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四川省资阳市资阳市雁江区五校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断得出答案.
2．某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B．0 C．6 D．6或
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为0，
故且，
解得x=6或者-6
∵x≠6
∴x=6
故答案选：A．
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．
根据且，再根据x≠6确定最后的答案。
4．如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案选：C．
【分析】根据矩形对角线互相平分且对角线相等，可得 OA=OB= AC=3；已知 AB=3，结合 OA=OB=3，可知 △AOB是等边三角形，因此 ∠AOB=60 ，∠AOB与 ∠AOD 互为邻补角（在同一直线 BD 上），因此∠AOD=180 ∠AOB=120
5．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：秒） 52 m 53 49
方差（单位：秒） n
根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：对比四个选项的平均数可得：，平均数越小，成绩越好，因此；
对比四个选项的方差可得：，方差越小，发挥越稳定，因此；
故则m，n的值可以是，；
故选：D．
【分析】短道速滑是计时项目，用时越短，成绩越好，所以乙的平均数 m 必须是四人中最小的。已知其他三人的平均成绩：甲 52、丙 53、丁 49，因此乙的平均数 m 必须满足 m<49；
方差代表数据的波动程度，方差越小，成绩越稳定，所以乙的方差 n 必须是四人中最小的。已知其他三人的方差：甲 12.5、丙 5.5、丁 17.5，因此乙的方差 n 必须满足 n<5.5。
6．如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在矩形中，，，且，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】先根据矩形性质结合勾股定理算出对角线长度，同时算出OA、OD长度，连接 OP，把 △AOD 拆成 △AOP 和 △DOP，并据此列出方程解方程。
7．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3，动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，
∴BC=AD=2，AB=DC=5，
∵AE=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
①点P在BE上时，，
∴y=x（0＜x≤2），
②点P在BC上时，
S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP
，
；
③点P在DC上时，△DPE的面积，
故答案为：C．
【分析】 本题考查了动点问题的函数图象， 根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：①当点P在上运动时，可得；②当点P在上运动时，可得；③当点P在上运动时，可得．进而对照选项即可判断．
8．如图，在中，、的平分线分别与相交于点E、F，相交于点G．若，，，则（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；等腰梯形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点E作，交的延长线于点P，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】平行四边形里，AD∥BC，角平分线会造出等腰三角形，所以 AE=AB=5、DF=CD=5，AE+DF AD=1，所以 EF=1；平行四边形邻角互补，角平分线平分后，和为 90°，所以 BE⊥CF；
过 E 作 EP∥CF，得到平行四边形 EFPC，所以 EP=CF=6、BP=10，在 Rt△BEP 里，用勾股定理算出 BE=8。
9．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
∵直线轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上，
∴当，，
即A点坐标为，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴当，，
即B点坐标为，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长；因为 C 在 x 轴上，AB 是水平线，所以三角形 ABC 的高，就是 AB 这条线到 x 轴的距离，也就是 P 点的 y 坐标 b。并将上述数据代入三角形面积公式算出面积。
10．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解：①∵BO=DO，
∴△OBD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB=ED，
∴OE平分∠BOD，
故结论①正确；
②∵△OBD是等腰三角形，EB=ED，
∴OE⊥BD，
在Rt△DEF中，∠ADB+∠DFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠OAF=90°，
在Rt△OAF中，∠AFO+∠AOF=90°，
又∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AOF=∠ADB，
∵∠OAF=90°，∠BOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AO=AD，∠ADO=∠BOD=45°，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF=BD，
故结论②正确；
③过F作FH⊥OD，垂足为H，
∵平分，DA⊥OB
∴FH=AF
∵，DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=，即；故③正确；
④由②得∠EDF=∠AOF，
∵G为OF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD，OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE， ∠EDF=∠AOF，AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF，∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°，即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
故答案为：A．
【分析】 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．
①根据BO=DO得△OBD是等腰三角形，根据矩形性质得EB=ED，进而得OE平分∠BOD，由此可对结论①进行判断；
②根据△OBD是等腰三角形得OE⊥BD，利用直角三角形的两个锐角互余及对顶角相等得∠AOF=∠ADB，证明△AOD是等腰直角三角形得AO=AD，由此依据“ASA”判定△AOF和△ABD全等得OF=BD，由此可对结论②进行判断；
③过点F作FH⊥OD于点H，证明OE平分∠BOD得HF=AF，证明△FHD是等腰直角三角形得HF=DH，进而由勾股定理得DF=√2FH，由此可对结论③进行判断；
④连接AG，然后证明△OGA≌△ADE，最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．在函数y= + 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2且x≠3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．数据2，4，6，x，3，9的众数为3，则这组数据的中位数为　 　.
