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湖南省岳阳市岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，故是无理数，故本选项正确；
B、是有理数，故本选项错误；
C、是分数，分数是有理数，故本选项错误；
D、3.14是小数，小数是有理数，故本选项错误．
故选：A．
【分析】根据无理数是无限不循环小数逐项判断解答即可．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，计算正确，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题聚焦幂运算的三大核心性质，精准考查对同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方法则的理解与应用. 解题时需先明确各运算法则的具体要求，再对每个选项的运算过程进行逐一核验，判断其是否符合对应法则的规范，以此锁定正确选项.
3．下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；
C．，错误，符合题意；
D．，正确，不符合题意；
故选C．
【分析】
A、正数的算术平方根是正数，其相反数是负数；
B、一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
C、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；
D、一个正数的平方根的平方仍等于这个数．
4．若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ∴ ，故本选项符合题意；
D、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
5．已知 ， 则的值为（　　）
A．11 B．6 C．5 D．1
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题的核心是运用多项式乘多项式的运算规则展开式子，再结合多项式相等时对应项系数完全一致的性质，求出参数m和n的具体值，最终完成m+n的计算.
6．估算 的值应在（　　）
A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】本题旨在考查无理数大小的估算能力，解题的核心方法是“夹逼法”. 首先需找到与被开方数5相邻的两个完全平方数，依次确定的整数区间，再通过简单的加法运算，推导出的取值范围，从而选出正确答案.
7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集在数轴上表示，如图所示：
故选：A．
【分析】本题综合考查一元一次不等式的求解过程，以及解集在数轴上的规范表示方法. 解题时需先严格按照不等式的变形规则，一步步求出不等式的最终解集；再根据解集的边界情况（是否包含边界值）和取值方向，准确判断数轴表示的对错.
8．下列算式不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
B、，不符合平方差公式特征，故选项符合题意；
C、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
D、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题围绕平方差公式的结构特征展开考查，要求精准识别公式的适用条件．解题的关键在于逐一分析每个选项中两个因式的项的关系，判断其是否具备“相同项与相反项共存”的特征，进而筛选出不能运用平方差公式计算的选项.
9．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题聚焦一元一次不等式组的整数解问题，综合考查不等式组的求解与参数范围的确定. 解题时需先解出不等式组的解集，再结合整数解的具体数量，精准锁定解集的边界范围，进而建立关于参数m的不等式，最终求出m的取值区间.
10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为，
，
同理可得；
；
；
；
；
，
故答案为：A．
【分析】可先确定A1B1的长度，然后在数轴上表示出，随后分别表示出A2B2、A3B3、A4B4……，找出规律即可解答。
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．比较大小：π　 　（填“＜”、“＞”、或“=”）．
【答案】＜
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵π＜4，4＜，∴π＜．
故答案为＜．
【分析】本题围绕实数大小比较展开，核心考查对无理数估算方法的掌握. 解题时无需直接计算π和的精确值，可通过引入中间量4，分别确定、，再利用不等式的传递性，快速判断出与的大小关系，是实数比较中高效的常用方法.
13．计算　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题聚焦积的乘方法则的逆应用，精准考查对幂运算性质的灵活掌握．解题的核心在于识别出两个因式的指数一致，通过逆用积的乘方公式，将原式转化为，大幅简化运算步骤，快速得到最终结果.
14．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　 　.
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：22x+y＝22x 2y＝（2x）2 2y＝32×5＝45，
故答案为：45
【分析】根据同底数幂的乘法可知22x+y＝22x 2y，利用幂的乘方可得22x 2y＝（2x）2 2y再根据已知条件即可求出答案.
15．规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则关于m的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题以自定义运算为载体，综合考查对新规则的理解与一元一次不等式的求解能力. 解题时需先准确套用给定的运算公式，将新运算转化为熟悉的整式运算，再将不等式化简为标准的一元一次不等式，最终求出m的解集.
16．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜　 　场比赛．
【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：该队共比赛32场，每场比赛都要分出胜负，且胜场数是x，
负场数是，
根据题意得：，
解得：，
至少要胜16场比赛．
故答案为：16．
【分析】由题意可得负场数是，根据得分不少于48分建立不等式，解不等式即可求出答案.
