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湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（ ）
A．1:2 B．2:3
C．1:4 D．4:5
8．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ）
A．四棱锥 B．四棱锥
C．三棱锥 D．三棱锥
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知函数，以下说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．函数的值域为
C．在上单调递减 D．在上单调递增
11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．鳖臑体积的最大值为2
C．点到面的距离是
D．鳖臑内切球的半径为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．在中，若a=5，b=2，C=，则边长c＝________.
13．衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________.
14．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的最值及相应x的值．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值.
17．若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．
(1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值；
(2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．
(3)运用第（2）问的结论，求的值，其中．
18．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成
，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名
(2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数.
19．如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
(1)若，求的长；
(2)求异面直线与所成角余弦值的最小值．
试卷第1页，共3页
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湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B B B B D AC AB
题号 11
答案 BCD
12．
13．/
14．
15．(1)，
(2)当时，取最大值为，当时，取最小值为
16．(1)
(2)
17．(1)，.
(2)是中心对称函数，且对称中心为
(3)
18．(1)
(2)该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为
19．(1)5
(2)
答案第1页，共2页
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