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广东省清远市连州市2025-2026学年八年级春季学期期中监测数学学科试卷
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）
A． B．
C． D．或
3．将点先向右平移3个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．如题图，在中，∠ABC=90°，D为AC中点，若BD=3，则AC的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如题图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如题图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如题图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（　　）
A．150 B．160 C．170 D．180
8．如题图，在中，，平分交于，AD=1，BC=16，则的面积为（　　）

A． B．4 C． D．16
9．如题图，在中，BC=10，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
10．如题图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于的不等式 > 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为　 　．
12．若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数是　 　．
13．若，则5-2a　 　5-2b（填“”或“”）．
14．如题图，已知BO、CO分别平分和，，则的度数为　 　．
15．如题图，已知中，，边，把沿射线方向平移至后，平移距离为2，，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．解不等式组
17．某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
18．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上．
（1）将向左平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标；
（2）求的面积．
19．如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，AC=4cm，BC=3cm，沿方向平移至，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
21．如图①，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）如图②，延长ED交直线BC于点F．当点F与点B重合时，证明：AE=BECE.
22．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2 设计销售方案 求所有的销售方案；
23．
（1）问题背景：如图1是小华设计的一个角平分仪，其中OD=OE，CD=CE．将点O放在角的顶点，OD和OE沿着角的两边放下，沿OC画一条射线，则射线OC就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性：
（2）深入探究：如图2，在△ABC中，∠ABC=104°，AD、CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，AD、CE相交于点G，求∠AGC的度数；
（3）扩展延伸：如图3，在（2）的条件下，在AC上截取AM=AE，在CA上截取CN=CD．若△GMN为等腰三角形，则∠BCA的度数为　 　 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不符合题意。
B是轴对称图形，不符合题意。
C是中心对称图形，符合题意。
D既不是中心对称图形，又不是抽对称图形，不符合题意。
故答案为：C。
【分析】本题考查中心对称图形的定义，结合定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：
由数轴可以知道x＞-1，x≤2，所以答案为-1＜≤2
故答案为：A。
【分析】本题主要考察数轴上表示不等式解集，根据数轴上-1处为空心且向右，2处为实心向左即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
点M（-3，5）向右平移3个单位长度，根据向右平移横坐标加上平移的单位长度，-3+3=0，所以平移后N的横坐标为0。
纵坐标不变，即可得到平移后N坐标为（0，5）。
故答案为：D
【分析】考查沿着坐标轴方向平移的点的坐标特点，向右平移和坐标加上平移单位长度，纵坐标不变，即可求出N的坐标。
4．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：
∵在△ABC中，∠ABC=90°。
∴△ABC为直角三角形。
∵点D为AC的中点。
∴AD=CD=，BD为斜边AC中线点。
∴根据在直角三角形中，斜边上中线等于斜边的一半。
∴CD=AD=BD=3。
∴AC=6.
故答案为：A。
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转前后线段的长度不变，
∴
∴
∵绕点O旋转了66°
∴
∵三角形内角和为180°
∴
故答案为：B。
【分析】利用旋转的性质，和三角形的内角和，等腰三角形的性质等边对等角即可求出本题。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-60°-40°=80°
∵BD是△ABC的高线
∴∠ADB=90°
∵∠A=60°
∴∠ABD=30°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=40°
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°
故答案为：A。
【分析】本题综合运用三角形内角和可以求出∠ABC的度数，利用三角形高线即可得到∠ADB=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABD=30°，再利用角平分线即可得到∠ABE=40°，∠ABE-∠ABD=∠DBE=10°即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵∠DAC=30°，∠C=70°
