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贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.：被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式；
B.：被开方数为分数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式；
C.：，被开方数含分母，需有理化为，故不是最简二次根式；
D.：被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的定义；
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下列各数中，能与6，8组成一组勾股数的是 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：、∵，
∴是一组勾股数，该选项符合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根的定义，结合二次根式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．已知甲、乙、丙三名射击运动员的10次射击训练的平均成绩均为8.7环，三名运动员的10次射击成绩的方差分别为若从甲、乙、丙三名运动员中选取成绩最稳定的一名运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵三名运动员的10次射击成绩的方差分别为
∴，
∴运动员丙的成绩最稳定；故选丙参加比赛．
故选：C．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
5．如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，，对角线相互平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．已知点A 在一次函数的图象上，则点A的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、把代入得，，故符合题意；
B、把代入得，，故不符合题意；
C、把代入得，，故不符合题意；
D、把代入得，，故不符合题意；
故选：A．
【分析】将各点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
7．如图，在矩形中，已知，，则对角线的长是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，，根据直角三角形两锐角互余可得∠ADB，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据等边对等角即可求出答案.
8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的边长是7．
故选：C．
【分析】根据全等三角形性质可得，，根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．如图，小颖想估测被池塘隔开的P，Q两处景观之间的距离，她先在外取一点H，连接，然后找出的中点M，N，并测出的长约为，由此估测P，Q两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是边的中点，
∴是的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当时，直线在直线下方，
即，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】当直线在直线下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．在中，尺规作图后留下的作图痕迹如图所示，已知 则的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
由作图痕迹知平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，由作图痕迹知平分，则，即，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．如图，在中，，，，E，F分别是边，的中点，动点P从点 E处出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点F处停止．设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，则能表示S与的对应关系的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴，，
当P在上时， 时，过点P作于点H，则，，
∵，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在上时， 时，过点B作于点M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在上时， 时，过点P作于点N，则，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得，，分情况讨论：当P在上时， 时，过点P作于点H，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得PH，再根据三角形面积即可求出答案；当P在上时， 时，过点B作于点M，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BM，再根据三角形面积即可求出答案；当P在上时， 时，过点P作于点N，则，，根据边之间的关系可得DP，再根据直线平行性质可得 ，根据含30°角的直角三角形性质可得PN，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.
14．将直线向下平移3个单位长度后所得的直线的函数解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的规律可知：
将直线向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
15．如图，在中，，，，点是斜边的中点，则　 　；
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴BD =AD，
∴△BCD是等边三角形，BD=BC=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠B，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BD =AD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
16．如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是　 　．
【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
在矩形中，，
∴，
根据折叠可得，
∵，
故当点共线时，最小，此时，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：3．
【分析】连接，根据勾股定理可得BD，根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得，当点共线时，最小，此时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据0指数幂，平方差公式化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 3 4 3 4 3 0 m …
① ；
②方程有 个解．
（2）①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象；
②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质．
【答案】（1）①；②2
（2）解：①如图．
②答案不唯一：
．该函数图象关于y轴对称；
．该函数的最大值是4；
．当时，随的增大而增大；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而增大；
．该函数图象与轴有2个交点．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：①，
故答案为：；
②由表可知，当或时，，
因此方程有2个解，
故答案为：2；
【分析】（1）①将x=4代入解析式即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据描点法作出函数图象即可.
②根据函数图象即可求出答案.
（1）解：①，
故答案为：；
②由表可知，当或时，，
因此方程有2个解，
故答案为：2；
（2）解：①如图．
②答案不唯一：
．该函数图象关于y轴对称；
．该函数的最大值是4；
．当时，随的增大而增大；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而增大；
．该函数图象与轴有2个交点．
19．在端午节来临之际，某中学举办“粽香暖童心·端午伴成长”关爱留守儿童活动．此次活动既传递节日温暖，又弘扬传统文化，让留守儿童在集体的关爱中，度过一个温情满溢的端午佳节．该中学数学兴趣小组的张明同学结合自己所学的统计知识，随机收集了60名留守儿童包粽子的数据，绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这组数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（3）根据已学的统计知识，从平均数、众数、中位数来看，你觉得哪个统计量最适合作为评价留守儿童包粽子的一般水平，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得包9个粽子的人数人．
故补全条形统计图如下．
（2）8，10，7；
（3）解：中位数.
理由：因为众数仅能体现出现次数最多的数据，不能反映整体水平；平均数易受极端值影响；中位数更能代表中间水平，反映大多数留守儿童包粽子的实际情况．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：平均数，
包10个粽子的人数最多，故众数为10，
60个数据，中位数是第30和31个数的平均数，是7．
故答案为：8，10，7．
【分析】（1）求出包9个粽子的人数，再补全图形即可.