【答案】3.5
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据2，4，6，x，3，9的众数为3，
∴x＝3，
则这组数据为2、3、3、4、6、9，
所以这组数据的中位数为 ＝3.5，
故答案为：3.5.
【分析】根据数据的众数为3，可知，x只能是3.把这组数据从小到大排序后，可知中间两个数是3和4，所以中位数是3.5.
13．如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为　 　度．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知∠AEB = 70°，而∠AEB 和∠DEB 是邻补角（和为 180°），∠DEB=110 ；根据折叠的性质，折痕 EF 平分∠DEB，∠DEF= ∠DEB；在长方形 ABCD 中，AD∥BC，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得：∠DEF+∠EFC=180 代入∠DEF = 55°∠EFC=125 ，折叠后∠EFC' 与∠EFC 是对应角，大小相等，因此，∠EFC'=∠EFC=125
14．关于x的方程的解不小于1，则 m 的取值范围为　 　．
【答案】m≤-5或m≠-9
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
解得：，
由分式方程解不小于1，得到，且，
解得：且 ，
故答案为：且 ．
【分析】根据题意先求出，再求出且 ，即可作答。
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把平行四边形与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设平行四边形与正方形的中心为点，则直线就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．
∵点C的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴，
∴点N的坐标为．
由平行四边形的对边相等知，
，
∵点A的纵坐标为1，
∴点B的纵坐标为3．
点B的坐标为，
因此点M的坐标为．
设直线l的解析式为，
将、代入l的解析式得：
．
解得．
∴直线l的解析式为．
故答案为：．
【分析】 已知 C (0，2)，正方形边长为 2，所以 D 点坐标 (-2，0)；依据中点坐标公式算出CD中点，记这个点为 N( 1，1)。平行四边形的对称中心是对角线的中点，因为 OABC 是平行四边形，所以 BC∥OA，且 BC=OA；OA 的坐标变化是从 O (0，0) 到 A (2，1)，即向右 2、向上 1；
而 B 点就是 C 向右 2、向上 1，对角线 OB 的中点，就是平行四边形的对称中心，记这个点为 M(1， )，将N、M两点坐标代入y=kx+b，列方程组求解。
16．如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则　 　．
【答案】．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，则，，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
，
∵，，
∴，
，
∴，
故答案为．
【分析】 本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，设，则，， 根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可．
三、解答题（本小题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
，
，，
即，
当时，原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）负整数指数幂：= （a≠0，p是正整数）；零指数幂a0=1（a≠0）；绝对值化简： 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；=a，立方根的符号和被开方数一致；
（2）分式的混合运算： 先算括号内（通分），再算除法（除法变乘法），最后约分 ；因式分解：平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)、完全平方公式a2+2a+1=(a+1)2；选值要根据分母不为零选择合适的值代入。
18．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
【答案】解：（1）1.45kg， 1.5kg；
（2）＝＝1.45（kg），
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；
（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg，
故答案为：1.45kg，1.5kg．．
【分析】（1）众数：哪个重量的鱼最多，哪个就是众数。看统计图，1.5kg 的鱼有 6 条，是所有里面数量最多的，所以众数就是1.5kg。
中位数：先对20条鱼进行排序，中位数就是第 10 条和第 11 条鱼重量的平均数。
（2） 本题的就是 每个重量乘上它对应的条数，加起来再除以总条数 20；
（3）先算活鱼数量，再算这些活鱼的总重量，然后按照总价=单价数量计算总价格。
19．如图，矩形的对角线，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：由图可知：S四边形 ACED
．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出可证四边形是菱形；
（2）根据四边形的面积求解即可．
20．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘．
【答案】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示：
则四边形均为平行四边形，
，
，则即为所求
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】
构造四个平行四边形，每个小平行四边形，都刚好包含了原来的一个小三角形，而且这个三角形的面积是小平行四边形的一半。比如△AOB 的面积是平行四边形 AOBB' 的一半，同理，其他三个小三角形也都是对应平行四边形的一半。所以，原来四个小三角形的总面积，就等于大平行四边形 A'B'C'D' 面积的一半。
21．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】解：（1）由题意得：∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；
