一元一次不等式
【解析】【分析】
任务一：根据题干信息得到购物车的总长是购物车数量x（辆）的一次函数，设y与x的函数关系式为：利用待定系数法把；当，代入函数解析式，解二元一次方程组得到k，b的值，再写出函数关系式，解答即可；
任务二：分情况讨论情况一：当购物车停放方式为竖放时，根据题干信息列出不等式，解不等式再取整数即可解答；情况二：当购物车停放方式为横放时，根据题干信息列出不等式，解不等式再取整数即可解答.
21．如图，在中，，是边上的高．
（1）【问题解决】
如图①，　 　度，与的数量关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图②，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图③，点P是线段上的一动点（P不与点A，D重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接线段．试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）30；
（2）解：∵，
∴，，
∵是边上的高．
∴，
∴
∵是边上的高．
∴
∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，是边上的高．
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
【知识点】垂线的概念；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合；三角形的高
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴
故答案为：，
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，，根据三角形高的定义得到，再根据30角的性质即可解答.
(2)根据AB=2得到，，根据三角形高的定义得到，再利用勾股定理计算得到BD，根据三角形三线合一的性质得到，根据旋转的性质得到，，从而判定得到是等边三角形， 根据等边三角形的性质和勾股定理计算即可解答；
（3）连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到垂直平分， ，再根据线段垂直平分线的性质得到再根据等边对等角得到，计算可得，再通过旋转的性质得到和角度的计算得到，解答即可.
1 / 1贵州省贵阳市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．下列各数，能使不等式成立的x的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
2．图是AI应用的Logo，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（　　）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
4．分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．如图，在等边三角形中，D，E分别是边的中点．若，则的周长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
6．如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话．
根据以上对话，用不等式描述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．如图，在中，，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（　　）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，一次函数和正比例函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：x2-1=　 　.
12．如图，在中，，垂直平分．则的周长为　 　．
13．化简分式的结果是　 　．
14．如图，在等边三角形中，，D是上一动点，以为对角线作，则对角线的最小值为　 　．
三、解答题
15．
（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：．
（2）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务，
·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步
任务一：小红的解答从第 ▲ 步开始出现错误，这一步的错误原因是 ▲ ；
任务二：请写出正确的解答过程．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
（1）将先向左平移4个单位再向上平移4个单位得到，画出；
（2）将绕原点O逆时针旋转后得到，画出．
17．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
18．某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？
（2）现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？
19．如图，在中，，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
20．如图①为某商场内的一块长为，宽为的长方形空地，商场计划在这块空地上停放同一型号购物车．如图②为一辆购物车和叠放在一起的购物车示意图．试探究整齐叠放的购物车总长与购物车数量的关系，下表是测得的一些数据．
购物车数量/辆 1 2 3 4 5 …
购物车总长/m 1 …
请结合相关信息完成以下任务
任务一：设叠放在一起的购物车的总长为，购物车的数量为x辆，请求出y与x的函数关系式；
任务二：若测得购物车宽度为，商场停放购物车的方式为横放或竖放两种，请问该块空地最多能停放多少辆购物车？（每列购物车之间间隙忽略不计，且购物车不能超出该空地）
21．如图，在中，，是边上的高．
（1）【问题解决】
如图①，　 　度，与的数量关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图②，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图③，点P是线段上的一动点（P不与点A，D重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接线段．试判断与的位置关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：不等式 的解集是所有大于2的数．
A、，代入不等式得 ，不成立，故选项A不符合题意．
B、，代入不等式得 ，不成立，故选项B不符合题意．
C、，代入不等式得 ，不成立，故选项C不符合题意．
D/，代入不等式得 ，成立，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集是，判断各选项的数值是否满足条件即可
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、选项中的图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题考查中心对称图形， 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． ，
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解∶如图，，，
∴，，
∴，
∴，
∵长的边线为南北向，
∴长的边线方向为东西方向，
故答案为∶A．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，方向问题，先由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据为南北向，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题得：，，
∴，符合题意，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查分式值为0的条件：分式的值为0即分子为0且分母不为0，由此列式计算即可．
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶∵在等边三角形中，，
∴，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴的周长为，
故答案为∶C．
【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和三角形中位线定理，由等边三角形的性质得，根据D，E分别是边的中点可得，是的中位线得，从而可求的周长．
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解∶如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为∶C．
【分析】 本题考查了多边形内角与外角，正方形的性质，由四边形是正方形可得，再进出五边形的内角和，用五边形的内角和减去三个直角即可．