17．若a + = 3，则a2 + = 　 　.
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a＋ ＝3，
∴（a＋ ）2=9
∴a2＋2＋ ＝9，
∴a2＋ ＝9 2＝7.
故答案为：7.
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.
18．观察数表：
根据数表排列的规律，第10行从左向右第7个数是　 　
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1行的最后一个被开方数，
第2行的最后一个被开方数，
第3行的最后一个被开方数，
第4行的最后一个被开方数，
第行的最后一个被开方数，
第9行最后一个被开方数，
第10行从左向右数第7个数的被开方数是，
第10行从左向右数第7个数是．
故答案为：．
【分析】本题围绕数表的排列规律展开，核心考查数字规律探究，归纳推理能力. 解题的关键在于先通过前几行的数，总结出每行最后一个数的被开方数的通项公式，再结合行内数的递增规律，推导出第10行第7个数的被开方数，最终得到目标数值.
三、解答题：（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算与整式的乘除运算，涵盖乘方、绝对值、立方根、积的乘方、单项式乘多项式等多个考点.
（1）严格遵循实数混合运算的顺序，依次计算乘方、绝对值、立方根，再合并同类项；
（2）先完成积的乘方运算，再利用单项式乘多项式的法则展开，最终化简得到结果，解题时需注意符号的准确性.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．解不等式组
（1）；
（2）．
【答案】解：移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
由解得：；
由去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题聚焦一元一次不等式与不等式组的求解，全面考查对不等式运算规则的掌握.（1）通过移项、合并同类项，系数化为1，即可求出解集；
（2）需先分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的原则，确定不等式组的公共解集，解题时需注意去分母时的符合与漏乘问题.
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先按照平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代值计算即可．
22．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题围绕幂的运算与完全平方公式展开，核心考查整体代入的数学思想.
（1）通过逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将原式转化为，再代入已知条件求值；
（2）利用完全平方公式的变形，将m-n与已知的m+n、mn关联，整体代入计算后开方，快速得到结果，解题时需注意m-n的正负性.
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴．
23．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
（1）绿化的面积是多少？
（2）若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【答案】（1）解：，
，
（平方米）；
答：绿化的面积为平方米；
（2）解：，
，
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
，
，
（平方米），
答：绿化面积的值为平方米．
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据绿化的面积S=大长方形的面积减去小正方形的面积，列式进行计算，即可得出答案；
（2）先把原式变形为，再根据代数式的值与的取值无关，求出a，b的值，再代入绿化的面积进行计算，即可得出答案．
（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
24．“江小豚”、“岳小楼”作为第四届湖南省旅游发展大会的吉祥物，深受广大市民的喜爱．在旅发大会筹备过程中，某商家计划购进一批“江小豚”、“岳小楼”的形象徽章纪念品售卖，已知购进1件“江小豚”徽章与2件“岳小楼”徽章共需要70元，购进2件“江小豚”徽章与3件“岳小楼”徽章共需要120元．
（1）“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为多少元？
（2）商家计划购进“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“江小豚”徽章多少件？
【答案】（1）解：设“江小豚”徽章单价元，“岳小楼”徽章单价元，由题意得，解得，
答：“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为30元，20元
（2）解：设最多能购买“江小豚”徽章件，则能购买“岳小楼”徽章件，由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“江小豚”徽章件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题核心考查二元一次方程组的建立与求解、一元一次不等式的实际应用、方程与不等式结合的综合应用题解法. 本题是典型的方程+不等式综合应用题，解题思路分为两步：
（1）从题目中提取两个独立的等量关系，合理设未知数，列出并解二元一次方程组，得到两种徽章的单价；
（2）利用第一问求出的单价，根据总费用限制，列出一元一次不等式，求出购买数量的取值范围，并结合实际意义确定最大正整数解.
