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浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.2 提取公因式法
一、公因式
1．6ab与8ab的公因式是（　　)
A．ab B．6ab C．2ab D．24ab
2．把 分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．2 B． C． D．
3．多项式的各项公因式是（　　）
A． B． C． D．
4．多项式 与多项式 的公因式是（　　）
A． B． C． D．
5． 写出下列多项式中各项的公因式．
（1） ：
（2） ：
（3） ：
（4） ：
二、提公因式法因式分解
6． 多项式 xy（a b) xy（b a)+y（a b )提公因式后，另一个因式为（ )
A．x x+1 B．x+x+1 C．x x 1 D．x+x 1
7．因式分解：　 　．
8．因式分解：　 　．
9．因式分解．
（1）；
（2）．
10．确定下列多项式的公因式，并分解因式。
（1） ax+ ay；
（2）
（3）
三、提公因式法中的化简求职
11．若则的值是　 　.
12．已知，，则的值为　 　．
13．若，，则的值为　 　．
14．若，则　 　．
15．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y)﹣y（y﹣x)=12，求x、y的值.
四、提公因式法应用
16．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（　　）
A．30 B．40 C．70 D．140
17．如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，则这两个两位数的和一定能 （ ）
A．被 9 整除 B．被 10 整除
C．被 11 整除 D．被 12 整除
18．零件的横截面（阴影部分）如图所示，你能用关于 r，h 的多项式表示此零件的横截面面积吗 这个多项式能分解因式吗 若 r=4 cm，h=10 cm，求这个零件的横截面面积（结果精确到个位）．
五、添括号问题
19．下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
20．，在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
21．下列添括号错误的是(　　)
A．3-4x=-(4x-3) B．(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C．-x2+5x-4=-(x2-5x+4) D．-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
22．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（　　）
A．； B．；
C．； D．．
23．下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： 6ab与8ab的公因式是2ab，
故答案为：C.
【分析】根据最大公因数的确定“数字的最大公约数，相同字母的最低次幂”解答即可.
2．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：.
应提取的公因式是.
故答案为：B．
【分析】系数可提取2，字母可以提取y，所以公因式为2y.
3．【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：的各项公因式是，
故答案为：D．
【分析】根据公因式的概念：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，据此直接得到答案. 在寻找多项式公因式时，要注意：公因式的系数是各单项式系数的最大公约数； 公因式的字母取各单项式中相同字母的最低次数；如果某字母在所有单项式中没有出现，那么该字母在公因式中也不出现，即其次数为0.
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】∵，，
∴公因式为x+1，
故答案为：A.
【分析】先将多项式 和多项式分别进行因式分解，再找出其公因式即可.
5．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】公因式的概念
【解析】【分析】公因式的确定方法：
确定多项式的公因式，可概括为三“定”；
(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；
(2)定字母(或多项式)，即确定各项中的相同字母因式(或相同多项式因式）；
(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： xy（a b) xy（b a)+y（a b ) =y(a-b)(x2+x+1)，
∴另一因式为x2+x+1，
故答案为：B.
【分析】根据提取公因式分解因式解答即可.
7．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据提公因式法，提取公因式即可求得．
9．【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）此题多项式各项具有公因式3a，故直接利用提取公因式法分解因式即可；
（2）把(a-2)看成一个整体，此题多项式各项具有公因式a-2，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
（1）解：；
（2）解：；
10．【答案】（1）解：公因式是
原式.
（2）解：公因式是，
原式.
（3）解：公因式是
原式.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察多项式，各项系数均为1，公共字母为，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可；
（2）观察多项式，系数的最大公约数为3，公共字母为，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可；
（3）观察多项式，系数的最大公约数为2，公共字母为 和，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可.
11．【答案】2029
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2+a=1，
∴，
故答案为：2029.
【分析】先根据题意得到a2+a=1，然后把代数式化为，整体代入解答即可.
12．【答案】
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】提公因式进行化简，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
将代入，原式．
故答案为：6．
【分析】本题先根据已知等式变形得到，然后将需要计算的整式进行合并同类项、提公因式变形得到3（m-mn）+15，此时将代入计算即可。
15．【答案】解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】先把等式左边因式分解，然后根据12的因数可得12=1×12=2×6=3×4；再根据 x，y都是自然数求出x和y的值解答即可.
