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数学试卷参考答案与详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C D B A B C BCD AC ABD
1.sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)= 6,选2 C.
2.由A={x|x>a},得 RA={x|x≤a}.因为( RA)∩B= ,所以a<-1,选A.
3.设z=a+bi,a,b∈R,则 a+bi a-bi =2i 1-a-bi ,即a2+b2=2b+2 1-a i,所以a2+b2=
2b,0=2 1-a ,解得a=b=1,所以z=1+i,选C.
4.方法一:由题意,知x=1N x1+
…+xN ,y=
1 y1+…M +yM
,
m=1n xN+1+
…+xN+n ,z=
1
N+M x1+
…+xN+y1+…+yM .
所求平均数为 1 … … … 1 (
N+M+n x1+ +xN+xN+1+ +xN+n+y1+ +yM =N+M+n Nx+nm+
My),选D.
方法二:所求平均数为 N+n Nx+nm M Nx+nm+My,选
N+M+n× N+n +N+M+n×y= N+M+n D.
x
5.因为 x = 2+1 1f ,所以2x-1x f -x =f x ,所以f x 为偶函数.
又 =1+ 2y x 和y=
1在 0,+ 上大于2-1 x 0
且单调递减,所以f x 在 0,+ 上单调递减,故选B.
6.由题意,知e=c.将点(1,c
2
)代入椭圆方程,得1 c 而 2 2 2,所以 2 ,故选
a a a2+b2a2=1. a =b+c b=1 A.
7.由P AB =P AC =0知,事件A、B 互斥且事件A、C 互斥,故P ABC =0.所以P A+B+C =
P A +P B +P C -P AB -P AC -P BC +P ABC =2,选3 B.
8.设A(x,y),B(-2,0),C(1,0),则 x+2 2+y2=2 x-1 2+y2,化简得 x-2 2+y2=4(y≠
0),知曲线E 是半径为2的圆(去掉与直线BC 相交的两点).结合图形,当直线AB 与圆E 相切时,
∠ABC最大,此时∠ABC=30°,AB 的中点为圆心M,半径为3,两圆圆心距为7,求得AD=4 21,7
选C.
9.由于不知道a1的正负情况,故数列 an 不一定是递增数列,A错误;
a
因为 n =q>1,所以数列{|an|}是递增数列,a B
正确;
n-1
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a2
因为a2>0, n =q2n 2 >1,所以数列 a2n 是递增数列,C正确;an-1
aa
因为a1a 2 2n-1
1 2n 2
2n=a1q >0,且 =q >1,所以数列{a1a2n}是递增数列,aa D
正确,选BCD.
1 2n-2
10.对A选项,由三次函数图象可知,其至少有一个零点,故A正确;
对B选项,方程x3-3ax+b=x+b可整理为x x2-3a-1 =0,当3a+1≤0时,方程只有一个根,
对应曲线没有3个交点,故B错误;
对C选项,设其3个零点分别为x1,x2,x3,则f x =x3-3ax+b=(x-x1)(x-x2)(x-x3),展
开有 x-x1 x-x2 x-x 33 =x - x1+x2+x x23 + x1x2+x2x3+x1x3 x-x1x2x3,从而
x1+x2+x3=0,故C正确;
对D选项,由于曲线y=f x 关于点(0,b)中心对称,不妨设b=0.若存在符合条件的菱形,则其中
心为原点,过原点互相垂直的直线为菱形的对角线.由f' x =3x2-3a,曲线y=f x 在原点的切
线斜率为-3a.只有当a>0且直线的斜率大于-3a时,对应直线才与曲线y=f x 有两个交点,菱
形才能存在,当a≤0时,不存在这样的菱形.故D错误,选AC.
11.设正方形ABCD 的中心为F,取BC 的中点E,连接PE,则PE= h2+1,PC= h2+2.
分别过O2、O1,作O2G⊥PE、O1H⊥PC.由题意,知O2G=O2F=r,PO1=R.
对于选项A,由V ,得1 1 1O2-ABCD=VO2-PBC 3×4×r=3×2×2×
h2+1×r,解得h= 15,故A正确;
对于选项B,R=h=2,可以求得棱锥的表面积为4+43.
