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浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.3 用平方差公式分解因式
一、平方差公式分解因式
1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式分解因式的结构为两项平方且符号相反，即。
A选项是两个平方项的和，不符合结构；
B选项，满足两项平方异号，符合公式；
C选项是两个平方项和的相反数，不符合；
D选项是三项式，为完全平方公式形式，不符合。
故答案为：B
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，牢记平方差公式适用于两项、平方、异号的多项式，据此逐一排查选项，排除平方和、三项式等不符合公式结构的式子。
2．因式分解x－9y的正确结果是(　　)
A．(x+9y)(x－9y) B．(x+3y)(x－3y)
C．(x－3y) D．(x－9y)
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： x－9y =x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y)，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”进行因式分解即可.
3．把多项式 分解因式， 结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
4．若多项式 可以用平方差公式分解因式，则 的值可以为（　　）
A．6 B．-6 C．9 D．-9
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：当m=6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
B：当m=﹣6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
C：当m=9时，，符合题意；
D：当m=﹣9时，，不能进行因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．下列各式能用平方差公式分解因式的有　 　 （填序号）.
①x2+y2；②x2-y2；③-x2+y2；④-x2-y2；⑤；⑥x2-4.
【答案】②③⑤⑥
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反，
①，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
②，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
③，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
④，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
⑤，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
⑥，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式．
故答案为：②③⑤⑥.
【分析】根据平方差公式分解因式的条件“多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反”判断即可．
6．下列各式能用公式 分解因式吗 a，b分别表示什么 把下列各式分解因式。
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=
=，
其中a为，b为1.
（2）解：原式=
=，
其中a为，b为3.
（3）解：原式=
=，
其中a为，b为.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差计算公式直接计算即可；
（2）根据平方差计算公式直接计算即可；
（3）根据平方差计算公式直接计算即可.
7．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
8．分解因式：
（1）x2-x
（2）a2-4
【答案】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）提取公因式x即可求解；
（2）根据平方差公式直接进行计算即可.
9． 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据多项式组成因式直接使用提公因式法即可完成因式分解；
（2）根据式子结构使用平方差公式进行因式分解即可.
10．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）将原式改写为，进而利用平方差公式计算即可；
（3）利用交换律和平方差公式计算即可；
（4）将原式改写为，进而利用平方差公式计算即可.
二、平方差公式因式分解应用
11．一个长方形的面积为 ， 若它的宽为 ， 则它的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：长方形的长= .
故选：B.
【分析】结合长方形的面积公式：面积=长×宽，用面积 除以宽（x-11)即可.
12．任意两个奇数的平方差总能（　　）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，
根据题意，得
，
故一定能被8整除，
故选：D．
【分析】
设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，再利用平方差公式分别因式可得结果为，即总能被8整除．
13．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　）
A．勤奋健美 B．健美励志 C．励志勤奋 D．勤奋励志
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2
=（x2﹣y2）（a2﹣b2）
=（x+y ）（x﹣y ）（a+b ）（a﹣b ）
∵a﹣b，x﹣y，x+y，a+b分别对应下列四个字：勤，健，奋，美，
∴结果呈现的密码信息应是勤奋健美.
故答案为：A.
【分析】先将“ （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ”，再写出呈现的密码信息.
14． 如果一个数等于两个连续奇数的平方差， 那么我们称这个数为 “幸福数”． 下列数中为 “幸福数”的是（　　）
A．285 B．330 C．512 D．582
【答案】C
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴设“幸福数”为（2n＋1）2 （2n 1）2（n为整数），
∵（2n＋1）2 （2n 1）2＝8n，
∴“幸福数”是8的倍数，
观察各选项，是8的倍数的只有512，
故答案为：C．
【分析】设“幸福数”为（2n＋1）2 （2n 1）2（n为整数），求出（2n＋1）2 （2n 1）2＝8n，可得“幸福数”是8的倍数，再逐项分析判断即可.