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-30°-70°=80°
∵根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和
∴∠BAD+∠B=∠ADC
∴p+q=r=∠ADC=80°
∴p+q+r=160°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和为180°即可求出∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-30°-70°=80°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得到∠ADC=∠B+∠BAD=p+q，所以p+q+r=160°，即可得到答案。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG垂直BC与点G，如下图
∵∠A=90°
∴AD⊥AB
∵DG⊥BC， 平分
∴DG=AD=1
∵BC=16
∴三角形BDC的面积=
故答案为：8。
【分析】先作辅助线DG⊥BC，再利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DG=AD=1，再根据三角形面积公式=即可得到答案。
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC
∴BE=AE，AG=CG
∵的周长 =AE+EG+AG
∴的周长 =BE+EG+CG=BC=10
故答案为：10。
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到BE=AE，AG=CG，再根据周长等于= =AE+EG+AG，等量代换即可得到的周长 =BE+EG+CG=BC=10。
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点P，点P的纵坐标为
∴把y=带入直线中得， ，解得x=
又∵ >
∴结合图像的图像在的上方
∴x＞-1
故答案为：A。
【分析】结合两直线的交点的纵坐标，代入可以求出横坐标，再结合图像，可以知道的图像在的上方，数形结合即可得出答案。
11．【答案】37°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵三角形为直角三角形
∴直角三角形的两锐角互余
∵一个锐角为53°
∴另一个锐角为90°-53°=37°
故答案为：37°。
【分析】利用直角三角形的两锐角互余即可求出答案。
12．【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：
∵多边形的内角和为1080°
∴=1080°
∴n-2=
∴n=6+2=8
故答案为：8
【分析】利用多边形的内角和公式即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵a∴-2a>-2b
∴-2a+5>-2b+5
故答案为：>。
【分析】利用不等式的性质1，不等式两边同时加或减同一个数（式），不等号方向不变
利用不等式的性质2，不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变，即可得出答案。
14．【答案】112.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长BO交AC与点G
∵∠A=45°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°
∵BO、CO分别平分和
∴
∴
∵∠BGC为△ABG的外角，CO为△OCG外角
∴∠BGC=∠A+∠ABG，∠BOC=∠ACO+∠OGC
∴∠BOC=∠ACO+∠ABO+∠A=67.5°+45°=112.5°
故答案为：112.5°
【分析】本题根据三角形的内角和为180°，由∠A=45°，即可求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°，再利用角平分线的定义，即可求出，再根据双内角平分线模型，∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO即可得到答案。
15．【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：
∵沿射线方向平移得到
∴
∴EF=BC=6，∠E=∠ABC=90°
∵CG=3
∴BG=BC-CG=3
∵平移距离为2
∴BE=2
∴阴影部分面积=
故答案为：9。
【分析】根据平移性质，平移前后图形完全相等，即可得到，由全等得到对应线段相等，对应角相等，即EF=BC=6，∠E=∠ABC=90°，再根据已知CG=3，即可得到BG=BC-CG=3，再根据平移距离为2，即可得到线段BE=2，再带入直角梯形面积公式（上底+下底）高，即可求出答案。
16．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去一个数或同一个式子不等号方向不变，利用不等式的性质3不等号两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案。
17．【答案】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
答：最多需要60名七年级学生参加活动．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动，利用“ 收集的塑料瓶总数不少于1700个 ”列出不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，D的坐标(-4，1）；
（2）解：由图可得，=
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据已知向左平移四个单位长度，已知坐标的横坐标减去平移的单位长度，纵坐标不变，即可得到平移后点的坐标，在坐标系中描出来平移后的点D、E、F的坐标，再顺次连接即可画出平移后图形，点D坐标也可写出来。
（2）三角形ABC的面积，以BC为底，点B的纵坐标减1为高，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积。
19．【答案】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵BC＝BC，
∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：点O在∠BAC的平分线上．
理由如下：连接AO.
由(1)可知△BCE≌△CBD，
∴EB＝CD.
∵OB＝OC，
∴OE＝OD.
