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广东省梅州市兴宁市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形沿某条直线折叠后两边能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后与原图形重合，逐一分析各选项图形的对称特征，即可选出同时满足两种对称性的选项。
2．下列选项中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得：属于分式.
故答案为：C.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
3．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　）
A．（﹣2，6） B．（1，3） C．（1，6） D．（﹣5，3）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3，
所以点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3），
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质求点的坐标即可作答。
4．分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，，
∴
故答案为：B．
【分析】
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
5．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、原式不是多项式，因而不是因式分解，故A不符合题意；
B、，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C、，是因式分解，故C符合题意；
D、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；逐一判断即可求解.
6．已知两个实数a，b，他们在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知，，
A、∵，
∴
故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故本项不符合题意；
D、∵，
∴，
故本项符合题意．
故选：D．
【分析】本题结合数轴与不等式的基本性质考查，先由数轴得出的大小关系，再根据不等式两边加减、乘正数的性质，逐一验证各选项不等式是否成立。
7．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（　　）
A．不改变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：同事扩大2倍得，
所以浓度不变．
故选：A．
【分析】本题主要考查了分式的性质，分子分母同时除以一个非0的数，分式的值不变，从而可以得知前面的浓度不变．
8．如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（　　）
A．点P B．点 C．点Q D．点R
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
∴的交点即为旋转中心；
故选C
【分析】本题考查旋转中心的确定方法，旋转的对应点到旋转中心的距离相等，连接两组对应点，两条线段的交点就是所求旋转中心。
9．如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故答案为：C．
【分析】从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合，即可以直接判断本题的答案．
10．如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故答案为：C．
【分析】判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．化简：=　 　．
【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查分式的约分，依据分式基本性质，约去分子分母的公因式，直接得到化简结果。
12．如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是　 　°．
【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题可知，多边形为六边形，
故内角和．
故答案为：．
【分析】本题考查多边形内角和公式，先判断该多边形为六边形，再代入内角和公式（为边数）计算即可。
13．已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
当，时，原式．
故答案为：．
【分析】本题考查平方差公式的因式分解与代数式求值，先把因式分解为，再代入已知条件计算结果。
14．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为　 　cm.
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，
∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴在Rt△ADO中，由勾股定理可知，（cm）．
故答案为：4．
【分析】先利用平行四边的性质可得OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，再利用勾股定理求出AD的长即可.
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】本题综合考查平行四边形、含角直角三角形的性质与勾股定理，先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点和垂直条件求出相关线段长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算。
三、解答题（共75）
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
17．如图，在中，，．
（1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查线段垂直平分线的尺规作图，依据垂直平分线的基本作图方法完成作图即可；
(2)本题先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得，由等边对等角得，最后用角的和差求出。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
18．如图，在内，点P是射线上一点，点C、D分别在、上，给出下列三个信息，①是的平分线；②，；③．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题．
（1）条件______，结论______．（填序号）
（2）请对（1）所写的命题加以证明．
【答案】（1）①②；③
（2）证明：∵是的平分线，，，∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）解：条件为①②，结论为③，证明如下：
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：①②，③．
【分析】(1)本题考查角平分线性质与全等三角形的应用，选择角平分线和垂直为条件，可推导出线段相等的结论；
(2)本题先由角平分线性质得，再用定理证明，从而得出。
（1）解：条件为①②，结论为③，证明如下：
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：①②，③．
（2）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
19．阅读材料：
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
类比应用：
（1）因式分解：；
（2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：这个三角形为等腰三角形，理由：
∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是三角形的三边长
∴
∴
∴
∴
∴这个三角形为等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）根据材料中的信息，用“”分组，再提公因式即可求解；
（2）根据材料中的信息，用“”分组，根据完全平方公式分解各小组，再提公因式可得，根据三角形的三边关系可求解．
（1）解：原式
．
（2）解：这个三角形为等腰三角形，理由：
∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是三角形的三边长
∴
∴
∴
∴
∴这个三角形为等腰三角形．
20．如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：设，
在中，，，
∴
∴，即，
解得，（舍去）
∴，，
∵是等边三角形，
∴。
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点F是线段AD的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形。
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）结合“含30°直角三角形的性质”，得出，然后根据勾股定理求出x的值之后即可求出，最后依据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出，，依据线段中点的定义得出；结合“含30°直角三角形的性质”得出，从而综合得出，然后角度求和并结合“同旁内角互补、两直线平行”得出，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论．
（1）解：设
在中，，，
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∵是等边三角形
∴
（2）∵是等边三角形
∴，
∵点F是线段AD的中点
∴
在中，，
∴
∴
∵
∴，即
∴四边形是平行四边形
21．人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍．
（1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少
（2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个
【答案】（1）解：设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元；
（2）解：设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个，
由题意，得，解得：
答：最多购进型号分拣机器人个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，根据“用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型号分拣机器人个，则购进型号分拣机器人个，根据“快递公司每天至少要分拣万个包裹”列出不等式，解不等式即可求出答案.
