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河北沧州市盐山中学2026届高三一模数学试题
1．已知，则的虚部为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
则，虚部为3.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简求得复数，再求共轭复数、求虚部即可.
2．已知全集是小于12的素数，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题知全集是小于12的素数，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合补集的运算求解即可.
3．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的准线方程为，
圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，截圆所得的弦长为，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的定义，得到准线为，再计算弦长即可．
4．一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得：棱体高为1，则小球半径不超过，
当底面为正六边形时，其边长为，内切圆半径为，则该小球半径的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：棱体高为1，由高度限制得出小球半径不超过，再探究底面内切圆的半径与的关系，据此求小球的半径最大值即可.
5．在的展开式中，常数项为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，解得，所以，展开式中的常数项为.
故答案为：D.
【分析】根据二项展开式求常数项即可．
6．若函数，则的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，即，即，解得，
则函数的定义域为，
由，解得，则的定义域为.
故答案为：A.
【分析】先根据分式，偶次根式有意义列式求得函数的定义域，再利用复合函数的定义域的求法可求的定义域.
7．已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由，可得，，
故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上.
对A、C：如图：当位于点或时，有与全等，
则，即当时，可为或，可为或，
故、都不是关于的函数，故A、C错误；
对B：当时，如图，可能位于点或点处，
显然，故一个可能得到两个不同的，
故不是关于的函数，故B错误；
对D：由，则确定时，唯一确定，
则当确定时，点也唯一确定，
则每一个都有相对应的一个，
故是关于的函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】化简可得，，则在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上，再结合函数的定义逐项判断即可.
8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入，得，
由根与系数的关系得，，，
又因为直线CD的方程为，同理，
所以，所以，
则，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得，，
当Q，P，M三点共线时等号成立.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点坐标，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式求，同理求，再根据，求得p的值，确定抛物线方程，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，利用抛物线的定理求解即可.
9．设等比数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．的最大值为64
D．当取最大值时，
【答案】A,B,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列满足，，则，故B正确；
，故A正确；
， ，
当或4时，可取最大值，最大值为64，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据等比数列的性质求即可判断B；根据数列 的通项公式求首项即可判断A；再根据数列的通项求，结合指数函数的性质求解即可判断CD.
10．已知正数a，b满足，则（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用基本不等式求和与积的最小值可判断AB；代入换元可判断C；先求的范围，再结合基本不等式求解．
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线的右焦点为，直线，
联立，解得，
根据对称性知，
A、，故，故A正确；
B、，故，故B正确；
C、，
，故C错误；
D、，而，所以，
由角平分线定理可知：，
（另解：直线到的距离为到的距离为，
两者不相等，），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】易知双曲线的焦点坐标，利用点斜式求得直线AB方程，联立直线与双曲线方程求交点的坐标，再根据对称性求的坐标，得到，即可判断A；根据两点间距离公式得到即可判断B；计算即可判断C；计算到两直线的距离不相等即可判断D.
12．已知等差数列的各项均为正数，若，则　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
即，
化简得，解得或，
因为等差数列的各项均为正数，所以，所以，
则.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，计算等差数列基本量，再根据等差数列的通项求即可.
13．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，
如图，连接，则为的中点，连接，
则为球的半径，设圆的半径为，
在中，由正弦定理得，解得，
又，所以，
所以球的表面积为.
故答案为：
【分析】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，则为的中点，再得到球的表面积即可．
14．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为
设，
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，得到图中N、Q的横坐标，利用待定系数法求a、c，再根据定义求离心率即可.
15．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．
【答案】（1）解：，
由图知，过点，则，即，
由图得，，解得，
则；
（2）解：由题得，，
由，得，则，
即，解得，
因此，使成立的的取值集合是．
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简函数解析式，再通过函数过点求出的值，确定函数解析式即可；
（2）根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，再利用整体代换结合正弦函数的性质求解三角函数不等式即可.
（1），
由图知，过点，即，则，
由图得，，解得．
所以．
（2）由题得，，
由，得，则，
所以，
解得，
因此，使成立的的取值集合是．
16．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
【答案】（1）解：椭圆的焦点为，，
半焦距，
椭圆的右焦点到上顶点的距离为，
，
椭圆的方程为．
（2）解：设，，
过且斜率为的直线方程为：，
代入椭圆的方程，化简可得，
，
则，
.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】由题可得，，进而求出即可；设，，由题可得直线方程为：，联立椭圆，利用韦达定理结合弦长公式求三角形面积即可．
（1）椭圆的焦点为，，
半焦距，
椭圆的右焦点到上顶点的距离为，
，
椭圆的方程为．
（2）设，，
过且斜率为的直线方程为：，
代入椭圆的方程，化简可得，
，
则，
.
