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广东省湛江市徐闻县2024~2025学年下学期期末教学调研测试八年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式 有意义，x必须满足（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
2．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点是对角线、的交点，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，， B．3，4，6 C．5，9， D．7，，
5．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A． B．－2 C． D．2
6．下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
7．一次函数的图像不经过的象限是：（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩(单位：分)分别是：7，8，8，9，8，8．对于这组数据，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是8 B．中位数是8 C．众数是8 D．方差是8
9．点和点在同一直线上，若，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．如图， 矩形中，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F． 则的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2.4
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．化简：　 　．
12．一组数据6，10，4，5，4的众数是　 　.
13．把直线向下平移1个单位，所得直线的函数解析式为　 　.
14．如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是　 　．
15．如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．如图，在 ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且∠1=∠2．求证：四边形AECF是平行四边形．
18．一次函数图象经过，两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）当时，求的值．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
20．某公司招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
　 笔试 面试 体能
甲
乙
丙
（1）已知甲、乙三项得分的平均分分别为分、分．请你计算丙三项得分的平均分，并从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，并按的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．
21．如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平分，且，，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、．、与之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速前的速度；
（2）求图中的与的值．
（3）慧慧出发几秒后行走在聪聪的前面？
23．如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1） ， （分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x-2≥0，解这个不等式可得x≥2
【分析】根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此可得.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B、，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据最简二次根式定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
但是和不一定相等，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分，因此、、均成立，平行四边形对角线不一定相等，故错误。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，1，，能构成直角三角形，本选项符合题意；
B、，3，4，6不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
C、，5，9，不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、，7，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理，判断三边能否构成直角三角形，只需验证两短边平方和等于最长边平方，计算得，满足逆定理条件。
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴把点（1，2）代入已知函数解析式，得k=2.
故答案为：D.
【分析】待定系数法求正比例函数的解析式，把点（1，2）直接代入解析式即可求出k值。
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限.这个一次函数的k=＜0与b=1＞0，因此不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题知，
A：平均数是，A不符合题意；
B：中位数是，B不符合题意；
C：众数是8，C不符合题意；
D：方差是，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据众数：出现最多次的数字，中位数：按大小顺序排列后中间的数字，平均数=和个数、方差=逐项分析判断即可．
9．【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
∴随的增大而减小，
∵
∴，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数增减性，一次函数中，随增大而减小，结合的条件，可直接判断。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠性质，得，
，
设，则，
在中，
则，
解得，
的长为，
，
．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．【答案】4
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据6，10，4，5，4，4出现次数最多，
这组数据的众数是：
故答案为：
【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，则答案为4.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后直线的函数解析式为，
故答案为：
【分析】平移向下平移，解析式常数项减1，则平移后解析式为
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，，与相交于点，
∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
15．【答案】3
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，
点 E 是的中点，的中点为 G．
，，
点 F 是上的动点，
当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，
，
，，
，
，
，
的最大值是．
【分析】连接，，根据三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题．
16．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简利用二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式得结果为。
17．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠EAF，
∵∠1=∠2，
∴∠EAF=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得AD∥BC，再结合AE∥CF，证出四边形AECF是平行四边形即可．
18．【答案】（1）解：依题意，得，解得∴一次函数的解析式为：
（2）当时，则，得．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，将两点坐标代入，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值；
（2）本题考查已知函数值求自变量，将代入解析式，解一元一次方程得到的值。
（1）解：依题意，得，解得
∴一次函数的解析式为：
（2）当时，则，得．
19．【答案】（1）解：由勾股定理得，米，∴米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，
由勾股定理得：
米，
∵米，
∴他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）本题考查勾股定理实际应用，在中用勾股定理求，加小明身高得；
