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广西桂林市七星区桂林市第一中学2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（　　）
液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦
沸点
A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦
2．一组数据5，7，3，9，1，10，6的中位数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
3．下列图形能围成圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
4．多项式中各项的公因式是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．实现碳中和，已成为全球共识，碳替代、碳减排、碳封存、碳循环是实现碳中和的4种主要途径，科学家预测，2020－2050年，4种途径对全球碳中和的贡献率如图所示，图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为（　　）
A．21° B．30° C．54° D．60°
9．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．因式分解：　 　．
14．【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是　 　．
15．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在化学中，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……观察其化学式的变化规律，第个化学式可表示为　 　．
16．如图，正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为和，边长分别为，当时，的值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算
（1）解不等式组：
（2）求代数式的值，其中
18．如图，在中（），以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．
（1）用尺规作图法，作的平分线，且点在线段上，与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
19．如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图．
（1）分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数；
（2）小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确．
20．数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：
（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
（3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
（4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离
2 1
3 1
4 1
… … 1
n
1
任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______；
任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．
21．如图1，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积．
22．【函数探究】某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（常数，且）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为_____．
（2）当时，即．
①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中_____；
②在如图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（3）当时，即．
①当时，函数化简为_____；
②在如图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（4）请写出函数（常数，且）的一条性质：　 　．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
23．综合探究
如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接．
（1）连接，求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，在四边形中，，连接，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
而268.9＞253＞196＞183，
，
沸点最高的液体是液氧．
故答案为：A．
【分析】根几个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此进行解答即可．
2．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、3、5、6、7、9、10，
则中位数为：6，
故选：B．
【分析】本题考查中位数的计算方法，先将数据按从小到大的顺序排列，这组数据个数为奇数，直接取中间位置的数即为中位数。
3．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A.是圆柱的展开图，故该选项错误；
B.是三棱锥的展开图，故该选项错误；
C.是圆锥的展开图，故该选项正确；
D.是正方体的展开图，故该选项错误，
故选：C．
【分析】本题考查几何体展开图与折叠的对应关系，根据圆锥展开图由扇形和圆形组成的特征，逐一判断选项中的图形能否折叠成圆锥。
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式中的两项和，
系数的最大公因数是，
公共字母有和，其的最小指数是，的最小指数是，
多项式的公因式是．
故答案为：A．
【分析】本题考查多项式公因式的确定方法，先找各项系数的最大公约数，再找相同字母及其最低次幂，将两者结合得到公因式。
5．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在直角坐标系的y轴上，
∴，
解得，，
∴P坐标为．
故选：B．
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，轴上点的横坐标为0，据此列方程求出的值，再代入计算纵坐标，得到点的坐标。
6．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式运算、零指数幂的规则，依次根据同类二次根式合并、二次根式化简、零指数幂、二次根式乘法法则判断各选项正误。
7．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据平行线的判定定理（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补），分析选项中角与∠1的关系即可．
8．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：碳封存的扇形所占圆心角度数为，
故答案为：C．
【分析】本题考查扇形统计图圆心角的计算，用圆周角乘以碳封存的贡献率，即可得到对应扇形的圆心角度数。
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的数形结合，不等式的解集是直线在上方时的取值范围，结合交点横坐标直接确定解集。
10．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺．
根据勾股定理得．
故选B．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先根据竿与门的关系表示出门高和门宽，再结合门的高、宽与对角线构成直角三角形，列勾股定理方程。