17．已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以.
（2）解：法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）列方程组解出，再算离心率即可；
（2）方法一：以为底，根据面积得到高，再利用平移结合椭圆得到点，再求的方程即可；方法二：同法一得到高，即点到直线的距离，再设，列方程组求出点即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.
（1）由题意得，解得，
所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
18．如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点．
（1）若平面CDE，求PE的长；
（2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）解：取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系，如图所示：
由都是正三角形，，得，
，令，则，
由平面，平面平面，平面，得，
因此，，所以PE的长为；
（2）解：由（1）知，设，则，
，而平面的法向量，
由直线DE与平面所成角的正弦值为，
可得，整理得，又，解得，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量法，结合线面平行的性质，平行线分线段成比例定理求解即可；
（2） 由（1）知，设，利用线面角的向量法求出，再求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解即可.
（1）取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系，
由都是正三角形，，得，
，令，则，
由平面，平面平面，平面，得，
因此，，所以PE的长为.
（2）由（1）知，设，则，
，而平面的法向量，
由直线DE与平面所成角的正弦值为，得
，整理得，又，解得，
于是，而，设平面的法向量，
则，令，得，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对记，若，有，求的取值范围；
（3）设，且，证明：
【答案】（1）解：函数定义域为，易知，
求导可得，，
则函数在点处的切线方程为，即；
（2）解：由题意可得：，即对时恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式等价于，即恒成立，
设，求导可得，
设，，则，
因为，所以，
所以在为减函数，则，
所以在为减函数，即，所以，
则的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当且时，，即，
令，得，
因为，所以，
当时，，当时，，
，
以上不等式相加得
，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合点斜式求解即可；
（2）由题意可得对时恒成立，当时，不等式恒成立， 当时，问题转化问题为对时恒成立，设，求导，利用导数分析其单调性求解即可；
（3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可.
（1）由，则，
而，则，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）若对，有，
即为：对时恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式等价于，
即为恒成立，
设，则，
设，，则，
因为，所以，
所以在为减函数，则，
所以在为减函数，即，
所以，则的取值范围为.
（3）由（2）知，当且时，，即，
令，得，
因为，所以，
当时，，当时，，
，
以上不等式相加得
，证毕.
1 / 1河北沧州市盐山中学2026届高三一模数学试题
1．已知，则的虚部为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
2．已知全集是小于12的素数，集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（　　）
A． B． C． D．
4．一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，常数项为（　　）
A． B． C． D．
6．若函数，则的定义域为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（　　）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设等比数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．的最大值为64
D．当取最大值时，
10．已知正数a，b满足，则（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．已知等差数列的各项均为正数，若，则　 　.
13．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为　 　.
14．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率　 　.
15．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．
16．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
17．已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
18．如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点．
（1）若平面CDE，求PE的长；
（2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对记，若，有，求的取值范围；
（3）设，且，证明：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
则，虚部为3.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简求得复数，再求共轭复数、求虚部即可.
2．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题知全集是小于12的素数，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合补集的运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的准线方程为，
圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，截圆所得的弦长为，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的定义，得到准线为，再计算弦长即可．
4．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得：棱体高为1，则小球半径不超过，
当底面为正六边形时，其边长为，内切圆半径为，则该小球半径的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：棱体高为1，由高度限制得出小球半径不超过，再探究底面内切圆的半径与的关系，据此求小球的半径最大值即可.
5．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，解得，所以，展开式中的常数项为.
故答案为：D.
【分析】根据二项展开式求常数项即可．
6．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，即，即，解得，
则函数的定义域为，
由，解得，则的定义域为.
故答案为：A.
【分析】先根据分式，偶次根式有意义列式求得函数的定义域，再利用复合函数的定义域的求法可求的定义域.
7．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由，可得，，
故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上.
对A、C：如图：当位于点或时，有与全等，
则，即当时，可为或，可为或，
故、都不是关于的函数，故A、C错误；
对B：当时，如图，可能位于点或点处，
显然，故一个可能得到两个不同的，
故不是关于的函数，故B错误；
对D：由，则确定时，唯一确定，
则当确定时，点也唯一确定，
则每一个都有相对应的一个，
故是关于的函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】化简可得，，则在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上，再结合函数的定义逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入，得，
由根与系数的关系得，，，
又因为直线CD的方程为，同理，
所以，所以，
则，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得，，
当Q，P，M三点共线时等号成立.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点坐标，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式求，同理求，再根据，求得p的值，确定抛物线方程，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，利用抛物线的定理求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列满足，，则，故B正确；
，故A正确；
， ，
当或4时，可取最大值，最大值为64，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据等比数列的性质求即可判断B；根据数列 的通项公式求首项即可判断A；再根据数列的通项求，结合指数函数的性质求解即可判断CD.