（2）本题考查勾股定理实际运用，先算下降后长度，在中求，用得收线长度。
（1）解：由勾股定理得，米，
∴米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，
由勾股定理得：
米，
∵米，
∴他应该往回收线8米．
20．【答案】（1）解：，∵，（分），，
故，
∴从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲、丙、乙．
（2）解：∵该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，甲的面试成绩为分，∴甲淘汰；
乙的加权平均数为（分），
丙的加权平均数为（分），
∵，
∴乙将被录取．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）本题考查算术平均数计算，用丙三项得分总和除以3得平均分，比较三人平均分确定排名；
（2）本题考查加权平均数计算，先按分数门槛淘汰不符合者，再按6：3：1权重计算加权平均分，分数高者被录取。
（1）解：，
∵，（分），，
故，
∴从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲、丙、乙．
（2）解：∵该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，甲的面试成绩为分，
∴甲淘汰；
乙的加权平均数为（分），
丙的加权平均数为（分），
∵，
∴乙将被录取．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了，总共用了，∴提速前的速度为．
（2）解：∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，∴慧慧提速后的速度为，
由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为；
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴聪聪的速度为，
∴聪聪行走用的时间为，即．
（3）解：由图象可得，线段所在的直线经过，设直线的函数关系式为：，
将代入，得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：，
由图象可得，线段BC所在的直线经过，，
设直线的函数关系式为：，
将，，代入得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：；
∴当时，慧慧和聪聪行走的路程一样．
即，
解得：，
∴此时慧慧行走所用的时间为：，
即慧慧出发秒后行走在聪聪的前面．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）本题考查函数图象与速度计算，根据速度=路程÷时间，用慧慧提速前的路程除以时间得速度；
（2）本题考查一次函数与行程问题，先求慧慧提速后速度，算剩余路程时间得，再求聪聪速度，算走9m时间得；
（3）本题考查待定系数法与函数交点，求两人路程解析式并联立，得交点横坐标，减15s得答案。
（1）解：由图像可得，慧慧从走到了，总共用了，
∴提速前的速度为．
（2）解：∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为；
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴聪聪的速度为，
∴聪聪行走用的时间为，即．
（3）解：由图象可得，线段所在的直线经过，
设直线的函数关系式为：，
将代入，得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：，
由图象可得，线段BC所在的直线经过，，
设直线的函数关系式为：，
将，，代入得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：；
∴当时，慧慧和聪聪行走的路程一样．
即，
解得：，
∴此时慧慧行走所用的时间为：，
即慧慧出发秒后行走在聪聪的前面．
23．【答案】（1），
（2）解：设点A到距离为h，
∵四边形的面积是四边形面积的2倍，
∴，
解得；
（3）或或
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，
∴，，
∴，
故答案为：，
（3）若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当或或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求出答案.
（2）设点A到距离为h，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省湛江市徐闻县2024~2025学年下学期期末教学调研测试八年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式 有意义，x必须满足（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x-2≥0，解这个不等式可得x≥2
【分析】根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此可得.
2．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B、，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据最简二次根式定义逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，在中，点是对角线、的交点，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
但是和不一定相等，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分，因此、、均成立，平行四边形对角线不一定相等，故错误。
4．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，， B．3，4，6 C．5，9， D．7，，
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，1，，能构成直角三角形，本选项符合题意；
B、，3，4，6不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
C、，5，9，不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、，7，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理，判断三边能否构成直角三角形，只需验证两短边平方和等于最长边平方，计算得，满足逆定理条件。
5．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A． B．－2 C． D．2
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴把点（1，2）代入已知函数解析式，得k=2.
故答案为：D.
【分析】待定系数法求正比例函数的解析式，把点（1，2）直接代入解析式即可求出k值。
6．下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
7．一次函数的图像不经过的象限是：（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限.这个一次函数的k=＜0与b=1＞0，因此不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩(单位：分)分别是：7，8，8，9，8，8．对于这组数据，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是8 B．中位数是8 C．众数是8 D．方差是8
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题知，
A：平均数是，A不符合题意；
B：中位数是，B不符合题意；
C：众数是8，C不符合题意；
D：方差是，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据众数：出现最多次的数字，中位数：按大小顺序排列后中间的数字，平均数=和个数、方差=逐项分析判断即可．
9．点和点在同一直线上，若，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
∴随的增大而减小，
∵
∴，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数增减性，一次函数中，随增大而减小，结合的条件，可直接判断。
10．如图， 矩形中，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F． 则的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2.4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠性质，得，
，
设，则，
在中，
则，
解得，
的长为，
，
．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．化简：　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．一组数据6，10，4，5，4的众数是　 　.
【答案】4
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据6，10，4，5，4，4出现次数最多，
这组数据的众数是：
故答案为：
【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，则答案为4.
