资源简介

广东省河源市紫金县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件
B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨
4．小华准备从地去往地，打开导航，测距显示两地相距，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知a，b，c，d四条直线，下列不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
8．已知变量，的一些对应值如表：
… …
… …
根据表格中的数据规律，当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．半圆的面积公式中，常量是　 　．
12．2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为　 　．
13．为了解某校七年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了100名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表：
组别/个
人数 5 15 20 60
根据体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现该校七年级学生共有800人，估计该校七年级学生1分钟跳绳成绩满分的人数为　 　．
14．如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=　 　°．
15．如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．在中，，，若是等腰三角形，求的长．
18．如图，在中，，．
（1）利用尺规作图法作的垂直平分线分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式：
化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）．
（1）多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________；
（2）先化简，再求值：，其中，．
20．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由．
21．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
如图2，小明将支架平面镜放置在水平桌面上，是镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，反射光束射到天花板上．
（1）若激光笔与水平线夹角为发出入射光束，入射光束与反射光束的夹角为，则镜面的调节角________；
（2）若，激光笔与水平天花板（直线）的夹角，求反射光束与天花板所形成的角的度数．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多的数学问题．
（1）若，，求的值；
（2）已知实数a，b满足，，求的值；
（3）如图，已知正方形，的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为________；
（4）如果，那么．以上说法正确吗？请说明理由．
23．【问题背景】
“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分，，试说明：．
【综合研究】
（2）如图2，在中，点E为的中点，过点E作交于点F，有一点G在线段上，连接，得等腰直角三角形，若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形 ，故该选项符合题意；
． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
与不是同类项，无法合并，故D错误.
故选：B
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【分析】解：、骰子最大点数为，出现点是不可能事件，原选项说法错误；
、概率表示平均中奖次数趋近于次，但实际抽奖次可能不中奖或中奖次数不同，原选项说法错误；
、根据大数定律，大量重复试验中事件发生的频率逐渐接近其概率，原选项说法正确；
、下雨概率指可能性而非时间占比，原选项说法错误；
故选：．
【解答】根据事件的分类，概率的意义，频率估计概率逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：由测距显示两地相距，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短，
故选：．
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】
选项A，折叠后BE=CE，BD=DC， DE是BC边的垂直平分线，故选项A错误。
选项B，折叠后AD=CD，AE=EC， DE是AC边的垂直平分线，故选项B错误。
选项C，折叠后AB=AE，BD=DE， ∠BAD=∠CAD， AD是∠BAC的平分线，故选项C错误。
选项D，折叠后AB=AE，BD=DE， AD是BC边的高，故选项D正确。
故选：D．
【分析】
本题考查了三角形的角平分线（ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线 ）、垂直平分线（经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)）、中线（在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线）、高（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，）的定义及折叠（ 折叠是指将一个平面图形沿着某条直线（称为折痕或对称轴）进行对折，使得图形的两部分完全重合的操作 ）的性质。据此可以解答。
6．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，与是同位角，
∴，故A选项不符合题意，
∵，与是内错角，
∴，故B选项不符合题意，
不能判断，故C选项符合题意，
如图所示：
∵，，
∴，
∵与是同旁内角，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设与交于点，
∵为，中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，
故选：．
【分析】连接，设与交于点，根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据表格数据，当时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
时，，
由此可得与的关系式为，
当时，，
故选：．
【分析】根据表格信息，总结规律即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∴，
设到距离为，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知，的最小值是，
故选：．
【分析】根据三角形中线性质可得，则，设到距离为，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解；半圆的面积公式中，常量是，
故答案为：．
【分析】根据常数的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．【答案】640
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计该校七年级学生1分钟跳绳成绩满分的人数为：（人），
故答案为：640．
【分析】根据800乘以跳绳满分的占比即可求出答案.
14．【答案】125
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=180°-（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．
【分析】根据角平分线判定定理可得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】40
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：沿翻折到的位置，
，
将沿翻折到的位置，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据角之间的关系，结合直线平行性质即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方，0指数幂即可求出答案.
