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湖南省长郡中学集团2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1．下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A． ，它是正数，故此项不符合题意；
B． 是负数，故此项符合题意；
C． ，它是正数，故此项不符合题意；
D． ，它是正数，故此项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题聚焦负数的基础判定，综合考查绝对值、相反数、乘方的核心运算性质，精准理解这些概念的运算法则是解题的核心前提. 我们需要先对每个选项中的式子进行化简，再结合负数的定义逐一甄别，以此选出正确答案.
2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
3．某小组名学生的中考体育分数单位分如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
42出现的次数最多为3次，故众数为：42
将数据按从小到大的顺序排列：39，40，40，42，42，42，43，44
最中间的两个数为：42和42
故中位数为：
故答案为：C
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案。
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
5．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，
解得：k＜4.
故答案为：B.
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
6．如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，∴．
故选：A．
【分析】本题以圆为背景，重点考查圆周角定理的实际应用. 解题的突破口在于找准与的关联——二者为同弧所对的圆心角和圆周角，再借助圆周角定理的核心结论，就能快速推导出的度数.
7．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】
解直角三角形，直接利用正切值的概念列式计算即可．
8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
9．如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
过点A作AC⊥x轴于点C，
∵三角形AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
设点A（a，b），
则CO=a，AO=AB=OB=2a，根据勾股定理可得∶AC=b=，
∵，
∴，，解得：a=2，
∴b=，即点A(2，)，
把点A(2，)代入得，k=，
故选：D．
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C，设OA＝a，则可利用等边三角形三线合一并解直角三角形可得AC的长，再利用三角形面积公式可得a的值，再利用反比例Ｋ的几何意义即可．
10．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11． 分解因式：a2 + 5a =　 　.
【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．计算： 　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
13．如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：标注如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴∠3=71°，
∴；
故答案为：.
【分析】由得=71°，利用邻补角的含义即可得出得度数．
14．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是　 　．
【答案】．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA=OB==，AB=，
∵OA2+OB2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，
∴S扇形OAB===．
故答案为：．
【分析】先判断脚AOB的度数，再根据扇形的面积公式计算即可.
15．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　
【答案】12
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：连接AP，A'P'，过点A作AD⊥PP'于点D，
由题意可得出：AP∥A'P'，AP＝A'P'，
∴四边形APP'A'是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'（2，﹣2），
∴PO2，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP'＝22＝4，
∴AD＝DO＝sin45° OA3，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．
故答案为：12．
【分析】
如图，连接AP，A'P'，过点A作AD⊥PP'于点D，根据平移的性质得出四边形APP'A'是平行四边形，再解直角三角形可得AD的长，再利用两点距离公式可得PP'的长，则平行四边形APP`A`的面积可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于平行四边形APP`A`的面积即可．
16．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　 　打破的．
【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，
则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意
故答案为乙
【分析】本题属于逻辑推理类题型，需要结合三人的陈述进行严谨的分析与论证. 解题时需运用假设验证的思路，分别假定甲、乙、丙其中一人说真话，再验证另外两人的表述是否为假话，最终找到唯一符合”仅有一人说真话”条件的情况，从而确定破玻璃的人.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题是一道实数混合运算综合题，涵盖有理数乘法、算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂等多个核心运算考点. 解题时需严格遵循运算优先级，先依次算出每一项的结果，再进行加减运算，熟练掌握各类基础运算的规则是解题的关键所在.
18．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式得到由①得：；由②得：，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
19．在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空：
（1）如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，；
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形．
证明：∵平分，
，
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
①______，，
②______，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______．
【答案】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求．
（2）①；②；③正方形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：（2）证明：∵平分，
．
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
，，
，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形．
故答案为：①；②；③正方形．
【分析】本题以几何作图为背景，综合考查菱形判定的证明过程，涉及尺规作图、线段垂直平分线性质、全等三角形判定及菱形判定定理的综合运用.（1）本题是基础尺规作图题，核心要求是完成线段BD的垂直平分线绘制.
（2）证明时需先借助线段垂直平分线的性质得到边的等量关系，结合角平分线的条件推导角相等，通过证明三角形全等得到EF=GF，进而依据菱形的判定定理完成证明；直接三角形的拓展问题则需结合正方形的判定特征，推导最终结论.
（1）解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求．
（2）证明：∵平分，
．
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
，，
，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形．
故答案为：①；②；③正方形．
20．为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1），；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
【分析】（）用喜欢足球的学生人数除以其占比求出调查的总人数，在运用×喜欢乒乓球项目的占比解题即可；
（）用总人数乘以最喜欢篮球项目的百分比求出喜欢篮球的人数，再用总人数减去其他项目人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图；
（）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，然后根据等边对等角得到，然后根据两角对应相等得到相似；
（2）根据勾股定理求出AD长，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
22．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
23．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；二次函数图象的对称变换；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括抛物线的对称轴求解，函数图象的翻折变换、全等三角形/相似三角形的判定与性质，是二次函数与几何结合的综合题.