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据OB=OC即可得出∠OBC=∠BCO，再利用高，可得出∠BDC=∠BEC=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC=∠BCA，利用等腰三角形的判定，等角对等边即可得出 △ABC是等腰三角形 。
（2）利用三角形全等和角平分线的判定即可得结论。
20．【答案】（1）解：∵△ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
即；
（2）解：由平移的特征及（1）得
，
∵，，
∴四边形的周长．
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）利用平移的性质，平移前后对应边相等，即可得到AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，再根据已知AE＝8cm，DB＝2cm和平移时对应点连线相等，即即可得到平移距离即AD＝BE＝CF＝＝3cm，可得出答案。
（2）根据平移的性质，可以得到，由第一问知，再根据已知，，即可得出答案。
21．【答案】（1）解：BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE；
（2）证明：由（1）得：∠DAE=60°，AD=AE，BD=CE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴AE=DE=BEBD=BECE
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以得到∠BAC=60°，AB=AC，再利用旋转，旋转前后对应边相等，对应角相等，AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，可以得到∠DAE=60°，AD=AE，即可得出∠BAC=∠DAE，再根据∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，可以得到∠BAD=∠CAE，结合三角形全等条件边角边，可以证出△BAD≌△CAE，即可得出BD=CE。
（2）根据（1）的结论∠DAE=60°，AD=AE，BD=CE，结合等边三角形的判定，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可以的到△ADE是等边三角形，所以DE=AE，所以AE=DE=BEBD=BECE，得到结论。
22．【答案】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得
答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得．
∵为整数，
∴．故有三种销售方案：
方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；
方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；
方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据问题，先设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，题中数量关系，已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，可列方程y=x+20，再根据 且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元，可列方程25x+15y=3500，组成一个方程组，解二元一次方程组，即可得到答案。
（2）根据问题，设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 再根据题意 品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，列出不等式m≤1.5（1000-m)，再根据题意 总成本不超过元，可列出不等式50m+60(1000-m)≤54020，组成不等式组，解不等式组即可得出答案。
23．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴射线是的平分线
（2）解：∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴
（3）20°或38°或56°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
即：，，
当时，，即：，
∴，由（1）得，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
综上所述或或．
【分析】（1）根据三边对应相等得两个三角形全等，可以得到，所以证出，即可得到射线是的平分线。
（2）根据三角形的内角和为180°，由已知，可以得到，再由角平分线的定义可以得到，，所以，从而得出答案。
（3）分情况讨论， △GMN为等腰三角形所以MG=GN，或者MN=GM，或者GN=MN，利用三角形全等，角平分线的定义即可求出答案
1 / 1广东省清远市连州市2025-2026学年八年级春季学期期中监测数学学科试卷
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不符合题意。
B是轴对称图形，不符合题意。
C是中心对称图形，符合题意。
D既不是中心对称图形，又不是抽对称图形，不符合题意。
故答案为：C。
【分析】本题考查中心对称图形的定义，结合定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可得到答案。
2．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：
由数轴可以知道x＞-1，x≤2，所以答案为-1＜≤2
故答案为：A。
【分析】本题主要考察数轴上表示不等式解集，根据数轴上-1处为空心且向右，2处为实心向左即可得到答案。
3．将点先向右平移3个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
点M（-3，5）向右平移3个单位长度，根据向右平移横坐标加上平移的单位长度，-3+3=0，所以平移后N的横坐标为0。
纵坐标不变，即可得到平移后N坐标为（0，5）。
故答案为：D
【分析】考查沿着坐标轴方向平移的点的坐标特点，向右平移和坐标加上平移单位长度，纵坐标不变，即可求出N的坐标。
4．如题图，在中，∠ABC=90°，D为AC中点，若BD=3，则AC的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：
∵在△ABC中，∠ABC=90°。
∴△ABC为直角三角形。
∵点D为AC的中点。
∴AD=CD=，BD为斜边AC中线点。
∴根据在直角三角形中，斜边上中线等于斜边的一半。
∴CD=AD=BD=3。
∴AC=6.