13．把直线向下平移1个单位，所得直线的函数解析式为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后直线的函数解析式为，
故答案为：
【分析】平移向下平移，解析式常数项减1，则平移后解析式为
14．如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，，与相交于点，
∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
15．如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是　 　．
【答案】3
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，
点 E 是的中点，的中点为 G．
，，
点 F 是上的动点，
当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，
，
，，
，
，
，
的最大值是．
【分析】连接，，根据三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简利用二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式得结果为。
17．如图，在 ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且∠1=∠2．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠EAF，
∵∠1=∠2，
∴∠EAF=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得AD∥BC，再结合AE∥CF，证出四边形AECF是平行四边形即可．
18．一次函数图象经过，两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：依题意，得，解得∴一次函数的解析式为：
（2）当时，则，得．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，将两点坐标代入，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值；
（2）本题考查已知函数值求自变量，将代入解析式，解一元一次方程得到的值。
（1）解：依题意，得，解得
∴一次函数的解析式为：
（2）当时，则，得．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：由勾股定理得，米，∴米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，
由勾股定理得：
米，
∵米，
∴他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）本题考查勾股定理实际应用，在中用勾股定理求，加小明身高得；
（2）本题考查勾股定理实际运用，先算下降后长度，在中求，用得收线长度。
（1）解：由勾股定理得，米，
∴米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，
由勾股定理得：
米，
∵米，
∴他应该往回收线8米．
20．某公司招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
　 笔试 面试 体能
甲
乙
丙
（1）已知甲、乙三项得分的平均分分别为分、分．请你计算丙三项得分的平均分，并从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，并按的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．
【答案】（1）解：，∵，（分），，
故，
∴从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲、丙、乙．
（2）解：∵该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，甲的面试成绩为分，∴甲淘汰；
乙的加权平均数为（分），
丙的加权平均数为（分），
∵，
∴乙将被录取．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）本题考查算术平均数计算，用丙三项得分总和除以3得平均分，比较三人平均分确定排名；
（2）本题考查加权平均数计算，先按分数门槛淘汰不符合者，再按6：3：1权重计算加权平均分，分数高者被录取。
（1）解：，
∵，（分），，
故，
∴从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲、丙、乙．
（2）解：∵该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分，分，分，甲的面试成绩为分，
∴甲淘汰；
乙的加权平均数为（分），
丙的加权平均数为（分），
∵，
∴乙将被录取．
21．如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平分，且，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据勾股定理即可求出答案.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、．、与之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速前的速度；
（2）求图中的与的值．
（3）慧慧出发几秒后行走在聪聪的前面？
【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了，总共用了，∴提速前的速度为．
（2）解：∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，∴慧慧提速后的速度为，
由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为；
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴聪聪的速度为，
∴聪聪行走用的时间为，即．
（3）解：由图象可得，线段所在的直线经过，设直线的函数关系式为：，
将代入，得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：，
由图象可得，线段BC所在的直线经过，，
设直线的函数关系式为：，
将，，代入得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：；
∴当时，慧慧和聪聪行走的路程一样．
即，
解得：，
∴此时慧慧行走所用的时间为：，
即慧慧出发秒后行走在聪聪的前面．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）本题考查函数图象与速度计算，根据速度=路程÷时间，用慧慧提速前的路程除以时间得速度；
（2）本题考查一次函数与行程问题，先求慧慧提速后速度，算剩余路程时间得，再求聪聪速度，算走9m时间得；
（3）本题考查待定系数法与函数交点，求两人路程解析式并联立，得交点横坐标，减15s得答案。
（1）解：由图像可得，慧慧从走到了，总共用了，
∴提速前的速度为．
（2）解：∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为；
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴聪聪的速度为，
∴聪聪行走用的时间为，即．
（3）解：由图象可得，线段所在的直线经过，
设直线的函数关系式为：，
将代入，得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：，
由图象可得，线段BC所在的直线经过，，
设直线的函数关系式为：，
将，，代入得，
解得：，
∴线段的函数关系式为：；
∴当时，慧慧和聪聪行走的路程一样．
即，
解得：，
∴此时慧慧行走所用的时间为：，
即慧慧出发秒后行走在聪聪的前面．
23．如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1） ， （分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值；
【答案】（1），
（2）解：设点A到距离为h，
∵四边形的面积是四边形面积的2倍，
∴，
解得；
（3）或或
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，
∴，，
∴，
故答案为：，
（3）若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）；
若四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当或或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求出答案.
（2）设点A到距离为h，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
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