15．对于任何整数m，多项式一定能被（　　）
A．3整除 B．4整除 C．5整除 D．m整除
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
．
所以原式能被3整除．
故选：A．
【分析】
由于16是4的平方，可先套用平方差公式；由于所得的因式中有公因式，还需要运用提公因式法继续分解．
16．填空：
（1） 　 　）（251-　 　）　 　　 　.
（2） 　 　.
【答案】（1）249；249；500；2
（2）4
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）、平方差公式的形式a2-b2=(a+b)(a-b)，因此
故答案为：249；249；500；2；
（2）、 .
故答案为：4.
【分析】（1）、按照平方差公式改写；（2）、按完全平方差公式简化运算.
17．用简便方法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】直接利用平方差公式计算即可.
18．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=
=
=.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将原式改写为，然后利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式改写为，利用完全平方公式和平方差公式即可求解，
三、化简求值
19．若， 则 的值为 （　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵a+b=3，a-b=7，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×7=21.
故选：B.
【分析】利用平方差公式因式分解即可求解.
20．已知，则代数式的值为（　　）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
21．已知，，则的值是　 　．
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】由得，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】此题考查了用平方差公式因式分解，根据平方差公式分解因式，代入后即可求出答案．
22．若，则　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
23．若，，则　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：3．
【分析】先因式分解得到，再根据平方差公式因式分解求出即可．
24．已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2- 20b2的值．
【答案】解：∵a+2b=5，a-2b=3，
∴5a2-20b2=5（a2-4b2）=5（a+2b）（a-2b）=5×5×3=75.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】通过观察可以发现：多项式5a2-20b2中，每一项都含有公因式5，所以可以先提取公因式5，把5a2-20b2化为5（a2-4b2）的形式，然后可以发现：a2-4b2可以化为（a+2b）（a-2b），所以最终5a2-20b2分解为5（a+2b）（a-2b）.然后把已知a+2b=5，a-2b=3代入5a2-20b2求出代数式的值即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.3 用平方差公式分解因式
一、平方差公式分解因式
1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　)
A． B． C． D．
2．因式分解x－9y的正确结果是(　　)
A．(x+9y)(x－9y) B．(x+3y)(x－3y)
C．(x－3y) D．(x－9y)
3．把多项式 分解因式， 结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若多项式 可以用平方差公式分解因式，则 的值可以为（　　）
A．6 B．-6 C．9 D．-9
5．下列各式能用平方差公式分解因式的有　 　 （填序号）.
①x2+y2；②x2-y2；③-x2+y2；④-x2-y2；⑤；⑥x2-4.
6．下列各式能用公式 分解因式吗 a，b分别表示什么 把下列各式分解因式。
（1）
（2）
（3）
7．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
8．分解因式：
（1）x2-x
（2）a2-4
9． 因式分解：
（1）；
（2）．
10．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、平方差公式因式分解应用
11．一个长方形的面积为 ， 若它的宽为 ， 则它的长为（　　）
A． B． C． D．
12．任意两个奇数的平方差总能（　　）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
13．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　）
A．勤奋健美 B．健美励志 C．励志勤奋 D．勤奋励志
14． 如果一个数等于两个连续奇数的平方差， 那么我们称这个数为 “幸福数”． 下列数中为 “幸福数”的是（　　）
A．285 B．330 C．512 D．582
15．对于任何整数m，多项式一定能被（　　）
A．3整除 B．4整除 C．5整除 D．m整除
16．填空：
（1） 　 　）（251-　 　）　 　　 　.
（2） 　 　.
17．用简便方法计算：
（1）
（2）
18．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
三、化简求值
19．若， 则 的值为 （　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
20．已知，则代数式的值为（　　）
A．30 B．36 C．42 D．48
21．已知，，则的值是　 　．
22．若，则　 　．
23．若，，则　 　．
24．已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2- 20b2的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式分解因式的结构为两项平方且符号相反，即。
A选项是两个平方项的和，不符合结构；
B选项，满足两项平方异号，符合公式；
C选项是两个平方项和的相反数，不符合；
D选项是三项式，为完全平方公式形式，不符合。
故答案为：B
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，牢记平方差公式适用于两项、平方、异号的多项式，据此逐一排查选项，排除平方和、三项式等不符合公式结构的式子。
2．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： x－9y =x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y)，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”进行因式分解即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
4．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：当m=6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
B：当m=﹣6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
C：当m=9时，，符合题意；
D：当m=﹣9时，，不能进行因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】②③⑤⑥
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反，
①，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
②，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
③，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
④，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
⑤，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
⑥，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式．
故答案为：②③⑤⑥.
