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湖南省张家界市桑植县2025年中考二模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”可得绝对值等于一个正数的数有两个，这两个化为相反数，可求解.
2．如图，平分，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
故选．
【分析】
先由角平分线的定义可得 的度数，再利用角三角形外角的性质即可．
3．某地修高速公路，挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意，∵挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖
∴开工后每天挖
∴
故选：A
【分析】
设原计划每天挖，则开工后每天挖，再由提前4天完成了任务即可方程即可．
4．某口袋里现有个红球和若干个白球两种球除颜色外，其余完全相同，某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验次，其中有次是红球，估计白球个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵口袋里现有个红球和若干个白球，共试验次，其中有次是红球，
∴口袋内球的个数为：个，
∴白球个数为：20-12=8(个).
故答案为：A.
【分析】根据口袋里现有个红球和若干个白球，共试验次，其中有次是红球，可以计算出总球个数为，然后再减红球个数，即可得到白球个数.
5．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为，
∴投影三角形的面积为．
故选：B．
【分析】根据位似图形的性质得出相似比为，则面积比=位似比的平方=，即可得出投影三角形的面积．
6．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵a﹣b=2，
∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣4b=2(a+b)﹣4b=2a+2b﹣4b=2(a﹣b)=4.
故答案为：B.
【分析】原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值.
7．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接，
，
，
是上的一条弦，直径，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=2∠A=52°，由垂径定理得出，由等弧所对的圆心角相等得出，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
8．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】根据分式的除法运算 ：除以一个分式 = 乘它的倒数计算，再约分即可.
9．如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是扇形的内接矩形，
∴半径，
∴，
∴当点P在上移动时，的值保持不变，
故选：C．
【分析】四边形是扇形的内接矩形，根据矩形的对角线相等，可得半径，即可得长度不变．
10．如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（　　）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，
的坐标为，点的坐标为，
，，
在中，
由勾股定理，得，
将沿翻折得到，
，，，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
在中，
由勾股定理，得，
设，则，
在中，
由勾股定理，得，即，
解得，
，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，
即顶点的纵坐标为．
故选：D．
【分析】连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出， ，，进而求出，再利用勾股定理求出， 即可．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知，用含x的代数式表示y，则　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项得，，
系数化为1得，
故答案为：．
【分析】把看成已知数，根据移项、系数化为1即可求解．
12．已知，，则　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：，
．
故答案为： ．
【分析】
度分秒的换算，先利用可把化成，再比较大小即可．
13．若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
14．已知，则的值　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用；有理数的乘法法则；偶次方的非负性
【解析】【解答】∵a2+b2+2a-6b+10=0，
∴a2+2a+1+b2-6b+9=0，
∴（a+1）2+（b-3）2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴ab=-1×3=-3，
故答案为：-3．
【分析】
若两个非负数的和为0则每一个非负数都等于0，可利用完全平方公式进行配方，再分别求出a，b的值即可．
15．抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛掷一次骰子共有6种等可能的结果，分别为：1、2、3、4、5、6，
其中“掷得的数字是3的倍数”的只有2种，
．
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率计算公式求解即可．
16．一组单项式：，按此规律排列下去，第2024个单项式为　 　．
【答案】
【知识点】单项式的概念；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：根据数值的变化规律可得：
第1个单项式a的指数为1，系数为，
第2个单项式a的指数为2，系数为，
第3个单项式a的指数为3，系数为，
第4个单项式数a的指数为4，系数为，
…，
所以这列单项式中的第n个单项式中a的指数为n，系数为，
所以这列数中的第n个数为．
∴第2024个单项式为
故答案为：．
【分析】
观察单项式可发现系数的绝对值是从1开始的连续自然数，又符号变化特征是正负交替出现，则可利用来表示符号，字母的指数直接利用n表示，则其通式为．
17．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】解：当时，∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解题的关键是分或两种情况，根据两个三角形两边成比例且夹角相等，得或，求解即可．
18．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为　 　度．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点和点在直线的同旁，
∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得对应角相等，对应边相等，得，，进而可得．易得为等腰三角形，那么可得．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：
【答案】原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据(a+b)(a b)=a2 b2和运算法则进行计算即可．
20．如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的对边平行且相等得出，由矩形的对角线相等得出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDB是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出AE=BD，从而根据等式的传递性可得结论.
