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2026年天水市第九中学5月阶段性检测高二数学试卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知平面向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点中心对称
C．函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为
D．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称
11．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______.
13．的展开式中的系数为______________．（用数字作答）
14．某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）．
四、解答题（5个小题，共77分）
15（13分）．近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：
研发投入（亿元）
经济收益（亿元）
(1)的平均数记为，证明：
(2)依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．）
(3)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益．
参考数据：，．
附：相关系数，线性回归方程的斜率.
16（15分）．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;；
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17（15分）．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18（17分）．已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为
(1)求C 的方程.
(2)已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点.
（i）若直线和直线分别与直线交于点S，T，求面积的最小值；
（ii）设点Q 是直线上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点.
19（17分）．已知函数的最大值为1．
(1)求；
(2)若，且，证明：．
第5页共6页 第6页共6页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D A B B ACD AC
题号 11
答案 BD
12．或.
13．
14．120
15．（1）已知，即，
，
所以；
（2），，
，，
，
又因为，
所以
所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性．
（3），则，
所以关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程，得，
所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元．
16．（1）由已知，当时，，即，．
当时，，，
两式相减，得，即，，
∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
；；，
设等差数列的公差为，则,
所以；
（2）由第（1）问，，
∴设，①
①，得，，②
∴①-②，得，
，
另一部分的前n项和为
所以.
17．（1）因为和均是边长为2的正三角形，为的中点，
所以，又因为为的中点，所以，
因为，所以，因为，，
且平面，所以平面，
因为平面，所以，因为，
所以平面.
（2）由（1）知平面，所以，所以，
因为，，，所以平面，
所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，因为，故，
得到，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（1）根据的周长为，
由题知，解得.
过作轴垂线交椭圆于，，
将代入椭圆方程得可得，
则，代入，得 ，故.
椭圆方程为，即.
（2）（i）椭圆左、右顶点，，.
设（），满足.
直线的方程为，交于 ；
直线的方程为 ，交于 .
，
即，
的底为，
点到的距离为
则面积，
因为，，得，
所以，
当时，，解得，则在上单调递增；
当时，，解得，则在上单调递减；
可得当时， .
（ii）设，，. ， ，
由，得，即 ，
得，即.
直线的斜率，由，
代入可得.
直线的方程：，代入，
得直线方程为.
将代入椭圆，得，
因为
，
则原方程有且仅有一个实数根，即直线与椭圆相切，
即直线与椭圆有且仅有一个公共点.
19．（1）由题意得的定义域为，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以是的极大值点，也是最大值点，
故 ，即 ，解得．
（2）由（1）得，则，
即．
令，则，且，所以，所以 ，故，
所以．
令 ，
则．
令 ，，
则 ，
所以在区间上单调递增，所以当时， ，即，
所以在区间上单调递增，所以，故．

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