11．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
12．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
故选：．
【分析】连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质，结合反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式后完成因式分解。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用1、2、3、4表示，
则画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果数有2种，
∴恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或树状图求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
15．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
……，
以此类推，第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个化学式可表示为，
故答案为：．
【分析】本题考查数字规律探究，先分析碳原子数和氢原子数的变化规律，得出第个烷烃的通式，再代入计算。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵是正方形的对角线，
，，，
∴，
又∵四边形与四边形是正方形，
∴均为等腰直角三角形，
，，
，，
即
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形性质与勾股定理的应用，先求出大正方形对角线长度，再根据等腰直角三角形的性质求出两个小正方形的边长，最后计算的值。
17．【答案】（1）解：由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：∵，∴，
解得：，
，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(2)本题考查整式混合运算与非负数性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出、的值，再化简代数式，最后代入求值。
（1）解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
，
∴原式．
18．【答案】（1）解：如图，射线即为所求：
（2）证明：如图：
∵，平分，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作角平分线，按照角平分线的尺规作图步骤，作出的平分线且满足点在线段上的要求。
(2)本题考查平行四边形与等腰三角形、全等三角形的综合证明，先由等腰三角形三线合一得，再利用平行四边形对边平行得角相等，证明三角形全等从而推出。
（1）解：如图，射线即为所求：
（2）证明：如图：
∵，平分，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：甲同学投篮的个数为：，∴平均数为：；
乙同学投篮的个数为：，
∴平均数为：，
答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7；
（2）解：小明的判断正确，利用如下：，
，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴小明的判断正确．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】(1)本题考查算术平均数的计算，将两人每次投篮的成绩相加，再除以测试次数6，得到各自的平均数；
(2)本题考查方差的意义与计算，方差越小数据越稳定，分别计算甲、乙成绩的方差，比较方差大小判断成绩稳定性。
（1）解：甲同学投篮的个数为：，
∴平均数为：；
乙同学投篮的个数为：，
∴平均数为：，
答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7；
（2）解：小明的判断正确，利用如下：
，
，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴小明的判断正确．
20．【答案】任务1：；
任务2：∵左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，是木杆总长度的一半，
∴，
∴．
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：任务1：由表格可得，左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，均为45，是木杆总长度的一半，
∴当木杆左边挂5个重物时，支点到木杆左边挂重物处的距离为，
故答案为：；
【分析】任务1：根据表格数据，总结规律，即可求出答案.
任务2：根据题意建立方程，化简即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
见解析
（2）解：∵，∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴设，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：∵是的直径，，∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线性质、垂径定理与平行线判定，连接，由角平分线得弧相等推出，结合切线性质，证得；
(2)本题考查圆周角定理与解直角三角形，由平行线得，在中求直径，再在中利用三角函数求，进而算出；
(3)本题考查菱形性质、扇形面积与三角形面积计算，由菱形性质推出角度关系，分别计算和扇形的面积，作差得到阴影部分面积。
（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴设，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：∵是的直径，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）4，
（3）①，
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
（4）当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：当时，
，
故答案为：；
（2）解：①当时，
，
故答案为：4；
（3）解：①当时，
，
故答案为：；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时，
，
当时，时，y随x增大而增大，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【分析】(1)本题考查绝对值的化简，根据时绝对值内式子为负，去掉绝对值符号化简函数；
(2) ①本题考查绝对值函数求值，将代入函数解析式计算的值；
②本题考查绝对值函数图象绘制，根据表格数据描点连线画出图象；
(3)①本题考查绝对值函数分段化简，根据时绝对值内式子非负，去掉绝对值符号化简函数；
②本题考查函数图象绘制，根据解析式取点描点连线画出图象；
(4)本题考查绝对值函数性质总结，根据函数分段解析式与一次函数性质，写出函数的增减性等性质。
（1）解：当时，
，
故答案为：；
（2）解：①当时，
，
故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
（3）解：①当时，
，
故答案为：；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时，
，
当时，时，y随x增大而增大，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即；
（3）解：结论：，
理由：以为边向上作等边三角形，连接，
则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)本题考查正方形性质与全等三角形、等腰直角三角形证明，利用正方形边长和直角相等，证明三角形全等，推出边相等和角为，证得等腰直角三角形。
(2)本题考查全等三角形构造与等腰直角三角形性质，通过截取线段构造全等三角形，将转化为等腰直角三角形的直角边，结合勾股定理得结论。