【分析】根据平方差公式分解因式的条件“多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反”判断即可．
6．【答案】（1）解：原式=
=，
其中a为，b为1.
（2）解：原式=
=，
其中a为，b为3.
（3）解：原式=
=，
其中a为，b为.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差计算公式直接计算即可；
（2）根据平方差计算公式直接计算即可；
（3）根据平方差计算公式直接计算即可.
7．【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
8．【答案】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）提取公因式x即可求解；
（2）根据平方差公式直接进行计算即可.
9．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据多项式组成因式直接使用提公因式法即可完成因式分解；
（2）根据式子结构使用平方差公式进行因式分解即可.
10．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）将原式改写为，进而利用平方差公式计算即可；
（3）利用交换律和平方差公式计算即可；
（4）将原式改写为，进而利用平方差公式计算即可.
11．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：长方形的长= .
故选：B.
【分析】结合长方形的面积公式：面积=长×宽，用面积 除以宽（x-11)即可.
12．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，
根据题意，得
，
故一定能被8整除，
故选：D．
【分析】
设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，再利用平方差公式分别因式可得结果为，即总能被8整除．
13．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2
=（x2﹣y2）（a2﹣b2）
=（x+y ）（x﹣y ）（a+b ）（a﹣b ）
∵a﹣b，x﹣y，x+y，a+b分别对应下列四个字：勤，健，奋，美，
∴结果呈现的密码信息应是勤奋健美.
故答案为：A.
【分析】先将“ （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ”，再写出呈现的密码信息.
14．【答案】C
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴设“幸福数”为（2n＋1）2 （2n 1）2（n为整数），
∵（2n＋1）2 （2n 1）2＝8n，
∴“幸福数”是8的倍数，
观察各选项，是8的倍数的只有512，
故答案为：C．
【分析】设“幸福数”为（2n＋1）2 （2n 1）2（n为整数），求出（2n＋1）2 （2n 1）2＝8n，可得“幸福数”是8的倍数，再逐项分析判断即可.
15．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
．
所以原式能被3整除．
故选：A．
【分析】
由于16是4的平方，可先套用平方差公式；由于所得的因式中有公因式，还需要运用提公因式法继续分解．
16．【答案】（1）249；249；500；2
（2）4
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）、平方差公式的形式a2-b2=(a+b)(a-b)，因此
故答案为：249；249；500；2；
（2）、 .
故答案为：4.
【分析】（1）、按照平方差公式改写；（2）、按完全平方差公式简化运算.
17．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】直接利用平方差公式计算即可.
18．【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=
=
=.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将原式改写为，然后利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式改写为，利用完全平方公式和平方差公式即可求解，
19．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵a+b=3，a-b=7，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×7=21.
故选：B.
【分析】利用平方差公式因式分解即可求解.
20．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
21．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】由得，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】此题考查了用平方差公式因式分解，根据平方差公式分解因式，代入后即可求出答案．
22．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
23．【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：3．
【分析】先因式分解得到，再根据平方差公式因式分解求出即可．
24．【答案】解：∵a+2b=5，a-2b=3，
∴5a2-20b2=5（a2-4b2）=5（a+2b）（a-2b）=5×5×3=75.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】通过观察可以发现：多项式5a2-20b2中，每一项都含有公因式5，所以可以先提取公因式5，把5a2-20b2化为5（a2-4b2）的形式，然后可以发现：a2-4b2可以化为（a+2b）（a-2b），所以最终5a2-20b2分解为5（a+2b）（a-2b）.然后把已知a+2b=5，a-2b=3代入5a2-20b2求出代数式的值即可.
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