17．【答案】解：根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
若，则，三边为5，5，2，满足，成立．
若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立．
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【分析】根据等腰三角形分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
∵，
∴.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
∵，
∴.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.
19．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
将代入上式得：．
故化简结果为，求值结果为．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴计算结果为．
故答案为：；；．
【分析】（1）提公因式将等号右边化简，根据对应项相等可得A，B，再根据整数的加减计算即可求出答案.
（2）根据平方差公式，完全平方公式去括号，合并同类项化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴计算结果为．
故答案为：；；．
（2）解：∵，
∴，
将代入上式得：．
故化简结果为，求值结果为．
20．【答案】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数．
理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．
其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．
由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大．
【知识点】可能性的大小；几何概率；游戏公平性
【解析】【分析】根据题意，结合概率的意义即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：如图，由题意可得：，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：15°
【分析】（1）由题意可得：，，，，则，根据角之间的关系，结合直线平行性质即可求出答案.
（2）由题意可得：，，，则，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：如图，由题意可得：，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：，，
，，
，即，
，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）
（4）解：说法正确，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴说法正确．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（3）解： ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【分析】（1）根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.
（2）根据完全平方公式将等号左边展开，两式相加减可得，，则，，再根据完全平方公式将代数式化简，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得，化简可得，根据完全平方公式即可求出答案.
（4）根据完全平方公式即可求出答案.
（1）解：，，
，，
，即，
，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解： ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
（4）解：说法正确，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴说法正确．
23．【答案】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示：
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，首先利用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得，由全等三角形的对应边相等得，由三角形外角性质得，进而得，由等角对等边得，由此结合线段和差即可得出结论；
（2）过点B作，交的延长线于点H，由直角三角形两锐角互余、平角及同角的余角相等推出∠HGB=∠FGC，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，，再利用“AAS”证，由全等三角形的对应边边相等得，，则，然后根据线段和差计算出HF、GF、CF，从而可得的值．
1 / 1广东省河源市紫金县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形 ，故该选项符合题意；
． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．下列各式计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
与不是同类项，无法合并，故D错误.
故选：B
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．下列说法正确的是（　　）
A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件
B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨
【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【分析】解：、骰子最大点数为，出现点是不可能事件，原选项说法错误；
、概率表示平均中奖次数趋近于次，但实际抽奖次可能不中奖或中奖次数不同，原选项说法错误；
、根据大数定律，大量重复试验中事件发生的频率逐渐接近其概率，原选项说法正确；
、下雨概率指可能性而非时间占比，原选项说法错误；
故选：．
【解答】根据事件的分类，概率的意义，频率估计概率逐项进行判断即可求出答案.
4．小华准备从地去往地，打开导航，测距显示两地相距，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：由测距显示两地相距，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短，
故选：．
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案.
5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】
选项A，折叠后BE=CE，BD=DC， DE是BC边的垂直平分线，故选项A错误。
选项B，折叠后AD=CD，AE=EC， DE是AC边的垂直平分线，故选项B错误。
选项C，折叠后AB=AE，BD=DE， ∠BAD=∠CAD， AD是∠BAC的平分线，故选项C错误。
选项D，折叠后AB=AE，BD=DE， AD是BC边的高，故选项D正确。
故选：D．
【分析】
本题考查了三角形的角平分线（ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线 ）、垂直平分线（经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)）、中线（在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线）、高（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，）的定义及折叠（ 折叠是指将一个平面图形沿着某条直线（称为折痕或对称轴）进行对折，使得图形的两部分完全重合的操作 ）的性质。据此可以解答。
6．如图，已知a，b，c，d四条直线，下列不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，与是同位角，
∴，故A选项不符合题意，
∵，与是内错角，
∴，故B选项不符合题意，
不能判断，故C选项符合题意，
如图所示：
∵，，
∴，
∵与是同旁内角，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设与交于点，
∵为，中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，
故选：．
【分析】连接，设与交于点，根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．已知变量，的一些对应值如表：
… …
… …
根据表格中的数据规律，当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据表格数据，当时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
时，，
由此可得与的关系式为，
当时，，
故选：．
【分析】根据表格信息，总结规律即可求出答案.