（1）利用二次函数对称轴公式求出原抛物线的对称轴，再结合翻折后顶点在x轴的条件，建立方程求解a的值；
（2）通过设点坐标，结合函数解析式表示出各点的坐标特征，借助全等或相似三角形的性质，推导出PC与PD的数量比例关系.
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为；
25．如图1，在的网格中，的半径为1．若将绕点Q旋转可以得到的圆心角（与点T重合），则我们称是的以点Q为中心的“郡角”．
（1）如图1，，，的顶点D，K，G都在格点上．在，，中，的以点Q为中心的“郡角”是______；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，两点，若，若是的以点A为中心的“郡角”，P为上的一个动点，平分交于点Q．当P点运动时，线段的长度是否改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由；
（3）如图所示，为上的一个点，是直径延长线的一点，经过圆心，且连接交直径于点，点在直线上，若是的以点为中心的“郡角”，且，求的值．
【答案】（1）
（2）解：不随的位置变化，；连接，，
是的以点为中心的“郡角”，，
，
是等边三角形，
∵直径，
，，
，
又平分，
，
；
即：，
（3）解：是的以点为中心的“郡角”，，
，且，；
，
，
，
设半径，
，
解得：，
，
，即，
过点作于点，
设，则，
，，
，
即
，即，
，
，
，
解得：，
，，
，
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可知在，，中，的以点为中心的“郡角”是；
故答案为：
【分析】本题考查新定义“郡角”的理解与运用、勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、圆的基本性质、坐标与几何的综合应用.
（1）理解题目给出的“郡角”的定义，将其转化为“旋转后与圆心角重合”的几何条件，是解题基础；
（2）连接，，结合“郡角”的定义与圆的性质，判定是等边三角形，得到AC的长度；再利用CQ平分的条件，结合圆周角定理推导角的等量关系，最终证明，从而得到AQ=AC为定值，不随P点的运动而改变；
（3）根据CD=8与Q点坐标，用勾股定理求出的长度，再结合，证明三角形相似，求出的长度；接着通过作辅助线构造相似三角形，用勾股定理求得的长度，最后将两段线段长度相加，完成最终求解.
（1）解：根据题意，可知在，，中，的以点为中心的“郡角”是；
故答案为：
（2）解：不随的位置变化，；
连接，，
是的以点为中心的“郡角”，，
，
是等边三角形，
∵直径，
，，
，
又平分，
，
；
即：，
；
（3）解：是的以点为中心的“郡角”，
，
，且，；
，
，
，
设半径，
，
解得：，
，
，即，
过点作于点，
设，则，
，，
，
即
，即，
，
，
，
解得：，
，，
，
；
1 / 1湖南省长郡中学集团2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1．下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．某小组名学生的中考体育分数单位分如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11． 分解因式：a2 + 5a =　 　.
12．计算： 　 　.
13．如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为　 　．
14．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是　 　．
15．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　
16．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　 　打破的．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
18．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空：
（1）如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，；
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形．
证明：∵平分，
，
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
①______，，
②______，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______．
20．为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
23．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
24．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
25．如图1，在的网格中，的半径为1．若将绕点Q旋转可以得到的圆心角（与点T重合），则我们称是的以点Q为中心的“郡角”．
（1）如图1，，，的顶点D，K，G都在格点上．在，，中，的以点Q为中心的“郡角”是______；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，两点，若，若是的以点A为中心的“郡角”，P为上的一个动点，平分交于点Q．当P点运动时，线段的长度是否改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由；
（3）如图所示，为上的一个点，是直径延长线的一点，经过圆心，且连接交直径于点，点在直线上，若是的以点为中心的“郡角”，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A． ，它是正数，故此项不符合题意；
B． 是负数，故此项符合题意；
C． ，它是正数，故此项不符合题意；
D． ，它是正数，故此项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题聚焦负数的基础判定，综合考查绝对值、相反数、乘方的核心运算性质，精准理解这些概念的运算法则是解题的核心前提. 我们需要先对每个选项中的式子进行化简，再结合负数的定义逐一甄别，以此选出正确答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
42出现的次数最多为3次，故众数为：42
将数据按从小到大的顺序排列：39，40，40，42，42，42，43，44
最中间的两个数为：42和42
故中位数为：
故答案为：C
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，
解得：k＜4.
故答案为：B.
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，∴．
故选：A．
【分析】本题以圆为背景，重点考查圆周角定理的实际应用. 解题的突破口在于找准与的关联——二者为同弧所对的圆心角和圆周角，再借助圆周角定理的核心结论，就能快速推导出的度数.
7．【答案】C
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】
解直角三角形，直接利用正切值的概念列式计算即可．
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
过点A作AC⊥x轴于点C，
∵三角形AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
设点A（a，b），
则CO=a，AO=AB=OB=2a，根据勾股定理可得∶AC=b=，
∵，
∴，，解得：a=2，
∴b=，即点A(2，)，
把点A(2，)代入得，k=，
故选：D．
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C，设OA＝a，则可利用等边三角形三线合一并解直角三角形可得AC的长，再利用三角形面积公式可得a的值，再利用反比例Ｋ的几何意义即可．
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
11．【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
13．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：标注如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴∠3=71°，
∴；
故答案为：.
