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广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高二下学期第二次段考（5月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知数列满足，若，则（　　）
A．28 B．13 C．18 D．2
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，所以数列是公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】由题可知数列是公差为1的等差数列，进而得到通项，再求即可．
2． 的展开式的常数项为（　　）
A．20 B．120 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为： .
令 ，解得 ，所以 的展开式的常数项为 ，
故答案为：A
【分析】根据题意求出二项展开式的通项公式，结合已知条件令求出r的值，再把结果代入计算出答案即可。
3．若，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】，解得n=7或n=-8，因为n-1≥0，同时n∈N*，所以n=7.
故答案为：B．
【分析】利用组合数的公式运算求解即可.
4．一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【解答】解：恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，
从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：，
.
故答案为：B.
【分析】利用组合数求概率即可.
5．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，．
故答案为：C
【分析】先求出导函数，求导的时候应注意是个常数，求导之后再令，可列出方程，解方程可求出的值.
6．易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从八卦中任取两卦，共有种取法，若从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，则应取坤卦，再从震 艮 坎三卦中取一卦，有种取法.
所以所求的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用组合数可知总共有种取法，再利用对立事件求概率即可．
7．给出下列说法：
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差 ；④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据平均数的计算公式可得 ，根据方差的计算公式 ，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故答案为：B
【分析】由线性回归方程的特点可判断 ①；由两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，可判断 ② ；由平均数、方差的性质计算可判断 ③ ；由线性回归方程中x的系数，可判断 ④
8．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：易知，因为点在上，所以，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为9.
故答案为：C．
【分析】由题意，根据椭圆的定义可得，再根据基本不等式求解即可.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故选项A正确；
对于B，若，则，故选项B错误；
对于C，若，则，故选项C正确；
对于D，若，则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据初等函数及复合函数导数的运算法则逐个分析判断即可.
10．已知离散型随机变量的分布列为
0 1
则下列说法正确的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质，得，故A对；
，B错；
，C对；
，D错.
故答案为：AC.
【分析】根据分布列求出，进而得到，再结合逐项判断即可．
11．有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，所以选项A正确；
对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确；
对于选项C， 由全概率公式知，
所以选项C不正确；
对于选项D，由选项C知
则，所以选项D正确，
故答案为：AD．
【分析】对于A，根据条件概率公式求解；对于B，根据题意，事件，事件相互对立，再结合条件概率公式求解；对于CD，利用全概率公式、贝叶斯公式求解.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，且，则　 　．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
则．
故答案为：.
【分析】根据正态密度曲线的对称性可得，再代值计算．
13．光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有　 　种午餐安排方式．（答案用数字表示）
【答案】1860
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从7种菜品中选5种的排列数为种，
周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有，
周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有.
则他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，共有种午餐安排方式 .
故答案为：.
【分析】先计算从7种菜品中选5种的排列数，再计算周一排汤粉的排列数，周五排鸡翅包饭的排列数以及周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数，利用间接法求解即可.
14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：显然函数是上的增函数，也是奇函数，
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，其中，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先确定函数的单调性及奇偶性，得到，参变分离得，再令，利用导数求的最大值即可．
四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率；
（2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以；
（2）解：由一条渐近线的斜率为，可得，
可得：，又在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为：．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，再求离心率即可；
（2）根据点及渐近线斜率列方程即可.
16．如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明：平面平面，，
又，面APD，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）解：结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，再利用向量法求线面角即可．
（1）平面平面，，
又，面APD，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，且AC边上的高为，求的周长．
【答案】（1）解：因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，所以，则，故，
则，故．
（2）解：因为，令，则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，故的周长为．
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变形得，解方程从而可得；
（2）令，则，利用余弦定理求出，即可解三角形得到周长．
（1）因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，所以，则，故，
则，故．
（2）因为，令，则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，故的周长为．
18．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：且）
（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
（2）证明：当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，即在上恒成立，
所以当时，，
令且，则，
即，，…，，
所以累加得，
故当且时，.
（3）解：由题对任意，都有恒成立，
即在上恒成立，
令，，即在上恒成立，
①当时，由于，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，，
令，则，令，所以，
令，得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时，，
即在上恒成立，符合题意，
②当时，由于在上单调递增且，，
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符，
综上，实数得到取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分、、讨论单调性，进而得到单调区间；
（2）首先时，可证得，进而得出，再利用累加法，即可证明；
（3）构造函数，，再分、两种情况，结合放缩即可证明．
（1）的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
（2）当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，即在上恒成立，
所以当时，，
令且，则，
即，，…，，
所以累加得，
故当且时，.