（1）解：设“江小豚”徽章单价元，“岳小楼”徽章单价元，
由题意得，解得，
答：“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为30元，20元；
（2）解：设最多能购买“江小豚”徽章件，则能购买“岳小楼”徽章件，
由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“江小豚”徽章件．
25．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③；……
（1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ；
（2）请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数）
（3）应用上述结论，请计算的值．
【答案】（1），
（2）解：结合①②③，得：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，
，
故答案为：，；
【分析】本题属于二次根式的规律探究题，解题核心是观察、归纳与规律迁移：
（1）直接代入，按照规律计算即可；
（2）观察已知的三个等式，发现等式左边均为的形式，右边均能化简为（进一步化简为）；
（3）将变形为，匹配规律形式后代入计算；
（1）解：由题意可知，
，
故答案为：，；
（2）解：结合①②③，得：
；
（3）解：．
26．【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
（1）下列代数式中是对称式的有 （填序号）
①；②；③
（2）直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式，则该单项式为 ；
（3）若关于m，n的代数式为对称式，求k的值；
（4）在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
【答案】（1）①④
（2）
（3）解：∵是对称式，∴，，
即，
解得：，
故答案为：
（4）解：由（2）得，即可化简为：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】
解：（1）①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴不是对称式；
③，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①④，
故答案为：①④；
（2）
解：由题意得：，故是对称式；
故答案为：；
【分析】本题是新定义结合整式运算的综合题，解题关键在于紧扣“对称式”的定义，结合整式运算性质求解.
（1）根据对称式“交换任意两个字母，值不变”的定义，逐一判断代数式是否满足；
（2）根据对称式定义、单项式系数与次数要求，构造符合条件的单项式；
（3）利用对称式定义，交换m、n位置后代数式值不变，对比系数求出k；
（4）将代入，结合，利用完全平方公式的变形，代入求解的值；
（1）解：①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴不是对称式；
③，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①④，
故答案为：①④；
（2）解：由题意得：，
故是对称式；
故答案为：；
（3）解：∵是对称式，
∴，，
即，
解得：，
故答案为：；
（4）解：由（2）得，即可化简为：，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：；
1 / 1湖南省岳阳市岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知 ， 则的值为（　　）
A．11 B．6 C．5 D．1
6．估算 的值应在（　　）
A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间
7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列算式不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
9．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．8的立方根是　 　．
12．比较大小：π　 　（填“＜”、“＞”、或“=”）．
13．计算　 　．
14．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　 　.
15．规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则关于m的不等式的解集为　 　．
16．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜　 　场比赛．
17．若a + = 3，则a2 + = 　 　.
18．观察数表：
根据数表排列的规律，第10行从左向右第7个数是　 　
三、解答题：（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）
（2）
20．解不等式组
（1）；
（2）．
21．先化简，再求值：，其中．
22．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
23．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
（1）绿化的面积是多少？
（2）若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
24．“江小豚”、“岳小楼”作为第四届湖南省旅游发展大会的吉祥物，深受广大市民的喜爱．在旅发大会筹备过程中，某商家计划购进一批“江小豚”、“岳小楼”的形象徽章纪念品售卖，已知购进1件“江小豚”徽章与2件“岳小楼”徽章共需要70元，购进2件“江小豚”徽章与3件“岳小楼”徽章共需要120元．
（1）“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为多少元？
（2）商家计划购进“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“江小豚”徽章多少件？
25．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③；……
（1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ；
（2）请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数）
（3）应用上述结论，请计算的值．
26．【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
（1）下列代数式中是对称式的有 （填序号）
①；②；③
（2）直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式，则该单项式为 ；
（3）若关于m，n的代数式为对称式，求k的值；
（4）在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，故是无理数，故本选项正确；
B、是有理数，故本选项错误；
C、是分数，分数是有理数，故本选项错误；
D、3.14是小数，小数是有理数，故本选项错误．
故选：A．
【分析】根据无理数是无限不循环小数逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，计算正确，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题聚焦幂运算的三大核心性质，精准考查对同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方法则的理解与应用. 解题时需先明确各运算法则的具体要求，再对每个选项的运算过程进行逐一核验，判断其是否符合对应法则的规范，以此锁定正确选项.