(3)本题考查等边三角形构造、全等三角形与勾股定理，以为边作等边三角形，证明三角形全等，推出直角三角形，用勾股定理得出三边数量关系。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即；
（3）解：结论：，
理由：以为边向上作等边三角形，连接，
则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
1 / 1广西桂林市七星区桂林市第一中学2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（　　）
液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦
沸点
A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
而268.9＞253＞196＞183，
，
沸点最高的液体是液氧．
故答案为：A．
【分析】根几个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此进行解答即可．
2．一组数据5，7，3，9，1，10，6的中位数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、3、5、6、7、9、10，
则中位数为：6，
故选：B．
【分析】本题考查中位数的计算方法，先将数据按从小到大的顺序排列，这组数据个数为奇数，直接取中间位置的数即为中位数。
3．下列图形能围成圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A.是圆柱的展开图，故该选项错误；
B.是三棱锥的展开图，故该选项错误；
C.是圆锥的展开图，故该选项正确；
D.是正方体的展开图，故该选项错误，
故选：C．
【分析】本题考查几何体展开图与折叠的对应关系，根据圆锥展开图由扇形和圆形组成的特征，逐一判断选项中的图形能否折叠成圆锥。
4．多项式中各项的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式中的两项和，
系数的最大公因数是，
公共字母有和，其的最小指数是，的最小指数是，
多项式的公因式是．
故答案为：A．
【分析】本题考查多项式公因式的确定方法，先找各项系数的最大公约数，再找相同字母及其最低次幂，将两者结合得到公因式。
5．已知点在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在直角坐标系的y轴上，
∴，
解得，，
∴P坐标为．
故选：B．
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，轴上点的横坐标为0，据此列方程求出的值，再代入计算纵坐标，得到点的坐标。
6．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式运算、零指数幂的规则，依次根据同类二次根式合并、二次根式化简、零指数幂、二次根式乘法法则判断各选项正误。
7．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据平行线的判定定理（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补），分析选项中角与∠1的关系即可．
8．实现碳中和，已成为全球共识，碳替代、碳减排、碳封存、碳循环是实现碳中和的4种主要途径，科学家预测，2020－2050年，4种途径对全球碳中和的贡献率如图所示，图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为（　　）
A．21° B．30° C．54° D．60°
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：碳封存的扇形所占圆心角度数为，
故答案为：C．
【分析】本题考查扇形统计图圆心角的计算，用圆周角乘以碳封存的贡献率，即可得到对应扇形的圆心角度数。
9．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的数形结合，不等式的解集是直线在上方时的取值范围，结合交点横坐标直接确定解集。
10．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺．
根据勾股定理得．
故选B．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先根据竿与门的关系表示出门高和门宽，再结合门的高、宽与对角线构成直角三角形，列勾股定理方程。
11．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
12．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
故选：．
【分析】连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质，结合反比例函数k的几何意义即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式后完成因式分解。
14．【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用1、2、3、4表示，
则画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果数有2种，
∴恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或树状图求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
15．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在化学中，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……观察其化学式的变化规律，第个化学式可表示为　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
……，
以此类推，第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个化学式可表示为，
故答案为：．
【分析】本题考查数字规律探究，先分析碳原子数和氢原子数的变化规律，得出第个烷烃的通式，再代入计算。
16．如图，正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为和，边长分别为，当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵是正方形的对角线，
，，，
∴，
又∵四边形与四边形是正方形，
∴均为等腰直角三角形，
，，
，，
即
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形性质与勾股定理的应用，先求出大正方形对角线长度，再根据等腰直角三角形的性质求出两个小正方形的边长，最后计算的值。
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算
（1）解不等式组：
（2）求代数式的值，其中
【答案】（1）解：由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：∵，∴，
解得：，
，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即为不等式组的解集。
(2)本题考查整式混合运算与非负数性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出、的值，再化简代数式，最后代入求值。
（1）解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
，
∴原式．
18．如图，在中（），以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．
（1）用尺规作图法，作的平分线，且点在线段上，与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求：
（2）证明：如图：
∵，平分，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作角平分线，按照角平分线的尺规作图步骤，作出的平分线且满足点在线段上的要求。
(2)本题考查平行四边形与等腰三角形、全等三角形的综合证明，先由等腰三角形三线合一得，再利用平行四边形对边平行得角相等，证明三角形全等从而推出。
（1）解：如图，射线即为所求：
（2）证明：如图：