当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A'，直线A'B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA'≤A'B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】 本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．（1）根据的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点、的坐标，求出、的值；
（2）根据图象直接写出的解集即可；
（3）求出点关于轴的对称点，根据题意直线与轴的交点即为所求的点P，求出直线的关系式，进而求出与轴的交点坐标即可．
22．某商店准备购进两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】解：（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，由题意得：
，
解得：，
∵为正整数，
∴14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售两种商品共获利元，由题意得：
，
①当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件的进价为（x-20）元，根用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列出方程，求解检验即可；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，列出不等式组即可
（3） 设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润=每件A种商品的销售利润×A种商品的销售数量+每件B种商品的销售利润×B种商品的销售数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题 ．
23．如图，中，一动点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，在（1）问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点F，连结，若，到的距离为，求的面积．
（3）如图3，另一动点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
（2）解：四边形是平行四边形，，到的距离为，
，，，
，
，
，
（3）解：，，
，
点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为，
点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，
则点Q在边上往返运动次，
当时，四边形是平行四边形，
，
或或或，
解得：（舍去）或或8或，
为4.8或8或9.6时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，内错角相等，所以 ∠DPC = ∠PCB。又因为 CP 平分∠BCD，所以 ∠PCD = ∠PCB。这就得到了 ∠DPC = ∠PCD，在△PDC 里，等角对等边，所以 DP = DC。结合 CD = CP，△PDC 是等边三角形，所以 ∠D = 60°；平行四边形性质求∠ABC平行四边形的对角相等，所以 ∠ABC = ∠D，因此 ∠ABC = 60°。
（2）根据平行四边形性质得到，，，可以推导出 △ABP 和△FDP 全等，P 是 BF 的中点。；△PBC 和△FAB 的面积相等（同底等高），所以△APF 和△PCD 的面积就相等了。
（3）根据运动情形得到点A到点D运动时间，以及点Q在边上往返运动次，结合平行四边形判定定理，得到当时，四边形是平行四边形，根据分情况建立方程求解。
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，，到的距离为，
，，，
，
，
，
．
（3）解：，，
，
点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为，
点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，
则点Q在边上往返运动次，
当时，四边形是平行四边形，
，
或或或，
解得：（舍去）或或8或，
为4.8或8或9.6时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC.
(1)求顶点B的坐标.
(2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O'为点 O 关于直线L的对称点，联 结 CO'，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式；
(3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P坐标；若不能，说明理由.
【答案】解：(1)∵A(4，0)，AB∥OC，
∴设点B的坐标为(4，y)
把x=4代入中，得y=2，
∴B(4，2)；
(2)如图，过C点作CN⊥AB于N，
∵AB∥OC，
∴∠OCM=∠DMC，
∵点 O'为点 O 关于直线L的对称点
∴∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴DN=，
∴NM=5 3=2，
∴AM=AN-NM=3-2=1
∴M(4，1)，
设直线L解析式y=kx+b把C(0，3)，M(4，1)代入得：
，
解得，
∴直线L的解析式为：.
（3）如图，连接OD，
∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A点坐标为（4，0）
∴D点坐标为（4，6）
设OD直线解析式为，将（4，6）代入可得，解得
∴直线OD解析式为，
∵点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动
∴设P点坐标为（），Q点坐标为（），
分情况讨论：
如图1所示，当BC、PQ为对角线时，
由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得：
，
解得，
当时，
∴P点坐标为（2，2）；
如图2所示，当BQ、PC为对角线时，
同理可得：，
解得，
当时，
∴P点坐标为（5，）；
如图3所示，当BP、CQ为对角线时，
同理可得：，
解得，
当时，
∴P点坐标为（-2，4）；
综上所述，P点坐标为：（2，2）或（5，）或（-2，4）.
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；加减消元法解二元一次方程组；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】 （1）设点的坐标为，把代入中得，即可求出点的坐标；
（2）过点作于，求出，设解析式，把，代入并求解，可得解析式
（3）连接OD，先求出OD直线解析式，根据点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，可设P点坐标为（），Q点坐标为（），在分类讨论，利用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可建立方程求解.