9．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
10．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∴，
设到距离为，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知，的最小值是，
故选：．
【分析】根据三角形中线性质可得，则，设到距离为，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．半圆的面积公式中，常量是　 　．
【答案】
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解；半圆的面积公式中，常量是，
故答案为：．
【分析】根据常数的定义即可求出答案.
12．2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．为了解某校七年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了100名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表：
组别/个
人数 5 15 20 60
根据体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现该校七年级学生共有800人，估计该校七年级学生1分钟跳绳成绩满分的人数为　 　．
【答案】640
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计该校七年级学生1分钟跳绳成绩满分的人数为：（人），
故答案为：640．
【分析】根据800乘以跳绳满分的占比即可求出答案.
14．如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=　 　°．
【答案】125
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=180°-（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．
【分析】根据角平分线判定定理可得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则　 　．
【答案】40
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：沿翻折到的位置，
，
将沿翻折到的位置，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据角之间的关系，结合直线平行性质即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方，0指数幂即可求出答案.
17．在中，，，若是等腰三角形，求的长．
【答案】解：根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
若，则，三边为5，5，2，满足，成立．
若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立．
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【分析】根据等腰三角形分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
18．如图，在中，，．
（1）利用尺规作图法作的垂直平分线分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
∵，
∴.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
∵，
∴.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式：
化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）．
（1）多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
将代入上式得：．
故化简结果为，求值结果为．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴计算结果为．
故答案为：；；．
【分析】（1）提公因式将等号右边化简，根据对应项相等可得A，B，再根据整数的加减计算即可求出答案.
（2）根据平方差公式，完全平方公式去括号，合并同类项化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴计算结果为．
故答案为：；；．
（2）解：∵，
∴，
将代入上式得：．
故化简结果为，求值结果为．
20．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由．
【答案】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数．
理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．
其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．
由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大．
【知识点】可能性的大小；几何概率；游戏公平性
【解析】【分析】根据题意，结合概率的意义即可求出答案.
21．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
如图2，小明将支架平面镜放置在水平桌面上，是镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，反射光束射到天花板上．
（1）若激光笔与水平线夹角为发出入射光束，入射光束与反射光束的夹角为，则镜面的调节角________；
（2）若，激光笔与水平天花板（直线）的夹角，求反射光束与天花板所形成的角的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：如图，由题意可得：，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：15°
【分析】（1）由题意可得：，，，，则，根据角之间的关系，结合直线平行性质即可求出答案.
（2）由题意可得：，，，则，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：如图，由题意可得：，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多的数学问题．
（1）若，，求的值；
（2）已知实数a，b满足，，求的值；
（3）如图，已知正方形，的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为________；
（4）如果，那么．以上说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，，
，，
，即，
，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）
（4）解：说法正确，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴说法正确．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（3）解： ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【分析】（1）根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.
（2）根据完全平方公式将等号左边展开，两式相加减可得，，则，，再根据完全平方公式将代数式化简，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得，化简可得，根据完全平方公式即可求出答案.
（4）根据完全平方公式即可求出答案.
（1）解：，，
，，
，即，
，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解： ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
（4）解：说法正确，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴说法正确．
23．【问题背景】
“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分，，试说明：．
【综合研究】
（2）如图2，在中，点E为的中点，过点E作交于点F，有一点G在线段上，连接，得等腰直角三角形，若，，求的值．
【答案】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示：
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，首先利用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得，由全等三角形的对应边相等得，由三角形外角性质得，进而得，由等角对等边得，由此结合线段和差即可得出结论；
（2）过点B作，交的延长线于点H，由直角三角形两锐角互余、平角及同角的余角相等推出∠HGB=∠FGC，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，，再利用“AAS”证，由全等三角形的对应边边相等得，，则，然后根据线段和差计算出HF、GF、CF，从而可得的值．
1 / 1

展开更多......

收起↑