16．【答案】C
【知识点】公因式的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】考查因式分解的应用与代数式求值，首先根据长方形的周长和面积公式推导关键量：周长为14，即，可得；面积为10，即。观察所求代数式，通过提取公因式可分解为，将和代入分解后的式子，即可计算出结果。
17．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，
∴ 这两个两位数的和一定能被11整除，
故答案为：C.
【分析】先表示这两个两位数，然后相加提取公因式11解答即可.
18．【答案】解：S阴影=2rh πr=r(2h-πr)
当r=4cm，h=10cm时，
S阴影=r(2h-πr)=4(20-12.56)
≈30cm．
答：这个零件的横截面面积为30cm
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先根据正方形的额面积减去圆的面积求出阴影部分面积，然后代入r和h的值计算即可.
19．【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原式子错误，不符合题意；
B．，原式子错误，不符合题意；
C．，原式子正确，符合题意；
D．，原式子错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题主要考察添括号的法则，添括号时，括号前是“+”号，括号内各项的符号保持不变；括号前是“-”号，括号内各项的符号都要改变。逐一验证各选项：A选项中，若写成的形式，括号内应为，而非，原式子错误；B选项，提取后，括号内应为，而非，原式子错误；C选项，将后两项用括号括起来，括号前是“-”号，括号内和符号不变，写成，符合法则，正确；D选项，写成的形式，括号内应为，而非，原式子错误。
20．【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据添括号法则逐项进行判断即可求出答案.
21．【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵3-4x=-(4x-3)，∴A正确，不符合题意；
B、∵ (a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)，∴B正确，不符合题意；
C、∵ -x2+5x-4=-(x2-5x+4)，∴C正确，不符合题意；
D、∵ -a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(-a3+5)，∴D不正确，符合题意
故答案为：D.
【分析】利用去括号和添括号的计算方法及步骤（①如果括号前面是加号或乘号，加上括号后，括号里面的符号不变；②如果括号前面是减号或除号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号）分析求解即可.
22．【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，则此项错误；
B、，则此项正确；
C、，则此项错误；
D、，则此项错误；
故答案为：B．
【分析】根据去括号法则和添括号法则对选项逐一运算即可求解。
23．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据去括号和添括号法则逐项进行判断即可．
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.2 提取公因式法
一、公因式
1．6ab与8ab的公因式是（　　)
A．ab B．6ab C．2ab D．24ab
【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： 6ab与8ab的公因式是2ab，
故答案为：C.
【分析】根据最大公因数的确定“数字的最大公约数，相同字母的最低次幂”解答即可.
2．把 分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：.
应提取的公因式是.
故答案为：B．
【分析】系数可提取2，字母可以提取y，所以公因式为2y.
3．多项式的各项公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：的各项公因式是，
故答案为：D．
【分析】根据公因式的概念：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，据此直接得到答案. 在寻找多项式公因式时，要注意：公因式的系数是各单项式系数的最大公约数； 公因式的字母取各单项式中相同字母的最低次数；如果某字母在所有单项式中没有出现，那么该字母在公因式中也不出现，即其次数为0.
4．多项式 与多项式 的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】∵，，
∴公因式为x+1，
故答案为：A.
【分析】先将多项式 和多项式分别进行因式分解，再找出其公因式即可.
5． 写出下列多项式中各项的公因式．
（1） ：
（2） ：
（3） ：
（4） ：
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】公因式的概念
【解析】【分析】公因式的确定方法：
确定多项式的公因式，可概括为三“定”；
(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；
(2)定字母(或多项式)，即确定各项中的相同字母因式(或相同多项式因式）；
(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
二、提公因式法因式分解
6． 多项式 xy（a b) xy（b a)+y（a b )提公因式后，另一个因式为（ )
A．x x+1 B．x+x+1 C．x x 1 D．x+x 1
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： xy（a b) xy（b a)+y（a b ) =y(a-b)(x2+x+1)，
∴另一因式为x2+x+1，
故答案为：B.
【分析】根据提取公因式分解因式解答即可.