1 / 1四川省资阳市资阳市雁江区五校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B．0 C．6 D．6或
4．如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：秒） 52 m 53 49
方差（单位：秒） n
根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3，动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，、的平分线分别与相交于点E、F，相交于点G．若，，，则（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
9．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．在函数y= + 中，自变量x的取值范围是　 　．
12．数据2，4，6，x，3，9的众数为3，则这组数据的中位数为　 　.
13．如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为　 　度．
14．关于x的方程的解不小于1，则 m 的取值范围为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把平行四边形与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是　 　．
16．如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则　 　．
三、解答题（本小题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
18．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
19．如图，矩形的对角线，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求四边形的面积．
20．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘．
21．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
22．某商店准备购进两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
23．如图，中，一动点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，在（1）问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点F，连结，若，到的距离为，求的面积．
（3）如图3，另一动点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC.
(1)求顶点B的坐标.
(2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O'为点 O 关于直线L的对称点，联 结 CO'，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式；
(3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P坐标；若不能，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为0，
故且，
解得x=6或者-6
∵x≠6
∴x=6
故答案选：A．
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．
根据且，再根据x≠6确定最后的答案。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案选：C．
【分析】根据矩形对角线互相平分且对角线相等，可得 OA=OB= AC=3；已知 AB=3，结合 OA=OB=3，可知 △AOB是等边三角形，因此 ∠AOB=60 ，∠AOB与 ∠AOD 互为邻补角（在同一直线 BD 上），因此∠AOD=180 ∠AOB=120
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：对比四个选项的平均数可得：，平均数越小，成绩越好，因此；
对比四个选项的方差可得：，方差越小，发挥越稳定，因此；
故则m，n的值可以是，；
故选：D．
【分析】短道速滑是计时项目，用时越短，成绩越好，所以乙的平均数 m 必须是四人中最小的。已知其他三人的平均成绩：甲 52、丙 53、丁 49，因此乙的平均数 m 必须满足 m<49；
方差代表数据的波动程度，方差越小，成绩越稳定，所以乙的方差 n 必须是四人中最小的。已知其他三人的方差：甲 12.5、丙 5.5、丁 17.5，因此乙的方差 n 必须满足 n<5.5。
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在矩形中，，，且，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】先根据矩形性质结合勾股定理算出对角线长度，同时算出OA、OD长度，连接 OP，把 △AOD 拆成 △AOP 和 △DOP，并据此列出方程解方程。
7．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，
∴BC=AD=2，AB=DC=5，
∵AE=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
①点P在BE上时，，
∴y=x（0＜x≤2），
②点P在BC上时，
S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP
，
；
③点P在DC上时，△DPE的面积，
故答案为：C．
【分析】 本题考查了动点问题的函数图象， 根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：①当点P在上运动时，可得；②当点P在上运动时，可得；③当点P在上运动时，可得．进而对照选项即可判断．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；等腰梯形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点E作，交的延长线于点P，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】平行四边形里，AD∥BC，角平分线会造出等腰三角形，所以 AE=AB=5、DF=CD=5，AE+DF AD=1，所以 EF=1；平行四边形邻角互补，角平分线平分后，和为 90°，所以 BE⊥CF；
过 E 作 EP∥CF，得到平行四边形 EFPC，所以 EP=CF=6、BP=10，在 Rt△BEP 里，用勾股定理算出 BE=8。
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
∵直线轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上，
∴当，，
即A点坐标为，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴当，，
即B点坐标为，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长；因为 C 在 x 轴上，AB 是水平线，所以三角形 ABC 的高，就是 AB 这条线到 x 轴的距离，也就是 P 点的 y 坐标 b。并将上述数据代入三角形面积公式算出面积。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解：①∵BO=DO，
∴△OBD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB=ED，
∴OE平分∠BOD，
故结论①正确；
②∵△OBD是等腰三角形，EB=ED，
∴OE⊥BD，
在Rt△DEF中，∠ADB+∠DFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠OAF=90°，
在Rt△OAF中，∠AFO+∠AOF=90°，
又∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AOF=∠ADB，
∵∠OAF=90°，∠BOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AO=AD，∠ADO=∠BOD=45°，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF=BD，
故结论②正确；
③过F作FH⊥OD，垂足为H，
∵平分，DA⊥OB
∴FH=AF
∵，DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=，即；故③正确；
④由②得∠EDF=∠AOF，
∵G为OF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD，OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE， ∠EDF=∠AOF，AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF，∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°，即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
故答案为：A．
【分析】 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．
①根据BO=DO得△OBD是等腰三角形，根据矩形性质得EB=ED，进而得OE平分∠BOD，由此可对结论①进行判断；
②根据△OBD是等腰三角形得OE⊥BD，利用直角三角形的两个锐角互余及对顶角相等得∠AOF=∠ADB，证明△AOD是等腰直角三角形得AO=AD，由此依据“ASA”判定△AOF和△ABD全等得OF=BD，由此可对结论②进行判断；
③过点F作FH⊥OD于点H，证明OE平分∠BOD得HF=AF，证明△FHD是等腰直角三角形得HF=DH，进而由勾股定理得DF=√2FH，由此可对结论③进行判断；
④连接AG，然后证明△OGA≌△ADE，最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断．
11．【答案】x≥2且x≠3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】3.5
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据2，4，6，x，3，9的众数为3，
∴x＝3，
则这组数据为2、3、3、4、6、9，
所以这组数据的中位数为 ＝3.5，
故答案为：3.5.