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；
C．，错误，符合题意；
D．，正确，不符合题意；
故选C．
【分析】
A、正数的算术平方根是正数，其相反数是负数；
B、一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
C、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；
D、一个正数的平方根的平方仍等于这个数．
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ∴ ，故本选项符合题意；
D、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题的核心是运用多项式乘多项式的运算规则展开式子，再结合多项式相等时对应项系数完全一致的性质，求出参数m和n的具体值，最终完成m+n的计算.
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】本题旨在考查无理数大小的估算能力，解题的核心方法是“夹逼法”. 首先需找到与被开方数5相邻的两个完全平方数，依次确定的整数区间，再通过简单的加法运算，推导出的取值范围，从而选出正确答案.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集在数轴上表示，如图所示：
故选：A．
【分析】本题综合考查一元一次不等式的求解过程，以及解集在数轴上的规范表示方法. 解题时需先严格按照不等式的变形规则，一步步求出不等式的最终解集；再根据解集的边界情况（是否包含边界值）和取值方向，准确判断数轴表示的对错.
8．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
B、，不符合平方差公式特征，故选项符合题意；
C、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
D、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题围绕平方差公式的结构特征展开考查，要求精准识别公式的适用条件．解题的关键在于逐一分析每个选项中两个因式的项的关系，判断其是否具备“相同项与相反项共存”的特征，进而筛选出不能运用平方差公式计算的选项.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题聚焦一元一次不等式组的整数解问题，综合考查不等式组的求解与参数范围的确定. 解题时需先解出不等式组的解集，再结合整数解的具体数量，精准锁定解集的边界范围，进而建立关于参数m的不等式，最终求出m的取值区间.
10．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为，
，
同理可得；
；
；
；
；
，
故答案为：A．
【分析】可先确定A1B1的长度，然后在数轴上表示出，随后分别表示出A2B2、A3B3、A4B4……，找出规律即可解答。
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．【答案】＜
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵π＜4，4＜，∴π＜．
故答案为＜．
【分析】本题围绕实数大小比较展开，核心考查对无理数估算方法的掌握. 解题时无需直接计算π和的精确值，可通过引入中间量4，分别确定、，再利用不等式的传递性，快速判断出与的大小关系，是实数比较中高效的常用方法.
13．【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题聚焦积的乘方法则的逆应用，精准考查对幂运算性质的灵活掌握．解题的核心在于识别出两个因式的指数一致，通过逆用积的乘方公式，将原式转化为，大幅简化运算步骤，快速得到最终结果.
14．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：22x+y＝22x 2y＝（2x）2 2y＝32×5＝45，
故答案为：45
【分析】根据同底数幂的乘法可知22x+y＝22x 2y，利用幂的乘方可得22x 2y＝（2x）2 2y再根据已知条件即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题以自定义运算为载体，综合考查对新规则的理解与一元一次不等式的求解能力. 解题时需先准确套用给定的运算公式，将新运算转化为熟悉的整式运算，再将不等式化简为标准的一元一次不等式，最终求出m的解集.
16．【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：该队共比赛32场，每场比赛都要分出胜负，且胜场数是x，
负场数是，
根据题意得：，
解得：，
至少要胜16场比赛．
故答案为：16．
【分析】由题意可得负场数是，根据得分不少于48分建立不等式，解不等式即可求出答案.
17．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a＋ ＝3，
∴（a＋ ）2=9
∴a2＋2＋ ＝9，
∴a2＋ ＝9 2＝7.
故答案为：7.
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.
18．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1行的最后一个被开方数，
第2行的最后一个被开方数，
第3行的最后一个被开方数，
第4行的最后一个被开方数，
第行的最后一个被开方数，
第9行最后一个被开方数，
第10行从左向右数第7个数的被开方数是，
第10行从左向右数第7个数是．
故答案为：．
【分析】本题围绕数表的排列规律展开，核心考查数字规律探究，归纳推理能力. 解题的关键在于先通过前几行的数，总结出每行最后一个数的被开方数的通项公式，再结合行内数的递增规律，推导出第10行第7个数的被开方数，最终得到目标数值.
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算与整式的乘除运算，涵盖乘方、绝对值、立方根、积的乘方、单项式乘多项式等多个考点.
