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广西壮族自治区贵港市港北区2025年中考三模数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（　　）
A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米
C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意向右移动为正，
一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米，
故选：C．
【分析】本题考查正数与负数表示相反意义的量，规定向右移动为正方向，那么负数就代表向左移动，据此可直接判断米的实际移动方向与距离。
2．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　）
A．极氪 B．小鹏
C．理想 D．蔚来
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
万用科学记数法表示为．
故选：A．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，先把2215万转化为22150000，再按照（，为整数）的规则确定与的数值。
4．斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、是构件的主视图，符合题意；
B、不是构件的视图，不符合题意；
C、不是构件的视图，不符合题意；
D、是构件的左视图，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查几何体的三视图，主视图是从正面观察物体得到的平面图形，结合构件的形状特征，区分主视图、左视图与俯视图即可选出答案。
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查整式的混合运算，依次运用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂除法法则、积的乘方与幂的乘方法则，对每个选项逐一计算验证。
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
7．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可；定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”，先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，结合选项，逐项判定，即可求解.
8．如图，在四边形中，，，，，若，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质可得，，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据垂直可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
9．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
∴得到的抛物线对应的函数关系式为，
故答案为：C．
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，遵循“左加右减、上加下减”的平移规律，对顶点式解析式直接变形即可．
10．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵五只雀、六只燕，共重两
∴，
∵五只雀、六只燕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重
∴四只雀、一只燕的重量和五只燕、一只雀的重量相等
∴，
∴，
故选：．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“总重量16两”和“互换一只后重量相等”两个等量关系，分别列出方程组成方程组。
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为米，则筒车工作时，轴心到水面的距离为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
在中，（米），
∴筒车工作时，轴心到水面的距离为米．
故选：C．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，过圆心作弦的垂线，由垂径定理得弦的一半长度，再在直角三角形中用勾股定理求圆心到弦的距离。
12．如图，为等边三角形，平分，，点P为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：过A作于F，过点P作于E，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【分析】本题考查最短路径问题与含角的直角三角形性质，过点作的垂线，将转化为垂线段长度，再利用垂线段最短求最小值。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．有理数的算术平方根为　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：有理数的算术平方根为．
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根即为它的算术平方根，直接按定义写出结果。
14．是方程的根，则式子的值为　 　．
【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
则2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案为：2027.
【分析】由一元二次方程解的意义可得2m2+3m-1=0，则2m2+3m=1，将原式变形后整体代入已知数值计算即可.
15．反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图像经过、，且，
∴每个象限内，随的增大而减小，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
16．如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．
【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过O作于P，于Q，
∵菱形中，，
∴，，平分，，，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，过O作于P，于Q，根据全等三角形的判定与性质证明，，，，再根据计算结果即可。
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）
（2）解方程：
【答案】（1）
（2），
两边都乘以 ，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，按照先乘方、再括号、后乘除的运算顺序逐步计算；
(2)本题考查分式方程的解法，先确定最简公分母去分母化为整式方程，求解后检验根的有效性。
18．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
19．消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米．
（1）求此时消防车的位置与楼房的距离的长；
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∴米；
（2）解：不是，理由如下：
由题意得米，米，
米，
由（1）得米；
米，
即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，根据矩形性质可得OE，根据边之间的关系可得BO，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）由题意得米，米，根据勾股定理可得CO，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∴米；
（2）解：不是，理由如下：
由题意得米，米，
米，
由（1）得米；
米，
即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米．
20．综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①，；
②由题意得：，
解得：，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得：，
，
随m的增大而减小，
当时，y有最小值，
此时，，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天，
故答案为：，；
【分析】任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：① 设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 即可求出答案.
②根据题意建立不等式，解不等式可得m的取值范围，设该公司支付的总工资为y元，再根据题意建立关系式，结合一次函数的性质节课求出答案.
21．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；，
（1） 连接， 由为的切线得，结合得，得到，由得，从而得，进而得出结论；
（2）根据证明，得出，推出，在中，由求出，可得．
（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为的坐标为__________；
②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．
【答案】（1）解：把，代入，解得：；
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
当时，．
∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）①，②，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（3）解：①当时，即，
解得：，，
∴由题意可得；
②由（1）得：，
∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
∴，
解得：．
∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点），
当时，，．
∴，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图：
在中，，，
∴，，
当时，即，
解得：（在上舍去），，
即，
∴，
∴，
∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是．
【分析】（1）根据待定系数法将，代入解析式即可求出答案.
（2）由题意得，，根据边之间的关系可得OG，将x=1.4代入解析式求出y值，再作差即可求出答案.
（3）①根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得OD，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，即此时抛物线与轴的右交点为点，将y=0代入解析式求出x值，再作差即可；当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，根据含30°角的直角三角形性质可得EM，FM，再将代入解析式求出x值，则，再作差即可.