由V =1P-ABCD 3×4×2=
1
3×r×
(4+43),解得r= 6-2,2
故B正确;
对于选项C,有h=R+r.在Rt△O2FC 中,有R2=r2+2.
由Rt△PO2G~Rt△PEF,得
r
1=
R ,解得R2=1+2,故C错误;
h2+1
对于选项D,有h=R+2r.在Rt△O1FC 中,有R2=4r2+2.由Rt△PO2G~Rt△PEF,得
r
1=
R+r 2,化简得R3-6Rr2-4r3=0,即
h2+1
R
r+2 R R ,解得R ,故 正确r -2 r -2 =0 r=1+3 D .
选ABD.
12.由已知得a+b=(1,1),2a-kb=(2,-2-2k).由平行得2+2+2k=0,所以k=-2,故填-2.
13.由题意1ω+ π 7 3π π π3 φ=
, ,解得 ,则
2 3ω+φ=2 ω=2 φ=3.
数学试卷参考答案与详解 第 2页(共7页)


设 ,x1 、 2-x x 2-x x14. A x1e B x ,e 22 ,则 AD =e1,BC =e 2.由 AD =e1由 x 2-xAD =2BC ,得e1=2e 2,所以x1=ln2+2-x2,从而x2>1+ln2.
2-x 3(2x -2-ln2)梯形ABCD 的面积S=12×3e
2× x2-x1 =
2
x -2 .
2e2
(
令 x =32x-2-ln2
) 3(4+ln2-2x)
f 2ex-2
(x>1+ln2),有f' x = 2ex-2 .
当x∈(1+ln2,2+ln2)时,2 f' x >0
,f x 单调递增;当x∈(2+
ln2,
2 +
)时,f' x <0,f x 单调
递减.
故当x=2+ln2时, x 取最大值 ln2 =32f f2+ ,故填322 2 2 2 .
15.(1) 1f(x)的定义域为(0,+∞).f' x =2ax- .……………………………………………… (1分)x
若a≤0,则f' x <0,f x 单调递减,无极值;………………………………………………… (3分)
若a>0,由2ax-1=0,得x= 1.则 1为f x 的极值点.……………………………… (5分)x 2a 2a
由题意,有 1 =1-1f ln1 ,解得2 2 2a>0 a>12e.2a
所以a的取值范围是 1,+∞ .………………………………………………………………… (6分)2e
(2)由(1)知, 1为f x 的极值点2a .
由不动点的定义,有1-1ln1= 1,整理得1+ln 2a - 2=0.………………………… (8分)2 2 2a 2a a
令h x =1+ln(2x)- 2,则h' x =1+ 23.由x h' x >0
,知h x 单调递增.………… (9分)
x 2x2
因为h 12 =1-2=-1<0,h e2 =2-2=2 e-1 >0,………………………………… (11分)e e
所以存在a∈ 1,e ,使得f x 的极值点同时也是不动点.………………………………… ( 分)2 2 13
16.(1)由题意a3=3a1+2,S2=4S1,所以a1+2d=3a1+2,2a1+d=4a1,
解得a1=1,d=2. ………………………………………………………………………………… (3分)
所以an=2n-1.…………………………………………………………………………………… (5分)
(2)由(1)知,T = 2n 1 2n =1- , ……………………………………………… (分)2n+1 2n+1b1=T1=3. 6
所以当n≥2时,bn=Tn-T
1 1
n-1= ……………………………………………… (分)2n-1-2n+1. 8
数学试卷参考答案与详解 第 3页(共7页)
当n=1时,b1=1-
1=2也成立,所以b 1n= -
1 .………………………………… (分)3 3 2n-1 2n+1 9
Tn≤kan+bn 等价于1-
1
2n+1≤k 2n-1 +
1 1 ,
2n-1-2n+1
1 1 2整理得,k≥ ………………………………………………………………… ( 分)2n-1- 2n-1 . 11
1 1 2 2记f n = ,则2n-1- n f n =- 1 -1 +1,而2 -1 2n-1 2 4 2n-1≥1,所以
当n=1或n=2时,f n 有最大值. …………………………………………………………… (13分)
当n=1时,f 1 =0;当n=2时,f 2 =
2.…………………………………………………… (14分)9
2
所以f n 的最大值为
2,即
9 1 - 1 的最大值为2,故 2 ………………… ( 分)2n-1 2n-1 9 k≥9. 15
17.(1)由条件可知,BD⊥AC,|A→B|=|AD→|=a,|AA→1|=b.