【分析】根据数据的众数为3，可知，x只能是3.把这组数据从小到大排序后，可知中间两个数是3和4，所以中位数是3.5.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知∠AEB = 70°，而∠AEB 和∠DEB 是邻补角（和为 180°），∠DEB=110 ；根据折叠的性质，折痕 EF 平分∠DEB，∠DEF= ∠DEB；在长方形 ABCD 中，AD∥BC，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得：∠DEF+∠EFC=180 代入∠DEF = 55°∠EFC=125 ，折叠后∠EFC' 与∠EFC 是对应角，大小相等，因此，∠EFC'=∠EFC=125
14．【答案】m≤-5或m≠-9
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
解得：，
由分式方程解不小于1，得到，且，
解得：且 ，
故答案为：且 ．
【分析】根据题意先求出，再求出且 ，即可作答。
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设平行四边形与正方形的中心为点，则直线就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．
∵点C的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴，
∴点N的坐标为．
由平行四边形的对边相等知，
，
∵点A的纵坐标为1，
∴点B的纵坐标为3．
点B的坐标为，
因此点M的坐标为．
设直线l的解析式为，
将、代入l的解析式得：
．
解得．
∴直线l的解析式为．
故答案为：．
【分析】 已知 C (0，2)，正方形边长为 2，所以 D 点坐标 (-2，0)；依据中点坐标公式算出CD中点，记这个点为 N( 1，1)。平行四边形的对称中心是对角线的中点，因为 OABC 是平行四边形，所以 BC∥OA，且 BC=OA；OA 的坐标变化是从 O (0，0) 到 A (2，1)，即向右 2、向上 1；
而 B 点就是 C 向右 2、向上 1，对角线 OB 的中点，就是平行四边形的对称中心，记这个点为 M(1， )，将N、M两点坐标代入y=kx+b，列方程组求解。
16．【答案】．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，则，，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
，
∵，，
∴，
，
∴，
故答案为．
【分析】 本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，设，则，， 根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可．
17．【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
，
，，
即，
当时，原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）负整数指数幂：= （a≠0，p是正整数）；零指数幂a0=1（a≠0）；绝对值化简： 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；=a，立方根的符号和被开方数一致；
（2）分式的混合运算： 先算括号内（通分），再算除法（除法变乘法），最后约分 ；因式分解：平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)、完全平方公式a2+2a+1=(a+1)2；选值要根据分母不为零选择合适的值代入。
18．【答案】解：（1）1.45kg， 1.5kg；
（2）＝＝1.45（kg），
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；
（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg，
故答案为：1.45kg，1.5kg．．
【分析】（1）众数：哪个重量的鱼最多，哪个就是众数。看统计图，1.5kg 的鱼有 6 条，是所有里面数量最多的，所以众数就是1.5kg。
中位数：先对20条鱼进行排序，中位数就是第 10 条和第 11 条鱼重量的平均数。
（2） 本题的就是 每个重量乘上它对应的条数，加起来再除以总条数 20；
（3）先算活鱼数量，再算这些活鱼的总重量，然后按照总价=单价数量计算总价格。
19．【答案】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：由图可知：S四边形 ACED
．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出可证四边形是菱形；
（2）根据四边形的面积求解即可．
20．【答案】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示：
则四边形均为平行四边形，
，
，则即为所求
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】
构造四个平行四边形，每个小平行四边形，都刚好包含了原来的一个小三角形，而且这个三角形的面积是小平行四边形的一半。比如△AOB 的面积是平行四边形 AOBB' 的一半，同理，其他三个小三角形也都是对应平行四边形的一半。所以，原来四个小三角形的总面积，就等于大平行四边形 A'B'C'D' 面积的一半。
21．【答案】解：（1）由题意得：∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；
当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A'，直线A'B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA'≤A'B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】 本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．（1）根据的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点、的坐标，求出、的值；