10．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用基本不等式求和与积的最小值可判断AB；代入换元可判断C；先求的范围，再结合基本不等式求解．
11．【答案】A,B
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线的右焦点为，直线，
联立，解得，
根据对称性知，
A、，故，故A正确；
B、，故，故B正确；
C、，
，故C错误；
D、，而，所以，
由角平分线定理可知：，
（另解：直线到的距离为到的距离为，
两者不相等，），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】易知双曲线的焦点坐标，利用点斜式求得直线AB方程，联立直线与双曲线方程求交点的坐标，再根据对称性求的坐标，得到，即可判断A；根据两点间距离公式得到即可判断B；计算即可判断C；计算到两直线的距离不相等即可判断D.
12．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
即，
化简得，解得或，
因为等差数列的各项均为正数，所以，所以，
则.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，计算等差数列基本量，再根据等差数列的通项求即可.
13．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，
如图，连接，则为的中点，连接，
则为球的半径，设圆的半径为，
在中，由正弦定理得，解得，
又，所以，
所以球的表面积为.
故答案为：
【分析】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，则为的中点，再得到球的表面积即可．
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为
设，
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，得到图中N、Q的横坐标，利用待定系数法求a、c，再根据定义求离心率即可.
15．【答案】（1）解：，
由图知，过点，则，即，
由图得，，解得，
则；
（2）解：由题得，，
由，得，则，
即，解得，
因此，使成立的的取值集合是．
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简函数解析式，再通过函数过点求出的值，确定函数解析式即可；
（2）根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，再利用整体代换结合正弦函数的性质求解三角函数不等式即可.
（1），
由图知，过点，即，则，
由图得，，解得．
所以．
（2）由题得，，
由，得，则，
所以，
解得，
因此，使成立的的取值集合是．
16．【答案】（1）解：椭圆的焦点为，，
半焦距，
椭圆的右焦点到上顶点的距离为，
，
椭圆的方程为．
（2）解：设，，
过且斜率为的直线方程为：，
代入椭圆的方程，化简可得，
，
则，
.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】由题可得，，进而求出即可；设，，由题可得直线方程为：，联立椭圆，利用韦达定理结合弦长公式求三角形面积即可．
（1）椭圆的焦点为，，
半焦距，
椭圆的右焦点到上顶点的距离为，
，
椭圆的方程为．
（2）设，，
过且斜率为的直线方程为：，
代入椭圆的方程，化简可得，
，
则，
.
17．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以.
（2）解：法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）列方程组解出，再算离心率即可；
（2）方法一：以为底，根据面积得到高，再利用平移结合椭圆得到点，再求的方程即可；方法二：同法一得到高，即点到直线的距离，再设，列方程组求出点即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.
（1）由题意得，解得，
所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
18．【答案】（1）解：取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系，如图所示：
由都是正三角形，，得，
，令，则，
由平面，平面平面，平面，得，
因此，，所以PE的长为；
（2）解：由（1）知，设，则，
，而平面的法向量，
由直线DE与平面所成角的正弦值为，
可得，整理得，又，解得，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量法，结合线面平行的性质，平行线分线段成比例定理求解即可；
（2） 由（1）知，设，利用线面角的向量法求出，再求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解即可.
（1）取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系，
由都是正三角形，，得，
，令，则，
由平面，平面平面，平面，得，
因此，，所以PE的长为.
（2）由（1）知，设，则，
，而平面的法向量，
由直线DE与平面所成角的正弦值为，得
，整理得，又，解得，
于是，而，设平面的法向量，
则，令，得，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，易知，
求导可得，，
则函数在点处的切线方程为，即；
（2）解：由题意可得：，即对时恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式等价于，即恒成立，
设，求导可得，
设，，则，
因为，所以，
所以在为减函数，则，
所以在为减函数，即，所以，
则的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当且时，，即，
令，得，
因为，所以，
当时，，当时，，
，
以上不等式相加得
，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合点斜式求解即可；
（2）由题意可得对时恒成立，当时，不等式恒成立， 当时，问题转化问题为对时恒成立，设，求导，利用导数分析其单调性求解即可；
（3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可.
（1）由，则，
而，则，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）若对，有，
即为：对时恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式等价于，
即为恒成立，
设，则，
设，，则，
因为，所以，
所以在为减函数，则，
所以在为减函数，即，
所以，则的取值范围为.
（3）由（2）知，当且时，，即，
令，得，
因为，所以，
当时，，当时，，
，
以上不等式相加得
，证毕.
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