21．如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，．
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：
（2）解：

【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）先由垂径定理得到，再由圆周角定理结合直角三角形两锐角互余可得，再利用ASA证明两三角形全等即可；
（2）由全等的性质可得，再利用割补法可把阴影部分面积转化为扇形BOD的面积，最后再利用公式计算即可．
（1）因为是的直径，弦，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
（2）由（1）的结论，知，
所以
．
22．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
（1）如果被污染的数字是，请计算的值．
（2）如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
【答案】（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）有理数的混合运算，先计算括号内的减法运算，再计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）设被污染的数字为，再解关于x的一元一次方程即可．
（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
23．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
【答案】（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式P(事件)=计算即可；
（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式 P(事件)=， 计算即可．
（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
24．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
25．已知抛物线的解析式为．
（1）求抛物线的顶点的坐标；
（2）我们规定：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“点”．若抛物线上存在唯一的“点”，求出点的坐标．
【答案】（1）解：∵
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点，满足，
∴点在直线上运动，
根据题意联立方程组，得
消去得，
即．
∵抛物线上存在唯一的“点”，
∴，解得，
将代入0，
得，
解方程，得，
将代入，
得，
所以点的坐标是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】
（1）直接化解析式化为顶点式即可；
（2）由题意知点P在直线，又点P也在抛物线上，则可联立直线与抛物线解析式得关于x的一元二次方程，由于直线与抛物线只有一个交点，即根的判别式等于0，即可求得a的值，再解关于x的方程即可．
（1）解：∵
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点，满足，
∴点在直线上运动，
根据题意联立方程组，得
消去得，
即．
∵抛物线上存在唯一的“点”，
∴，解得，
将代入0，
得，
解方程，得，
将代入，
得，
所以点的坐标是．
26．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）连接，，求的面积．
（3）如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）如图，过点D作x轴的垂线段DG，先由直线上点的坐标特征可得A、B两点坐标，解直角三角形可得、，再利用线段的和差关系求出OG即可；
（2）过点C作x轴的垂线段CH，再联立直线AB与双曲线解析式可得点C坐标，再利用割补法求出的面积即可；
（3）由于可求得，则由已知可证EF平行AB，则设直线EF的解析式，再联立直线EF与双曲线解析式，由根与系数关系结合中点坐标公式可得点P的横坐标，再由直线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，此时再过点P作x轴的垂线段并解直角三角形可得．
（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
1 / 1湖南省张家界市桑植县2025年中考二模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果，那么（　　）
A． B． C． D．
2．如图，平分，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
3．某地修高速公路，挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
4．某口袋里现有个红球和若干个白球两种球除颜色外，其余完全相同，某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验次，其中有次是红球，估计白球个数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
10．如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（　　）
A．10 B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知，用含x的代数式表示y，则　 　．
12．已知，，则　 　（填“”，“”或“”）．
13．若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
14．已知，则的值　 　．
15．抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则　 　．
16．一组单项式：，按此规律排列下去，第2024个单项式为　 　．
17．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
18．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为　 　度．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：
20．如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
21．如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，．
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
（1）如果被污染的数字是，请计算的值．
（2）如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
23．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
24．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
25．已知抛物线的解析式为．
（1）求抛物线的顶点的坐标；
（2）我们规定：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“点”．若抛物线上存在唯一的“点”，求出点的坐标．
26．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）连接，，求的面积．
（3）如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”可得绝对值等于一个正数的数有两个，这两个化为相反数，可求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
故选．
【分析】
先由角平分线的定义可得 的度数，再利用角三角形外角的性质即可．
3．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意，∵挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖
∴开工后每天挖
∴
故选：A
【分析】
设原计划每天挖，则开工后每天挖，再由提前4天完成了任务即可方程即可．
4．【答案】A
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵口袋里现有个红球和若干个白球，共试验次，其中有次是红球，
∴口袋内球的个数为：个，
∴白球个数为：20-12=8(个).
故答案为：A.
【分析】根据口袋里现有个红球和若干个白球，共试验次，其中有次是红球，可以计算出总球个数为，然后再减红球个数，即可得到白球个数.
5．【答案】B
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为，
∴投影三角形的面积为．
故选：B．
【分析】根据位似图形的性质得出相似比为，则面积比=位似比的平方=，即可得出投影三角形的面积．
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵a﹣b=2，
∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣4b=2(a+b)﹣4b=2a+2b﹣4b=2(a﹣b)=4.
故答案为：B.
【分析】原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值.