因为BD→=AD→-A→B,
所以BD→·AA→= AD→-A→B ·AA→1 1=AD
→·AA→1-A
→B·AA→1=abcosθ-abcosθ=0.
所以BD⊥AA1.…………………………………………………………………………………… (2分)
因为AC 平面A1ACC1,AA1 平面A1ACC1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面A1ACC1.………………………………………………………………………… (3分)
因为BD 平面D1DBB1,所以平面A1ACC1⊥平面D1DBB1.……………………………… (4分)
(2)平行六面体的表面积S=2AB·ADsinθ+4AD·AA1sinθ=(2a2+4ab)sinθ.…………… (6分)
所以,当θ=π时,平行六面体的表面积取最大值2 .
……………………………………………… (7分)
(3)在(2)的条件下,该平行六面体为长方体.建立如图所示的空间直角坐标系,则A 0,0,0 ,
A1 0,0,b ,C a,a,0 ,B1 a,0,b .所以A
→C=(a,a,0),AB→1=(a,0,b),A
→
1C=(a,a,-b).
设平面AB1C 的法向量为n=(x,y,z). D1 Cz 1
A→C·n=0,
B
ax+ay=0
, 1A1
由 得
AB→1·n=0, ax+bz=0.
令x=b,得y=-b,z=-a,所以n=(b,-b,-a).……… (10分)
y
设直线A1C 与平面AB1C 所成的角为φ, D C
则sinφ=|cos→
1C,n>|=
ab A x
2a2
B
+b2 2b2+a2
= 1 = 1 .……………………………………………………… (13分)
2 2 2 2
2+b 2+a 5+2 a +ba2 b2 b2 a2
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a2 2因为 b ,当且仅当
b2+a2≥2 a=b
时取等号,所以sin ≤1φ …………………………………… ( 分)3. 14
所以,直线A1C 与平面AB1C 所成的角最大时,a=b.………………………………………… (15分)
18.(1)由题意,a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3.…………………………………………………… (1分)
2
所以E 的方程为x2-y =1.……………………………………………………………………… (2分)3
2
(2)设M x0,y0 ,则x2-
y0
0 3=1.
因为a
b=
1,-a=-1,
3 b 3
所以MG 的方程为 - =1y y0 (x-x0),MH 的方程为
1
y-y0=- (x-x0).……………… (3分)
3 3
设G(x1,y1),H(x2,y2).
将直线MG 的方程与曲线E 方程联立,
8 2 1 1
2
得
3x -
2 y0- x03 3 x-3- y0- x0 =0,3
1 2
-3- y0- x0
解得x 3
1= .…………………………………………………………………… (分)8 4
3x0
1 2
-3- y0+ x0
同理,可得x 32= .……………………………………………………………… (5分)8
3x0
2x0y0
3 3 -6-2
2
y2 20-
所以x 3
x0
1-x2= = ,8 2y0x1+x2= 8 =-
5x0.………………………… (6分)
3x0 3x
2
0
2 x +x 2x 2
所以 1 2 0GH 2= x 2 2 31-x2 + y1-y2 =4y + -0 3 3
=3 3x2-3 +27 20 x0=
9(4x20-1). …………………………………………………………… (7分)4 4 4
由于x20≥1,所以 GH 2≥
27,从而 的最小值为33 …………………………………… (分)
4 |GH| 2 . 8
2
(3)设l1:y=k1(x+2),l:=k (x-2),则kk =
b
2y 2 1 2 a2=3.
设P(x0,y ),则y 20 0 =3(x 20 -4). ……………………………………………………………… (9分)
设l1的倾斜角为α,l2的倾斜角为β,∠F1PF2=θ,则θ=β-α.