故答案为：A。
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案。
5．如题图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转前后线段的长度不变，
∴
∴
∵绕点O旋转了66°
∴
∵三角形内角和为180°
∴
故答案为：B。
【分析】利用旋转的性质，和三角形的内角和，等腰三角形的性质等边对等角即可求出本题。
6．如题图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-60°-40°=80°
∵BD是△ABC的高线
∴∠ADB=90°
∵∠A=60°
∴∠ABD=30°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=40°
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°
故答案为：A。
【分析】本题综合运用三角形内角和可以求出∠ABC的度数，利用三角形高线即可得到∠ADB=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABD=30°，再利用角平分线即可得到∠ABE=40°，∠ABE-∠ABD=∠DBE=10°即可得出答案。
7．如题图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（　　）
A．150 B．160 C．170 D．180
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵∠DAC=30°，∠C=70°
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-30°-70°=80°
∵根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和
∴∠BAD+∠B=∠ADC
∴p+q=r=∠ADC=80°
∴p+q+r=160°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和为180°即可求出∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-30°-70°=80°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得到∠ADC=∠B+∠BAD=p+q，所以p+q+r=160°，即可得到答案。
8．如题图，在中，，平分交于，AD=1，BC=16，则的面积为（　　）

A． B．4 C． D．16
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG垂直BC与点G，如下图
∵∠A=90°
∴AD⊥AB
∵DG⊥BC， 平分
∴DG=AD=1
∵BC=16
∴三角形BDC的面积=
故答案为：8。
【分析】先作辅助线DG⊥BC，再利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DG=AD=1，再根据三角形面积公式=即可得到答案。
9．如题图，在中，BC=10，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC
∴BE=AE，AG=CG
∵的周长 =AE+EG+AG
∴的周长 =BE+EG+CG=BC=10
故答案为：10。
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到BE=AE，AG=CG，再根据周长等于= =AE+EG+AG，等量代换即可得到的周长 =BE+EG+CG=BC=10。
10．如题图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于的不等式 > 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点P，点P的纵坐标为
∴把y=带入直线中得， ，解得x=
又∵ >
∴结合图像的图像在的上方
∴x＞-1
故答案为：A。
【分析】结合两直线的交点的纵坐标，代入可以求出横坐标，再结合图像，可以知道的图像在的上方，数形结合即可得出答案。
11．若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为　 　．
【答案】37°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵三角形为直角三角形
∴直角三角形的两锐角互余
∵一个锐角为53°
∴另一个锐角为90°-53°=37°
故答案为：37°。
【分析】利用直角三角形的两锐角互余即可求出答案。
12．若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：
∵多边形的内角和为1080°
∴=1080°
∴n-2=
∴n=6+2=8
故答案为：8
【分析】利用多边形的内角和公式即可得出答案。
13．若，则5-2a　 　5-2b（填“”或“”）．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵a∴-2a>-2b
∴-2a+5>-2b+5
故答案为：>。
【分析】利用不等式的性质1，不等式两边同时加或减同一个数（式），不等号方向不变
利用不等式的性质2，不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变，即可得出答案。
14．如题图，已知BO、CO分别平分和，，则的度数为　 　．
【答案】112.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长BO交AC与点G
∵∠A=45°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°
∵BO、CO分别平分和
∴
∴
∵∠BGC为△ABG的外角，CO为△OCG外角
∴∠BGC=∠A+∠ABG，∠BOC=∠ACO+∠OGC
∴∠BOC=∠ACO+∠ABO+∠A=67.5°+45°=112.5°
故答案为：112.5°
【分析】本题根据三角形的内角和为180°，由∠A=45°，即可求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°，再利用角平分线的定义，即可求出，再根据双内角平分线模型，∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO即可得到答案。
15．如题图，已知中，，边，把沿射线方向平移至后，平移距离为2，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：
∵沿射线方向平移得到
∴
∴EF=BC=6，∠E=∠ABC=90°
∵CG=3
∴BG=BC-CG=3
∵平移距离为2
∴BE=2
∴阴影部分面积=
故答案为：9。
【分析】根据平移性质，平移前后图形完全相等，即可得到，由全等得到对应线段相等，对应角相等，即EF=BC=6，∠E=∠ABC=90°，再根据已知CG=3，即可得到BG=BC-CG=3，再根据平移距离为2，即可得到线段BE=2，再带入直角梯形面积公式（上底+下底）高，即可求出答案。
16．解不等式组
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去一个数或同一个式子不等号方向不变，利用不等式的性质3不等号两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案。
17．某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
【答案】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
答：最多需要60名七年级学生参加活动．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动，利用“ 收集的塑料瓶总数不少于1700个 ”列出不等式求解即可.