（2）根据平均数，众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：根据题意可得包9个粽子的人数人．
故补全条形统计图如下．
（2）解：平均数，
包10个粽子的人数最多，故众数为10，
60个数据，中位数是第30和31个数的平均数，是7．
故答案为：8，10，7．
（3）解：中位数.
理由：因为众数仅能体现出现次数最多的数据，不能反映整体水平；平均数易受极端值影响；中位数更能代表中间水平，反映大多数留守儿童包粽子的实际情况．
20．如图，在四边形中，，E是对角线 的中点，连接并延长，交 于点F，且，连接．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∴．
又∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴中，由勾股定理，得
，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠BFD，再根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得EF，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∴．
又∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴中，由勾股定理，得，
∴，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与两坐标轴相交于点和．
（1）求直线的函数解析式．
（2）直线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，
由题意，得，
解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：存在．
理由：设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴存在点使得，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设点的坐标为，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设直线的函数解析式为，
由题意，得，
解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：存在．
理由：设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴存在点使得，其坐标为或．
22．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．都匀毛尖茶是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，口感清爽；秋茶深沉，口感浓郁．某经销商欲购进春茶和秋茶共200盒进行销售，其中秋茶的盒数不得高于春茶盒数的2倍，已知春茶和秋茶的进价和售价如下表所示．设该经销商购进春茶的盒数为盒，且所购进的两种茶叶能全部卖出，获得的总利润为元．
种类 价格 春茶 秋茶
进价/（元/盒） 580 280
售价/（元/盒） 620 325
（1）求与之间的函数解析式．
（2）若该经销商打算用不超过76900 元购进春茶和秋茶，共有几种进货方案？哪种进货方案才能使该经销商获利最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量，建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组可得x的取值范围，求出整数解，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
23．综合与实践：
【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程；
【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ；
【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）， 理由如下：
沿着小李的思路进行证明，
在正方形中，有，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）8；
（3），理由如下：
如下图中，在上截取，使，连接，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：（2）设，则，
∴ 的周长为：，
故答案为：8；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得教FDH=∠EDF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设，则，根据三角形周长即可求出答案.
（3）在上截取，使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中，能与6，8组成一组勾股数的是 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知甲、乙、丙三名射击运动员的10次射击训练的平均成绩均为8.7环，三名运动员的10次射击成绩的方差分别为若从甲、乙、丙三名运动员中选取成绩最稳定的一名运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
5．如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知点A 在一次函数的图象上，则点A的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，已知，，则对角线的长是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，小颖想估测被池塘隔开的P，Q两处景观之间的距离，她先在外取一点H，连接，然后找出的中点M，N，并测出的长约为，由此估测P，Q两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
11．在中，尺规作图后留下的作图痕迹如图所示，已知 则的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
12．如图，在中，，，，E，F分别是边，的中点，动点P从点 E处出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点F处停止．设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，则能表示S与的对应关系的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．将直线向下平移3个单位长度后所得的直线的函数解析式为　 　．
15．如图，在中，，，，点是斜边的中点，则　 　；
16．如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）
（2）
18．小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 3 4 3 4 3 0 m …
① ；
②方程有 个解．
（2）①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象；
②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质．
19．在端午节来临之际，某中学举办“粽香暖童心·端午伴成长”关爱留守儿童活动．此次活动既传递节日温暖，又弘扬传统文化，让留守儿童在集体的关爱中，度过一个温情满溢的端午佳节．该中学数学兴趣小组的张明同学结合自己所学的统计知识，随机收集了60名留守儿童包粽子的数据，绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这组数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（3）根据已学的统计知识，从平均数、众数、中位数来看，你觉得哪个统计量最适合作为评价留守儿童包粽子的一般水平，并说明理由．
20．如图，在四边形中，，E是对角线 的中点，连接并延长，交 于点F，且，连接．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与两坐标轴相交于点和．
（1）求直线的函数解析式．
（2）直线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
22．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．都匀毛尖茶是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，口感清爽；秋茶深沉，口感浓郁．某经销商欲购进春茶和秋茶共200盒进行销售，其中秋茶的盒数不得高于春茶盒数的2倍，已知春茶和秋茶的进价和售价如下表所示．设该经销商购进春茶的盒数为盒，且所购进的两种茶叶能全部卖出，获得的总利润为元．
种类 价格 春茶 秋茶
进价/（元/盒） 580 280
售价/（元/盒） 620 325
（1）求与之间的函数解析式．
（2）若该经销商打算用不超过76900 元购进春茶和秋茶，共有几种进货方案？哪种进货方案才能使该经销商获利最大？并求出最大利润．
23．综合与实践：
【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程；
【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ；
【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.：被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式；
B.：被开方数为分数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式；
C.：，被开方数含分母，需有理化为，故不是最简二次根式；
D.：被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的定义；