（1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元；
（2）设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个，
由题意，得，解得：
答：最多购进型号分拣机器人个．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动．
素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间．
素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式：
分时电表 普通电表
峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度
电价0.6元/度 电价0.4元/度
素材三：
小明家 4月 5月 6月 备注
时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价
用电量（度） 250 50 250 100 320 100
小红家 4月 5月 6月 备注
用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价
任务一：
（1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元；
（2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元．
任务二：
（1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式；
（2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样．
任务三：
根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费．
【答案】解：任务一：（1）170；232；（2）154；231；
任务二：（1）；
（2）当时，
解得：
∴当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样
任务三：当，解得：
∴的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可）
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务一：
（1），
（2），；
【分析】本题以家庭用电成本为背景，综合考查电费计算、一次函数解析式的建立以及一元一次不等式的实际应用。
任务一：根据素材三中用电量及计费标准，分别计算小明家（分时电表）和小红家（普通电表）各月电费；
任务二：（1）分时电表总价 y_1 = 0.6x + 0.4(a - x)，普通电表总价 y_2 = 0.5a；
（2）令 解方程求临界值；任务三分析的条件，即 0.6x + 0.4(a - x) < 0.5a，化简得 x < 0.5a，即峰时用电量小于总电量的一半时更省钱，建议家庭将大功率电器使用时间尽量安排在谷时。
23．（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
1 / 1广东省梅州市兴宁市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　）
A．（﹣2，6） B．（1，3） C．（1，6） D．（﹣5，3）
4．分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知两个实数a，b，他们在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（　　）
A．不改变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
8．如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（　　）
A．点P B．点 C．点Q D．点R
9．如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．化简：=　 　．
12．如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是　 　°．
13．已知，，则的值为　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为　 　cm.
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝　 　．
三、解答题（共75）
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，在中，，．
（1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求的度数．
18．如图，在内，点P是射线上一点，点C、D分别在、上，给出下列三个信息，①是的平分线；②，；③．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题．
（1）条件______，结论______．（填序号）
（2）请对（1）所写的命题加以证明．
19．阅读材料：
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
类比应用：
（1）因式分解：；
（2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
20．如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形．
21．人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍．
（1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少
（2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动．
素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间．
素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式：
分时电表 普通电表
峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度
电价0.6元/度 电价0.4元/度
素材三：
小明家 4月 5月 6月 备注
时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价
用电量（度） 250 50 250 100 320 100
小红家 4月 5月 6月 备注
用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价
任务一：
（1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元；
（2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元．
任务二：
（1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式；
（2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样．
任务三：
根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费．
23．（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形沿某条直线折叠后两边能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后与原图形重合，逐一分析各选项图形的对称特征，即可选出同时满足两种对称性的选项。
2．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得：属于分式.