（1）严格遵循实数混合运算的顺序，依次计算乘方、绝对值、立方根，再合并同类项；
（2）先完成积的乘方运算，再利用单项式乘多项式的法则展开，最终化简得到结果，解题时需注意符号的准确性.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
由解得：；
由去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题聚焦一元一次不等式与不等式组的求解，全面考查对不等式运算规则的掌握.（1）通过移项、合并同类项，系数化为1，即可求出解集；
（2）需先分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的原则，确定不等式组的公共解集，解题时需注意去分母时的符合与漏乘问题.
21．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先按照平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代值计算即可．
22．【答案】（1）解：∵，，∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题围绕幂的运算与完全平方公式展开，核心考查整体代入的数学思想.
（1）通过逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将原式转化为，再代入已知条件求值；
（2）利用完全平方公式的变形，将m-n与已知的m+n、mn关联，整体代入计算后开方，快速得到结果，解题时需注意m-n的正负性.
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴．
23．【答案】（1）解：，
，
（平方米）；
答：绿化的面积为平方米；
（2）解：，
，
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
，
，
（平方米），
答：绿化面积的值为平方米．
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据绿化的面积S=大长方形的面积减去小正方形的面积，列式进行计算，即可得出答案；
（2）先把原式变形为，再根据代数式的值与的取值无关，求出a，b的值，再代入绿化的面积进行计算，即可得出答案．
（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
24．【答案】（1）解：设“江小豚”徽章单价元，“岳小楼”徽章单价元，由题意得，解得，
答：“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为30元，20元
（2）解：设最多能购买“江小豚”徽章件，则能购买“岳小楼”徽章件，由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“江小豚”徽章件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题核心考查二元一次方程组的建立与求解、一元一次不等式的实际应用、方程与不等式结合的综合应用题解法. 本题是典型的方程+不等式综合应用题，解题思路分为两步：
（1）从题目中提取两个独立的等量关系，合理设未知数，列出并解二元一次方程组，得到两种徽章的单价；
（2）利用第一问求出的单价，根据总费用限制，列出一元一次不等式，求出购买数量的取值范围，并结合实际意义确定最大正整数解.
（1）解：设“江小豚”徽章单价元，“岳小楼”徽章单价元，
由题意得，解得，
答：“江小豚”徽章和“岳小楼”徽章的单价分别为30元，20元；
（2）解：设最多能购买“江小豚”徽章件，则能购买“岳小楼”徽章件，
由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“江小豚”徽章件．
25．【答案】（1），
（2）解：结合①②③，得：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，
，
故答案为：，；
【分析】本题属于二次根式的规律探究题，解题核心是观察、归纳与规律迁移：
（1）直接代入，按照规律计算即可；
（2）观察已知的三个等式，发现等式左边均为的形式，右边均能化简为（进一步化简为）；
（3）将变形为，匹配规律形式后代入计算；
（1）解：由题意可知，
，
故答案为：，；
（2）解：结合①②③，得：
；
（3）解：．
26．【答案】（1）①④
（2）
（3）解：∵是对称式，∴，，
即，
解得：，
故答案为：
（4）解：由（2）得，即可化简为：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】
解：（1）①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴不是对称式；
③，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①④，
故答案为：①④；
（2）
解：由题意得：，故是对称式；
故答案为：；
【分析】本题是新定义结合整式运算的综合题，解题关键在于紧扣“对称式”的定义，结合整式运算性质求解.
（1）根据对称式“交换任意两个字母，值不变”的定义，逐一判断代数式是否满足；
（2）根据对称式定义、单项式系数与次数要求，构造符合条件的单项式；
（3）利用对称式定义，交换m、n位置后代数式值不变，对比系数求出k；
（4）将代入，结合，利用完全平方公式的变形，代入求解的值；
（1）解：①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴不是对称式；
③，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①④，
故答案为：①④；
（2）解：由题意得：，
故是对称式；
故答案为：；
（3）解：∵是对称式，
∴，，
即，
解得：，
故答案为：；
（4）解：由（2）得，即可化简为：，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：；
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