18．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上．
（1）将向左平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求，D的坐标(-4，1）；
（2）解：由图可得，=
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据已知向左平移四个单位长度，已知坐标的横坐标减去平移的单位长度，纵坐标不变，即可得到平移后点的坐标，在坐标系中描出来平移后的点D、E、F的坐标，再顺次连接即可画出平移后图形，点D坐标也可写出来。
（2）三角形ABC的面积，以BC为底，点B的纵坐标减1为高，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积。
19．如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵BC＝BC，
∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：点O在∠BAC的平分线上．
理由如下：连接AO.
由(1)可知△BCE≌△CBD，
∴EB＝CD.
∵OB＝OC，
∴OE＝OD.
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据OB=OC即可得出∠OBC=∠BCO，再利用高，可得出∠BDC=∠BEC=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC=∠BCA，利用等腰三角形的判定，等角对等边即可得出 △ABC是等腰三角形 。
（2）利用三角形全等和角平分线的判定即可得结论。
20．如图，在△ABC中，AC=4cm，BC=3cm，沿方向平移至，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵△ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
即；
（2）解：由平移的特征及（1）得
，
∵，，
∴四边形的周长．
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）利用平移的性质，平移前后对应边相等，即可得到AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，再根据已知AE＝8cm，DB＝2cm和平移时对应点连线相等，即即可得到平移距离即AD＝BE＝CF＝＝3cm，可得出答案。
（2）根据平移的性质，可以得到，由第一问知，再根据已知，，即可得出答案。
21．如图①，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）如图②，延长ED交直线BC于点F．当点F与点B重合时，证明：AE=BECE.
【答案】（1）解：BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE；
（2）证明：由（1）得：∠DAE=60°，AD=AE，BD=CE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴AE=DE=BEBD=BECE
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以得到∠BAC=60°，AB=AC，再利用旋转，旋转前后对应边相等，对应角相等，AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，可以得到∠DAE=60°，AD=AE，即可得出∠BAC=∠DAE，再根据∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，可以得到∠BAD=∠CAE，结合三角形全等条件边角边，可以证出△BAD≌△CAE，即可得出BD=CE。
（2）根据（1）的结论∠DAE=60°，AD=AE，BD=CE，结合等边三角形的判定，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可以的到△ADE是等边三角形，所以DE=AE，所以AE=DE=BEBD=BECE，得到结论。
22．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2 设计销售方案 求所有的销售方案；
【答案】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得
答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得．
∵为整数，
∴．故有三种销售方案：
方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；
方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；
方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据问题，先设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，题中数量关系，已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，可列方程y=x+20，再根据 且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元，可列方程25x+15y=3500，组成一个方程组，解二元一次方程组，即可得到答案。
（2）根据问题，设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 再根据题意 品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，列出不等式m≤1.5（1000-m)，再根据题意 总成本不超过元，可列出不等式50m+60(1000-m)≤54020，组成不等式组，解不等式组即可得出答案。
23．
（1）问题背景：如图1是小华设计的一个角平分仪，其中OD=OE，CD=CE．将点O放在角的顶点，OD和OE沿着角的两边放下，沿OC画一条射线，则射线OC就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性：
（2）深入探究：如图2，在△ABC中，∠ABC=104°，AD、CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，AD、CE相交于点G，求∠AGC的度数；
（3）扩展延伸：如图3，在（2）的条件下，在AC上截取AM=AE，在CA上截取CN=CD．若△GMN为等腰三角形，则∠BCA的度数为　 　 ．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴射线是的平分线
（2）解：∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴
（3）20°或38°或56°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
即：，，
当时，，即：，
∴，由（1）得，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
综上所述或或．
【分析】（1）根据三边对应相等得两个三角形全等，可以得到，所以证出，即可得到射线是的平分线。
（2）根据三角形的内角和为180°，由已知，可以得到，再由角平分线的定义可以得到，，所以，从而得出答案。
（3）分情况讨论， △GMN为等腰三角形所以MG=GN，或者MN=GM，或者GN=MN，利用三角形全等，角平分线的定义即可求出答案
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