故答案为：C.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3，
所以点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3），
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质求点的坐标即可作答。
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，，
∴
故答案为：B．
【分析】
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、原式不是多项式，因而不是因式分解，故A不符合题意；
B、，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C、，是因式分解，故C符合题意；
D、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；逐一判断即可求解.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知，，
A、∵，
∴
故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故本项不符合题意；
D、∵，
∴，
故本项符合题意．
故选：D．
【分析】本题结合数轴与不等式的基本性质考查，先由数轴得出的大小关系，再根据不等式两边加减、乘正数的性质，逐一验证各选项不等式是否成立。
7．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：同事扩大2倍得，
所以浓度不变．
故选：A．
【分析】本题主要考查了分式的性质，分子分母同时除以一个非0的数，分式的值不变，从而可以得知前面的浓度不变．
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
∴的交点即为旋转中心；
故选C
【分析】本题考查旋转中心的确定方法，旋转的对应点到旋转中心的距离相等，连接两组对应点，两条线段的交点就是所求旋转中心。
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故答案为：C．
【分析】从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合，即可以直接判断本题的答案．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故答案为：C．
【分析】判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
11．【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查分式的约分，依据分式基本性质，约去分子分母的公因式，直接得到化简结果。
12．【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题可知，多边形为六边形，
故内角和．
故答案为：．
【分析】本题考查多边形内角和公式，先判断该多边形为六边形，再代入内角和公式（为边数）计算即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
当，时，原式．
故答案为：．
【分析】本题考查平方差公式的因式分解与代数式求值，先把因式分解为，再代入已知条件计算结果。
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，
∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴在Rt△ADO中，由勾股定理可知，（cm）．
故答案为：4．
【分析】先利用平行四边的性质可得OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，再利用勾股定理求出AD的长即可.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】本题综合考查平行四边形、含角直角三角形的性质与勾股定理，先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点和垂直条件求出相关线段长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算。
16．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查线段垂直平分线的尺规作图，依据垂直平分线的基本作图方法完成作图即可；
(2)本题先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得，由等边对等角得，最后用角的和差求出。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）①②；③
（2）证明：∵是的平分线，，，∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）解：条件为①②，结论为③，证明如下：
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：①②，③．
【分析】(1)本题考查角平分线性质与全等三角形的应用，选择角平分线和垂直为条件，可推导出线段相等的结论；
(2)本题先由角平分线性质得，再用定理证明，从而得出。
（1）解：条件为①②，结论为③，证明如下：
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：①②，③．
（2）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：这个三角形为等腰三角形，理由：
∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是三角形的三边长
∴
∴
∴
∴
∴这个三角形为等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）根据材料中的信息，用“”分组，再提公因式即可求解；
（2）根据材料中的信息，用“”分组，根据完全平方公式分解各小组，再提公因式可得，根据三角形的三边关系可求解．
（1）解：原式
．
（2）解：这个三角形为等腰三角形，理由：
∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是三角形的三边长
∴
∴
∴
∴
∴这个三角形为等腰三角形．
20．【答案】（1）解：设，
在中，，，
∴
∴，即，
解得，（舍去）
∴，，
∵是等边三角形，
∴。
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点F是线段AD的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形。
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）结合“含30°直角三角形的性质”，得出，然后根据勾股定理求出x的值之后即可求出，最后依据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出，，依据线段中点的定义得出；结合“含30°直角三角形的性质”得出，从而综合得出，然后角度求和并结合“同旁内角互补、两直线平行”得出，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论．
（1）解：设
在中，，，
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∵是等边三角形
∴
（2）∵是等边三角形
∴，
∵点F是线段AD的中点
∴
在中，，
∴
∴
∵
∴，即
∴四边形是平行四边形
21．【答案】（1）解：设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元；
（2）解：设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个，
由题意，得，解得：
答：最多购进型号分拣机器人个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，根据“用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型号分拣机器人个，则购进型号分拣机器人个，根据“快递公司每天至少要分拣万个包裹”列出不等式，解不等式即可求出答案.
（1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元；
（2）设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个，
由题意，得，解得：
答：最多购进型号分拣机器人个．
22．【答案】解：任务一：（1）170；232；（2）154；231；
任务二：（1）；
（2）当时，
解得：
∴当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样
任务三：当，解得：
∴的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可）
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务一：
（1），
（2），；
【分析】本题以家庭用电成本为背景，综合考查电费计算、一次函数解析式的建立以及一元一次不等式的实际应用。
任务一：根据素材三中用电量及计费标准，分别计算小明家（分时电表）和小红家（普通电表）各月电费；
任务二：（1）分时电表总价 y_1 = 0.6x + 0.4(a - x)，普通电表总价 y_2 = 0.5a；
（2）令 解方程求临界值；任务三分析的条件，即 0.6x + 0.4(a - x) < 0.5a，化简得 x < 0.5a，即峰时用电量小于总电量的一半时更省钱，建议家庭将大功率电器使用时间尽量安排在谷时。
23．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
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