∵，平分，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图．
（1）分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数；
（2）小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确．
【答案】（1）解：甲同学投篮的个数为：，∴平均数为：；
乙同学投篮的个数为：，
∴平均数为：，
答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7；
（2）解：小明的判断正确，利用如下：，
，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴小明的判断正确．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】(1)本题考查算术平均数的计算，将两人每次投篮的成绩相加，再除以测试次数6，得到各自的平均数；
(2)本题考查方差的意义与计算，方差越小数据越稳定，分别计算甲、乙成绩的方差，比较方差大小判断成绩稳定性。
（1）解：甲同学投篮的个数为：，
∴平均数为：；
乙同学投篮的个数为：，
∴平均数为：，
答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7；
（2）解：小明的判断正确，利用如下：
，
，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴小明的判断正确．
20．数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：
（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
（3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
（4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离
2 1
3 1
4 1
… … 1
n
1
任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______；
任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．
【答案】任务1：；
任务2：∵左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，是木杆总长度的一半，
∴，
∴．
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：任务1：由表格可得，左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，均为45，是木杆总长度的一半，
∴当木杆左边挂5个重物时，支点到木杆左边挂重物处的距离为，
故答案为：；
【分析】任务1：根据表格数据，总结规律，即可求出答案.
任务2：根据题意建立方程，化简即可求出答案.
21．如图1，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
见解析
（2）解：∵，∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴设，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：∵是的直径，，∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线性质、垂径定理与平行线判定，连接，由角平分线得弧相等推出，结合切线性质，证得；
(2)本题考查圆周角定理与解直角三角形，由平行线得，在中求直径，再在中利用三角函数求，进而算出；
(3)本题考查菱形性质、扇形面积与三角形面积计算，由菱形性质推出角度关系，分别计算和扇形的面积，作差得到阴影部分面积。
（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴设，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：∵是的直径，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
22．【函数探究】某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（常数，且）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为_____．
（2）当时，即．
①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中_____；
②在如图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（3）当时，即．
①当时，函数化简为_____；
②在如图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（4）请写出函数（常数，且）的一条性质：　 　．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】（1）
（2）4，
（3）①，
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
（4）当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：当时，
，
故答案为：；
（2）解：①当时，
，
故答案为：4；
（3）解：①当时，
，
故答案为：；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时，
，
当时，时，y随x增大而增大，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【分析】(1)本题考查绝对值的化简，根据时绝对值内式子为负，去掉绝对值符号化简函数；
(2) ①本题考查绝对值函数求值，将代入函数解析式计算的值；
②本题考查绝对值函数图象绘制，根据表格数据描点连线画出图象；
(3)①本题考查绝对值函数分段化简，根据时绝对值内式子非负，去掉绝对值符号化简函数；
②本题考查函数图象绘制，根据解析式取点描点连线画出图象；
(4)本题考查绝对值函数性质总结，根据函数分段解析式与一次函数性质，写出函数的增减性等性质。
（1）解：当时，
，
故答案为：；
（2）解：①当时，
，
故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
（3）解：①当时，
，
故答案为：；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时，
，
当时，时，y随x增大而增大，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，，
当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
23．综合探究
如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接．
（1）连接，求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，在四边形中，，连接，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即；
（3）解：结论：，
理由：以为边向上作等边三角形，连接，
则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)本题考查正方形性质与全等三角形、等腰直角三角形证明，利用正方形边长和直角相等，证明三角形全等，推出边相等和角为，证得等腰直角三角形。
(2)本题考查全等三角形构造与等腰直角三角形性质，通过截取线段构造全等三角形，将转化为等腰直角三角形的直角边，结合勾股定理得结论。
(3)本题考查等边三角形构造、全等三角形与勾股定理，以为边作等边三角形，证明三角形全等，推出直角三角形，用勾股定理得出三边数量关系。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即；
（3）解：结论：，
理由：以为边向上作等边三角形，连接，
则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
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