7．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据小星的描述可得，
根据小红的描述可得，
即若，则，
故答案为：B．
【分析】本题考查了不等式的性质： 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此解答即可．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：，的平分线交于点E，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：B．
【分析】本题 考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，由g平分s可求出，由s可得 ，由得出．
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解∶根据题意，得，
∴，
故答案为∶A．
【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，根据图②是由4个相同的长方形和一个正方形组成的， 用含有a、b的代数式表示图②中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案．
10．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为，
∴关于x的一元一次不等式的解集是，
故答案为：D．
【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知两条直线的交点坐标为，再确定 正比例函数图象在直线y=kx+3的下方所对应的自变量的范围即可．
11．【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质和三角形的周长， 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，再由三角形周长定义得，再代入数据计算即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的约分
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查 分式的约分，先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可得到结果．
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设交于点O，过O作于G；
∵四边形是平行四边形，
∴点O是的中点，；
当最短时，最短，此时两点重合；
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
即的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】 考查等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、垂线段最短等知识，过O作于G；由平行四边形的性质得点O是的中点，，当最短时，最短，此时两点重合，求出、，可得的最小值，从而求出的最小值．
15．【答案】（1）解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示．
∴原不等式组解集为．
（2）解：任务一：三，括号前面是负号去括号没变号；
任务二：
．
【知识点】分式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组．熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来；
（2）任务一，第三步去括号时，最后一项应该改变符合；
任务二，先利用乘法的分配律计算，再约分，然后去括号后合并同类项即可．
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如上图所示．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）先确定平移后点r的对应点，再顺次连接即可得；
（2）先确定平移后点r的对应点，再顺次连接即可得 ．
17．【答案】（1）证明：平分，．
．
，
．
；
（2）解：，
．
，且，
．
．
，
．
，
∴．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由角平分线性质定理可得，依据可证明，可得；
（2）求出，根据证明，得到，，由得到，进而可求四边形的面积．
18．【答案】（1）解：设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是．
由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是．
（2）解：设A型机器人有m台，则B型机器人有台．
由题意得：，
解不等式得：．
公司至少安排A型机器人5台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 本题主要考查可化为一元一次方程的分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确找出题中的数量关系，列出方程和不等式是解答本题的关键．
（1）设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是，根据A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同列方程，再解方程并检验可得答案；
（2）设A型机器人有m台，则B型机器人有台，根据“ 运送不少于的货物 ”可列不等式，解出m范围可得答案．
19．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，．
在中，，．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：在中，
∵，，
由勾股定理，得．
由（1）得．
在中，
∵，，
由勾股定理，得．
∴．
答：的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 本题考查平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）由，可得，由s可得，根据证明可得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由勾股定理求出，，根据可得结论．
20．【答案】解：任务一：因为每增加一辆购物车，购物车总长增加，所以购物车的总长是购物车数量x（辆）的一次函数．
设y与x的函数关系式为：，
当；当，将它们分别代入关系式得：
，
解得
与x的函数关系式为：（，x为整数）．
任务二：情况一：当购物车停放方式为竖放时，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
为正整数，
最多取17．
∴停放的车辆数为：（辆）．
情况二：当购物车停放方式为横放时，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
为正整数，
最多取4．
∴停放的车辆数为：（辆）．
综上所述，该空地最多能停放68辆购物车．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；列一元一次不等式
【解析】【分析】
任务一：根据题干信息得到购物车的总长是购物车数量x（辆）的一次函数，设y与x的函数关系式为：利用待定系数法把；当，代入函数解析式，解二元一次方程组得到k，b的值，再写出函数关系式，解答即可；
任务二：分情况讨论情况一：当购物车停放方式为竖放时，根据题干信息列出不等式，解不等式再取整数即可解答；情况二：当购物车停放方式为横放时，根据题干信息列出不等式，解不等式再取整数即可解答.
21．【答案】（1）30；
（2）解：∵，
∴，，
∵是边上的高．
∴，
∴
∵是边上的高．
∴
∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，是边上的高．
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
【知识点】垂线的概念；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合；三角形的高
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴
故答案为：，
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，，根据三角形高的定义得到，再根据30角的性质即可解答.
(2)根据AB=2得到，，根据三角形高的定义得到，再利用勾股定理计算得到BD，根据三角形三线合一的性质得到，根据旋转的性质得到，，从而判定得到是等边三角形， 根据等边三角形的性质和勾股定理计算即可解答；
（3）连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到垂直平分， ，再根据线段垂直平分线的性质得到再根据等边对等角得到，计算可得，再通过旋转的性质得到和角度的计算得到，解答即可.
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