（3）由题对任意，都有恒成立，
即在上恒成立，
令，，即在上恒成立，
①当时，由于，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，，
令，则，令，所以，
令，得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时，，
即在上恒成立，符合题意，
②当时，由于在上单调递增且，，
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符，
综上，实数得到取值范围是
1 / 1广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高二下学期第二次段考（5月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知数列满足，若，则（　　）
A．28 B．13 C．18 D．2
2． 的展开式的常数项为（　　）
A．20 B．120 C．5 D．8
3．若，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．给出下列说法：
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差 ；④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
8．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知离散型随机变量的分布列为
0 1
则下列说法正确的有（　　）
A． B． C． D．
11．有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，且，则　 　．
13．光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有　 　种午餐安排方式．（答案用数字表示）
14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率；
（2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程．
16．如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，且AC边上的高为，求的周长．
18．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：且）
（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，所以数列是公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】由题可知数列是公差为1的等差数列，进而得到通项，再求即可．
2．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为： .
令 ，解得 ，所以 的展开式的常数项为 ，
故答案为：A
【分析】根据题意求出二项展开式的通项公式，结合已知条件令求出r的值，再把结果代入计算出答案即可。
3．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】，解得n=7或n=-8，因为n-1≥0，同时n∈N*，所以n=7.
故答案为：B．
【分析】利用组合数的公式运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【解答】解：恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，
从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：，
.
故答案为：B.
【分析】利用组合数求概率即可.
5．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，．
故答案为：C
【分析】先求出导函数，求导的时候应注意是个常数，求导之后再令，可列出方程，解方程可求出的值.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从八卦中任取两卦，共有种取法，若从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，则应取坤卦，再从震 艮 坎三卦中取一卦，有种取法.
所以所求的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用组合数可知总共有种取法，再利用对立事件求概率即可．
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据平均数的计算公式可得 ，根据方差的计算公式 ，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故答案为：B
【分析】由线性回归方程的特点可判断 ①；由两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，可判断 ② ；由平均数、方差的性质计算可判断 ③ ；由线性回归方程中x的系数，可判断 ④
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：易知，因为点在上，所以，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为9.
故答案为：C．
【分析】由题意，根据椭圆的定义可得，再根据基本不等式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故选项A正确；
对于B，若，则，故选项B错误；
对于C，若，则，故选项C正确；
对于D，若，则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据初等函数及复合函数导数的运算法则逐个分析判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质，得，故A对；
，B错；
，C对；
，D错.
故答案为：AC.
【分析】根据分布列求出，进而得到，再结合逐项判断即可．
11．【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，所以选项A正确；
对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确；
对于选项C， 由全概率公式知，
所以选项C不正确；
对于选项D，由选项C知
则，所以选项D正确，
故答案为：AD．
【分析】对于A，根据条件概率公式求解；对于B，根据题意，事件，事件相互对立，再结合条件概率公式求解；对于CD，利用全概率公式、贝叶斯公式求解.
12．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
则．
故答案为：.
【分析】根据正态密度曲线的对称性可得，再代值计算．
13．【答案】1860
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从7种菜品中选5种的排列数为种，
周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有，
周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有.
则他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，共有种午餐安排方式 .
故答案为：.
【分析】先计算从7种菜品中选5种的排列数，再计算周一排汤粉的排列数，周五排鸡翅包饭的排列数以及周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数，利用间接法求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：显然函数是上的增函数，也是奇函数，
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，其中，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先确定函数的单调性及奇偶性，得到，参变分离得，再令，利用导数求的最大值即可．
15．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以；
（2）解：由一条渐近线的斜率为，可得，
可得：，又在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为：．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，再求离心率即可；
（2）根据点及渐近线斜率列方程即可.
16．【答案】（1）证明：平面平面，，
又，面APD，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）解：结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，再利用向量法求线面角即可．
（1）平面平面，，
又，面APD，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，所以，则，故，
则，故．
（2）解：因为，令，则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，故的周长为．
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变形得，解方程从而可得；
（2）令，则，利用余弦定理求出，即可解三角形得到周长．
（1）因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，所以，则，故，
则，故．
（2）因为，令，则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，故的周长为．
18．【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
19．【答案】（1）解：的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
（2）证明：当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，即在上恒成立，
所以当时，，
令且，则，
即，，…，，
所以累加得，
故当且时，.
（3）解：由题对任意，都有恒成立，
即在上恒成立，
令，，即在上恒成立，
①当时，由于，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，，
令，则，令，所以，
令，得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时，，
即在上恒成立，符合题意，
②当时，由于在上单调递增且，，
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符，
综上，实数得到取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分、、讨论单调性，进而得到单调区间；
（2）首先时，可证得，进而得出，再利用累加法，即可证明；
（3）构造函数，，再分、两种情况，结合放缩即可证明．
（1）的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
（2）当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，即在上恒成立，
所以当时，，
令且，则，
即，，…，，
所以累加得，
故当且时，.
（3）由题对任意，都有恒成立，
即在上恒成立，
令，，即在上恒成立，
①当时，由于，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，，
令，则，令，所以，
令，得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时，，
即在上恒成立，符合题意，
②当时，由于在上单调递增且，，
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符，
综上，实数得到取值范围是
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