数学试卷参考答案与详解 第 5页(共7页)
所以sinθ=sin(β-α).…………………………………………………………………………… (10分)
于是,sin2θ=sin
2αcos2β+cos2αsin2β-2sinαcosαsinβcosβ
(sin2α+cos2α)(sin2β+cos2β)
=tan
2α+tan2β-2tanαtan k
2+k2β 1 2-6
(1+tan2α)( 2 )=( 2)( 2).
……………………………………………… (11分)1+tanβ 1+k1 1+k2
联立l1与E 的方程,得 3-k2 21 x -4k2x-4k21 1-3=0.
设A(x3,y3),B(x4,y4).
4k2 -4k2-3
则x3+x
1 1
4= 2,x3x4= 2 .…………………………………………………………… (12分)3-k1 3-k1
所以,PA PB = 1+k21 x3-x0 x4-x0
= 1+k21 |x3x4-x0 x3+x4 +x20|
1+k2
= 1 2 23-k2 -4k1-3-4k1x0+
3-k21 x20
1
1+k2
= 1| k2 |3-k2 1x0+2
2-3x20+3|
1|
1+k2 2
= 1
( )
y2 2
91+k1
|3-k2| 0-3x0+3 = 2 .
………………………………………………………… (
|3-k| 14
分)
1 1
9( 2)
同理, 1+kPC PD = 22 . ………………………………………………………………… (|3-k| 15
分)
2
所以S S =1× PA PD sinθ×1△PAD △PBC 2 2 PC PB sinθ
1 9(1+k21) 9(1+k2 2 2= × × 2
) k1+k2-6
4 |3-k21| |3-k22|
×(1+k21)(1+k22)
81 k2+k2 21 2-6 81 k1+k22-6= × = × =272 2 2 2 2 2 ,为定值.………………………… (4 |9-3k -3k +kk| 4 |18-3k -3k| 4 17
分)
1 2 1 2 1 2
19.(1)当n=2时,由题意知X 的可能取值为0,1,2,3,4.
2
P X=0 =C02× 1 1,2 =4
P X=1 =C1× 1 2×C0×1=12 2 1 ,2 4
2 2 2
P X=2 =C1× 1 1 1 2 1 0 1 52 ,2 ×C1×2+C2× 2 ×C2× 2 =16
2 2
P X=3 =C2× 1 1 1 12 2 ×C2× = ,2 8
2 2
P X=4 =C2× 1 ×C2× 12 2 =1 ……………………………………………………… (分)2 2 16. 4
数学试卷参考答案与详解 第 6页(共7页)
X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1 1 5 1 14 4 16 8 16
E X =0×14+1×
1
4+2×
5
16+3×
1+4×18 16=
3.…………………………………………… (分)2 6
(2)当n=3时,求得X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P 8 12 18 13 9 3 164 64 64 64 64 64 6
当n为偶数时,m=n;……………………………………………………………………………… (8分)
当n为奇数时,m=n-1.………………………………………………………………………… (10分)
(3)设第一次正面朝上的次数为i,i=0,1,2,…,n,第二次正面朝上的次数为j,j=0,1,2,…,i,
则x=i+j.
n i
P X=i+j =Ci× 1 j 1n ……………………………………………………… ( 分)2 ×Ci× 2 . 12
n i
从而,E X =∑∑(i+j)Ci× 1n 2
n i
×Cji× 1 .…………………………………………… (13分)i=0j=0 2
n n
由组合数的性质,kCk k-1n=nCn-1,所以∑kCk=n∑Ck-1 n-1n n-1=n·2 .…………………………… (14分)
k=0 k=1
n i n i
所以E X =∑∑(i+j)Cin× 1 j 1i=0j=0 2 ×Ci× 2
n i 1 n+i 1 n+i=∑∑iCjCi j i i n 2 +jCiCni=0j=0 2
n
=∑ 1
n+i i n+i i
iCi ∑Cj+Ci 1n i n ∑jCj i
i=0 2 j=0 2 j=0
n 1 n+i n+i=∑iCi ×2i+Ci 1n n ×i2i-1 i=0 2 2
= 1 n n i2 ∑iCn+i=0 1
n+1n
2 ∑iC
i
n
i=1
= 12
n
×n·2n-1+ 1 n+12 ×n·2n-1=3n.………………………………………………… (17分)4
数学试卷参考答案与详解 第 7页(共7页)

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