（1）解：把，代入，解得：；
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
当时，．
∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）解：①当时，即，
解得：，，
∴由题意可得；
②由（1）得：，
∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
∴，
解得：．
∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点），
当时，，．
∴，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图：
在中，，，
∴，，
当时，即，
解得：（在上舍去），，
即，
∴，
∴，
∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是．
23．综合探究
在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设．
（1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值．
【答案】（1）解：，理由如下：如图1，∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即
（2）解：①k值发生变化，，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②作于F，
设，则，
∵点E为中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
则
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）先得到和都是等边三角形，然后利用SAS得到，即可得到结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到结论；
②作于F，设，则，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，然后利用勾股定理求出长，利用正切的定义解题即可．
（1）解：，
理由如下：如图1，∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即；
（2）解：①k值发生变化，，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②作于F，
设，则，
∵点E为中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
则．
1 / 1广西壮族自治区贵港市港北区2025年中考三模数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（　　）
A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米
C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米
2．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　）
A．极氪 B．小鹏
C．理想 D．蔚来
3．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，，，，，若，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为米，则筒车工作时，轴心到水面的距离为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．如图，为等边三角形，平分，，点P为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．有理数的算术平方根为　 　．
14．是方程的根，则式子的值为　 　．
15．反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是　 　．
16．如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）
（2）解方程：
18．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
19．消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米．
（1）求此时消防车的位置与楼房的距离的长；
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由．
20．综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
21．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为的坐标为__________；
②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．
23．综合探究
在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设．
（1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意向右移动为正，
一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米，
故选：C．
【分析】本题考查正数与负数表示相反意义的量，规定向右移动为正方向，那么负数就代表向左移动，据此可直接判断米的实际移动方向与距离。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
万用科学记数法表示为．
故选：A．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，先把2215万转化为22150000，再按照（，为整数）的规则确定与的数值。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、是构件的主视图，符合题意；
B、不是构件的视图，不符合题意；
C、不是构件的视图，不符合题意；
D、是构件的左视图，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查几何体的三视图，主视图是从正面观察物体得到的平面图形，结合构件的形状特征，区分主视图、左视图与俯视图即可选出答案。
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查整式的混合运算，依次运用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂除法法则、积的乘方与幂的乘方法则，对每个选项逐一计算验证。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可；定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”，先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，结合选项，逐项判定，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质可得，，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据垂直可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
∴得到的抛物线对应的函数关系式为，
故答案为：C．
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，遵循“左加右减、上加下减”的平移规律，对顶点式解析式直接变形即可．
10．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵五只雀、六只燕，共重两
∴，
∵五只雀、六只燕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重
∴四只雀、一只燕的重量和五只燕、一只雀的重量相等
∴，
∴，
故选：．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“总重量16两”和“互换一只后重量相等”两个等量关系，分别列出方程组成方程组。
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
在中，（米），
∴筒车工作时，轴心到水面的距离为米．
故选：C．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，过圆心作弦的垂线，由垂径定理得弦的一半长度，再在直角三角形中用勾股定理求圆心到弦的距离。
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：过A作于F，过点P作于E，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【分析】本题考查最短路径问题与含角的直角三角形性质，过点作的垂线，将转化为垂线段长度，再利用垂线段最短求最小值。
13．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：有理数的算术平方根为．
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根即为它的算术平方根，直接按定义写出结果。
14．【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
则2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案为：2027.
【分析】由一元二次方程解的意义可得2m2+3m-1=0，则2m2+3m=1，将原式变形后整体代入已知数值计算即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图像经过、，且，
∴每个象限内，随的增大而减小，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过O作于P，于Q，
∵菱形中，，
∴，，平分，，，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，过O作于P，于Q，根据全等三角形的判定与性质证明，，，，再根据计算结果即可。
17．【答案】（1）
（2），
两边都乘以 ，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，按照先乘方、再括号、后乘除的运算顺序逐步计算；
(2)本题考查分式方程的解法，先确定最简公分母去分母化为整式方程，求解后检验根的有效性。
18．【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
19．【答案】（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∴米；
（2）解：不是，理由如下：
由题意得米，米，
米，
由（1）得米；
米，
即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，根据矩形性质可得OE，根据边之间的关系可得BO，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）由题意得米，米，根据勾股定理可得CO，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∴米；
（2）解：不是，理由如下：
由题意得米，米，
米，
由（1）得米；
米，
即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米．
20．【答案】任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①，；
②由题意得：，
解得：，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得：，
，
随m的增大而减小，
当时，y有最小值，
此时，，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天，
故答案为：，；
【分析】任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：① 设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 即可求出答案.
②根据题意建立不等式，解不等式可得m的取值范围，设该公司支付的总工资为y元，再根据题意建立关系式，结合一次函数的性质节课求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；，
（1） 连接， 由为的切线得，结合得，得到，由得，从而得，进而得出结论；
（2）根据证明，得出，推出，在中，由求出，可得．
（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
22．【答案】（1）解：把，代入，解得：；
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
当时，．
∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）①，②，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（3）解：①当时，即，
解得：，，
∴由题意可得；
②由（1）得：，
∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
∴，
解得：．
∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点），
当时，，．
∴，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图：
在中，，，
∴，，
当时，即，
解得：（在上舍去），，
即，
∴，
∴，
∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是．
【分析】（1）根据待定系数法将，代入解析式即可求出答案.
（2）由题意得，，根据边之间的关系可得OG，将x=1.4代入解析式求出y值，再作差即可求出答案.
（3）①根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得OD，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，即此时抛物线与轴的右交点为点，将y=0代入解析式求出x值，再作差即可；当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，根据含30°角的直角三角形性质可得EM，FM，再将代入解析式求出x值，则，再作差即可.
（1）解：把，代入，解得：；
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
当时，．
∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）解：①当时，即，
解得：，，
∴由题意可得；
②由（1）得：，
∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
∴，
解得：．
∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点），
当时，，．
∴，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图：
在中，，，
∴，，
当时，即，
解得：（在上舍去），，
即，
∴，
∴，
∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是．
23．【答案】（1）解：，理由如下：如图1，∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即
（2）解：①k值发生变化，，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②作于F，
设，则，
∵点E为中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
则
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）先得到和都是等边三角形，然后利用SAS得到，即可得到结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到结论；
②作于F，设，则，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，然后利用勾股定理求出长，利用正切的定义解题即可．
（1）解：，
理由如下：如图1，∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即；
（2）解：①k值发生变化，，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②作于F，
设，则，
∵点E为中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
则．
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