7．因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
8．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据提公因式法，提取公因式即可求得．
9．因式分解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）此题多项式各项具有公因式3a，故直接利用提取公因式法分解因式即可；
（2）把(a-2)看成一个整体，此题多项式各项具有公因式a-2，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
（1）解：；
（2）解：；
10．确定下列多项式的公因式，并分解因式。
（1） ax+ ay；
（2）
（3）
【答案】（1）解：公因式是
原式.
（2）解：公因式是，
原式.
（3）解：公因式是
原式.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察多项式，各项系数均为1，公共字母为，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可；
（2）观察多项式，系数的最大公约数为3，公共字母为，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可；
（3）观察多项式，系数的最大公约数为2，公共字母为 和，因此公因式为，最后根据提公因式法计算即可.
三、提公因式法中的化简求职
11．若则的值是　 　.
【答案】2029
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2+a=1，
∴，
故答案为：2029.
【分析】先根据题意得到a2+a=1，然后把代数式化为，整体代入解答即可.
12．已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
13．若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】提公因式进行化简，再整体代入即可求出答案.
14．若，则　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
将代入，原式．
故答案为：6．
【分析】本题先根据已知等式变形得到，然后将需要计算的整式进行合并同类项、提公因式变形得到3（m-mn）+15，此时将代入计算即可。
15．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y)﹣y（y﹣x)=12，求x、y的值.
【答案】解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】先把等式左边因式分解，然后根据12的因数可得12=1×12=2×6=3×4；再根据 x，y都是自然数求出x和y的值解答即可.
四、提公因式法应用
16．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（　　）
A．30 B．40 C．70 D．140
【答案】C
【知识点】公因式的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】考查因式分解的应用与代数式求值，首先根据长方形的周长和面积公式推导关键量：周长为14，即，可得；面积为10，即。观察所求代数式，通过提取公因式可分解为，将和代入分解后的式子，即可计算出结果。
17．如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，则这两个两位数的和一定能 （ ）
A．被 9 整除 B．被 10 整除
C．被 11 整除 D．被 12 整除
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，
∴ 这两个两位数的和一定能被11整除，
故答案为：C.
【分析】先表示这两个两位数，然后相加提取公因式11解答即可.
18．零件的横截面（阴影部分）如图所示，你能用关于 r，h 的多项式表示此零件的横截面面积吗 这个多项式能分解因式吗 若 r=4 cm，h=10 cm，求这个零件的横截面面积（结果精确到个位）．
【答案】解：S阴影=2rh πr=r(2h-πr)
当r=4cm，h=10cm时，
S阴影=r(2h-πr)=4(20-12.56)
≈30cm．
答：这个零件的横截面面积为30cm
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先根据正方形的额面积减去圆的面积求出阴影部分面积，然后代入r和h的值计算即可.
五、添括号问题
19．下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原式子错误，不符合题意；
B．，原式子错误，不符合题意；
C．，原式子正确，符合题意；
D．，原式子错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题主要考察添括号的法则，添括号时，括号前是“+”号，括号内各项的符号保持不变；括号前是“-”号，括号内各项的符号都要改变。逐一验证各选项：A选项中，若写成的形式，括号内应为，而非，原式子错误；B选项，提取后，括号内应为，而非，原式子错误；C选项，将后两项用括号括起来，括号前是“-”号，括号内和符号不变，写成，符合法则，正确；D选项，写成的形式，括号内应为，而非，原式子错误。
20．，在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据添括号法则逐项进行判断即可求出答案.
21．下列添括号错误的是(　　)
A．3-4x=-(4x-3) B．(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C．-x2+5x-4=-(x2-5x+4) D．-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵3-4x=-(4x-3)，∴A正确，不符合题意；
B、∵ (a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)，∴B正确，不符合题意；
C、∵ -x2+5x-4=-(x2-5x+4)，∴C正确，不符合题意；
D、∵ -a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(-a3+5)，∴D不正确，符合题意
故答案为：D.
【分析】利用去括号和添括号的计算方法及步骤（①如果括号前面是加号或乘号，加上括号后，括号里面的符号不变；②如果括号前面是减号或除号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号）分析求解即可.
22．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（　　）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，则此项错误；
B、，则此项正确；
C、，则此项错误；
D、，则此项错误；
故答案为：B．
【分析】根据去括号法则和添括号法则对选项逐一运算即可求解。
23．下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据去括号和添括号法则逐项进行判断即可．
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