（2）根据图象直接写出的解集即可；
（3）求出点关于轴的对称点，根据题意直线与轴的交点即为所求的点P，求出直线的关系式，进而求出与轴的交点坐标即可．
22．【答案】解：（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，由题意得：
，
解得：，
∵为正整数，
∴14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售两种商品共获利元，由题意得：
，
①当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件的进价为（x-20）元，根用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列出方程，求解检验即可；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，列出不等式组即可
（3） 设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润=每件A种商品的销售利润×A种商品的销售数量+每件B种商品的销售利润×B种商品的销售数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题 ．
23．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
（2）解：四边形是平行四边形，，到的距离为，
，，，
，
，
，
（3）解：，，
，
点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为，
点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，
则点Q在边上往返运动次，
当时，四边形是平行四边形，
，
或或或，
解得：（舍去）或或8或，
为4.8或8或9.6时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，内错角相等，所以 ∠DPC = ∠PCB。又因为 CP 平分∠BCD，所以 ∠PCD = ∠PCB。这就得到了 ∠DPC = ∠PCD，在△PDC 里，等角对等边，所以 DP = DC。结合 CD = CP，△PDC 是等边三角形，所以 ∠D = 60°；平行四边形性质求∠ABC平行四边形的对角相等，所以 ∠ABC = ∠D，因此 ∠ABC = 60°。
（2）根据平行四边形性质得到，，，可以推导出 △ABP 和△FDP 全等，P 是 BF 的中点。；△PBC 和△FAB 的面积相等（同底等高），所以△APF 和△PCD 的面积就相等了。
（3）根据运动情形得到点A到点D运动时间，以及点Q在边上往返运动次，结合平行四边形判定定理，得到当时，四边形是平行四边形，根据分情况建立方程求解。
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，，到的距离为，
，，，
，
，
，
．
（3）解：，，
，
点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为，
点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，
则点Q在边上往返运动次，
当时，四边形是平行四边形，
，
或或或，
解得：（舍去）或或8或，
为4.8或8或9.6时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
24．【答案】解：(1)∵A(4，0)，AB∥OC，
∴设点B的坐标为(4，y)
把x=4代入中，得y=2，
∴B(4，2)；
(2)如图，过C点作CN⊥AB于N，
∵AB∥OC，
∴∠OCM=∠DMC，
∵点 O'为点 O 关于直线L的对称点
∴∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴DN=，
∴NM=5 3=2，
∴AM=AN-NM=3-2=1
∴M(4，1)，
设直线L解析式y=kx+b把C(0，3)，M(4，1)代入得：
，
解得，
∴直线L的解析式为：.
（3）如图，连接OD，
∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A点坐标为（4，0）
∴D点坐标为（4，6）
设OD直线解析式为，将（4，6）代入可得，解得
∴直线OD解析式为，
∵点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动
∴设P点坐标为（），Q点坐标为（），
分情况讨论：
如图1所示，当BC、PQ为对角线时，
由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得：
，
解得，
当时，
∴P点坐标为（2，2）；
如图2所示，当BQ、PC为对角线时，
同理可得：，
解得，
当时，
∴P点坐标为（5，）；
如图3所示，当BP、CQ为对角线时，
同理可得：，
解得，
当时，
∴P点坐标为（-2，4）；
综上所述，P点坐标为：（2，2）或（5，）或（-2，4）.
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；加减消元法解二元一次方程组；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】 （1）设点的坐标为，把代入中得，即可求出点的坐标；
（2）过点作于，求出，设解析式，把，代入并求解，可得解析式
（3）连接OD，先求出OD直线解析式，根据点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，可设P点坐标为（），Q点坐标为（），在分类讨论，利用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可建立方程求解.
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