【分析】由得=71°，利用邻补角的含义即可得出得度数．
14．【答案】．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA=OB==，AB=，
∵OA2+OB2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，
∴S扇形OAB===．
故答案为：．
【分析】先判断脚AOB的度数，再根据扇形的面积公式计算即可.
15．【答案】12
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：连接AP，A'P'，过点A作AD⊥PP'于点D，
由题意可得出：AP∥A'P'，AP＝A'P'，
∴四边形APP'A'是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'（2，﹣2），
∴PO2，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP'＝22＝4，
∴AD＝DO＝sin45° OA3，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．
故答案为：12．
【分析】
如图，连接AP，A'P'，过点A作AD⊥PP'于点D，根据平移的性质得出四边形APP'A'是平行四边形，再解直角三角形可得AD的长，再利用两点距离公式可得PP'的长，则平行四边形APP`A`的面积可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于平行四边形APP`A`的面积即可．
16．【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，
则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意
故答案为乙
【分析】本题属于逻辑推理类题型，需要结合三人的陈述进行严谨的分析与论证. 解题时需运用假设验证的思路，分别假定甲、乙、丙其中一人说真话，再验证另外两人的表述是否为假话，最终找到唯一符合”仅有一人说真话”条件的情况，从而确定破玻璃的人.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题是一道实数混合运算综合题，涵盖有理数乘法、算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂等多个核心运算考点. 解题时需严格遵循运算优先级，先依次算出每一项的结果，再进行加减运算，熟练掌握各类基础运算的规则是解题的关键所在.
18．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式得到由①得：；由②得：，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
19．【答案】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求．
（2）①；②；③正方形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：（2）证明：∵平分，
．
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
，，
，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形．
故答案为：①；②；③正方形．
【分析】本题以几何作图为背景，综合考查菱形判定的证明过程，涉及尺规作图、线段垂直平分线性质、全等三角形判定及菱形判定定理的综合运用.（1）本题是基础尺规作图题，核心要求是完成线段BD的垂直平分线绘制.
（2）证明时需先借助线段垂直平分线的性质得到边的等量关系，结合角平分线的条件推导角相等，通过证明三角形全等得到EF=GF，进而依据菱形的判定定理完成证明；直接三角形的拓展问题则需结合正方形的判定特征，推导最终结论.
（1）解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求．
（2）证明：∵平分，
．
又∵垂直平分，
，
，
．
又∵垂直平分，
，，
，
，
∴四边形是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形．
故答案为：①；②；③正方形．
20．【答案】（1），；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
【分析】（）用喜欢足球的学生人数除以其占比求出调查的总人数，在运用×喜欢乒乓球项目的占比解题即可；
（）用总人数乘以最喜欢篮球项目的百分比求出喜欢篮球的人数，再用总人数减去其他项目人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图；
（）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，然后根据等边对等角得到，然后根据两角对应相等得到相似；
（2）根据勾股定理求出AD长，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
22．【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
23．【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；二次函数图象的对称变换；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括抛物线的对称轴求解，函数图象的翻折变换、全等三角形/相似三角形的判定与性质，是二次函数与几何结合的综合题.
（1）利用二次函数对称轴公式求出原抛物线的对称轴，再结合翻折后顶点在x轴的条件，建立方程求解a的值；
（2）通过设点坐标，结合函数解析式表示出各点的坐标特征，借助全等或相似三角形的性质，推导出PC与PD的数量比例关系.
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为；
25．【答案】（1）
（2）解：不随的位置变化，；连接，，
是的以点为中心的“郡角”，，
，
是等边三角形，
∵直径，
，，
，
又平分，
，
；
即：，
（3）解：是的以点为中心的“郡角”，，
，且，；
，
，
，
设半径，
，
解得：，
，
，即，
过点作于点，
设，则，
，，
，
即
，即，
，
，
，
解得：，
，，
，
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可知在，，中，的以点为中心的“郡角”是；
故答案为：
【分析】本题考查新定义“郡角”的理解与运用、勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、圆的基本性质、坐标与几何的综合应用.
（1）理解题目给出的“郡角”的定义，将其转化为“旋转后与圆心角重合”的几何条件，是解题基础；
（2）连接，，结合“郡角”的定义与圆的性质，判定是等边三角形，得到AC的长度；再利用CQ平分的条件，结合圆周角定理推导角的等量关系，最终证明，从而得到AQ=AC为定值，不随P点的运动而改变；
（3）根据CD=8与Q点坐标，用勾股定理求出的长度，再结合，证明三角形相似，求出的长度；接着通过作辅助线构造相似三角形，用勾股定理求得的长度，最后将两段线段长度相加，完成最终求解.
（1）解：根据题意，可知在，，中，的以点为中心的“郡角”是；
故答案为：
（2）解：不随的位置变化，；
连接，，
是的以点为中心的“郡角”，，
，
是等边三角形，
∵直径，
，，
，
又平分，
，
；
即：，
；
（3）解：是的以点为中心的“郡角”，
，
，且，；
，
，
，
设半径，
，
解得：，
，
，即，
过点作于点，
设，则，
，，
，
即
，即，
，
，
，
解得：，
，，
，
；
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