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接，
，
，
是上的一条弦，直径，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=2∠A=52°，由垂径定理得出，由等弧所对的圆心角相等得出，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
8．【答案】B
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】根据分式的除法运算 ：除以一个分式 = 乘它的倒数计算，再约分即可.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是扇形的内接矩形，
∴半径，
∴，
∴当点P在上移动时，的值保持不变，
故选：C．
【分析】四边形是扇形的内接矩形，根据矩形的对角线相等，可得半径，即可得长度不变．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，
的坐标为，点的坐标为，
，，
在中，
由勾股定理，得，
将沿翻折得到，
，，，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
在中，
由勾股定理，得，
设，则，
在中，
由勾股定理，得，即，
解得，
，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，
即顶点的纵坐标为．
故选：D．
【分析】连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出， ，，进而求出，再利用勾股定理求出， 即可．
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项得，，
系数化为1得，
故答案为：．
【分析】把看成已知数，根据移项、系数化为1即可求解．
12．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：，
．
故答案为： ．
【分析】
度分秒的换算，先利用可把化成，再比较大小即可．
13．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
14．【答案】
【知识点】因式分解的应用；有理数的乘法法则；偶次方的非负性
【解析】【解答】∵a2+b2+2a-6b+10=0，
∴a2+2a+1+b2-6b+9=0，
∴（a+1）2+（b-3）2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴ab=-1×3=-3，
故答案为：-3．
【分析】
若两个非负数的和为0则每一个非负数都等于0，可利用完全平方公式进行配方，再分别求出a，b的值即可．
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛掷一次骰子共有6种等可能的结果，分别为：1、2、3、4、5、6，
其中“掷得的数字是3的倍数”的只有2种，
．
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率计算公式求解即可．
16．【答案】
【知识点】单项式的概念；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：根据数值的变化规律可得：
第1个单项式a的指数为1，系数为，
第2个单项式a的指数为2，系数为，
第3个单项式a的指数为3，系数为，
第4个单项式数a的指数为4，系数为，
…，
所以这列单项式中的第n个单项式中a的指数为n，系数为，
所以这列数中的第n个数为．
∴第2024个单项式为
故答案为：．
【分析】
观察单项式可发现系数的绝对值是从1开始的连续自然数，又符号变化特征是正负交替出现，则可利用来表示符号，字母的指数直接利用n表示，则其通式为．
17．【答案】解：当时，∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解题的关键是分或两种情况，根据两个三角形两边成比例且夹角相等，得或，求解即可．
18．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点和点在直线的同旁，
∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得对应角相等，对应边相等，得，，进而可得．易得为等腰三角形，那么可得．
19．【答案】原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据(a+b)(a b)=a2 b2和运算法则进行计算即可．
20．【答案】证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的对边平行且相等得出，由矩形的对角线相等得出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDB是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出AE=BD，从而根据等式的传递性可得结论.
21．【答案】（1）证明：
（2）解：

【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）先由垂径定理得到，再由圆周角定理结合直角三角形两锐角互余可得，再利用ASA证明两三角形全等即可；
（2）由全等的性质可得，再利用割补法可把阴影部分面积转化为扇形BOD的面积，最后再利用公式计算即可．
（1）因为是的直径，弦，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
（2）由（1）的结论，知，
所以
．
22．【答案】（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）有理数的混合运算，先计算括号内的减法运算，再计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）设被污染的数字为，再解关于x的一元一次方程即可．
（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
23．【答案】（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式P(事件)=计算即可；
（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式 P(事件)=， 计算即可．
（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
24．【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
25．【答案】（1）解：∵
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点，满足，
∴点在直线上运动，
根据题意联立方程组，得
消去得，
即．
∵抛物线上存在唯一的“点”，
∴，解得，
将代入0，
得，
解方程，得，
将代入，
得，
所以点的坐标是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】
（1）直接化解析式化为顶点式即可；
（2）由题意知点P在直线，又点P也在抛物线上，则可联立直线与抛物线解析式得关于x的一元二次方程，由于直线与抛物线只有一个交点，即根的判别式等于0，即可求得a的值，再解关于x的方程即可．
（1）解：∵
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点，满足，
∴点在直线上运动，
根据题意联立方程组，得
消去得，
即．
∵抛物线上存在唯一的“点”，
∴，解得，
将代入0，
得，
解方程，得，
将代入，
得，
所以点的坐标是．
26．【答案】（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）如图，过点D作x轴的垂线段DG，先由直线上点的坐标特征可得A、B两点坐标，解直角三角形可得、，再利用线段的和差关系求出OG即可；
（2）过点C作x轴的垂线段CH，再联立直线AB与双曲线解析式可得点C坐标，再利用割补法求出的面积即可；
（3）由于可求得，则由已知可证EF平行AB，则设直线EF的解析式，再联立直线EF与双曲线解析式，由根与系数关系结合中点坐标公式可得点P的横坐标，再由直线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，此时再过点P作x轴的垂线段并解直角三角形可得．
（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
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