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：、∵，
∴是一组勾股数，该选项符合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根的定义，结合二次根式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵三名运动员的10次射击成绩的方差分别为
∴，
∴运动员丙的成绩最稳定；故选丙参加比赛．
故选：C．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，，对角线相互平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、把代入得，，故符合题意；
B、把代入得，，故不符合题意；
C、把代入得，，故不符合题意；
D、把代入得，，故不符合题意；
故选：A．
【分析】将各点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，，根据直角三角形两锐角互余可得∠ADB，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据等边对等角即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的边长是7．
故选：C．
【分析】根据全等三角形性质可得，，根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是边的中点，
∴是的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当时，直线在直线下方，
即，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】当直线在直线下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
由作图痕迹知平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，由作图痕迹知平分，则，即，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴，，
当P在上时， 时，过点P作于点H，则，，
∵，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在上时， 时，过点B作于点M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在上时， 时，过点P作于点N，则，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得，，分情况讨论：当P在上时， 时，过点P作于点H，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得PH，再根据三角形面积即可求出答案；当P在上时， 时，过点B作于点M，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BM，再根据三角形面积即可求出答案；当P在上时， 时，过点P作于点N，则，，根据边之间的关系可得DP，再根据直线平行性质可得 ，根据含30°角的直角三角形性质可得PN，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的规律可知：
将直线向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴BD =AD，
∴△BCD是等边三角形，BD=BC=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠B，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BD =AD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
16．【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
在矩形中，，
∴，
根据折叠可得，
∵，
故当点共线时，最小，此时，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：3．
【分析】连接，根据勾股定理可得BD，根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得，当点共线时，最小，此时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据0指数幂，平方差公式化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．【答案】（1）①；②2
（2）解：①如图．
②答案不唯一：
．该函数图象关于y轴对称；
．该函数的最大值是4；
．当时，随的增大而增大；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而增大；
．该函数图象与轴有2个交点．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：①，
故答案为：；
②由表可知，当或时，，
因此方程有2个解，
故答案为：2；
【分析】（1）①将x=4代入解析式即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据描点法作出函数图象即可.
②根据函数图象即可求出答案.
（1）解：①，
故答案为：；
②由表可知，当或时，，
因此方程有2个解，
故答案为：2；
（2）解：①如图．
②答案不唯一：
．该函数图象关于y轴对称；
．该函数的最大值是4；
．当时，随的增大而增大；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而减小；
．当时，随的增大而增大；
．该函数图象与轴有2个交点．
19．【答案】（1）解：根据题意可得包9个粽子的人数人．
故补全条形统计图如下．
（2）8，10，7；
（3）解：中位数.
理由：因为众数仅能体现出现次数最多的数据，不能反映整体水平；平均数易受极端值影响；中位数更能代表中间水平，反映大多数留守儿童包粽子的实际情况．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：平均数，
包10个粽子的人数最多，故众数为10，
60个数据，中位数是第30和31个数的平均数，是7．
故答案为：8，10，7．
【分析】（1）求出包9个粽子的人数，再补全图形即可.
（2）根据平均数，众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：根据题意可得包9个粽子的人数人．
故补全条形统计图如下．
（2）解：平均数，
包10个粽子的人数最多，故众数为10，
60个数据，中位数是第30和31个数的平均数，是7．
故答案为：8，10，7．
（3）解：中位数.
理由：因为众数仅能体现出现次数最多的数据，不能反映整体水平；平均数易受极端值影响；中位数更能代表中间水平，反映大多数留守儿童包粽子的实际情况．
20．【答案】（1）证明：如图
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∴．
又∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴中，由勾股定理，得
，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠BFD，再根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得EF，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∴．
又∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴中，由勾股定理，得，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，
由题意，得，
解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：存在．
理由：设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴存在点使得，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设点的坐标为，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设直线的函数解析式为，
由题意，得，
解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：存在．
理由：设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴存在点使得，其坐标为或．
22．【答案】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量，建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组可得x的取值范围，求出整数解，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
23．【答案】解：（1）， 理由如下：
沿着小李的思路进行证明，
在正方形中，有，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）8；
（3），理由如下：
如下图中，在上截取，使，连接，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：（2）设，则，
∴ 的周长为：，
故答案为：8；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得教FDH=∠EDF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设，则，根据三角形周长即可求出答案.
（3）在上截取，使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
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